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江苏省苏州市常熟市2015-2016学年七年级(下)期末数学试卷
一、选择题本大题共有10小题,每小题3分,共30分.在每小题所给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的,请将正确选项前的字母代号填写在答题纸相应位置上.1.下列式子计算正确的是( )A.a6÷b6=0B.(﹣2a2)3=﹣6a6C.(﹣a﹣b)2=a2﹣2ab+b2D.(﹣a﹣b)(﹣a+b)=a2﹣b22.在人体血液中,红细胞的直径约为
7.7×10﹣4cm,
7.7×10﹣4用小数表示为( )A.
0.000077B.
0.00077C.﹣
0.00077D.
0.00773.一个三角形的两边长分别是3和7,则第三边长可能是( )A.2B.3C.9D.104.如果a<b,下列各式中正确的是( )A.ac2<bc2B.C.﹣3a>﹣3bD.5.如图,直线l1∥l2,一直角三角板ABC(∠ACB=90°)放在平行线上,两直角边分别与l
1、l2交于点D、E,现测得∠1=75°,则∠2的度数为( )A.15°B.25°C.30°D.35°6.如图,已知∠ABC=∠DCB,下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是( )A.∠A=∠DB.AB=DCC.∠ACB=∠DBCD.AC=BD7.下列给出4个命题
①内错角相等;
②对顶角相等;
③对于任意实数x,代数式x2﹣6x+10总是正数;
④若三条线段a、b、c满足a+b>c,则三条线段a、b、c一定能组成三角形.其中正确命题的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个8.已知关于x的方程3x+m=x+3的解为非负数,且m为正整数,则m的取值为( )A.1B.
1、2C.
1、
2、3D.
0、
1、
2、39.某商场为促销某种商品,将定价为5元/件的该商品按如下方式销售若购买不超过5件商品,按原价销售;若一次性购买超过5件,按原价的八折进行销售.小明现有29元,则最多可购买该商品( )A.5件B.6件C.7件D.8件10.如图,△ABC中,AB=AC,D、E分别在边AB、AC上,且满足AD=AE.下列结论中
①△ABE≌△ACD;
②AO平分∠BAC;
③OB=OC;
④AO⊥BC;
⑤若AD=BD,则OD=OC;其中正确的有( )A.2个B.3个C.4个D.5个
二、填空题本大题共8小题,每小题3分,共24分,把答案直接填在答题纸相对应位置上.11.计算28x4y2÷7x3y2=______.12.若是方程ax+3y=6的解,则a的值为______.13.已知y1=﹣x+3,y2=3x﹣5,则当x满足条件______时,y1<y2.14.一个多边形的每个内角都是144°,则这个多边形的边数为______.15.已知a﹣b=4,则a2﹣b2﹣8a的值为______.16.如图,△ABC≌△ADE,BC的延长线交DE于点G,若∠B=24°,∠CAB=54°,∠DAC=16°,则∠DGB=______.17.如图,四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C,点E在AB边上,且∠ADE=∠EDC,∠BED=110°,则∠A=______.18.4个数a,b,c,d排列成,我们称之为二阶行列式.规定它的运算法则为=ad﹣bc.若=13,则x=______.
三、解答题本大题共10小题,共76分.把解答过程写在答题纸相对应的位置上,解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔.19.将下列各式分解因式
(1)x2﹣12x﹣45;
(2)3x3﹣6x2+3x;
(3)9a2(x﹣y)﹣4(x﹣y).20.先化简,再求值4(x+1)2﹣7(x﹣1)(x+1)+3(1﹣x)2,其中.21.解不等式(组)
(1)≥1﹣,并将解集在数轴上表示出来;
(2).22.解方程组
(1)
(2).23.某中学团委组织学生去儿童福利院慰问,准备购买15个甲种文具和20个乙种文具,共需885元;后翻阅商场海报发现,下周甲、乙两种文具进行促销活动,甲种文具打八折销售、乙种文具打九折,且打折后两种文具的销售单价相同.
(1)求甲、乙两种文具的原销售单价各为多少元?
(2)购买打折后的15个甲种文具和20个乙种文具,共可节省多少钱?24.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,BD=BC,∠A=90°;
(1)画出△CBD的高CE;
(2)请写出图中的一对全等三角形(不添加任何字母),并说明理由;
(3)若AD=2,CB=5,求DE的长.25.已知关于x、y的方程组的解满足x>y>0.
