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莆田学院2001级本科数学与应用数学专业毕业论文莆田学院2001级本科数学与应用数学专业毕业论文次亚(半)正定阵的探讨数学系01数本200___1106林桂松指导老师杨忠鹏摘要文章主要是关于次亚(半)正定阵方面的探讨,这些探讨包括从矩阵的次偏序、次迹,次shur补,次和同,次对角占优等方面的探讨,对于次偏序,,本文则首次提出了次偏序的概念,并在这个概念下探讨了次偏序不等式的传递性、元素间的关系的方面关键词亚正定阵,次亚正定阵,次偏序,次转置,次对称,反次对称,M矩阵,对角占优矩阵0引言讨论矩阵的正定性,无论对代数理论或者应用都是十分重要的,1973年Johnson在其__论文中研究了方阵的对称化阵是正定阵时的某些不等式,是正定阵的这类实矩阵称为亚正定阵,屠伯埙等学者已经对该类矩阵进行过深入的研究,随着矩阵理论的发展,袁晖坪等学者则将亚正定阵的概念__到次对称上,形成次亚正定阵的理论,丰富了矩阵的理论,本文则从亚正定阵的若干性质入手,将其__到次亚正定阵上如无特别说明,本文讨论的矩阵和向量都是实的,,,,和分别表示实矩阵的转置,伴随矩阵,迹,秩和行列式,,表示n维向量空间和所有矩阵构成的空间1基本概念定义1设,若有则称为亚(半)正定阵定义2设,则称矩阵(其中)为次转置矩阵,记为,若,则称为次对称矩阵,若,则称为反次对称矩阵利用定义2容易证明
(1),,,
(2)设表示次对角线元素全为1,其余元素为0的n阶方阵,则,,,,定义3设,若有则称为次亚(半)正定阵2基本引理由于本文是建立在亚(半)正定阵和次亚(半)正定阵现有的一些结论上,因而有必要对这些结论作一些介绍,这些介绍分两部分来进行,分别是次亚(半)正定阵方面的引理和亚(半)正定阵方面的引理2.1次亚(半)正定阵方面的引理该部分引用了袁晖坪,马跃超等学者关于次亚(半)正定阵的一些结论,这些结论的证明可以在文献
[2]~
[4]中查到定义4设,,若有则称为次(半)正定阵引理1设,,则为次(半)正定阵为(半)正定阵推论1设,,则为次正定阵(可逆)使引理2设,则为次亚(半)正定阵为亚(半)正定阵引理3为次亚(半)正定阵为亚(半)正定阵引理4为n阶次亚(半)正定阵,,则,,均为次亚(半)正定阵引理5设,则下列条件等价
(1)为次亚正定阵,
(2)为次亚(半)正定阵,
(3)为次亚正定阵,
(4)为次亚正定阵,
(5)(可逆)有为次亚正定阵,
(6)为次亚正定阵引理6设,则为次亚正定阵为次亚正定阵2.2亚(半)正定阵方面的引理这一部分关于亚正定阵的若干性质,可以在文献
[6]~
[11]中查到定义5设,都是n阶方阵,如果是亚正定阵,就称大于或小于,记为或定义6设,都是n阶方阵,如果是亚半正定阵!就称大于等于或小于等于,记为或引理6
(1)若,,则;
(2)若,,则;
(3)若,,则;
(4)若,,则(其中,均为正实数)引理7
(1)若且则(亚正定阵的不等式具有传递性);
(2)其中引理8若且则其中,引理9有引理10
(1)若,则;
(2)若,则,;
(3)若,则;
(4)若,则引理11设存在,则有,引理12若,,则的特征根均大于0小于1,其中表示引理13设矩阵为实亚正定矩阵为实对称矩阵则必存在可逆矩阵使得:=Λ 其中S为__称矩阵Λ为对角形矩阵定义7如果n阶矩阵的主对角线外的元素非正且为非负矩阵中每个元素都非负则称为M矩阵.引理14若且i≠j则可唯一地分解为其中为单位下三角型M矩阵为上三角型M矩阵引理15设是正线双严格对角占优阵即满足:且,则,其中表示k个的Hada__rd积3亚正定阵的一些性质本部分主要是在文章的基本引理的基础上运用
2.1中给定的工具将
2.2的结论__到次亚正定阵上,这些__主要从矩阵的次偏序、次迹,次shur补,次和同,次对角占优等方面进行__,以下是具体的__
3.1次偏序方面的一些性质定义8设,都是n阶方阵,如果是次亚正定阵,就称次大于或次小于,记为或定义9设,都是n阶方阵,如果是次亚半正定阵,就称次大于等于或次小于等于,记为或显然
