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文本内容:
习题一
1.设为的任一特征值则因为AO的特征值故.即=0或
2.
2.A～BC～D时分别存在可逆矩阵P和Q使得PAP=BQCQ=D.令T=则T是可逆矩阵且TT==
3.设是对应于特征值的特征向量则A=用左乘得.即故是A的特征值i=12n.
4.1可以.=.2不可以.
3.
5.1A的特征值是
012.故=－b－a=
0.从而b=a.又=将=12代入上式求得A=
0.2P=.
6.=A有特征值22－
1.=2所对应的方程组2I－Ax=0有解向量p=p==－1所对应的方程组I+Ax=0有解向量p=令P=ppp=则P=.于是有A=PP=.7．1==DI－A有2阶子式=－4－4不是D的因子所以D=D=1A的初等因子为－
1.A的Jordan标准形为J=设A的相似变换矩阵为P=ppp则由AP=PJ得解出P=;2因为，故A～J=设变换矩阵为P=则P=
3.A的不变因子是A～J=因为A可对角化，可分别求出特征值－1，2所对应的三个线性无关的特征向量当=－1时，解方程组求得两个线性无关的特征向量当=2时，解方程组得P=4因～故A～J=设变换矩阵为P=则是线性方程组的解向量，此方程仴的一般解形为p=取为求滿足方程的解向量再取根据～由此可得s=t从而向量的坐标应満足方程取最后得P=
8.设f=.A的最小多项式为作带余除法得f=+于是fA==.
9.A的最小多项式为设f=则f=+.于是[fA]=.由此求出[fA]=
10.1I－A=标准形A的最小多项式为;2;
3.
11.将方程组写成矩阵形式:A=则有J=PAP=.其中P=.令x=Py将原方程组改写成:则解此方程组得:y=__+CTey=__y=__.于是x=Py=.
12.1A是实对称矩阵.=A有特征值
1022.当=10时.对应的齐次线性方程组10I－Ax=0的系数矩阵～由此求出特征向量p=－1－22单位化后得e=.当=1时对应的齐次线性方程组I－Ax=0的系数矩阵～由此求出特征向量p=－210p=
201.单位化后得e=e=.令U=则UAU=.2A是Hermit矩阵.同理可求出相似变换矩阵U=UAU=.
13.若A是Hermit正定矩阵则由定理
1.24可知存在n阶酉矩阵U使得UAU=﹥0I=12n.于是A=UU=UUUU令B=UU则A=B.反之当A=B且B是Hermit正定矩阵时则因Hermit正定矩阵的乘积仍为Hermit正定矩阵故A是Hermit正定的.
14.
12.因A是Hermit矩阵则存在酉矩阵U使得UAU=diag令x=Uy其中y=e.则x
0.于是xAx=yUAUy=≧0k=12n.
23.A=UdiagU=UdiagdiagU令P=diagU则A=PP.
31.任取x0有xAx=xPPx=≧
0.习题二
1.==7+===__x=
4.
2.当x0时有﹥0;当x﹦0时显然有=
0.对任意C有=.为证明三角不等式成立先证明Minkowski不等式:设1≦p﹤∞则对任意实数xyk=12n有≦证当p=1时，此不等式显然成立.下设p﹥1则有≦对上式右边的每一个加式分别使用Hölder不等式并由p－1q=p得≦=再用除上式两边即得Minkowski不等式.现设任意y=C则有=≦≦=.
3.1函数的非负性与齐次性是显然的我们只证三角不等式.利用最大函数的等价定义:__xAB=__x≦__x=≦==__x+__x2只证三角不等式.k+k≦k+k+k+k=k+k+k+k.
4.;;;列和范数最大列模和=;=行和范数最大行模和=9;
5.非负性:A≠O时SAS≠O于是＞
0.A=O时显然=0;齐次性:设C则=;三角不等式:≦;相容性:≦=.
6.因为I≠O所以＞
0.从而利用矩阵范数的相容性得:≦即≧
1.