(1)求a的取值范围;
(2)化简|a|+|a﹣3|.26.如图1,已知∠ABC=90°,D是直线AB上的一点,AD=BC,连结DC.以DC为边,在∠CDB的同侧作∠CDE,使得∠CDE=∠ABC,并截取DE=CD,连结AE.
(1)求证△BDC≌△AED;并判断AE和BC的位置关系,说明理由;
(2)若将题目中的条件“∠ABC=90°”改成“∠ABC=x°(0<x<180)”,
①结论“△BDC≌△AED”还成立吗?请说明理由;
②试探索当x的值为多少时,直线AE⊥BC.27.探索在图1至图2中,已知△ABC的面积为a,
(1)如图1,延长△ABC的边BC到点D,使CD=BC,连接DA;延长边CA到点E,使CA=AE,连接DE;若△DCE的面积为S1,则S1=______(用含a的代数式表示);
(2)在图1的基础上延长AB到点F,使BF=AB,连接FD,FE,得到△DEF(如图2).若阴影部分的面积为S2,则S2=______(用含a的代数式表示);
(3)发现像上面那样,将△ABC各边均顺次延长一倍,连接所得端点,得到△DEF(如图2),此时,我们称△ABC向外扩展了一次.可以发现,扩展n次后得到的三角形的面积是△ABC面积的______倍(用含n的代数式表示);
(4)应用某市准备在市民广场一块足够大的空地上栽种牡丹花卉,工程人员进行了如下的图案设计首先在△ABC的空地上种紫色牡丹,然后将△ABC向外扩展二次(如图3).在第一次扩展区域内种黄色牡丹,第二次扩展区域内种紫色牡丹,紫色牡丹花的种植成本为100元/平方米,黄色牡丹花的种植成本为95元/平方米.要使得种植费用不超过48700元,工程人员在设计时,三角形ABC的面积至多为多少平方米?28.如图,E、F分别是AD和BC上的两点,EF将四边形ABCD分成两个边长为5cm的正方形,∠DEF=∠EFB=∠B=∠D=90°;点H是CD上一点且CH=lcm,点P从点H出发,沿HD以lcm/s的速度运动,同时点Q从点A出发,沿A→B→C以5cm/s的速度运动.任意一点先到达终点即停止运动;连结EP、EQ.
(1)如图1,点Q在AB上运动,连结QF,当t=______时,QF∥EP;
(2)如图2,若QE⊥EP,求出t的值;
(3)试探究当t为何值时,△EPD的面积等于△EQF面积的. 2015-2016学年江苏省苏州市常熟市七年级(下)期末数学试卷参考答案与试题解析
一、选择题本大题共有10小题,每小题3分,共30分.在每小题所给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的,请将正确选项前的字母代号填写在答题纸相应位置上.1.下列式子计算正确的是( )A.a6÷b6=0B.(﹣2a2)3=﹣6a6C.(﹣a﹣b)2=a2﹣2ab+b2D.(﹣a﹣b)(﹣a+b)=a2﹣b2【考点】整式的混合运算.【分析】根据分式乘方法则判断A;根据积的乘方法则判断B;根据完全平方公式判断C;根据平方差公式判断D.【解答】解A、a6÷b6=()6,故本选项错误;B、(﹣2a2)3=﹣8a6,故本选项错误;C、(﹣a﹣b)2=a2+2ab+b2,故本选项错误;D、(﹣a﹣b)(﹣a+b)=a2﹣b2,故本选项正确.故选D.【点评】此题考查了整式的运算,熟记公式与法则是解题的关键. 2.在人体血液中,红细胞的直径约为
7.7×10﹣4cm,
7.7×10﹣4用小数表示为( )A.
0.000077B.
0.00077C.﹣
0.00077D.
