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2015-2016学年安徽省马鞍山市当涂县乌溪中学七年级(下)期中数学试卷
一、选择题(每小题3分,共30分)1.面积为2的正方形的边长是( )A.整数B.分数C.有理数D.无理数2.已知a>b,则下列不等式一定成立的是( )A.a+4<b+4B.2a<2bC.﹣2a<﹣2bD.a﹣b<03.下列运算正确的是( )A.(﹣3x2y)3=﹣9x6y3B.(a+b)(a+b)=a2+b2C.D.(x2)3=x54.三个数﹣π,﹣3,﹣的大小顺序是( )A.﹣3<﹣π<﹣B.﹣π<﹣3<﹣C.﹣3<﹣π<﹣D.﹣3<﹣<﹣π5.下列运算正确的是( )A.B.C.D.6.计算(﹣a﹣b)2等于( )A.a2+b2B.a2﹣b2C.a2+2ab+b2D.a2﹣2ab+b27.若(x2+px+q)(x2+7)的计算结果中,不含x2项,则q的值是( )A.0B.7C.﹣7D.±78.关于x的不等式组有四个整数解,则a的取值范围是( )A.﹣<a≤﹣B.﹣≤a<﹣C.﹣≤a≤﹣D.﹣<a<﹣9.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( )A.﹣x2+1B.5m2﹣20mnC.﹣x2﹣y2D.a2+(﹣b)210.下列多项式的分解因式,正确的是( )A.12xyz﹣9x2y2=3xyz(4﹣3xyz)B.3a2y﹣3ay+6y=3y(a2﹣a+2)C.﹣x2+xy﹣xz=﹣x(x2+y﹣z)D.a2b+5ab﹣b=b(a2+5a)
二、填空题(每题3分,共18分)11.﹣
0.000000259用科学记数法表示为_______.12.已知a、b为两个连续整数,且a<<b,则a+b=_______.13.若,则a=_______,b=_______.14.642÷82=2n+1,则n=_______.15.不等式2m﹣1≤6的正整数解是_______.16.分解因式x2+ax+b,甲看错了a的值,分解的结果是(x+6)(x﹣1);乙看错了b的值,分解的结果是(x﹣2)(x+1),那么x2+ax+b是_______.
三、解答题(本大题共7小题,共49分)17.计算
(1)(π﹣
3.14)0﹣2﹣2×(﹣12014);
(2)(a2﹣3b)(3b﹣a2).18.分解因式
(1)x3﹣25x
(2)8a﹣4a2﹣4.19.解不等式(组)并在数轴上表示解集
(1)(x+2)(x﹣2)+5>(x﹣5)(x+1)
(2).20.已知2a﹣1的平方根是±3,3a+2b+4的立方根是3,求a+b的平方根.21.化简求值(x2+3x)(x﹣3)﹣x(x﹣2)2+(﹣x﹣y)(y﹣x),其中x=3,y=﹣2.22.证明当n为正整数时,n3﹣n的值,必是6的倍数.23.为了抓住梵净山文化艺术节的商机,某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品.若购进A种纪念品8件,B种纪念品3件,需要950元;若购进A种纪念品5件,B种纪念品6件,需要800元.
(1)求购进A、B两种纪念品每件各需多少元?
(2)若该商店决定购进这两种纪念品共100件,考虑市场需求和资金周转,用于购买这100件纪念品的资金不少于7500元,但不超过7650元,那么该商店共有几种进货方案?
