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2015-2016学年江苏省苏州市吴中区七年级(下)期末数学试卷
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分;在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把你认为正确的答案涂在答题卷相应的位置上.1.()﹣1等于( )A.﹣B.﹣4C.4D.2.下列图形中,不能通过其中一个四边形平移得到的是( )A.B.C.D.3.下列等式从左到右的变形中,属于因式分解的是( )A.x2﹣6x=x(x﹣6)B.(x+3)2=x2+6x+9C.x2﹣4+4x=(x+2)(x﹣2)+4xD.8a2b4=2ab2﹣4ab24.下列运算正确的是( )A.(﹣3mn)2=﹣6m2n2B.4x4+2x4+x4=6x4C.(a﹣b)(﹣a﹣b)=a2﹣b2D.(xy)2÷(﹣xy)=﹣xy5.若a<b,则下列各式中一定成立的是( )A.a﹣1<b﹣1B.>C.﹣a<﹣bD.ac<bc6.不等式x﹣2≤0的解集在数轴上表示正确的是( )A.B.C.D.7.若二项式4a2+ma+1是一个含a的完全平方式,则m等于( )A.4B.4或﹣4C.2D.2或﹣28.已知,是方程组的解,则3﹣a﹣b的值是( )A.﹣1B.1C.2D.39.如图,AB∥CD,EF⊥AB于E,EF交CD于F,己知∠2=20°,则∠1等于( )A.30°B.50°C.70°D.45°10.如图,两根铁棒直立于桶底水平的木桶中,在桶中加入水后,一根露出水面的长度是它的,另一根露出水面的长度是它的.两根铁棒长度之和为55cm,此时木桶中水的深度是( )A.20cmB.25cmC.30cmD.35cm
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分,把你的答案填在答题卷相应的横线上.)11.3a2b×2ab= .12.不等式3x﹣9>0的解集是 .13.命题“对顶角相等”的逆命题是 .14.某种流感病毒的直径大约为
0.0000000081米,用科学记数法表示为 米.15.因式分解2m2﹣4mn+2n2= .16.如图,在边长为a的正方形中,剪去一个边长为b的小正方形(a>b),将余下部分拼成一个梯形,根据两个图形阴影部分面积的关系,可以得到一个关于a、b的等式为 .17.观察下列关于x的单项式,探究其规律x,3x2,5x3,7x4,9x5,11x6,…按照上述规律,第2016个单项式是 .18.以下四个结论
①一个多边形的内角和为900°,从这个多边形同一个顶点可画的对角线有4条;
②三角形的一个外角等于两个内角的和;
③任意一个三角形的三条高所在直线的交点一定在三角形的内部;
④△ABC中,若∠A=2∠B=3∠C,则△ABC为直角三角形.其中正确的是 (填序号)
三、解答题(本大题共10小题,共76分;把解答过程写在答题卷相应的位置上,解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.)19.计算|﹣|﹣2﹣1﹣(π﹣4)0.20.分解因式x2+y2+2xy﹣1.21.先化简,再求值(x﹣1)(x﹣3)﹣4x(x+1)+3(x+1)(x﹣1),其中x=;
(2)已知3×9m×27m=317+m,求(﹣m2)3÷(m3﹣m2)的值.22.解不等式组;
(2)解方程组.23.(7分)如图,已知四边形ABCD中,∠D=∠B=90°,AE平分∠DAB,CF平分∠DCB.
(1)求证AE∥CF;(证明过程己给出,请在下面的括号内填上适当的理由)证明∵∠DAB+∠DCB+∠D+∠B=360°( ),∴∠DAB+∠DCB=360°﹣(∠D+∠B)=180°(等式的性质).∵AB平分∠DAB,CF平分∠DCB(已知),∴∠1=∠DAB,∠2=∠DCB( ),∴∠1+∠2=(∠DAB+∠DCB)=90°(等式的性质).∵∠3+∠2+∠B=180°(三角形内角和定理),∴∠3+∠2=180°﹣∠B=90°,∴∠1=∠3( ),∴AE∥CF( ).