0.0077【考点】科学记数法—原数.【分析】利用科学记数法a×10n表示的数,“还原”成通常表示的数,就是把a的小数点向右移动n位所得到的数.若科学记数法表示较小的数a×10﹣n,还原为原来的数,需要把a的小数点向左移动n位得到原数.【解答】解
7.7×10﹣4用小数表示为
0.00077.故选B.【点评】此题主要考查了科学记数法﹣原数,正确理解n的意义是解题关键. 3.一个三角形的两边长分别是3和7,则第三边长可能是( )A.2B.3C.9D.10【考点】三角形三边关系.【分析】根据三角形的三边关系定理三角形两边之和大于第三边,三角形的两边差小于第三边可得7﹣3<x<7+3,再解即可.【解答】解设第三边长为x,由题意得7﹣3<x<7+3,则4<x<10,故选C.【点评】此题主要考查了三角形的三边关系第三边的范围是大于已知的两边的差,而小于两边的和. 4.如果a<b,下列各式中正确的是( )A.ac2<bc2B.C.﹣3a>﹣3bD.【考点】不等式的性质.【分析】根据不等式的性质对各选项举例分析判断即可得解.【解答】解A、c=0时,ac2<bc2不成立,故本选项错误;B、若a、b异号则ab<0,不等式两边都除以ab得,>,所以,<,故本选项错误;C、a<b不等式两边都乘以﹣3得,﹣3a>﹣3b,故本选项正确;D、a<b不等式两边都除以4得,<,故本选项错误.故选C.【点评】本题主要考查了不等式的基本性质
(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变.
(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.
(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变. 5.如图,直线l1∥l2,一直角三角板ABC(∠ACB=90°)放在平行线上,两直角边分别与l
1、l2交于点D、E,现测得∠1=75°,则∠2的度数为( )A.15°B.25°C.30°D.35°【考点】平行线的性质.【分析】直接利用平行线的性质得出内错角的关系,进而根据直角三角形的性质得出答案.【解答】解延长AC交l2于点F,∵l1∥l2,∴∠AFE=∠1=75°,∴∠2=90°﹣75°=15°.故选A.【点评】此题主要考查了平行线的性质,正确把握平行线的性质得出内错角的关系是解题关键. 6.如图,已知∠ABC=∠DCB,下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是( )A.∠A=∠DB.AB=DCC.∠ACB=∠DBCD.AC=BD【考点】全等三角形的判定.【分析】根据题目所给条件∠ABC=∠DCB,再加上公共边BC=BC,然后再结合判定定理分别进行分析即可.【解答】解A、添加∠A=∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB,故此选项不合题意;B、添加AB=DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB,故此选项不合题意;C、添加∠ACB=∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB,故此选项不合题意;D、添加AC=BD不能判定△ABC≌△DCB,故此选项符合题意;故选D.【点评】本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角. 7.下列给出4个命题
①内错角相等;
②对顶角相等;
③对于任意实数x,代数式x2﹣6x+10总是正数;
④若三条线段a、b、c满足a+b>c,则三条线段a、b、c一定能组成三角形.其中正确命题的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个【考点】命题与定理.【分析】利用平行线的性质、对顶角的性质、三角形的三边关系等知识分别判断后即可确定正确的选项.【解答】解
①两直线平行,内错角相等,故错误;
②对顶角相等,正确;
③对于任意实数x,代数式x2﹣6x+10=(x﹣3)2+1总是正数,正确;
④若三条线段a、b、c满足a+b>c,则三条线段a、b、c一定能组成三角形,错误,故选B.【点评】本题考查了命题与定理的知识,解题的关键是了解平行线的性质、对顶角的性质、三角形的三边关系等知识,难度不大. 8.已知关于x的方程3x+m=x+3的解为非负数,且m为正整数,则m的取值为( )A.1B.
1、2C.
1、
2、3D.