(3)若销售每件A种纪念品可获利润20元,每件B种纪念品可获利润30元,在第
(2)问的各种进货方案中,哪一种方案获利最大?最大利润是多少元? 2015-2016学年安徽省马鞍山市当涂县乌溪中学七年级(下)期中数学试卷参考答案与试题解析
一、选择题(每小题3分,共30分)1.面积为2的正方形的边长是( )A.整数B.分数C.有理数D.无理数【考点】算术平方根.【分析】先根据正方形面积求出正方形边长,再判断即可.【解答】解∵正方形的面积为2,∴正方形的边长是,是无理数,故选D. 2.已知a>b,则下列不等式一定成立的是( )A.a+4<b+4B.2a<2bC.﹣2a<﹣2bD.a﹣b<0【考点】不等式的性质.【分析】根据不等式的性质逐项进行分析判断.【解答】解A、由不等式a>b的两边同时加上4,不等号的方向改变,即a+4>b+4;故本选项错误;B、由不等式a>b的两边同时乘以2,不等式仍成立,即2a>2b;故本选项错误;C、由不等式a>b的两边同时乘以﹣2,不等号的方向改变,即﹣2a<﹣2b;故本选项正确;D、∵a>b,∴a﹣b>0;故本选项错误.故选C. 3.下列运算正确的是( )A.(﹣3x2y)3=﹣9x6y3B.(a+b)(a+b)=a2+b2C.D.(x2)3=x5【考点】单项式乘单项式;幂的乘方与积的乘方;多项式乘多项式.【分析】根据单项式乘单项式、幂的乘方与积的乘方、多项式乘多项式的法则分别进行计算,即可得出答案.【解答】解A、(﹣3x2y)3=﹣27x6y3,故本选项错误;B、(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2,故本选项错误;C、4x3y2•(﹣xy2)=﹣2x4y4,故本选项正确;D、(x2)3=x6,故本选项错误;故选C. 4.三个数﹣π,﹣3,﹣的大小顺序是( )A.﹣3<﹣π<﹣B.﹣π<﹣3<﹣C.﹣3<﹣π<﹣D.﹣3<﹣<﹣π【考点】实数大小比较.【分析】先对无理数进行估算,再比较大小即可.【解答】解﹣π≈﹣
3.14,﹣≈﹣
1.732,因为
3.14>3>
1.732.所以﹣π<﹣3<﹣.故选B 5.下列运算正确的是( )A.B.C.D.【考点】二次根式的性质与化简.【分析】根据二次根式、立方根的定义及性质解答.【解答】解A、=
0.1,选项A错误;B、符合公式=﹣,选项B正确;C、=10,选项C错误;D、=﹣10,选项D错误.故选B. 6.计算(﹣a﹣b)2等于( )A.a2+b2B.a2﹣b2C.a2+2ab+b2D.a2﹣2ab+b2【考点】完全平方公式.【分析】根据两数的符号相同,所以利用完全平方和公式计算即可.【解答】解(﹣a﹣b)2=a2+2ab+b2.故选C. 7.若(x2+px+q)(x2+7)的计算结果中,不含x2项,则q的值是( )A.0B.7C.﹣7D.±7【考点】多项式乘多项式.【分析】把式子展开,找到所有x2项的系数,令它的系数分别为0,列式求解即可.【解答】解∵(x2+px+q)(x2+7)=x4+7x2+px3+7px+qx2+7q=x4+px3+(7+q)x2+7px+7q.∵乘积中不含x2项,∴7+p=0,∴q=﹣7.故选C. 8.关于x的不等式组有四个整数解,则a的取值范围是( )A.﹣<a≤﹣B.﹣≤a<﹣C.﹣≤a≤﹣D.﹣<a<﹣【考点】一元一次不等式组的整数解.【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集,然后求出其公共解集,最后求a的取值范围即可.【解答】解由
(1)得x>8;由
(2)得x<2﹣4a;其解集为8<x<2﹣4a,因不等式组有四个整数解,为9,10,11,12,则,解得﹣≤a<﹣.故选B. 9.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( )A.﹣x2+1B.5m2﹣20mnC.﹣x2﹣y2D.a2+(﹣b)2【考点】因式分解-运用公式法.【分析】根据能用平方差公式的结构特点,对各选项分析判断后利用排除法求解.【解答】解A、符合平方差公式,正确;B、可以利用提取公因式法分解因式,故本选项错误;C、两平方项的符号相同,故本选项错误;D、两平方项的符号相同,故本选项错误.故选A. 10.下列多项式的分解因式,正确的是( )A.12xyz﹣9x2y2=3xyz(4﹣3xyz)B.3a2y﹣3ay+6y=3y(a2﹣a+2)C.﹣x2+xy﹣xz=﹣x(x2+y﹣z)D.a2b+5ab﹣b=b(a2+5a)【考点】因式分解-提公因式法.【分析】A选项中提取公因式3xy;B选项提公因式3y;C选项提公因式﹣x,注意符号的变化;D提公因式b.【解答】解A、12xyz﹣9x2y2=3xy(4z﹣3xy),故此选项错误;B、3a2y﹣3ay+6y=3y(a2﹣a+2),故此选项正确;C、﹣x2+xy﹣xz=﹣x(x﹣y+z),故此选项错误;D、a2b+5ab﹣b=b(a2+5a﹣1),故此选项错误;故选B.