(2)若∠DAB=72°,求∠AEC的度数.24.(7分)如图,△ABC的顶点都在每个边长为1个单位长度的方格纸的格点上,将△ABC向右平移2格,再向上平移3格,得到△A′B′C′.
(1)请在图中画出△A′B′C′;
(2)△ABC的面积为 ;
(3)若AC的长约为
2.8,则AC边上的高约为多少(结果保留分数)?25.(8分)己知,不等式组的解集是x>2.
(1)求m的取值范围;
(2)若是方程2x﹣3=ay的一组解,化简|a﹣m|﹣|m﹣2a|.26.(13分)为了更好地保护环境,治理水质,我区某治污公司决定购买12台污水处理设备,现有A、B两种型号设备,A型每台m万元;B型每台n万元,经调查买一台A型设备比买一台B型设备多3万元,购买2台A型设备比购买3台B型设备少5万元.
(1)求m、n的值.
(2)经预算,该治污公司购买污水处理器的资金不超过158万元.该公司A型设备最多能买台?27.(10分)阅读下列材料解方程组解由
①得x﹣y=1
③,将
③代入
②,得4×1﹣y=5,解这个一元一次方程,得y=﹣1.从而求得.这种思想被称为“整体思想”.请用“整体思想”解决下面问题
(1)解方程组;
(2)在
(1)的条件下,若x,y是△ABC两条边的长,且第三边的长是奇数,求△ABC的周长.28.(11分)已知,如图,在△ABC中,AE是角平分线,D是AB上的点,AE、CD相交于点F.
(1)若∠ACB=∠CDB=90°,求证∠CFE=∠CEF;
(2)若∠ACB=∠CDB=m(0°<m<180°).
①求∠CEF﹣∠CFE的值(用含m的代数式表示);
②是否存在m,使∠CEF小于∠CFE,如果存在,求出m的范围,如果不存在,请说明理由. 2015-2016学年江苏省苏州市吴中区七年级(下)期末数学试卷参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分;在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把你认为正确的答案涂在答题卷相应的位置上.1.()﹣1等于( )A.﹣B.﹣4C.4D.【考点】负整数指数幂.【分析】根据a﹣n=(a≠0)进行计算即可.【解答】解()﹣1==4.故选C.【点评】本题考查了负整指数幂.解题的关键是根据法则计算. 2.下列图形中,不能通过其中一个四边形平移得到的是( )A.B.C.D.【考点】生活中的平移现象.【分析】根据平移与旋转的性质得出.【解答】解A、能通过其中一个四边形平移得到,错误;B、能通过其中一个四边形平移得到,错误;C、能通过其中一个四边形平移得到,错误;D、不能通过其中一个四边形平移得到,需要一个四边形旋转得到,正确.故选D.【点评】本题考查了图形的平移,图形的平移只改变图形的位置,而不改变图形的形状和大小,学生易混淆图形的平移与旋转或翻转,导致误选. 3.下列等式从左到右的变形中,属于因式分解的是( )A.x2﹣6x=x(x﹣6)B.(x+3)2=x2+6x+9C.x2﹣4+4x=(x+2)(x﹣2)+4xD.8a2b4=2ab2﹣4ab2【考点】因式分解的意义.【分析】直接利用因式分解的定义分析得出答案.【解答】解A、x2﹣6x=x(x﹣6),正确;B、(x+3)2=x2+6x+9,是多项式的乘法运算,故此选项错误;C、x2﹣4+4x=(x+2)(x﹣2)+4x,不符合因式分解的定义,故此选项错误;D、8a2b4≠2ab2﹣4ab2,故此选项错误.故选A.【点评】此题主要考查了分解因式的定义,正确把握定义是解题关键. 4.下列运算正确的是( )A.(﹣3mn)2=﹣6m2n2B.4x4+2x4+x4=6x4C.(a﹣b)(﹣a﹣b)=a2﹣b2D.(xy)2÷(﹣xy)=﹣xy【考点】整式的混合运算.【分析】A、原式利用积的乘方运算法则计算得到结果,即可作出判断;B、原式合并同类项得到结果,即可作出判断;C、原式利用平方差公式计算得到结果,即可作出判断;D、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果,即可作出判断.【解答】解A、原式=9m2n2,错误;B、原式=7x4,错误;C、原式=b2﹣a2,错误;D、原式=﹣xy,正确,故选D【点评】此题考查了整式的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 5.若a<b,则下列各式中一定成立的是( )A.a﹣1<b﹣1B.>C.﹣a<﹣bD.ac<bc【考点】不等式的性质.【分析】根据不等式的性质分析判断.【解答】解根据不等式的性质可得不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变.A、a﹣1<b﹣1,故A选项是正确的;B、a>b,不成立,故B选项是错误的;C、a>﹣b,不一定成立,故C选项是错误的;D、c的值不确定,故D选项是错误的.故选A.【点评】主要考查不等式的性质
