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文本内容:
【答案】
①④
2.(2011安徽,13,5分)如图,⊙O的两条弦AB、CD互相垂直,垂足为E,且AB=CD,已知__=1,ED=3,则⊙O的半径是.【答案】
3.(2011江苏扬州,153分)如图,⊙O的弦CD与直径AB相交,若∠BAD=50°,则∠ACD=【答案】40°
4.(2011山东日照,14,4分)如图,在以AB为直径的半圆中,有一个边长为1的内接正方形CDEF,则以AC和BC的长为两根的一元二次方程是.【答案】如x2-x+1=0;
5.(2011山东泰安,23,3分)如图,PA与⊙O相切,切点为A,PO交⊙O于点C,点B是优弧CBA上一点,若∠ABC==320,则∠P的度数为【答案】
2606.(2011山东__,15,3分)如图,⊙O的直径AB与弦CD相交于点E,若AE=5BE=1则∠AED=.【答案】30°
7.(2011山东烟台,164分)如图,△ABC的外心坐标是__________.【答案】(-2,-1)
8.(2011浙江杭州,14,4)如图,点A,B,C,D都在⊙O上,的度数等于84°,CA是∠OCD的平分线,则∠ABD十∠CAO=°.【答案】53°
9.(2011浙江温州,14,5分)如图,AB是⊙O的直径,点C,D都在⊙O上,连结CA,CB,DC,DB.已知∠D=30°,BC=3,则AB的长是.【答案】610.(2011浙江省嘉兴,16,5分)如图,AB是半圆直径,半径OC⊥AB于点O,AD平分∠CAB分别交OC于点E,交弧BC于点D,连结CD、OD,给出以下四个结论
①S△AEC=2S△DEO;
②AC=2CD;
③线段OD是DE与DA的比例中项;
④.其中正确结论的序号是 .【答案】
①④
11.(2011福建泉州,16,4分)已知三角形的三边长分别为3,4,5,则它的边与半径为1的圆的公共点个数所有可能的情况是.(写出符合的一种情况即可)【答案】2(符合答案即可)
12.(2011甘肃兰州,16,4分)如图,OB是⊙O的半径,点C、D在⊙O上,∠DCB=27°,则∠OBD=度【答案】63°
13.(2011湖南常德,7,3分)如图2,已知⊙O是△ABC的外接圆,且∠C=70°,则∠OAB=__________.【答案】20°
14.(2011江苏连云港,15,3分)如图,点D为边AC上一点,点O为边AB上一点,AD=DO.以O为圆心,OD长为半径作半圆,交AC于另一点E,交AB于点F,G,连接EF.若∠BAC=22º,则∠EFG=_____.【答案】
15.(2011四川广安,19,3分)如图3所示,若⊙O的半径为13cm,点是弦上一动点,且到圆心的最短距离为5cm,则弦的长为________cm【答案】
2416.(2011重庆江津,16,4分)已知如图在圆内接四边形ABCD中∠B=30º则∠D=____________.【答案】150°
17.2011重庆綦江,13,4分如图已知AB为⊙O的直径,∠CAB=30°则∠D=.【答案】60°
18.(2011江西南昌,13,3分)如图,在△ABC中,点P是△ABC的内心,则∠PBC+∠PCA+∠PAB=度.第13题图【答案】
9019.2011江苏南京,13,2分如图,海边有两座灯塔A、B,暗礁分布在经过A、B两点的弓形(弓形的弧是⊙O的一部分)区域内,∠AOB=80°,为了避免触礁,轮船P与A、B的张角∠APB的最大值为______°.【答案】4020.(2011__,17,4分)如图,AB、AC都是圆O的弦,OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M、N,如果MN=3,那么BC=_________.【答案】
621.(2011江苏无锡,18,2分)如图,以原点O为圆心的圆交x轴于点A、B两点,交y轴的正半轴于点C,D为第一象限内⊙O上的一点,若∠DAB=20°,则∠OCD=_____________.【答案】
6522.(2011湖北黄石,14,3分)如图
(5),△ABC内接于圆O,若∠B=
300.AC=,则⊙O的直径为【答案】
223.(2011湖南衡阳,16,3分)如图,⊙的直径过弦的中点G,∠EOD=40°,则∠FCD的度数为.【答案】
2024.(2011湖南永州,8,3分)如图,在⊙O中,直径CD垂直弦AB于点E,连接OBCB,已知⊙O的半径为2,AB=则∠BCD=________度.【答案】
3025.20011江苏镇江152分如图DE是⊙O的直径弦AB⊥DE垂足为C若AB=6__=1则OC=_____CD=_____.答案4,
926.(2011内蒙古乌兰察布,14,4分)如图,是半径为6的⊙D的圆周,C点是上的任意一点,△ABD是等边三角形则四边形ABCD的周长P的取值范围是【答案】
27.(2011河北,16,3分)如图7,点O为优弧ACB所在圆的圆心,∠AOC=108°,点D在AB的延长线上,BD=BC则∠D=__°.【答案】
2728.(2011湖北荆州,12,4分)如图,⊙O是△ABC的外接圆,CD是直径,∠B=40°,则∠ACD的度数是 . 第12题图【答案】50°
29.