二、填空题(每题3分,共18分)11.﹣
0.000000259用科学记数法表示为 ﹣
2.59×10﹣7 .【考点】科学记数法—表示较小的数.【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a×10﹣n,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.【解答】解﹣
0.000000259=﹣
2.59×10﹣7. 12.已知a、b为两个连续整数,且a<<b,则a+b= 9 .【考点】估算无理数的大小.【分析】由于4<<5,由此即可找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间,然后即可求解.【解答】解∵4<<5,∴a=4,b=5,∴a+b=9.故答案为9. 13.若,则a= ﹣2 ,b= 1 .【考点】因式分解-运用公式法;非负数的性质偶次方;非负数的性质算术平方根.【分析】根据非负数的性质可得a+2=0,b﹣1=0,再解可得a、b的值.【解答】解+(b﹣1)2=0,a+2=0,b﹣1=0,解得a=﹣2,b=1,故答案为﹣2;1. 14.642÷82=2n+1,则n= 5 .【考点】有理数的混合运算.【分析】把以64和8为底数的幂都化成以2为底数的幂,然后根据幂的乘方,底数不变,指数相乘;同底数幂相除,底数不变,指数相减,最后根据指数相等列出方程即可求解.【解答】解∵642÷82=
(26)2÷
(23)2=212÷26=26,∴n+1=6,解得n=5. 15.不等式2m﹣1≤6的正整数解是 1,2,3 .【考点】一元一次不等式的整数解.【分析】首先解不等式,确定不等式解集中的正整数即可.【解答】解移项得2m≤6+1,即2m≤7,则m≤.故正整数解是1,2,3.故答案是1,2,3. 16.分解因式x2+ax+b,甲看错了a的值,分解的结果是(x+6)(x﹣1);乙看错了b的值,分解的结果是(x﹣2)(x+1),那么x2+ax+b是 x2﹣x﹣6 .【考点】因式分解-十字相乘法等.【分析】根据题意利用多项式乘以多项式分别得出a,b的值进而得出答案.【解答】解∵分解因式x2+ax+b,甲看错了a的值,分解的结果是(x+6)(x﹣1),∴(x+6)(x﹣1)=x2+5x﹣6中b=﹣6,是正确的,∵乙看错了b的值,分解的结果是(x﹣2)(x+1),∴(x﹣2)(x+1)=x2﹣x﹣2中a=﹣1是正确的,∴x2+ax+b是x2﹣x﹣6.故答案为x2﹣x﹣6.
三、解答题(本大题共7小题,共49分)17.计算
(1)(π﹣
3.14)0﹣2﹣2×(﹣12014);
(2)(a2﹣3b)(3b﹣a2).【考点】整式的混合运算;零指数幂;负整数指数幂.【分析】
(1)原式第一项利用零指数幂法则计算,第二项利用负指数幂及乘方的意义化简,计算即可得到结果;
(2)原式变形后,利用完全平方公式展开即可得到结果.【解答】解
(1)原式=1﹣×(﹣1)=1;
(2)原式=﹣(a2﹣3b)2=﹣a4+6a2b﹣9b2. 18.分解因式
(1)x3﹣25x
(2)8a﹣4a2﹣4.【考点】提公因式法与公式法的综合运用.【分析】
(1)原式提取x,再利用平方差公式分解即可;
(2)原式提取﹣4,再利用完全平方公式分解即可.【解答】解
(1)原式=x(x2﹣25)=x(x+5)(x﹣5);
(2)原式=﹣4(a2﹣2a+1)=﹣4(a﹣1)2. 19.解不等式(组)并在数轴上表示解集
(1)(x+2)(x﹣2)+5>(x﹣5)(x+1)
(2).【考点】解一元一次不等式组;在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式.【分析】
(1)根据解不等式的方法与步骤,一步步的解不等式即可得出结论,再将其解集在数轴上表示出来即可;
(2)根据解不等式组的方法与步骤,一步步的解不等式组即可得出结论,再将其解集在数轴上表示出来即可.【解答】解
(1)去括号得,x2﹣4+5>x2﹣4x﹣5,移项、合并同类项得,4x>﹣6,不等式两边同时÷4得,x>﹣.将其在数轴上表示出来,如图1所示.