(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变;
(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;
(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变. 6.不等式x﹣2≤0的解集在数轴上表示正确的是( )A.B.C.D.【考点】在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式.【分析】先求此不等式的解集,再根据不等式的解集在数轴上表示方法画出图示即可求得.【解答】解x﹣2≤0,解得x≤2,故B正确.故选B.【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集不等式的解集,在数轴上表示出来的方法“>”空心圆点向右画折线,“≥”实心圆点向右画折线,“<”空心圆点向左画折线,“≤”实心圆点向左画折线. 7.若二项式4a2+ma+1是一个含a的完全平方式,则m等于( )A.4B.4或﹣4C.2D.2或﹣2【考点】完全平方式.【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值.【解答】解∵二项式4a2+ma+1是一个含a的完全平方式,∴m=±4,则m等于4或﹣4,故选B【点评】此题考查了完全平方式,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键. 8.已知,是方程组的解,则3﹣a﹣b的值是( )A.﹣1B.1C.2D.3【考点】二元一次方程组的解.【分析】把x与y的值代入方程组计算求出a与b的值,即可确定出原式的值.【解答】解把代入方程组得,
①×2﹣
②得3a=9,即a=3,把a=3代入
①得b=﹣1,则3﹣a﹣b=3﹣3﹣(﹣1)=1,故选B【点评】此题考查了二元一次方程组的解,方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值. 9.如图,AB∥CD,EF⊥AB于E,EF交CD于F,己知∠2=20°,则∠1等于( )A.30°B.50°C.70°D.45°【考点】平行线的性质;对顶角、邻补角;垂线.【分析】根据三角形内角之和等于180°,对顶角相等的性质求解.【解答】解∵AB∥CD,EF⊥AB,∴EF⊥CD.∵∠2=20°,∴∠1=∠3=90°﹣∠2=70°.故选C.【点评】本题考查了对顶角、余角的知识,注意掌握对顶角相等、互余的两角之和为90°. 10.如图,两根铁棒直立于桶底水平的木桶中,在桶中加入水后,一根露出水面的长度是它的,另一根露出水面的长度是它的.两根铁棒长度之和为55cm,此时木桶中水的深度是( )A.20cmB.25cmC.30cmD.35cm【考点】二元一次方程组的应用.【分析】设较长铁棒的长度为xcm,较短铁棒的长度为ycm.因为两根铁棒之和为55cm,故可的方程x+y=55,又知两棒未露出水面的长度相等,又可得方程x=y,把两个方程联立,组成方程组,解方程组可得较长的铁棒的长度,用较长的铁棒的长度×可以求出木桶中水的深度.【解答】解设较长铁棒的长度为xcm,较短铁棒的长度为ycm.因为两根铁棒之和为55cm,故可列x+y=55,又知两棒未露出水面的长度相等,故可知x=y,据此可列,解得,因此木桶中水的深度为30×=20(cm).故选A..【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用,关键是弄清题意,找出合适的等量关系,列出方程组.