7.设A=ACx=C且A=则≦=≦nA=;≦==A≦nA=.
8.非负性与齐次性是显然的我们先证三角不等式和相容性成立.A=aB=bCC=cC且A=B=C=.则=__x{mn}≦__x{mn}≦__x{mn}A+B=__x{mn}A+__x{mn}B=;=__x{ml}≦__x{mn}≦__x{mn}Minkowski不等式=__x{mn}nAC≦__x{mn}__x{nl}AC=.下证与相应的向量范数的相容性.设x=Cd={}则有≦=≦=nA≦__x{mn}A=;=≦≦Hölder不等式=≦A≦__x{mn}A=;≦≦≦=nAD≦__x{mn}AD=.
9.只证范数的相容性公理及与向量2–范数的相容性.设A=aCB=bCx=C且A=B=则≦≦Minkowski不等式≦nab==.≦≦（Hölder不等式）≦=A=.
10.利用定理
2.12得.
11.A=condA=;condA=.12．设x是对应于的特征向量则A.又设是C上与矩阵范数相容的向量范数那么≦因＞0故由上式可得≦≦.习题三
1.当﹤1时根据定理
3.3A为收敛矩阵.
2.令S==S则.反例:设A=则因发散故发散但=O.
3.设A=则≦行和范数=
0.9＜1根据定理
3.7=I－A=.
4.我们用用两种方法求矩阵函数e:相似对角化法.当ia时解方程组ia－Ax=0得解向量p=i
1.当=－ia时解方程组ia+Ax=0得解向量p=－i
1.令P=则P=于是e=PP=.利用待定系数法.设e=+aq+r且r=b+b则由b=cosab=sina.于是e=bI+bA=cosa+sina=.后一求法显然比前一种方法更简便以后我们多用待定系数法.设f=cos或sin则有与由此可得与故siniaA==sinA与cosiaI==cosA.
5.对A求得P=P=PAP=根据p69方法二e=PdiageeeP=sinA=Pdiagsin－1sin1sin2P=
6.D==D=D=1A~J=.现设rt=b+b+b则有b=1b=2e－te－2b=te－e+
1.于是e=rAt=bI+bA+bA=I+2e－te－2+te－e+1=同理由b=1b=tsint+2cost－2b=1－tsint－cost.将其代入cosAt=bI+bA+bA求出cosAt=
7.设fA=S=.则fA=并且由于S==所以fA==fA.81对A求得P=P=PJ=则有e=PP=sinAt=PP=cosAt=PP=2对A求出P=P=J=则有e=PP=sinAt=PP=cosAt=PP=
9.1sinA+cosA=[]=[]==e=I2sinA+2I=sinAcos2I+cosAsin2I=sinA[I－2I+2I－…]+cosA[2I－2I+2I－…]=sinA[1－2+2－…]I+cosA[2－2+2－…]I=sinAcos2+cosAsin2
（3）的证明同上.4因为A（2iI）=2iIA所以根据定理
3.10可得e=ee=e[I+2I+2iI+2iI+…]=e{[1－2+2－…]+i[2－2+2－…]}I=e{cos2+isin2}I=e此题还可用下列方法证明:e=ee=ePP=ePIP=e用同样的方法可证:e=ee.
10.A=－A根据第7题的结果得e=e=e于是有ee=ee=e=e=I
11.因A是HermiA=－iA=－iA于是有ee=ee=e=I
12.根据定理
3.13A=e利用定理
3.14得==A=AeI.