30.
三、解答题
1.(2011浙江金华,21,8分)如图,射线PG平分∠EPF,O为射线PG上一点,以O为圆心,10为半径作⊙O,分别与∠EPF两边相交于A、B和C、D,连结OA,此时有OA∥PE.
(1)求证AP=AO;
(2)若弦AB=12,求tan∠OPB的值;
(3)若以图中已标明的点(即P、A、B、C、D、O)构造四边形,则能构成菱形的四个点为,能构成等腰梯形的四个点为或或.证明
(1)∵PG平分∠EPF,∴∠DPO=∠BPO,∵OA//PE,∴∠DPO=∠POA,∴∠BPO=∠POA,∴PA=OA;……2分解
(2)过点O作OH⊥AB于点H,则AH=HB=AB,……1分∵tan∠OPB=,∴PH=2OH,……1分设OH=,则PH=2,由
(1)可知PA=OA=10,∴AH=PH-PA=2-10,∵,∴,……1分解得(不合题意,舍去),,∴AH=6,∴AB=2AH=12;……1分
(3)P、A、O、C;A、B、D、C或P、A、O、D或P、C、O、B.……2分写对1个、2个、3个得1分,写对4个得2分
2.(2011浙江金华,24,12分)如图,在平面直角坐标系中,点A(10,0),以OA为直径在第一象限内作半圆C,点B是该半圆周上的一动点,连结OB、AB,并延长AB至点D,使DB=AB,过点D作x轴垂线,分别交x轴、直线OB于点E、F,点E为垂足,连结CF.
(1)当∠AOB=30°时,求弧AB的长;
(2)当DE=8时,求线段EF的长;
(3)在点B运动过程中,是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似,若存在,请求出此时点E的坐标;若不存在,请说明理由.解
(1)连结BC∵A(10,0)∴OA=10CA=5∵∠AOB=30°∴∠ACB=2∠AOB=60°∴弧AB的长=;……4分
(2)连结OD∵OA是⊙C直径∴∠OBA=90°又∵AB=BD∴OB是AD的垂直平分线∴OD=OA=10在Rt△ODE中,OE=∴AE=AO-OE=10-6=4由∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB,∠OEF=∠DEA,得△OEF∽△DEA∴即,∴EF=3;……4分
(3)设OE=x,
①当交点E在O,C之间时,由以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似,有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB,当∠ECF=∠BOA时,此时△OCF为等腰三角形,点E为OC中点,即OE=,∴E1(,0);当∠ECF=∠OAB时,有__=5-xAE=10-x,∴CF∥AB有CF=∵△ECF∽△EAD∴即解得∴E2(,0);
②当交点E在点C的右侧时,∵∠ECF>∠BOA,∴要使△ECF与△BAO相似,只能使∠ECF=∠BAO,连结BE,∵BE为Rt△ADE斜边上的中线,∴BE=AB=BD∴∠BEA=∠BAO∴∠BEA=∠ECF∴CF∥BE∴∵∠ECF=∠BAO∠FEC=∠DEA=Rt∠,∴△__F∽△AED∴而AD=2BE∴即解得<0(舍去),∴E3(,0);
③当交点E在点O的左侧时,∵∠BOA=∠EOF>∠ECF.∴要使△ECF与△BAO相似,只能使∠ECF=∠BAO连结BE,得BE==AB,∠BEA=∠BAO∴∠ECF=∠BEA∴CF∥BE∴又∵∠ECF=∠BAO∠FEC=∠DEA=Rt∠,∴△__F∽△AED∴,而AD=2BE∴∴解得<0(舍去)∵点E在x轴负半轴上∴E4(,0)综上所述存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似此时点E坐标为(,0)、(,0)、(,0)、(,0).……4分
3.(2011山东德州2210分)●观察计算当,时,与的大小关系是_________________.当,时,与的大小关系是_________________.●探究证明如图所示,为圆O的内接三角形,为直径,过C作于D,设,BD=b.