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分,把你的答案填在答题卷相应的横线上.)11.3a2b×2ab= 6a3b2 .【考点】单项式乘单项式.【分析】根据单项式乘单项式的法则计算即可.【解答】解3a2b×2ab=6a3b2,故答案为6a3b2.【点评】本题考查了单项式乘单项式,熟记单项式乘单项式的法则是解题的关键. 12.不等式3x﹣9>0的解集是 x>3 .【考点】解一元一次不等式.【分析】先移项,再将x的系数化为1即可.【解答】解移项得,3x>9,系数化为1得,x>3.故答案为x>3.【点评】本题考查的是解一元一次不等式,熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键. 13.命题“对顶角相等”的逆命题是 相等的角为对顶角 .【考点】命题与定理.【分析】交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题.【解答】解命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的角为对顶角”.故答案为相等的角为对顶角.【点评】本题考查了命题与定理判断一件事情的语句,叫做命题.许多命题都是由题设和结论两部分组成,题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项,一个命题可以写成“如果…那么…”形式.有些命题的正确性是用推理证实的,这样的真命题叫做定理.也考查了逆命题. 14.某种流感病毒的直径大约为
0.0000000081米,用科学记数法表示为
8.1×10﹣9 米.【考点】科学记数法—表示较小的数.【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a×10﹣n,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.【解答】解
0.0000000081=
8.1×10﹣9,故答案为
8.1×10﹣9.【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数,一般形式为a×10﹣n,其中1≤|a|<10,n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定. 15.因式分解2m2﹣4mn+2n2= 2(m﹣n)2 .【考点】提公因式法与公式法的综合运用.【分析】原式提取2,再利用完全平方公式分解即可.【解答】解原式=2(m2﹣2mn+n2)=2(m﹣n)2,故答案为2(m﹣n)2【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键. 16.如图,在边长为a的正方形中,剪去一个边长为b的小正方形(a>b),将余下部分拼成一个梯形,根据两个图形阴影部分面积的关系,可以得到一个关于a、b的等式为 a2﹣b2=(a+b)(a﹣b) .【考点】平方差公式的几何背景.【分析】根据正方形面积公式求出第一个图形的面积,根据梯形面积公式求出第二个图形的面积,即可求出答案.【解答】解∵第一个图形的面积是a2﹣b2,第二个图形的面积是(b+b+a+a)(a﹣b)=(a+b)(a﹣b)∴根据两个图形的阴影部分的面积相等得a2﹣b2=(a+b)(a﹣b),故答案为a2﹣b2=(a+b)(a﹣b).【点评】本题考查了平方差公式的应用,关键是能用算式表示出阴影部分的面积. 17.观察下列关于x的单项式,探究其规律x,3x2,5x3,7x4,9x5,11x6,…按照上述规律,第2016个单项式是 4031x2016 .【考点】单项式.【分析】系数的规律第n个对应的系数是2n﹣1,指数的规律第n个对应的指数是n.【解答】解根据分析的规律,得第2016个单项式是4031x2016.故答案为4031x2016.【点评】此题考查单项式问题,分别找出单项式的系数和次数的规律是解决此类问题的关键. 18.以下四个结论
①一个多边形的内角和为900°,从这个多边形同一个顶点可画的对角线有4条;
②三角形的一个外角等于两个内角的和;
③任意一个三角形的三条高所在直线的交点一定在三角形的内部;
④△ABC中,若∠A=2∠B=3∠C,则△ABC为直角三角形.其中正确的是
④ (填序号)【考点】多边形内角与外角;三角形的角平分线、中线和高;三角形内角和定理;三角形的外角性质.【分析】利用多边形的内角与外角、三角形的角平分线、中线和高、三角形的内角和定理、三角形的外角的性质等知识分别判断后即可确定正确的答案.【解答】解
①一个多边形的内角和为900°,从这个多边形同一个顶点可画的对角线有4条,错误;
②三角形的一个外角等于两个内角的和,错误;
③任意一个三角形的三条高所在直线的交点一定在三角形的内部,错误;
④△ABC中,若∠A=2∠B=3∠C,则△ABC为直角三角形,正确.故答案为
④.【点评】本题考查了多边形的内角与外角、三角形的角平分线、中线和高、三角形的内角和定理、三角形的外角的性质等知识,属于基础知识,比较简单.