13.At=detAt=1=0detAt=1At=At=
14.==
15.取m=2At=则At=At=≠2AtAt=.困为+所以当AtAt=AtAt时有=m[At]
16.1设B=X=则BX=于是有trBX==i=12…n;j=12…m=由于BX与的迹相同，所以2设A=f=tr则有，AX=f===
17.设A=则Fx=且
18.在上式中令t=0则有A=
19.A=x0=A的最小多项式为.记f=并设f=g+则于是xt=x0=
20.A=ft=x0=detI－A=.根据可得；….于是==xt=习题四
1.Doolite分解的说明以3阶矩阵为例:第1框第2框第3框计算方法如下:ⅰ先i框，后i+1框先r后l.第1框中行元素为A的第1行元素；（ⅱ）第2框中的为A中的对应元素减去第１框中同行的与同列的之积．第3框中的为A中的对应元素先减去第1框中同行的与同列的之积，再减去第2框中同行的与同列的之积；（ⅲ）第2框中的为A中的对应元素先减去第1框中同行的与同列的之积，再除以.计算如下:1301-3022-6A=
2.Crout分解的说明以3阶矩阵为例:第1框第2框第3框ⅰ先i框后i+1框.每框中先l后r.第1框中的列元素为A的第1列的对应元素;ⅱ第2框中的为A中对应元素减去第1框中同行的与同列的之积;ⅲ第2框中的为A中的对应元素减去第1框中同行的与同列的之积再除以.第3框中的为A中的对应元素先减去第1框中同行的与同列的之积再减去第2框中同行的与同列的之积.计算如下:1301-302-6-6A=
2.先看下三角矩阵的一种写法:=≠0对本题中的矩阵A求得Crout分解为A=利用下三角矩阵的写法对上面的分解变形可得A===
3.对A的第1列向量构造Householder矩阵使得u=对的第1列向量类似构造Householder矩阵:令则有=R并且=QR
4.对A的第1列向量构造Givens矩阵对的第1列向量构造令则有.于是
5.设A=对向量组施行正交化令于是写成矩阵行式最后得A===QR
5.令则再令最后令A==QR
7.01u=－11H=H=则有HAH==H是Householder矩阵.同理对取c=0s=1T=T=则=T是Givens矩阵.
8.对计算u=H=I－2uu=令Q=则同理，对为构造Givens矩阵，令c=s=，则当时，.
1.1对A施行初等行变换～S=A=2～S=A=
（3）～
10.1的特征值是5，0，
0.分别对应特征向量从而V=I∑=∑=.令则2的特征值是对应的特征向量分别为.于是∑=，=∑=取构造正交矩阵=‘所以，A的奇异值分解为
11.根据第一章定理
1.5的特征值之和为其迹，而由第二章
2.7F－范数的定义的特征值之和=习题五1．设x=为对应于特征值的单位特征向量，即QDx=x两边取转置共轭与上式左乘得即由此立即有≤≤从而≤≤.后一不等式的另一证明根据定理
2.13，≤≤
2.A的四个盖尔园是:≤6:≤2:≤1:≤
1.由于是一个单独的连通区域，故其中必有一个实特征值.是连通区域，其中恰有三个特征值，因而含有一个实特征值.
3.A的四个盖尔园≤≤≤≤是互相隔离的，并且都在右半平面，从而每个盖尔园中恰有一个特征值且为正实数.4．设为A的待征值，则有盖尔园使得.若≤0则≤≤故≤即≤≤这与A是严格对角占优的条件矛盾.
5.
（1）当两个盖尔园的交集中含有两个特征值时;2当两个盖尔园相切且切点是A的单特征值时.
6.A的盖尔园≤3≤2≤
10.因是与分离的，故中恰有一个实特征值[－15].A的列盖尔园≤9≤4≤
2.因是与分离的，故中恰有一个实特征值
[1822].选取D=diag11则的盖尔园:≤4≤3≤
5.这三个盖尔园是相互__的，故必然有[－26]
[713]
[1525]与上面所得的结果对照可知利用Gerschgorin定理，特征值的最隹估计区间为[－15]
[713]
[1822]
5.因为detB－A=所以广义特征值为=2=－.分别求解齐次线性方程组可得对应于与的特征向量分别为
5.先证明一个结果若A是Hermit矩阵，分别是A的最大、最小特征值，则事实上，下证＞＞.令Q=A－B则＞=Q正定，＞0同理可证＞.现在设1＜s＜n则根据定理
5.10及上面的结果有＞
5.显然，的特征值就是A相对于B的广义特征值.设为且j=12…n其中是按B标准正交的广义特征向量.当＜1时，对任意x===≤=＜反之，若对任意x≠0＜成立，并且则取x=q于是有＜
5.若是BA的特征值，q是对应于的特征向量，即BAq=q=Iq由此可知，是BA的相对于单位矩阵I的广义特征值，因此=≤=同理≥=
5.由于x≠0时，，从而
5.24式等价于我们约定，下面的最小值都是对来取的.令x=Qy则由于则在齐次线性方程组中，方程的个数小于未知量的个数，根据Cramer法则，它必有非零解.设，为满足方程的解容易证明这种形式的解必存在，则≤注意到从而=≤≤特别地，取时，根据定理
5.9故
5.24式成立.