(1)分别用表示线段OC,CD;
(2)探求OC与CD表达式之间存在的关系(用含a,b的式子表示).●归纳结论根据上面的观察计算、探究证明,你能得出与的大小关系是_________________________.●实践应用要制作__为1平方米的长方形镜框,直接利用探究得出的结论,求出镜框周长的最小值.【答案】●观察计算:,=.…………………2分●探究证明
(1),∴…………………3分AB为⊙O直径∴.,,∴∠A=∠BCD.∴△∽△.…………………4分∴.即∴.…………………5分
(2)当时=;时.…………………6分●结论归纳:.………………7分●实践应用设长方形一边长为米则另一边长为米设镜框周长为l米,则≥.……………9分当即(米)时镜框周长最小.此时四边形为正方形时周长最小为4米.………………10分
4.(2011山东济宁,19,6分)如图,为外接圆的直径,,垂足为点,的平分线交于点,连接,.1求证;2请判断,,三点是否在以为圆心,以为半径的圆上?并说明理由.【答案】
(1)证明∵为直径,,∴.∴.3分
(2)答,,三点在以为圆心,以为半径的圆上.4分理由由
(1)知,∴.∵,,,∴.∴.6分由
(1)知.∴.∴,,三点在以为圆心,以为半径的圆上.…………………7分
5.(2011山东烟台,2512分)已知AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点G,E是直线AB上一动点(不与点A、B、G重合),直线DE交⊙O于点F,直线CF交直线AB于点P.设⊙O的半径为r.
(1)如图1,当点E在直径AB上时,试证明OE·OP=r2
(2)当点E在AB(或BA)的延长线上时,以如图2点E的位置为例,请你画出符合题意的图形,标注上字母,
(1)中的结论是否成立?请说明理由.【答案】
(1)证明连接FO并延长交⊙O于Q,连接DQ.∵FQ是⊙O直径,∴∠FDQ=90°.∴∠QFD+∠Q=90°.∵CD⊥AB,∴∠P+∠C=90°.∵∠Q=∠C,∴∠QFD=∠P.∵∠FOE=∠POF,∴△FOE∽△POF.∴.∴OE·OP=OF2=r
2.
(2)解
(1)中的结论成立.理由如图2,依题意画出图形,连接FO并延长交⊙O于M,连接CM.∵FM是⊙O直径,∴∠FCM=90°,∴∠M+∠CFM=90°.∵CD⊥AB,∴∠E+∠D=90°.∵∠M=∠D,∴∠CFM=∠E.∵∠POF=∠FOE,∴△POF∽△FOE.∴,∴OE·OP=OF2=r
2.
6.(2011宁波市,25,10分)阅读下面的情境对话,然后解答问题
(1)根据“奇异三角形”的定义,请你判断小华提出的命题“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题?
(2)在RtABC中,∠ACB=90°,AB=c,AC=b,BC=a,且b>a,若RtABC是奇异三角形,求a bc;
(3)如图,AB是⊙O的直径,C是上一点(不与点A、B重合),D是半圆的中点,CD在直径AB的两侧,若在⊙O内存在点E使得AE=AD,CB=__.求证A__是奇异三角形;当A__是直角三角形时,求∠AOC的度数.【答案】解
(1)真命题
(2)在RtABC中a2+b2=c2,∵c>b>a>0∴2c2>a2+b2,2a2<c2+b2∴若RtABC是奇异三角形,一定有2b2=c2+a2∴2b2=a2+(a2+b2)∴b2=2a2 得b=a∵c2=b2+a2=3a2∴c=a∴a bc=13∵AB是⊙O的直径ACBADB=90°在RtABC中,AC2+BC2=AB2在RtADB中,AD2+BD2=AB2∵点D是半圆的中点∴=∴AD=BD∴AB2=AD2+BD2=2AD2∴AC2+CB2=2AD2又∵CB=__,AE=AD∴AC2=__2=2AE2∴A__是奇异三角形由可得A__是奇异三角形∴AC2=__2=2AE2当A__是直角三角形时由
(2)可得AC AE__=1或AC AE__=1(Ⅰ)当AC AE__=1时AC__=1即AC CB=1∵∠ACB=90°∴∠ABC=30°∴∠AOC=2∠ABC=60°Ⅱ当AC AE__=1时AC__=1即AC CB=1∵∠ACB=90°∴∠ABC=60°∴∠AOC=2∠ABC=120°∴∠AOC=2∠ABC=120°∴∠AOC的度数为60°或120°
7.(2011浙江丽水,21,8分)如图,射线PG平分∠EPF,O为射线PG上一点,以O为圆心,10为半径作⊙O,分别与∠EPF两边相交于A、B和C、D,连结OA,此时有OA∥PE.
(1)求证AP=AO;
(2)若弦AB=12,求tan∠OPB的值;
(3)若以图中已标明的点即P、A、B、C、D、O构造四边形,则能构成菱形的四个点为,能构成等腰梯形的四个点为或或.【解】
(1)∵PG平分∠EPF,∴∠DPO=∠BPO,∵OA//PE,∴∠DPO=∠POA,∴∠BPO=∠POA,∴PA=OA;
(2)过点O作OH⊥AB于点H,则AH=HB,∵AB=12,∴AH=6,由
(1)可知PA=OA=10,∴PH=PA+AH=16,OH==8,∴tan∠OPB==;
(3)P、A、O、C;A、B、D、C或P、A、O、D或P、C、O、B.