三、解答题(本大题共10小题,共76分;把解答过程写在答题卷相应的位置上,解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.)19.计算|﹣|﹣2﹣1﹣(π﹣4)0.【考点】负整数指数幂;零指数幂.【分析】根据负整数指数幂和零指数幂的概念和运算法则求解即可.【解答】解原式=﹣﹣1=﹣﹣1=﹣1.【点评】本题考查了负整数指数幂和零指数幂的知识,解答本题的关键在于熟练掌握各知识点的概念和运算法则. 20.分解因式x2+y2+2xy﹣1.【考点】因式分解-分组分解法.【分析】将前三项组合,利用完全平方公式分解因式,进而结合平方差公式分解因式得出即可.【解答】解x2+y2+2xy﹣1=(x+y)2﹣1=(x+y﹣1)(x+y+1).【点评】此题主要考查了分组分解法以及公式法分解因式,熟练利用公式法分解因式是解题关键. 21.
(1)先化简,再求值(x﹣1)(x﹣3)﹣4x(x+1)+3(x+1)(x﹣1),其中x=;
(2)已知3×9m×27m=317+m,求(﹣m2)3÷(m3﹣m2)的值.【考点】整式的混合运算—化简求值.【分析】
(1)先算乘法,再合并同类项,最后整体代入求出即可;
(2)先根据幂的乘方和同底数幂的乘法法则得出5m+1=17+m,求出m的值,再化简所求代数式法,最后代入求出即可.【解答】解
(1)(x﹣1)(x﹣3)﹣4x(x+1)+3(x+1)(x﹣1)=x2﹣4x+3﹣4x2﹣4x+3x2﹣3=﹣8x,当x=时,原式=﹣8×=﹣;
(2)∵3×9m×27m=317+m,∴35m+1=317+m,∴5m+1=17+m,∴m=4,∴(﹣m2)3÷(m3﹣m2)==﹣=﹣=﹣【点评】本题考查了整式的混合运算和求值的应用,能正确运用整式的运算法则进行化简是解此题的关键,难度适中. 22.
(1)解不等式组;
(2)解方程组.【考点】解一元一次不等式组;解二元一次方程组.【分析】
(1)分别求出各不等式的解集,再求出其公共解集即可;
(2)先用加减消元法求出x的值,再用代入消元法求出y的值即可.【解答】解
(1),由
①得,x≤12,由
②得,x>10,故不等式组的解集为10<x≤12;
(2),
②×3﹣
①×10得,10x=﹣
12.5,解得x=﹣
1.25,将x=﹣
1.25代入
②得,﹣
7.5﹣3y=
2.5,解得y=﹣.故方程组的解为.【点评】本题考查的是解一元一次不等式组,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键. 23.如图,已知四边形ABCD中,∠D=∠B=90°,AE平分∠DAB,CF平分∠DCB.
(1)求证AE∥CF;(证明过程己给出,请在下面的括号内填上适当的理由)证明∵∠DAB+∠DCB+∠D+∠B=360°( 四边形内角和等于360° ),∴∠DAB+∠DCB=360°﹣(∠D+∠B)=180°(等式的性质).∵AB平分∠DAB,CF平分∠DCB(已知),∴∠1=∠DAB,∠2=∠DCB( 角平分线定义 ),∴∠1+∠2=(∠DAB+∠DCB)=90°(等式的性质).∵∠3+∠2+∠B=180°(三角形内角和定理),∴∠3+∠2=180°﹣∠B=90°,∴∠1=∠3( 同角的余角相等 ),∴AE∥CF( 同位角相等两直线平行 ).
