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矩阵的广义逆及其应用目录TOC\o1-2\h\z\u摘要1Abstract……………………………………………………………………………………………11引言………………………………………………………………………………………………
24.
1104.
2114.3广义逆的计算13结论16____17致谢18矩阵的广义逆及其应用摘要矩阵的广义逆,即Moore-Penrose逆在众多理论与应用科学领域,例如微分方程、数值代数、线性统计推断、最优化、电网络分析、系统理论、测量学等,都扮演着不可或缺的重要角色本文首先介绍了广义逆的定义以及广义逆的性质,主要内容是矩阵广义逆的应用,包括广义逆在分块矩阵理论中的各种应用,广义逆的Cramer法则和广义逆的计算,并对部分理论给出简单的解释,同时加以举例说明关键词分块矩阵;广义逆;Moore—Penrose逆;Cramer法则TheGeneralizedInverse__trixandItsApplicationAbstract:ThegeneralizedinverseistheinverseofMoore-Penrosein__nytheoriesandthefieldsofappliedscien__s.Differentialequationnumericalalgebralinearstatisticalinferen__optimizationthe____ysisofelectricalnetworksystemtheoryandsurveyingetcplayanindispensiblerole.Thethesisintrodu__sthedefinitionandthepropertyofthegeneralizedinverseforthefirstpla__andthepri__rycontentistheapplicationofgeneralizedinverse__trixincludingitsallkindsofapplicationsintheblock__trixtheoryitsCramerruleanditscalculation.Besidesbriefexplanationsaregiventosometheorieswithillustrations.Keywords:block__trix;generalizedinverse;inverseofMoore-Penro__;Cramerrule.1引言矩阵的广义逆概念是由美国学者E.H.Moore首先提出的,但在此后的30多年里,矩阵的广义逆很少被人们所注意,直到1955年英国学者R.Penrose利用四个矩阵方程给出了广义逆矩阵的简洁实用的新定义之后,广义逆矩阵的理论与应用才进入了迅速发展的时期半个世纪以来,在众多理论与应用科学领域都扮演着不可或缺的重要角色陈永林,张云孝,杨明,刘先忠徐美进等在文献
[1]
[2]
[12]
[14]中给出了矩阵广义逆的定义,还对部分定义进行了举例证明罗自炎,修乃华,杨明等又在文献
[8]
[14]中给出了矩阵广义逆的各种定理;而陈明刚,燕列雅,李桃生,姜兴武,王秀玉,吴世,杜红霞,刘桂香等又分别在文献
[4]
[6]
[9]
[13],
[16]中对矩阵广义逆进行了__,介绍了分块矩阵的广义逆以及循环矩阵的广义逆张静,徐美进,徐长青,杜先能蔡秀珊崔雪芳等又在文献
[3]
[12]
[15],
[17]
[18]中给出了矩阵广义逆的计算方法,并加以举例说明同时还提出了广义逆的Cramer法则及其应用潘芳芳,梁少辉,赵彬等又在文献
[5]
[11]中介绍了Quantale矩阵的广义逆及其正定性鲁立刚,何永济,王自风,赵梁红等则在文献
[7]
[10]介绍了Fuzzy矩阵广义逆的性质和应用本文在上述工作的基础上,总结了广义逆的定义以及广义逆的性质,给出矩阵广义逆在数学中的应用,包括广义逆在分块矩阵理论中的各种应用,广义逆的Cramer法则和广义逆的计算,并对部分理论给出简单的解释,对一些重要的结论给出典型例题加以说明
2.矩阵广义逆的定义及其推导
2.1定义定义
1.对于任意复数矩阵,如果存在,满足Moore—Penrose方程
(1)
(2)
(3)
(4)则称为的一个Moore—Penro__广义逆,或简称加号逆,记作如果某个只满足其中某几条,则称它为的某几条广义逆如若有某个满足
(1)式,则称为的{1}广义逆,或简称减号逆,记作如果Y满足
(1)和
(2)式,则称为的广义逆,记作例
1.设当时,可逆且;当时,不可逆且不难验证注意到这说明的元素并非是关于的元素的连续函数一般地,把的元素的变化引起其秩的变化时,这种非连续性将会发生例
2.设矩阵为矩阵若,定义;当时,()定义
2.设为行列矩阵,若其中,的级数相同,则(1-1)其中为行列式中元素的代数余子式,则称为的广义伴随矩阵定义
3.设为行列矩阵,若则称为一广义非奇异矩阵;若,则称为一广义奇异矩阵
2.2方程的理论推导命题
1.证明设则因此满足矩阵方阵;反之,设为矩阵方程的一个解,那么于是;所以{13},从而{1,3}={为=的解}证毕类似地,可得命题
2.由命题1和命题2立即可得命题
3.命题
4.如果分别为矩阵方程的一个解,那么,证明根据命题1和命题2可得;;;由的唯一性可知,又所以,证毕
3.矩阵广义逆的定理定理
1.的广义逆具有下列性质;;;;;;;例
3.设矩阵不难检验,因此有而故例
4.设矩阵满足为矩阵,且,则直接验证可得因为,从而有证毕定理
2.设l,则
(1)
(2)证明