8.(2011广东广州市,25,14分)如图7,⊙O中AB是直径,C是⊙O上一点,∠ABC=45°,等腰直角三角形D__中∠D__是直角,点D在线段AC上.
(1)证明B、C、E三点共线;
(2)若M是线段BE的中点,N是线段AD的中点,证明MN=OM;
(3)将△D__绕点C逆时针旋转α(0°<α<90°)后,记为△D1__1(图8),若M1是线段BE1的中点,N1是线段AD1的中点,M1N1=OM1是否成立?若是,请证明;若不是,说明理由.【答案】
(1)∵AB为⊙O直径∴∠ACB=90°∵△D__为等腰直角三角形∴∠A__=90°∴∠B__=90°+90°=180°∴B、C、E三点共线.
(2)连接BD,AE,ON.∵∠ACB=90°,∠ABC=45°∴AB=AC∵DC=DE∠ACB=∠A__=90°∴△BCD≌△A__∴AE=BD,∠DBE=∠EAC∴∠DBE+∠BEA=90°∴BD⊥AE∵O,N为中点∴ON∥BD,ON=BD同理OM∥AE,OM=AE∴OM⊥ON,OM=ON∴MN=OM
(3)成立证明同
(2)旋转后∠BCD1=∠B__1=90°-∠ACD1所以仍有△BCD1≌△A__1,所以△A__1是由△BCD1绕点C顺时针旋转90°而得到的,故BD1⊥AE1其余证明过程与
(2)完全相同.
9.(2011浙江丽水,24,12分)如图,在平面直角坐标系中,点A10,0,以OA为直径在第一象限内作半圆C,点B是该半圆周上的一动点,连结OB、AB,并延长AB至点D,使DB=AB,过点D作x轴垂线,分别交x轴、直线OB于点E、F,点E为垂足,连结CF.
(1)当∠AOB=30°时,求弧AB的长;
(2)当DE=8时,求线段EF的长;
(3)在点B运动过程中,是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似,若存在,请求出此时点E的坐标;若不存在,请说明理由.【解】1连结BC,∵A10,0,∴OA=10,CA=5,∵∠AOB=30°,∴∠ACB=2∠AOB=60°,∴的长==;
(2)连结OD,∵OA是⊙C的直径,∴∠OBA=90°,又∵AB=BD,∴OB是AD的垂直平分线,∴OD=OA=10,在Rt△ODE中,OE===6,∴AE=AO-OE=10-6=4,由∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB,∠OEF=∠DEA,得△OEF∽△DEA,∴=,即=,∴EF=3;3设OE=x,
①当交点E在O,C之间时,由以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似,有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB,当∠ECF=∠BOA时,此时△OCF为等腰三角形,点E为OC的中点,即OE=,∴E1,0;当∠ECF=∠OAB时,有__=5-x,AE=10-x,∴CF//AB,有CF=AB,∵△ECF∽△EAD,∴=,即=,解得x=,∴E2,0;
②当交点E在C的右侧时,∵∠ECF∠BOA∴要使△ECF与△BAO相似,只能使∠ECF=∠BAO,连结BE,∵BE为Rt△ADE斜边上的中线,∴BE=AB=BD,∴∠BEA=∠BAO,∴∠BEA=∠ECF,∵CF//BE,∴=,∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=Rt∠,∴△__F∽△AED,∴=,而AD=2BE,∴=,即=,解得x1=eq\f5+54,x2=eq\f5-540(舍去),∴E3eq\f5+54,0;
③当交点E在O的左侧时,∵∠BOA=∠EOF∠ECF∴要使△ECF与△BAO相似,只能使∠ECF=∠BAO,连结BE,得BE=AD=AB,∠BEA=∠BAO,∴∠ECF=∠BEA,∴CF//BE,∴=,又∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=Rt∠,∴△__F∽△AED,∴=,而AD=2BE,∴=,∴=,解得x1=eq\f-5+54,x2=eq\f-5-540(舍去),∵点E在x轴负半轴上,∴E4eq\f5-54,0,综上所述存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似,此时点E坐标为∴E1,
0、E2,
0、E3eq\f5+54,
0、E4eq\f5-54,
0.10.(2011江西,21,8分)如图,已知⊙O的半径为2,弦BC的长为,点A为弦BC所对优弧上任意一点(B,C两点除外)⑴求∠BAC的度数;⑵求△ABC__的最大值.(参考数据sin60°=,cos30°=,tan30°=.)【答案】
(1)过点O作OD⊥BC于点D连接OA.因为BC=,所以CD==.又OC=2,所以=,即=,所以∠DOC=60°.又OD⊥BC,所以∠BAC=∠DOC=60°.