(2)若∠DAB=72°,求∠AEC的度数.【考点】多边形内角与外角.【分析】
(1)根据四边形的内角和∠DAB+∠DCB+∠D+∠B=360°得到∠DAB+∠DCB=360°﹣(∠D+∠B)=180°,由于∠1=∠DAB,∠2=∠DCB,于是得到∠1+∠2=(∠DAB+∠DCB)=90°,根据三角形的内角和定理得到∠3+∠2=180°﹣∠B=90°,得到∠1=∠3,于是得到结论;
(2)根据∠DAB=72°,求得∠DCB=108°,于是得到∠2=∠DCF=54°,根据AE∥CF,即可得到结果.【解答】
(1)证明∵∠DAB+∠DCB+∠D+∠B=360°(四边形内角和等于360°),∴∠DAB+∠DCB=360°﹣(∠D+∠B)=180°(等式的性质).∵AB平分∠DAB,CF平分∠DCB(已知),∴∠1=∠DAB,∠2=∠DCB(角平分线定义),∴∠1+∠2=(∠DAB+∠DCB)=90°(等式的性质).∵∠3+∠2+∠B=180°(三角形内角和定理),∴∠3+∠2=180°﹣∠B=90°,∴∠1=∠3(同角的余角相等),∴AE∥CF(同位角相等两直线平行).
(2)解∵∠DAB=72°,∴∠DCB=108°,∴∠2=∠DCF=54°,∵AE∥CF,∴∠AEC+∠DCF=180°,∴∠AEC=126°.故答案为四边形内角和等于360°,角平分线定义,同角的余角相等,同位角相等两直线平行.【点评】本题考查了四边形内角和等于360°,三角形的内角和等于180°,平行线的判定,熟练掌握各性质是解题的关键. 24.如图,△ABC的顶点都在每个边长为1个单位长度的方格纸的格点上,将△ABC向右平移2格,再向上平移3格,得到△A′B′C′.
(1)请在图中画出△A′B′C′;
(2)△ABC的面积为 3 ;
(3)若AC的长约为
2.8,则AC边上的高约为多少(结果保留分数)?【考点】作图-平移变换;三角形的面积.【分析】
(1)根据平移的方向与距离进行作图;
(2)根据△ABC中BC为3,BC边上的高为2,求得三角形的面积;
(3)设AC边上的高为h,根据△ABC的面积为3,列出方程求解即可.【解答】解
(1)如图所示
(2)△ABC的面积为×3×2=3;
(3)设AC边上的高为h,则×AC×h=3,即×
2.8×h=3,解得h=.【点评】本题主要考查了运用平移变换作图,图时要先找到图形的关键点,分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后,再顺次连接对应点即可得到平移后的图形. 25.己知,不等式组的解集是x>2.
(1)求m的取值范围;
(2)若是方程2x﹣3=ay的一组解,化简|a﹣m|﹣|m﹣2a|.【考点】解一元一次不等式组;二元一次方程的解;不等式的解集.【分析】
(1)原不等式组变形后由其解集根据“同大取大”可得m的范围;
(2)将x、y的值代入后求得a的值,根据绝对值性质化简原式.【解答】解
(1)原不等式组变形为,∵不等式组的解集为x>2,∴m+1≤2,即m≤1;
(2)∵是方程2x﹣3=ay的一组解,∴2﹣3=﹣a,解得a=1,∴原式=|1﹣m|﹣|m﹣2|=1﹣m﹣(2﹣m)=1﹣m﹣2+m=﹣1.【点评】本题主要考查一元一次不等式组的解集和方程的解及绝对值性质,熟练掌握不等式组解集的确定原则和方程的解得概念、绝对值性质是关键. 26.(13分)(2016春•吴中区期末)为了更好地保护环境,治理水质,我区某治污公司决定购买12台污水处理设备,现有A、B两种型号设备,A型每台m万元;B型每台n万元,经调查买一台A型设备比买一台B型设备多3万元,购买2台A型设备比购买3台B型设备少5万元.
(1)求m、n的值.