(2),解不等式
①得x<1;解不等式
②得x≤﹣1.故不等式组的解集为x≤﹣1.将其在数轴上表示出来,如图2所示. 20.已知2a﹣1的平方根是±3,3a+2b+4的立方根是3,求a+b的平方根.【考点】平方根;立方根.【分析】先根据平方根、立方根的定义得到关于a、b的二元一次方程组,解方程组即可求出a、b的值,进而得到a+b的平方根.【解答】解由题意,有,解得.∴±==±3.故a+b的平方根为±3. 21.化简求值(x2+3x)(x﹣3)﹣x(x﹣2)2+(﹣x﹣y)(y﹣x),其中x=3,y=﹣2.【考点】整式的混合运算—化简求值.【分析】原式第一项利用多项式乘以多项式法则计算,第二项利用完全平方公式展开,最后一项利用平方差公式化简,去括号合并得到最简结果,将x与y的值代入计算即可求出值.【解答】解原式=x3﹣9x﹣x3+4x2﹣4x﹣y2+x2=5x2﹣13x﹣y2,当x=3,y=﹣2时,原式=45﹣39﹣4=2. 22.证明当n为正整数时,n3﹣n的值,必是6的倍数.【考点】因式分解的应用.【分析】此题首先要能对多项式进行因式分解,然后结合n为正整数进行分析.【解答】证明n3﹣n=n(n2﹣1)=n(n+1)(n﹣1),当n为正整数时,n﹣1,n,n+1是三个连续的自然数,其中必有一个为偶数,必有一个为3的倍数,故必是2×3=6的倍数. 23.为了抓住梵净山文化艺术节的商机,某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品.若购进A种纪念品8件,B种纪念品3件,需要950元;若购进A种纪念品5件,B种纪念品6件,需要800元.
(1)求购进A、B两种纪念品每件各需多少元?
(2)若该商店决定购进这两种纪念品共100件,考虑市场需求和资金周转,用于购买这100件纪念品的资金不少于7500元,但不超过7650元,那么该商店共有几种进货方案?
(3)若销售每件A种纪念品可获利润20元,每件B种纪念品可获利润30元,在第
(2)问的各种进货方案中,哪一种方案获利最大?最大利润是多少元?【考点】一元一次不等式组的应用;二元一次方程组的应用.【分析】
(1)关系式为A种纪念品8件需要钱数+B种纪念品3件钱数=950;A种纪念品5件需要钱数+B种纪念品6件需要钱数=800;
(2)关系式为用于购买这100件纪念品的资金不少于7500元,但不超过7650元,得出不等式组求出即可;
(3)因为B种纪念品利润较高,故B种数量越多总利润越高,因此选择购A种50件,B种50件.【解答】解
(1)设该商店购进一件A种纪念品需要a元,购进一件B种纪念品需要b元,根据题意得方程组得,解方程组得,∴购进一件A种纪念品需要100元,购进一件B种纪念品需要50元;
(2)设该商店购进A种纪念品x个,则购进B种纪念品有个,∴,解得50≤x≤53,∵x为正整数,x=50,51,52,53∴共有4种进货方案,分别为方案1商店购进A种纪念品50个,则购进B种纪念品有50个;方案2商店购进A种纪念品51个,则购进B种纪念品有49个;方案3商店购进A种纪念品52个,则购进B种纪念品有48个;方案4商店购进A种纪念品53个,则购进B种纪念品有47个.
(3)因为B种纪念品利润较高,故B种数量越多总利润越高,设利润为W,则W=20x+30=﹣10x+3000.∵k=﹣10<0,∴W随x大而小,∴选择购A种50件,B种50件.总利润=50×20+50×30=2500(元)∴当购进A种纪念品50件,B种纪念品50件时,可获最大利润,最大利润是2500元.。