(2)因为△ABC中的边BC的长不变,所以底边上的高最大时,△ABC__的最大值即点A是的中点时,△ABC__的最大值.因为∠BAC=60°,所以△ABC是等边三角形,在Rt△ADC中,AC=,DC=所以AD===
3.所以△ABC__的最大值为×3×=
3.
11.(2011湖南常德,25,10分)已知△ABC,分别以AC和BC为直径作半圆、P是AB的中点.
(1)如图8,若△ABC是等腰三角形,且AC=BC,在上分别取点E、F,使则有结论
①②四边形是菱形.请给出结论
②的证明;
(2)如图9,若
(1)中△ABC是任意三角形,其它条件不变,则
(1)中的两个结论还成立吗?若成立,请给出证明;
(3)如图10,若PC是的切线,求证【答案】
(1)证明∵BC是⊙O2直径,则O2是BC的中点又P是AB的中点.∴PO2是△ABC的中位线∴PO2=AC又AC是⊙O1直径∴PO2=O1C=AC同理PO1=O2C=BC∵AC=BC∴PO2=O1C=PO1=O2C∴四边形是菱形
(2)结论
①成立,结论
②不成立证明在
(1)中已证PO2=AC,又O1E=AC∴PO2=O1E同理可得PO1=O2F∵PO2是△ABC的中位线∴PO2∥AC∴∠PO2B=∠ACB同理∠PO1A=∠ACB∴∠PO2B=∠PO1A∵∠AO1E=∠BO2F∴∠PO1A+∠AO1E=∠PO2B+∠BO2F即∠PO1E=∠FO2P∴
(3)证明延长AC交⊙O2于点D,连接BD.∵BC是⊙O2的直径,则∠D=90°,又PC是的切线,则∠ACP=90°,∴∠ACP=∠D又∠PAC=∠BAD,∴△APC∽△BAD又P是AB的中点∴∴AC=CD∴在Rt△BCD中,在Rt△ABD中,∴∴
12.(2011江苏苏州,268分)如图,已知AB是⊙O的弦,OB=2,∠B=30°,C是弦AB上任意一点(不与点A、B重合),连接CO并延长CO交⊙O于点D,连接AD.
(1)弦长AB=________(结果保留根号);
(2)当∠D=20°时,求∠BOD的度数;
(3)当AC的长度为多少时,以点A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似?请写出解答过程.【答案】解
(1)
2.
(2)解法一∵∠BOD是△BOC的外角,∠BCO是△ACD的外角,∴∠BOD=∠B+∠BCO,∠BCO=∠A+∠D.∴∠BOD=∠B+∠A+∠D.又∵∠BOD=2∠A,∠B=30°,∠D=20°,∴2∠A=∠B+∠A+∠D=∠A+50°,∠A=50°,∴∠BOD=2∠A=100°.解法二如图,连接OA.∵OA=OB,OA=OD,∴∠BAO=∠B,∠DAO=∠D,∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D.又∵∠B=30°,∠D=20°,∴∠DAB=50°,∴∠BOD=2∠DAB=100°.
(3)∵∠BCO=∠A+∠D,∴∠BCO>∠A,∠BCO>∠D.∴要使△DAC与△BOC相似,只能∠DCA=∠BCO=90°.此时,∠BOC=60°,∠BOD=120°,∴∠DAC=60°.∴△DAC∽△BOC.∵∠BCO=90°,即OC⊥AB,∴AC=AB=.
13.(2011江苏苏州,278分)已知四边形ABCD是边长为4的正方形,以AB为直径在正方形内作半圆,P是半圆上的动点(不与点A、B重合),连接PA、PB、PC、PD.
(1)如图
①,当PA的长度等于______时,∠PAB=60°;当PA的长度等于______时,△PAD是等腰三角形;
(2)如图
②,以AB边所在的直线为x轴,AD边所在的直线为y轴,建立如图所示的直角坐标系(点A即为原点O),把△PAD、△PAB、△PBC的__分别记为S
1、S
2、S
3.设P点坐标为(a,b),试求2S1S3-S22的最大值,并求出此时a、b的值.【答案】解
(1)2;2或.
(2)如图,过点P分别作PE⊥AB,PF⊥AD,垂足分别为E、F,延长FP交BC于点G,则PG⊥BC.∵P点坐标为(a,b),∴PE=b,PF=a,PG=4-a.在△PAD、△PAB及△PBC中,S1=2a,S2=2b,S3=8-2a,∵AB是直径,∴∠APB=90°.∴PE2=AE·BE,即b2=a(4-a).∴2S1S3-S22=4a(8-2a)-4b2=-4a2+16a=-4(a-2)2+
16.∴当a=2时,b=2,2S1S3-S22有最大值
16.