0、
1、
2、3【考点】一元一次方程的解.【分析】首先解关于x的方程,利用m表示出x的值,然后根据x是正整数列不等式求得m的范围,然后确定正整数值即可.【解答】解解方程3x+m=x+3,得x=,根据题意得≥0,解得m≤3.又∵m是正整数,∴m=
1、
2、3.故选C.【点评】本题考查了一元一次方程的解法以及不等式的应用,正确解不等式是关键. 9.某商场为促销某种商品,将定价为5元/件的该商品按如下方式销售若购买不超过5件商品,按原价销售;若一次性购买超过5件,按原价的八折进行销售.小明现有29元,则最多可购买该商品( )A.5件B.6件C.7件D.8件【考点】一元一次不等式的应用.【分析】购买5件需要25元,29元超过25元,则购买件数超过5件,关系式为x件的总钱数≤29.【解答】解设可以购买x件这样的商品.5×
0.8x≤29,解得x≤
6.25,则最多可以购买该商品的件数是6.故选B.【点评】考查一元一次不等式的应用;解决问题的关键是读懂题意,找到关键描述语,找到所求的量的数量关系. 10.如图,△ABC中,AB=AC,D、E分别在边AB、AC上,且满足AD=AE.下列结论中
①△ABE≌△ACD;
②AO平分∠BAC;
③OB=OC;
④AO⊥BC;
⑤若AD=BD,则OD=OC;其中正确的有( )A.2个B.3个C.4个D.5个【考点】全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质.【分析】根据全等三角形的判定定理即可得到△ABE≌△ACD,故
①正确;根据全等三角形的性质得到∠AEB=∠ADC,由平角的定义得到∠BDO=∠BEC,推出△BOD≌△COE,根据全等三角形的性质得到OD=OE,BO=OC,故
③正确;推出△AOD≌△AOE,根据全等三角形的性质得到AO平分∠BAC,故
②正确;根据等腰三角形的性质得到AO⊥BC,故
④正确;过D作DF∥AO交BO于F,根据平行线分线段成比例定理得到OF=OB,等量代换即可得到OD=OC;故
⑤正确.【解答】解在△ABE与△ACD中,,∴△ABE≌△ACD,故
①正确;∴∠AEB=∠ADC,∴∠BDO=∠BEC,∵AB=AC,AD=AE,∴BD=CE,在△BOD与△COE中,,∴△BOD≌△COE,∴OD=OE,BO=OC,故
③正确;在△AOD与△AOE中,,∴△AOD≌△AOE,∴∠DAO=∠EAO,∠AOD=∠AOF,∴AO平分∠BAC,故
②正确;∵AB=AC,AO平分∠BAC,∴AO⊥BC,故
④正确;过D作DF∥AO交BO于F,∵AD=BD,∴OF=OB,∵DF∥AO,∴∠ODF=∠AOD,∠OFD=∠AOE,∴∠ODF=∠OFD,∴OD=OF,∵OB=OC,∴OD=OC;故
⑤正确;故选D.【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质,等腰三角形的性质,平行线的性质,熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.
二、填空题本大题共8小题,每小题3分,共24分,把答案直接填在答题纸相对应位置上.11.计算28x4y2÷7x3y2= 4x .【考点】整式的除法.【分析】根据单项式除以单项式法则求出即可.【解答】解28x4y2÷7x3y2=4x,故答案为4x.【点评】本题考查了整式的除法法则的应用,能熟记知识点是解此题的关键. 12.若是方程ax+3y=6的解,则a的值为______.【考点】二元一次方程的解.【分析】把x与y的值代入方程中计算即可求出a的值.【解答】解把代入方程得﹣2a+3=6,解得a=﹣
1.5,故答案为﹣
1.5.【点评】此题考查了二元一次方程的解,方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值. 13.已知y1=﹣x+3,y2=3x﹣5,则当x满足条件 x>2 时,y1<y2.【考点】一次函数与一元一次不等式.【分析】根据y1<y2,得到一个关于x的不等式,解不等式即可求出x的取值范围.【解答】解由题意得﹣x+3<3x﹣5,解得x>2,故答案为x>2.【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式,根据函数值的大小关系,把本题转化为不等式的问题,是解决问题的关键. 14.一个多边形的每个内角都是144°,则这个多边形的边数为 十 .【考点】多边形内角与外角.【分析】先求出每一个外角的度数,再根据边数=360°÷外角的度数计算即可.【解答】解180°﹣144°=36°,360°÷36°=10,∴这个多边形的边数是10.故答案为十.【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角的关系,求出每一个外角的度数是关键. 15.已知a﹣b=4,则a2﹣b2﹣8a的值为 ﹣16 .【考点】完全平方公式;因式分解-运用公式法.【分析】先分解因式,代入后再分解因式,最后代入求出即可.