(2)经预算,该治污公司购买污水处理器的资金不超过158万元.该公司A型设备最多能买台?【考点】一元一次不等式的应用;二元一次方程组的应用.【分析】
(1)根据“买一台A型设备比买一台B型设备多3万元,购买2台A型设备比购买3台B型设备少5万元”列方程组求解可得;
(2)根据“购买污水处理器的资金不超过158万元”列不等式求解可得.【解答】解
(1)根据题意,得,解得,答m的值为14,n的值为11;
(2)设A型设备买x台,根据题意,得14x+11(12﹣x)≤158,解得x≤8,答A型设备最多买8台.【点评】本题主要考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用,根据题意,将相等关系或不等关系转化为方程或不等式是关键. 27.(10分)(2016春•吴中区期末)阅读下列材料解方程组解由
①得x﹣y=1
③,将
③代入
②,得4×1﹣y=5,解这个一元一次方程,得y=﹣1.从而求得.这种思想被称为“整体思想”.请用“整体思想”解决下面问题
(1)解方程组;
(2)在
(1)的条件下,若x,y是△ABC两条边的长,且第三边的长是奇数,求△ABC的周长.【考点】解二元一次方程组;三角形三边关系.【分析】
(1)由第一个方程求出2x﹣3y的值,代入第二个方程求出y的值,进而求出x的值,即可确定出方程组的解.
(2)根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围,从而确定第三边的值,即可解答.【解答】解
(1)由
①得2x﹣3y=2
③,将
③代入
②得1+2y=9,即y=4,将y=4代入
③得x=7,则方程组的解为.
(2)∵△ABC两条边长是7和4,∴第三边长小于11并且大于3,∵第三边的长是奇数,∴第三边长是5或7或9,∴△ABC的周长是7+4+5=16或7+4+7=18或7+4+9=20.【点评】此题考查了解二元一次方程组和三角形的三边关系,解决本题的关键是解二元一次方程组. 28.(11分)(2016春•吴中区期末)已知,如图,在△ABC中,AE是角平分线,D是AB上的点,AE、CD相交于点F.
(1)若∠ACB=∠CDB=90°,求证∠CFE=∠CEF;
(2)若∠ACB=∠CDB=m(0°<m<180°).
①求∠CEF﹣∠CFE的值(用含m的代数式表示);
②是否存在m,使∠CEF小于∠CFE,如果存在,求出m的范围,如果不存在,请说明理由.【考点】三角形内角和定理.【分析】
(1)先根据∠ACB=∠CDB=90°得出∠B=90°﹣∠DCB,∠ACD=90°﹣∠DCB,再由AE平分∠CAB即可得出结论;
(2)
①根据三角形外角的性质可得出∠CFE=∠ACD+∠CAB,∠CEF=∠B+∠CAB,故∠CFE﹣∠CEF=∠B﹣∠ACD,再由∠B=180°﹣m﹣∠DCB,∠ACD=m﹣∠DCB即可得出结论;
②根据∠CEF小于∠CFE可知∠CEF﹣∠CFE<0,故180°﹣2m<0,进而可得出结论.【解答】解
(1)∵∠ACB=∠CDB=90°,∴∠B=90°﹣∠DCB,∠ACD=90°﹣∠DCB,∴∠B=∠ACD.∵AE平分∠CAB,∴∠CFE=∠ACD+∠CAB,∠CEF=∠B+∠CAB,∴∠CFE=∠CEF;
(2)
①∵∠CFE=∠ACD+∠CAB,∠CEF=∠B+∠CAB,∴∠CFE﹣∠CEF=∠B﹣∠ACD.∵∠B=180°﹣m﹣∠DCB,∠ACD=m﹣∠DCB,∴∠CEF﹣∠CFE=(180°﹣m﹣∠DCB)﹣(m﹣∠DCB)=180°﹣2m;
②存在.∵要使∠CEF小于∠CFE,则∠CEF﹣∠CFE<0,∴180°﹣2m<0,解得m>90°,∴当90°<m<180°时,∠CEF的值小于∠CFE.【点评】本题考查的是三角形内角和定理,熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键.。