14.(2011江苏泰州,26,10分)如图,以点O为圆心的两个同心圆中,矩形ABCD的边BC为大圆的弦,边AD与小圆相切于点M,OM的延长线与BC相交于点N.
(1)点N是线段BC的中点吗?___?
(2)若圆环的宽度(两圆半径之差)为6cm,AB=5cm,BC=10cm,求小圆的半径.【答案】解1N是BC的中点原因∵AD与小圆相切于点M,∴OM⊥AD,又AD∥BC,∴ON⊥BC,∴在大圆O中,由垂径定理可得N是BC的中点.2连接OB,设小圆半径为r,则有ON=r+5OB=r+6BN=5cm在Rt△OBN中,由勾股定理得OB2=BN2+ON2,即(r+6)2=r+52+52,解得r=7cm.∴小圆的半径为7cm.
15.(2011四川成都,2710分)已知如图,以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心,OA长为半径作⊙0,⊙O经过B、D两点,过点B作BK⊥AC,垂足为K.过D作DH∥KB,DH分别与AC、AB、⊙O及CB的延长线相交于点E、F、G、H.1求证AE=CK;2如果AB=,AD=为大于零的常数,求BK的长;3若F是EG的中点,且DE=6,求⊙O的半径和GH的长.【答案】解
(1)∵DH∥KB,BK⊥AC,∴DE⊥AC,∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,AD=BC,∴∠EAD=∠KCB,∴Rt△ADE≌Rt△CBK,∴AE=CK.
(2)在Rt△ABC中,AB=,AD=BC=,∴==,∵S△ABC=AB×BC=AC×BK,∴BK===.
(3)连线OG,∵AC⊥DG,AC是⊙O的直接,DE=6,∴DE=EG=6,又∵EF=FG,∴EF=3;∵Rt△ADE≌Rt△CBK,∴DE=BK=6,AE=CK,在△ABK中,EF=3,BK=6,EF∥BK,∴EF是△ABK的中位线,∴AF=BF,AE=EK=KC;在Rt△OEG中,设OG=,则OE=,EG=6,,∴,∴.在Rt△ADF≌Rt△BHF中,AF=BF,∵AD=BC,BF∥CD,∴HF=DF,∵FG=EF,∴HF-FG=DF-EF,∴HG=DE=
6.
16.(2011四川宜宾23,10分)已知在△ABC中,以AC边为直径的⊙O交BC于点D,在劣弧上到一点E使∠EBC=∠DEC,延长BE依次交AC于G,交⊙O于H.
(1)求证AC⊥BH;
(2)若∠ABC=45°,⊙O的直径等于10,BD=8,求__的长.【答案】证明⑴连接AD∵∠DAC=∠DEC∠EBC=∠DEC∴∠DAC=∠EBC又∵AC是⊙O的直径∴∠ADC=90°∴∠DCA+∠DAC=90°∴∠EBC+∠DCA=90°∴∠B__=180°-∠EBC+∠DCA=180°-90°=90°∴AC⊥BH⑵∵∠BDA=180°-∠ADC=90°∠ABC=45°∴∠BAD=45°∴BD=AD∵BD=8∴AD=8又∵∠ADC=90°AC=10∴由勾股定理,得.∴BC=BD+DC=8+6=14又∵∠B__=∠ADC=90°∠BCG=∠ACD∴△BCG∽△ACD∴∴∴连接AE,∵AC是直径∴∠AEC=90°又∵EG⊥AC∴△__G∽△CAE∴∴∴.
17.(2011江西南昌,21,8分)如图,已知⊙O的半径为2,弦BC的长为,点A为弦BC所对优弧上任意一点(B,C两点除外)⑴求∠BAC的度数;⑵求△ABC__的最大值.(参考数据sin60°=,cos30°=,tan30°=.)【答案】
(1)过点O作OD⊥BC于点D连接OA.因为BC=,所以CD==.又OC=2,所以=,即=,所以∠DOC=60°.又OD⊥BC,所以∠BAC=∠DOC=60°.
(2)因为△ABC中的边BC的长不变,所以底边上的高最大时,△ABC__的最大值即点A是的中点时,△ABC__的最大值.因为∠BAC=60°,所以△ABC是等边三角形,在Rt△ADC中,AC=,DC=所以AD===
3.所以△ABC__的最大值为×3×=
3.
18.(2011__,21,10分)如图,点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上,且OA=3,AC=2,CD平行于AB,并与弧AB相交于点M、N.