【解答】解∵a﹣b=4,∴a2﹣b2﹣8a=(a+b)(a﹣b)﹣8a=4(a+b)﹣8a=4b﹣4a=4(a﹣b)=﹣4×4=﹣16,故答案为﹣16.【点评】本题考查了平方差公式的应用,能正确根据平方差公式进行变形是解此题的关键. 16.如图,△ABC≌△ADE,BC的延长线交DE于点G,若∠B=24°,∠CAB=54°,∠DAC=16°,则∠DGB= 70° .【考点】全等三角形的性质;三角形内角和定理.【分析】根据三角形内角和定理求出∠AFB,求出∠GFD,根据全等三角形的性质求出∠D,根据三角形内角和定理求出即可.【解答】解∵∠B=24°,∠CAB=54°,∠DAC=16°,∴∠AFB=180°﹣(∠B+∠CAB+∠DAC)=86°,∴∠GFD=∠AFB=86°,∵△ABC≌△ADE,∠B=24°,∴∠D=∠B=24°,∴∠DGB=180°﹣∠D﹣∠DFG=70°,故答案为70°.【点评】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理的应用,能熟记知识点的内容是解此题的关键,注意全等三角形的对应角相等. 17.如图,四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C,点E在AB边上,且∠ADE=∠EDC,∠BED=110°,则∠A= 80° .【考点】多边形内角与外角.【分析】设∠A=x°,∠ADE=y°,则∠B=∠C=x°,∠EDC=3y°,根据四边形内角和定理以及三角形外角的性质列出方程组,求解即可.【解答】解设∠A=x°,∠ADE=y°,则∠B=∠C=x°,∠EDC=3y°,根据题意,得,解得,所以∠A=80°.故答案为80°.【点评】本题考查了多边形的内角与外角以及四边形的内角和定理,属于基础题. 18.4个数a,b,c,d排列成,我们称之为二阶行列式.规定它的运算法则为=ad﹣bc.若=13,则x= ﹣ .【考点】多项式乘多项式;解一元一次方程.【分析】根据题意可以将=13转化为方程,从而可以求得x的值.【解答】解∵=13,∴(x﹣2)(x﹣2)﹣(x+3)(x+1)=13,x2﹣4x+4﹣x2﹣4x﹣3=13,﹣8x=12,解得,x=﹣,故答案为﹣.【点评】本题考查多项式乘多项式、解一元一次方程,解题的关键是明确题意,会解一元一次方程的方法.
三、解答题本大题共10小题,共76分.把解答过程写在答题纸相对应的位置上,解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔.19.将下列各式分解因式
(1)x2﹣12x﹣45;
(2)3x3﹣6x2+3x;
(3)9a2(x﹣y)﹣4(x﹣y).【考点】提公因式法与公式法的综合运用.【分析】
(1)直接利用十字相乘法分解因式即可;
(2)首先提取公因式3x,再利用完全平方进行分解即可;
(3)首先提取公因式x﹣y,再利用平方差进行二次分解即可.【解答】解
(1)原式=(x﹣15)(x+3);
(2)原式=3x(x2﹣2x+1)=3x(x﹣1)2;
(3)原式=(x﹣y)(9a2﹣4)=(x﹣y)(3a+2)(3a﹣2).【点评】此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式,要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解,一般来说,如果可以先提取公因式的要先提取公因式,再考虑运用公式法分解. 20.先化简,再求值4(x+1)2﹣7(x﹣1)(x+1)+3(1﹣x)2,其中.【考点】整式的混合运算—化简求值.【分析】首先对原式进行乘方运算,去括号,合并同类项,然后代入数值计算即可.【解答】解原式=4(x2+2x+1)﹣7(x2﹣1)+3(1﹣2x+x2)=4x2+8x+4﹣7x2+7+3﹣6x+3x2=2x+14,当x=﹣时,原式=2×(﹣)+14=13.【点评】此题主要考查了整式的混合运算,主要考查了公式法,以及整式的化简,正确进行化简是解题关键. 21.解不等式(组)
(1)≥1﹣,并将解集在数轴上表示出来;
(2).【考点】解一元一次不等式组;在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式.【分析】
(1)先去分母,再去括号,移项,合并同类项,把x的系数化为1,再在数轴上表示出来即可;
(2)分别求出各不等式的解集,再求出其公共解集即可.【解答】解
(1)去分母得,2x≥6﹣(x﹣3),去括号得,2x≥6﹣x+3,移项得,2x+x≥9,合并同类项得,3x≥9,把x的系数化为1得,x≥3,在数轴上表示为;
(2),由
①得,x<1,由
②得,x≥﹣4,故不等式组的解集为﹣4≤x<1.【点评】本题考查的是解一元一次不等式组,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键. 22.解方程组
(1)
(2).【考点】解三元一次方程组;解二元一次方程组.【分析】
(1)用代入法,把
②式变成y=2x﹣4,代入
①式,解一元二次方程即可.
