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文本内容:
图形的旋转一选择题
1.如图,△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转31°后得到的图形,若点D恰好落在AB上,且∠AOC的度数为100°,则∠DOB的度数是 A.34° B.36° C.38° D.40°
2.如图,将矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AB′C′D′的位置,旋转角为α(0<α<90°),若∠1=110°,则∠α=( )A.10° B.20° C.25° D.30°
3.如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC顶点的横、纵坐标都是整数.若将△ABC以某点为旋转中心,顺时针旋转90°得到△DEF,则旋转中心的坐标是( )A.(0,0) B.(1,0) C.(1,﹣1) D.(
2.5,
0.5)
4.在右图4×4的正方形网格中,△MNP绕某点旋转一定的角度,得到△M1N1P1,则其旋转中心可能是A.点A B.点BC.点C D.点D
5.如图,边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°得到正方形AB1C1D1,边B1C1与CD交于点O,则四边形AB1OD的面积是 A. B. C.-1 D.
6.如图,OA⊥OB,等腰直角△CDE的腰CD在OB上,∠ECD=45°,将△CDE绕点C逆时针旋转75°,点E的对应点N恰好落在OA上,则的值为( ) A. B. C. D.
7.如图,△ABC中,已知∠C=90°,∠B=55°,点D在边BC上,BD=2CD.把△ABC绕着点D逆时针旋转m(0m180)度后,如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上,那么m为( )A.70° B.70°或120° C.120° D.80°
8.如图,在等边△ABC中,点O在AC上,且AO=3,CO=6,点P是AB上一动点,连接OP,将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD.要使点D恰好落在BC上,则AP的长是( )A.4 B.5 C.6 D.
89.将两个斜边长相等的三角形纸片如图1放置,其中∠ACB=∠CED=90°,∠A=45°,∠D=30°,把△DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D′CE′.如图2,连接D′B,则∠E′D′B的度数为 A.10° B.20° C.
7.5° D.15°
10.如图将△ABC绕点C0-1旋转180°得到△A′B′C,设点A的坐标为ab,则点A′坐标为( )A.(-a-b) B.(-a-b-1)C.(-a-b+1) D.(-a-b-2)
11.将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°后得到矩形A′BC′D′若AB=12AD=5则△DBD′面积为 A.13 B.26 C.
84.5 D.
16912.如图,正方形ABCD的边长为6点E,F分别在ABAD上若CE=3且∠ECF=45°则CF的长为 A.2 B.3 C. D.
13.如图,在△ABC中AB=AC,∠BAC=90o.直角∠EPF的顶点P是BC中点,PE、PF分别交AB、AC于点E、F.当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时E点和F点可以与A、B、C重合以下结论:
①AE=CF;
②△EPF是等腰直角三角形;
③S四边形AEPF=S△ABC;
④EF最长等于AP.上述结论中正确的有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
14.把一副三角板如图甲放置,其中,,,斜边,,把三角板DCE绕着点C顺时针旋转得到△(如图乙,此时与交于点O,则线段的长度为( )A. B. C.4 D.
15.如图,已知△ABC中,∠C=90°,AC=BC=,将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置,连接C′B,则C′B的长为( )A.2﹣ B. C.﹣1 D.
116.如图,△AOB为等腰三角形,顶点A的坐标(2,),底边OB在x轴上.将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A′O′B,点A的对应点A′在x轴上,则点O′的坐标为( )A., B.(,)C.(,) D.(,4)
17.如图,已知边长为2的正三角形ABC顶点A的坐标为(0,6),BC的中点D在y轴上,且在点A下方,点E是边长为2,中心在原点的正六边形的一个顶点,把这个正六边形绕中心旋转一周,在此过程中DE的最小值为( )A.4B.4﹣C.3D.6﹣
218.△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,AB=,点D位于边BC的中点上点E在AB上点F在AC上,∠EDF=45°,给出以下结论
①当BE=1时,;
②∠DFC=∠EDB;
③CF×BE=1;
④;
⑤;正确的有( )A.
①④⑤ B.
①③④⑤ C.
②③④ D.
③④⑤
19.如图所示,P是等腰直角△ABC外一点,把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′,已知∠AP′B=135°,P′A P′C=13,则P′A PB=A.1;B.12;C.2;D.
120.如图在△ABC中∠ACB=90º∠B=30ºAC=1AC在直线l上.将△ABC绕点A顺时针旋转到位置
①可得到点P1,此时AP1=2;将位置
①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置
②,可得到点P2,此时AP2=2+;将位置
②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置
③可得到点P3此时AP3=3+;…按此规律继续旋转直到得到点P2012为止,则AP2012=A.2011+671 B.2012+671 C.2013+671 D.2014+671二填空题:
21.如图,在平面直角坐标系中,已知点A3,4将OA绕坐标原点O逆时针转900至OA/则点A/的坐标是 .
22.如图,在平面直角坐标系中,点A、B的坐标分别为(3,2)、(-1,0),若将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段BA',则点A'的坐标为 .
23.如图,点E在正方形ABCD的边CD上,把△ADE绕点A顺时针旋转90°至△ABF位置,如果AB=,∠EAD=30°,那么点E与点F之间的距离等于 .
24.如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=4,将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC.若点F是DE的中点,连接AF,则AF= .