(1)求线段OD的长;
(2)若,求弦MN的长.【答案】
(1)∵CD∥AB,∴∠OAB=∠C,∠OBA=∠D.∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA.∴∠C=∠D.∴OC=OD.∵OA=3,AC=2,∴OC=5.∴OD=5.
(2)过点O作OE⊥CD,E为垂足,连接OM.在Rt△O__中,OC=5,,设OE=x,则__=2x.由勾股定理得,解得x1=,x2=(舍去).∴OE=.在Rt△OME中,OM=OA=3,ME===2∴MN=2ME=4.
19.(2011湖北黄冈,22,8分)在圆内接四边形ABCD中,CD为∠BCA外角的平分线,F为弧AD上一点,BC=AF,延长DF与BA的延长线交于E.⑴求证△ABD为等腰三角形.⑵求证AC•AF=DF•FE【答案】⑴由圆的性质知∠MCD=∠DAB、∠DCA=∠DBA,而∠MCD=∠DCA,所以∠DBA=∠DAB,故△ABD为等腰三角形.⑵∵∠DBA=∠DAB∴弧AD=弧BD又∵BC=AF∴弧BC=弧AF、∠CDB=∠FDA∴弧CD=弧DF∴CD=DF再由“圆的内接四边形外角等于它的内对角”知∠AFE=∠DBA=∠DCA
①,∠FAE=∠BDE∴∠CDA=∠CDB+∠BDA=∠FDA+∠BDA=∠BDE=∠FAE
②由
①②得△DCA∽△FAE∴AC FE=CD AF∴AC•AF=CD•FE而CD=DF,∴AC•AF=DF•FE20.(2011广东茂名,24,8分)如图,⊙P与轴相切于坐标原点O0,0,与轴相交于点A5,0,过点A的直线AB与轴的正半轴交于点B,与⊙P交于点C.1已知AC=3,求点B的坐标;4分2若AC=D是OB的中点.问点O、P、C、D四点是否在同一圆上?请说明理由.如果这四点在同一圆上,记这个圆的圆心为,函数的图象经过点,求的值用含的代数式表示.4分【答案】解1解法一连接OC,∵OA是⊙P的直径,∴OC⊥AB,在Rt△AOC中,在Rt△AOC和Rt△ABO中,∵∠CAO=∠OAB∴Rt△AOC∽Rt△ABO,·∴,即,∴,∴解法二连接OC,因为OA是⊙P的直径,∴∠ACO=90°在Rt△AOC中,AO=5,AC=3,∴OC=4,过C作__⊥OA于点E,则,即,∴,∴∴,设经过A、C两点的直线解析式为.把点A5,
0、代入上式得,解得,∴,∴点.2点O、P、C、D四点在同一个圆上,理由如下连接CP、CD、DP,∵OC⊥AB,D为OB上的中点,∴,∴∠3=∠4,又∵OP=CP,∴∠1=∠2,∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°,∴PC⊥CD,又∵DO⊥OP,∴Rt△PDO和Rt△PDC是同以PD为斜边的直角三角形,∴PD上的中点到点O、P、C、D四点的距离相等,∴点O、P、C、D在以DP为直径的同一个圆上;由上可知,经过点O、P、C、D的圆心是DP的中点,圆心,由1知Rt△AOC∽Rt△ABO,∴,求得AB=,在Rt△ABO中,,OD=,∴,点在函数的图象上,∴,∴.
21.(2011广东肇庆,24,10分)已知如图,ABC内接于⊙O,AB为直径,∠CBA的平分线交AC于点F,交⊙O于点D,DE⊥AB于点E,且交AC于点P,连结AD.