(2)首先利用
②﹣
①,
③﹣
②即可消去未知数c,即可得到一个关于a,b的方程组,求得a,b的值,然后代入
①即可求得c的值.【解答】解
(1)解方程组由
②得y=2x﹣4
③,把
③代入
①,整理得4x﹣2=10,解得x=3.把x=3代入
③得y=2.∴原方程的解为.
(2)
②﹣
①得3a+3b=﹣3,
③﹣
②得5a﹣5b=15,整理得,解得,把a=1,b=﹣2代入方程
①得1+2+c=5解得c=3.则方程组的解是.【点评】本题考查的是二元一次方程组、三元一次方程组的解法,利用了消元的思想,消元的方法有代入消元法与加减消元法.. 23.某中学团委组织学生去儿童福利院慰问,准备购买15个甲种文具和20个乙种文具,共需885元;后翻阅商场海报发现,下周甲、乙两种文具进行促销活动,甲种文具打八折销售、乙种文具打九折,且打折后两种文具的销售单价相同.
(1)求甲、乙两种文具的原销售单价各为多少元?
(2)购买打折后的15个甲种文具和20个乙种文具,共可节省多少钱?【考点】二元一次方程组的应用.【分析】
(1)设甲、乙两种文具的原销售单价各为x、y元,根据题意列出方程组解答即可;
(2)由
(1)得出的数值代入解答即可.【解答】解
(1)设甲、乙两种文具的原销售单价各为x、y元,可得,解得,答甲、乙两种文具的原销售单价各为
27、24元;
(2)885﹣(15×27×
0.8+20×24×
0.9)=129元,答共可节省129元钱.【点评】本题考查了二元一次方程组的应用,解答本题的关键是读懂题意,设出未知数,找出等量关系,列方程组求解. 24.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,BD=BC,∠A=90°;
(1)画出△CBD的高CE;
(2)请写出图中的一对全等三角形(不添加任何字母),并说明理由;
(3)若AD=2,CB=5,求DE的长.【考点】全等三角形的判定.【分析】
(1)过点C作出BD的垂线段CE即可;
(2)由AAS可以证明△ABD≌△ECB;
(3)由△ABD≌△ECB,得出BE=AD=2,BD=BC=5,再根据DE=BD﹣BE即可求解.【解答】解
(1)如图所示
(2)△ABD≌△ECB,理由是∵AD∥BC,∴∠ADB=∠EBC.∵CE⊥BD,∴∠CEB=90°,∵∠A=90°,∴∠CEB=∠A.在△ABD与△ECB中,,∴△ABD≌△ECB;
(3)∵△ABD≌△ECB,∴BE=AD=2,BD=BC=5,∴DE=BD﹣BE=5﹣2=3.【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质,三角形的高,熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键. 25.已知关于x、y的方程组的解满足x>y>0.
(1)求a的取值范围;
(2)化简|a|+|a﹣3|.【考点】解一元一次不等式组;二元一次方程组的解.【分析】
(1)解关于x、y的方程组,根据x>y>0得到关于a的不等式组,求解可得;
(2)由a的范围,根据绝对值的性质取绝对值符号即可化简.【解答】解
(1)解方程组,得,∵x>y>0,∴,解得1<a<3;
(2)∵1<a<3,∴|a|+|a﹣3|=a+3﹣a=3.【点评】本题主要考查解方程组和不等式组及绝对值的性质,根据题意得出关于a的不等式组是解题的关键. 26.如图1,已知∠ABC=90°,D是直线AB上的一点,AD=BC,连结DC.以DC为边,在∠CDB的同侧作∠CDE,使得∠CDE=∠ABC,并截取DE=CD,连结AE.