(1)为次(半)亚正定阵
(2),为n阶方阵,,事实上,第二个式子可类证性质1
(1)若,,则;
(2)若,,则;
(3)若,,则;
(4)若,则(其中,均为正实数)证明先证
(4),(其中,为正实数)对于
(1)只须令,,,即可对于
(2),,对于
(3),,性质2
(1)若且则(次亚正定阵的不等式具有传递性);
(2)其中证明
(1)
(2)即性质3若且则,其中,证明因为,,所以,有,即及,如果取其中1位于第n-i+1分量处,则有及从而知如果取则有和又,故有性质4有证明令有即3.2次迹方面的一些性质定义10设,我们把叫做矩阵的次迹,记做性质5
(1)若,则;
(2)若,则,;
(3)若,则当n等于或时,;
(4)若,则证明首先我们由矩阵乘法及迹和次迹的定义容易得到;
(1);
(2);;
(3)另一方面当且仅当其阶数n=4k或4k+1,故当的阶数n=4k或4k+1时有;
(4),另一方面当时,反之有故总有3.3次shur补方面的性质性质6设,存在,则有,证明,存在存在,所以有同理有3.4次偏序下关于特征根的性质性质7若,,则的特征根均大于0小于1,其中表示证明,,,的特征根均大于0小于13.5次和同方面的性质性质11设矩阵为实次亚正定矩阵为实次对称矩阵则必存在可逆矩阵使得: 其中为次__称矩阵为次对角形矩阵证明,即对称,(可逆)使得,其中为__称矩阵,为对角形矩阵,,以下说明为次__称矩阵()为次对角形矩阵因为为对角形矩阵,所以由矩阵乘法易知为次对角形矩阵3.6M分解方面的性质性质12若且j≠n-i+1则可唯一地分解为其中为单位次上三角型M矩阵为上三角型M矩阵证明,除主对角线以外所有元素非正从而可唯一地分解为其中为单位下三角型M矩阵为上三角型M矩阵,其中为单位次上三角型M矩阵为上三角型M矩阵3.7次线严格对角占优方面的性质性质13设是次线双严格对角占优阵即满足:且,则,其中表示k个的Hada__rd积证明首先我们先证,根据Hada__rd积的定义知令,则从而令,则从而=所以其次当条件及,成立时,对于则有和,即是正线双严格对角占优阵从而,为亚正定矩阵,所以4结束语本文先介绍了次(半)亚正定阵的概念,接着从次(半)亚正定阵和亚正定阵两方面介绍了本文所用到的引理,这些引理主要是引用袁晖坪,马跃超等学者的结果,然后本文在这些基础上__了一些次(半)亚正定阵的性质,这些性质主要是关于矩阵的次偏序、次迹,次shur补,次和同,次对角占优等方面的,但限于时间和精力,本文的探讨的深度还是不够的____
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10.AbstractThearticleisacon__rningastudyforbeingpartialtoprefa__timevestigeashurrepairingtimewithtogetheranoppositeanglesoccupyingex__llentgradepri__rilyinquiryingintoacon__ptforbeingpartialtoprefa__thistextthenfortheveryfirsttimeputtingforwardtimebeingpartialtoprefa__andverymuchtheaspectofarelationforbeingpartialtoprefa__notequationdelivering___chemicalelement.Keyword:Secondsettlethetimeissecondsettlethetimeispartialtotheprefa__thetimeturnstopla__thetimeissymmetrytheversatimeissymmetrythe__trixofMtheoppositeanglesoccupiestheex__llent__trix.致谢感谢指导老师杨教授和各位老师多年来的悉心教导,感谢01数本的同学关心和帮助,感谢学校和系部的提供良好的治学环境PAGE4。