(1)求证∠DAC=∠DBA;
(2)求证是线段AF的中点;
(3)若⊙O的半径为5,AF=,求tan∠ABF的值.【答案】1)∵BD平分∠CBA,∴∠___=∠DBA∵∠DAC与∠___都是弧CD所对的圆周角,∴∠DAC=∠___∴∠DAC=∠DBA2)∵AB为直径,∴∠ADB=90°又∵DE⊥AB于点E,∴∠DEB=90°∴∠ADE+∠EDB=∠ABD+∠EDB=90°∴∠ADE=∠ABD=∠DAP∴PD=PA又∵∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°且∠ADE=∠DAC∴∠PDF=∠PFD∴PD=PF∴PA=PF即P是线段AF的中点3)∵∠DAF=∠DBA,∠ADB=∠FDA=90°∴△FDA∽△ADB∴∴在Rt△ABD中,tan∠ABD=,即tan∠ABF=
22.(2011内蒙古乌兰察布,21,10分)如图,在Rt△ABC中∠ACB=90°,D是AB边上的一点,以BD为直径的⊙0与边AC相切于点E,连结DE并延长,与BC的延长线交于点F.1)求证BD=BF;2)若BC=12AD=8,求BF的长.【答案】⑴连结OE,则OE⊥AC所以∠AEO=90°,∠AED=∠__F∠ACB=90°∠__F+∠F=90°∠AED+∠OED=90°∠OED=∠F又因为OD=OE所以∠OED=∠ODE∠ODE=∠FBD=BF⑵Rt△ABC和Rt△AOE中,∠A是公共角所以Rt△ABC∽Rt△AOE,设⊙0的半径是r,则有求出r=8所以BF=BD=
1623.(2011湖北鄂州,22,8分)在圆内接四边形ABCD中,CD为∠BCA外角的平分线,F为弧AD上一点,BC=AF,延长DF与BA的延长线交于E.⑴求证△ABD为等腰三角形.⑵求证AC•AF=DF•FE【答案】⑴由圆的性质知∠MCD=∠DAB、∠DCA=∠DBA,而∠MCD=∠DCA,所以∠DBA=∠DAB,故△ABD为等腰三角形.⑵∵∠DBA=∠DAB∴弧AD=弧BD又∵BC=AF∴弧BC=弧AF、∠CDB=∠FDA∴弧CD=弧DF∴CD=DF再由“圆的内接四边形外角等于它的内对角”知∠AFE=∠DBA=∠DCA
①,∠FAE=∠BDE∴∠CDA=∠CDB+∠BDA=∠FDA+∠BDA=∠BDE=∠FAE
②由
①②得△DCA∽△FAE∴AC FE=CD AF∴AC•AF=CD•FE而CD=DF,∴AC•AF=DF•FE
24.(2010湖北孝感,23,10分)如图,等边△ABC内接于⊙O,P是上任一点(点P不与点A、B重合).连AP、BP,过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M.
(1)填空∠APC=度,∠BPC=度;(2分)
(2)求证△ACM∽△BCP;(4分)
(3)若PA=1,PB=2,求梯形PBCM的__.(4分)【答案】解
(1)6060;
(2)∵CM∥BP,∴∠BPM+∠M=180°,∠PCM=∠BPC=
60.∴∠M=180°-∠BPM=180-(∠APC+∠BPC)=180°-120°=60°.∴∠M=∠BPC=60°.
(3)∵ACM≌BCP,∴CM=CP,AM=BP.又∠M=60°,∴△PCM为等边三角形.∴CM=CP=PM=1+2=
3.作PH⊥CM于H.在Rt△PMH中,∠MPH=30°.∴PH=.∴S梯形PBCM=.
25.(2011湖北宜昌,21,8分)如图D是△ABC的边BC的中点,过AD延长线上的点E作AD的垂线EF,E为垂足,EF与AB的延长线相交于点F,点0在AD上,AO=CO,BC//EF.1证明:AB=AC;2证明:点0是AABC的外接圆的圆心;3当AB=5BC=6时,连接BE若∠ABE=90°,求AE的长.(第21题图)【答案】解:1∵AE⊥EF,EF∥BC,∴AD⊥BC.1分在△ABD和△ACD中,∵BD=CD,∠ADB=∠ADC,AD=AD,∴△ABD≌△ACD.或者又∵BD=CD,∴AE是BC的中垂线.2分∴AB=AC.3分2连BO,∵AD是BC的中垂线,∴BO=CO.或者证全等也可得到BO=CO.又AO=CO,∴AO=BO=CO.4分∴点O是△ABC外接圆的圆心.5分
(3)解法1∵∠ABE=∠ADB=90°,∴∠ABD+∠BAD=∠AEB+∠BAE=90°,∴∠ABD=∠AEB.又∵∠BAD=∠EAB,∴△ABD∽△AEB.∴(6分)在Rt△ABD中,∵AB=5,BD=1,2BC=3,∴AD=4.(7分)∴AE=8分解法2∵AO=BO, ∴∠ABO=∠BAO.∵∠ABE=90°,∴∠ABO+∠OBE=∠BAO+∠AEB=90°.∴∠OBE=∠OEB,∴OB=OE.6分在 Rt△ABD中,∵AB=5,BD=1,2BC=3,∴AD=4. 设 OB=x, 则 OD=4-x,由32+(4-x2=x2解得x=7分∴AE=2OB=
26.OxyBCA(第16题)ODBC图3ABCD第16题图ABOP第13题yxOABDC(第18题)(第8题)HPABCODEFGOBDECFxyAOBDFCEAxyOBDFCEAxyOBDFCEAxyOBDFCEAxyABCODABCOD第19题.ABCDE.OG(图2)ABCDEFP.OG(图1)ABCDEMNO图7ABCD1E1M1ON1图8BD(23题图)(第23题解答图) 第22题图BAFEDCMχ备用图χABCDEOFP 第22题图BAFEDCM。