(1)先证第一个等价性,必要性是显然的下证充分性若且,则,且所以,将等式右消,可得故注意到等价于,用第一个等价性,可得此即第2个等价性
(2)若则反之,若则可直接验明定理
3.下列命题是等价的
①
(1)23;
②123;
③1,
23.定理
4.如果矩阵的行(列)式那么是的广义逆证明:设,因为所有故是的广义逆证毕下面给出求矩阵广义逆的初等变换法本文只对的情况进行讨论,当时,利用列式相应的性质可得相应的结论,用表示矩阵的位于1,2,,行;,,,列的元素构成的的阶子式定理
5.设矩阵如果的行列式不为零,则是的广义逆,其中是阶零矩阵这里是列交换初等矩阵证明:因为其中是一个矩阵,所以从而是的广义逆证毕一般地,如果矩阵是满秩的,且的阶子式的行列式不等于零,则当时,是的一个广义逆,其中P满足当时,设,则是的广义逆当时,两种方法求得矩阵的广义逆是相同的,都是矩阵的逆如果,则两种方法求得矩阵的广义逆也有可能不同,并且由定理
1、定理2的条件可知,定理2的应用范围更广因为由可知是满秩的,但反之不成立例
5.设,因为,所以用伴随矩阵法求得的广义逆又因为的二阶子式所以,可用初等变换法求得的广义逆
①,;
②,;
③,.例如若,则是满秩的故该矩阵有广义逆,可用初等矩阵法求得,但由于,故不能用广义伴随矩阵法求的广义逆定理
6.当且仅当下面的两个等式成立例
6.考虑三角矩阵,显然其特征值为,由定义式直接解方程可得的特征值显然为0,,但进一步,可检验的对应特征值为02的特征向量分别为,而的对应特征值0的特征向量分别为,显然的特征向量均非的特征向量,但的特征向量一定是的特征向量定理
7.阶方阵为一个EP-矩阵当且仅当例
7.仍考虑矩阵,由上例可得,说明矩阵非EP-矩阵定理
8.阶方阵为一个EP-矩阵当且仅当这里均为矩阵
4.广义逆的应用
4.1
①两分块矩阵的MP逆(ⅰ)1964年,R.E.Cline获得了分块矩阵的MP逆的显式(
4.1)其中(ⅱ)1971年,L.Mihalyffy得到了的较简公式(
4.2)其中
②四分块矩阵的MP逆1965年,R.E.Cline利用他自己的公式(
4.1)给出了矩阵之和的MP逆的两个公式(
4.3)若则有(
4.4)(ⅱ)1975年,Ching-hsingHung与T.L.__rkham写之后,利用公式(
4.4),导出了的一个很复杂的表达式
4.5其中如果利用L.Mihalyffy的较简公式(
4.2),则相关结果可稍稍简化
(1)其中
(2)若则其中
(3)其中均如公式(
4.5)中所定义的,而与定义为注对于一般的四分块矩阵,其MP逆的表达式总是非常复杂的;只有在其子块具有若干特殊的性质与关系时,其MP逆的显式才可能简单些
4.2定理
1.设与分别是与的子空间,,另设,这里与均列满秩,记,则有如下表示(1a)1b;(2a)2b定理
2.设存在,并设均列满秩,则有下列表示(1a)(2a)定理
3.设,存在,并设此中均列满秩,置,则可以表示为:1a其中为m维标准单位向量,(1b),其中为n维标准单位向量(2a),其中,为的第j列,(2b)其中为的第i行(3a),其中与同,(__),其中与同(4a)其中表示的第列,(4b),其中表示的第行定理
4.(I)设,则
(1)MP逆
(2)加权MP逆.
(3)T-约束MP逆其中
(4)加权Drazin逆,其中5Elden逆其中.II设,则6Drazin逆其中.
(7)群逆其中.
(8)逆这里与满足
(9)广义逆,其中为.阵,10为双侧-约束逆(双侧约束逆)其中为阵注凡属于广义逆所获得的结论与公式,自然均适用于上述常用广义逆但是,对特定的广义逆而言,因为有其特殊的性质,所有还可能有更简单的行列式公式
4.3矩阵广义逆的计算当目前为止,我们还没有找到像计算矩阵的一般逆的行之有效的方法来计算矩阵的广义逆但在矩阵维数较小的前提下利用广义逆的定义式来求广义逆不失为上策下面就给出利用这一方法计算广义逆的基本步骤首先,设矩阵:,则存在矩阵::使得对矩阵的上述分解称为的满秩分解由于矩阵分别为满列、满行秩,由直接验证得其中特别,当矩阵本身为行向量(或列向量)时,,上式表现为.下面来求矩阵的满秩分解我们知道,满秩分解可以通过矩阵的初等行变换来实现为了求得矩阵,我们通过初等行变换化为阶梯形,其中满足以下条件ⅰ对于的每一行存在,使得,且;(ⅱ)对于的第列存在唯一的非零元,即例
8.考虑矩阵,不难发现,通过适当的初等行变换,例如(其中,表示将的第行乘上a加到第行上)可将矩阵化为于是由上述步骤,取为了求得的广义逆,我们可以对,进行初等行变换另一计算的基本方法是利用矩阵的奇异值分解其中矩阵均为酉矩阵可得当时,,从而;当时,从而例
9.考虑矩阵的奇异值分解为因此,从而将它代入,解得当然,由于本题中,故用方法1来计算更为方便我们将要介绍的第三种方法涉及到矩阵分块记则
4.6其中,(
4.7)
4.8若矩阵已经给定,则我们可以利用(
4.6)、(
4.7)和(
4.8),通过依次计算可得的广义逆结论本文的研究是建立在线性代数的基础上的,在第二章我们首先介绍了广义逆矩阵的定义,对广义逆有了一个初步的认识;第三章介绍了广义逆矩阵的一些重要性质,让我们对广义逆矩阵有了更深层的认识;第四章对广义逆的应用进行了扩展介绍,给出矩阵广义逆矩阵的计算方法本文还针对部分性质加入一些例证,对广义逆的定义,定理以及应用给出了更直观的说明尽管如此,本文对广义逆矩阵的介绍还是相当有限的,广义逆矩阵的性质和应用是非常广泛的总体来说,关键的是要掌握其中的思想方法,以便能够做到举一反三,更进一步地去学习研究广义逆矩阵的性质____
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