(1)求证△BDC≌△AED;并判断AE和BC的位置关系,说明理由;
(2)若将题目中的条件“∠ABC=90°”改成“∠ABC=x°(0<x<180)”,
①结论“△BDC≌△AED”还成立吗?请说明理由;
②试探索当x的值为多少时,直线AE⊥BC.【考点】三角形综合题.【分析】
(1)根据已知条件得到∠CBD=90°,根据全等三角形的判定定理得到Rt△BDC≌Rt△ADE,由全等三角形的性质得到∠A=∠CBD=90°,即可得到结论;
(2)
①根据三角形外角的性质得∠C=∠ADE,根据全等三角形的判定定理即可得到△BDC≌△AED;
②如图2,延长EA交BC于F,根据全等三角形的性质得到∠DBC=∠EAD然后根据等腰直角三角形的性质即可得到结论.【解答】解
(1)AE∥BC,理由∵∠CDE=∠ABC=90°,∴∠CBD=90°,在Rt△BDC与Rt△ADE中,,∴Rt△BDC≌Rt△ADE,∴∠A=∠CBD=90°,∴AE∥BC;
(2)
①成立,∵∠CDE=∠ABC=x°,∴∠C+∠CDB=∠ADE+∠CDB=x°,∴∠C=∠ADE,在△BDC与△AED中,,∴△BDC≌△AED;
②如图2,延长EA交BC于F,∵△BDC≌△AED,∴∠DBC=∠EAD,∴∠FAB=∠ABF,∴当AE⊥BC时,即∠AFB=90°,∴∠FAB+∠ABF=90°,∴∠ABC=45°,∴当x=45时,AE⊥BC.【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质,平行线的判定,等腰直角三角形的性质熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键. 27.探索在图1至图2中,已知△ABC的面积为a,
(1)如图1,延长△ABC的边BC到点D,使CD=BC,连接DA;延长边CA到点E,使CA=AE,连接DE;若△DCE的面积为S1,则S1= 2a (用含a的代数式表示);
(2)在图1的基础上延长AB到点F,使BF=AB,连接FD,FE,得到△DEF(如图2).若阴影部分的面积为S2,则S2= 6a (用含a的代数式表示);
(3)发现像上面那样,将△ABC各边均顺次延长一倍,连接所得端点,得到△DEF(如图2),此时,我们称△ABC向外扩展了一次.可以发现,扩展n次后得到的三角形的面积是△ABC面积的 7n 倍(用含n的代数式表示);
(4)应用某市准备在市民广场一块足够大的空地上栽种牡丹花卉,工程人员进行了如下的图案设计首先在△ABC的空地上种紫色牡丹,然后将△ABC向外扩展二次(如图3).在第一次扩展区域内种黄色牡丹,第二次扩展区域内种紫色牡丹,紫色牡丹花的种植成本为100元/平方米,黄色牡丹花的种植成本为95元/平方米.要使得种植费用不超过48700元,工程人员在设计时,三角形ABC的面积至多为多少平方米?【考点】三角形综合题.【分析】
(1)连接AD,根据等底等高的三角形的面积相等求出△ADE的面积即可;
(2)根据等底等高的三角形的面积相等求出△ADE、△AEF、△AFD的面积,相加即可;
(3)由
(2)得到△ABC向外扩展了一次得到的△DEF的面积S△DEF=7aS△DEF=7a,△ABC向外扩展了二次得到的△MGH的面积S△MGH=72a,找出规律即可;
(4)由
(2)
(3)的结论确定出种黄色牡丹,种紫色牡丹的面积,用总费用建立不等式,即可.【解答】解
(1)如图1,连接AD,∵BC=CD,∴S△ABC=S△DAC=a,∵AE=AC,∴S△DAE=S△DAC=S△ABC=a,∴S1=S△CDE=S△DAE+S△DAC=2a,故答案为2a,
(2)如图2,由
(1)有,S△CDE=2a,同
(1)的方法得到,S△EAF=2a,S△BDF=2a,∴S2=S△CDE+S△EAF+S△BDF=6a,