5.我们约定以下的最小值是对单位向量来取的，即证成立.令x=Qy则有设齐次线性方程组有形如的解（不难证明这样的解一定存在），则因所以≤≤特别地，取时，根据定理
5.12可得由此即知（
5.44）成立.习题六求广义逆矩阵{1}的一般方法1）行变换、列置换法利用行变换矩阵S和列置换矩阵P将矩阵A化成SAP=则其中L可取任意矩阵；2）标准形法利用行、列的初等变换将A化成标准形SAT=则其中为任意适当阶的矩阵.3）行变换法利用行变换将A化成SA=其中D为行満秩矩阵.则
1.根据A有形如X=PS的{1}逆，其中P和S均为可逆矩阵，于是只要取L为任意可逆矩阵即可.
2.当A是零矩阵时，容易验证任意矩阵X都满足矩阵方程AXA=A
3.设则由AXA=A可得其余元素任意.
4.
（1）行变换，2行变换=3行变换4行变换取P=S=则
5.1取容易验证成立，故方程组有解.通解是x=2取因故方程组有解.通解是x=求Moore-Penrose逆的一般方法1）若F是列滿秩矩阵，则1）若G是行滿秩矩阵，则1）设A的滿秩分解为A=FG则1）设A的奇异值分解为则
4.用定义直接验证1）=注意2～4的证明类似.
7.当A=O时，结论显然成立.设A≠OA的満秩分解是A=FG.则B==就是B的満秩分解.于是.==所以
8.设A=，T=
1.A是列滿秩的，则可见，.
9.1在第4题中己求出A的行最简形，由此得出A的滿秩分解由此根据的滿秩分解计算法得===2A的滿秩分解为A==FG=====3因A是列滿秩的，故====4A==
5.1A===注书中的答案可能错了！2==
5.1方程组的系数矩阵的滿秩分解为A=，则==方程组的极小最小二乘解是2方程组的系数矩阵的滿秩分解为A=，则==方程组的极小最小二乘解是习题七
1.设A=B=则由此可得tr=trB+trB+…+trB=trAtrB.
2.
3.根据直积的性质，有
①②③=同理
④，故Penrose方程成立，从而
3.设rankA=r1rankB=r2则存在可逆矩阵PiQi，i=12使得于是有由于都是可逆矩阵，故就是的标准形.所以rank=rankArankB=r1r
2.
3.只要x1x2…，xs及y1y2…，yt是线性无关的向量，都可证明i=12…sj=12…t是线性无关的向量组.事实上若记，则由第四题的结论可知，=st上式说明是列滿秩的，从而本题的结论成立.
6.设则有==最后的矩阵为对角阵，说明结论成立.
7.B的特征值是，n.根据定理
7.1可知的特征值为i=12…m.
8.A的特征值是2，2，B的特征值是－1，－
2.A与B有互为相反的特征值，故矩阵方程有无穷多解.设将矩阵方程拉直得可求得通解为.于是矩阵方程的通解为
1.将矩阵方程两端拉直得即解之得x1=－cx2=－cx3=cx4=c.从而X=c是任意常数.
1.根据设rt=b1+b0可求得所以同理求得最后利用公式（
7.17）得.。
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