(3)由
(2)有S2=6a,∴S△DEF=S2+S△ABC=6a+a=7a,∴△ABC向外扩展了一次得到的△DEF的面积S△DEF=7a,∴△ABC向外扩展了二次得到的△MGH,可以看作是△DEF向外扩展了一次得到,∴S△MGH=7S△DEF=7×7a=72a,∴△ABC向外扩展了二次得到的△MGH的面积S△MGH=72a,同理△ABC向外扩展了n次得到的三角形的面积S=7na,故答案为7n;
(4)由
(2)有,△ABC第一次扩展区域面积为S2=6a,同理△ABC第二次扩展区域可以看成是△DEF向外扩展了一次得到,∴S3=6S△DEF=6×7a=42a,∵在△ABC的空地上种紫色牡丹,第二次扩展区域内种紫色牡丹,∴种紫色牡丹的面积为a+42a=43a,∵在第一次扩展区域内种黄色牡丹,∴种黄色牡丹的面积为6a,∵紫色牡丹花的种植成本为100元/平方米,黄色牡丹花的种植成本为95元/平方米.要使得种植费用不超过48700元,∴100×43a+95×6a≤48700,∴a≤10,∴工程人员在设计时,三角形ABC的面积至多为10平方米?【点评】本题考查了三角形的面积,面积和等积变形等知识点的应用,能根据等底等高的三角形的面积相等求出每个三角形的面积和根据得出的结果得出规律是解此题的关键,培养学生分析问题的能力. 28.如图,E、F分别是AD和BC上的两点,EF将四边形ABCD分成两个边长为5cm的正方形,∠DEF=∠EFB=∠B=∠D=90°;点H是CD上一点且CH=lcm,点P从点H出发,沿HD以lcm/s的速度运动,同时点Q从点A出发,沿A→B→C以5cm/s的速度运动.任意一点先到达终点即停止运动;连结EP、EQ.
(1)如图1,点Q在AB上运动,连结QF,当t= 时,QF∥EP;
(2)如图2,若QE⊥EP,求出t的值;
(3)试探究当t为何值时,△EPD的面积等于△EQF面积的.【考点】四边形综合题.【分析】
(1)假设EP∥FQ,得到∠PEF=∠EFQ,由等角的余角相等,得∠QFB=∠DEP,通过正切关系,得到BQ与PD关系,求出t;
(2)通过△QEF≌△PED,得到FQ与PD间关系,进而求出t的值;
(3)分类讨论
①当点Q在AB上时;
②当点Q在BF上时,
③当点Q在CF上时,分别求出t.【解答】解
(1)由题意知ED=FB=5cm,∠D=∠B=∠DEF=∠EFB=90°,若EP∥FQ时,∠PEF=∠EFQ,∴∠DEP=∠DEF﹣∠PEF=∠EFB﹣∠EFQ=∠QFB,∴tan∠QFB==tan∠DEP,所以BQ=DP.∵BQ=5﹣5t,DP=DC﹣CH﹣PH=5﹣1﹣t=4﹣t,∴5﹣5t=4﹣t,∴t=;答案.
(2)如图所示,若QE⊥EP,则∠QEP+∠FEP=90°,又∵∠DEP+∠PEF=90°,∴∠QEF=∠DEP在△QEF和△PED中,∴△QEF≌△PED,∴QF=DP.∵FQ=10﹣5t,DP=4﹣t,∴10﹣5t=4﹣t,∴t=.
(3)
①如图所示,过Q做QM⊥EF,垂足为M.由于四边形ABFE是正方形,所以QM=AE=5cm.当0<t≤1时,S△EQF=EF×QM=,S△EPD=ED×DP=,当S△EQF=S△EPD时,即×
12.5=×5×(4﹣t),解得,t=
0.5;
②当1<t≤2时,S△EQF=×EF×FQ=
2.5FQ,S△EPD=ED×DP=×5×(4﹣t),∵FQ=10﹣5t,∴×
2.5(10﹣5t)=×5×(4﹣t),解得t=;
③当2<t≤3时,S△EQF=FQ×EF=
2.5(5t﹣10),S△EPD=ED×DP=×5×(4﹣t),∴×
2.5×(5t﹣10)=
2.5(4﹣t),解得t=.【点评】点评本题是一个比较基础的四边形综合题,主要考察了正方形的性质和三角形的面积计算.本题重点考察了分类讨论的思想,确定点Q所在的位置,是解决本题的关键.。