25.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=45°,AB=2.将△ABC绕顶点A顺时针方向旋转至△AB′C′的位置,B,A,C′三点共线,则线段BC扫过的区域面积为 .
26.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=,将△ABC绕点C逆时针旋转60°,得到△MNC,连接BM,则BM的长是________.
27.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=5cm,BC=12cm.将△ABC绕点B顺时针旋转60°,得到△BDE,连接DC交AB于点F,则△ACF和△BDF的周长之和为________cm.
28.如图,将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放,点A1,A2,…An分别是正方形的中心,则这n个正方形重叠部分的面积之和是
29.如图P是等腰直角△ABC外一点把BP绕直角顶点BB顺时针旋转900到BP/已知∠AP/B=1350,P/A:P/C=1:3,则PB:P/A的值为 .
30.如图在Rt△ABC中∠C=90°AC=1,BC=点O为Rt△ABC内一点连接A
0、BO、CO且∠AOC=∠COB=BOA=120°,按下列要求画图(保留画图痕迹)以点B为旋转中心,将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°,得到△A′O′B(得到A、O的对应点分别为点A′、O′),则∠A′BC= ,OA+OB+OC= .三简答题:
31.如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,每个小正方形的顶点叫格点,△ABC的顶点均在格点上.
(1)画出将△ABC向右平移2个单位后得到的△A1B1C1,再画出将△A1B1C1绕点B1按逆时针方向旋转90°后所得到的△A2B1C2;
(2)求线段B1C1旋转到B1C2的过程中,点C1所经过的路径长.
32.如图,线段AB两个端点的坐标分别为A(1,﹣1),B(3,1),将线段AB绕点O逆时针旋转90°到对应线段CD(点A与点C对应,点B与D对应).
(1)请在图中画出线段CD;
(2)请直接写出点A、B的对应点坐标C(______,______),D(______,______);
(3)在x轴上求作一点P,使△PCD的周长最小,并直接写出点P的坐标(______,______).
33.如图,点P是正方形ABCD内一点,点P到点A,B和D的距离分别为1,,.△ADP沿点A旋转至△ABP’,连结PP’,并延长AP与BC相交于点Q.
(1)求证△APP’是等腰直角三角形;
(2)求∠BPQ的大小;
(3)求CQ的长.
34.
(1)如图1,点P是正方形ABCD内的一点,把△ABP绕点B顺时针方向旋转,使点A与点C重合,点P的对应点是Q.若PA=3,PB=2,PC=5,求∠BQC的度数.
(2)点P是等边三角形ABC内的一点,若PA=12,PB=5,PC=13,求∠BPA的度数.
35.一位同学拿了两块45°的三角尺△MNK、△ACB做了一个探究活动将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处,设AC=BC=a.
(1)如图1,两个三角尺的重叠部分为△ACM,则重叠部分的面积为 ,周长为 ;
(2)将图1中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45°,得到图2,此时重叠部分的面积为 ,周长为 ;
(3)如果将△MNK绕M旋转到不同于图1,图2的位置,如图3所示,猜想此时重叠部分的面积为多少?并试着加以验证.
36.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α0°<α<60°,将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD.1如图1,直接写出∠ABD的大小用含α的式子表示;2如图2,∠BCE=150°,∠ABE=60°,判断△ABE的形状并加以证明;3在2的条件下,连接DE,若∠DEC=45°,求α的值.
37.将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中,点B、C落在格点上,点A在BC的垂直平分线上,∠ABC=30°,点P为平面内一点.
(1)∠ACB= 度;
(2)如图,将△APC绕点C顺时针旋转60°,画出旋转后的图形(尺规作图,保留痕迹);
(3)AP+BP+CP的最小值为 .
38.如图1,△ABC是等腰直角三角形,四边形ADEF是正方形,点D、F分别在AB、AC边上,此时BD=CF,BD⊥CF成立.1当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ0°θ90°时,如图2,BD=CF成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.2当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时,如图3,延长BD交CF于点G.
①求证BD⊥CF;
②当AB=4,AD=时,求线段BG的长.
39.已知,点O是等边△ABC内的任一点,连接OA,OB,OC.
(1)如图1,已知∠AOB=150°,∠BOC=120°,将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC.
①∠DAO的度数是 ;
②用等式表示线段OA,OB,OC之间的数量关系,并证明;
(2)设∠AOB=α,∠BOC=β.
①当α,β满足什么关系时,OA+OB+OC有最小值?请在图2中画出符合条件的图形,并说明理由;
②若等边△ABC的边长为1,直接写出OA+OB+OC的最小值. 参考答案
1、C.
2、B.
3、C.
4、B.
5、D.
6、C.
7、B.
8、C.
9、D.
10、D.
11、C.
12、A.
13、D.
14、B.
15、C.
16、C.
17、B.
18、A.
19、B.
20、B.
21、-
4322、(1,-4).
23、 .
24、AF=5.
25、
26、+1
27、42 28面积和为1×(n﹣1)=n﹣1.
29、1:
230、 90° 2 .
31、解析
(1)如图所示.
(2)∵点C1所经过的路径为一段弧,∴点C1所经过的路径长为【答案】1见解析;22π
32、【解答】解
(1)如图,CD为所作;
(2)C(1,1),D(﹣1,4);
(3)P(
0.5,0).故答案为1,1;﹣1,4;
0.5,0.
33、证明略;45°;
34、解
(1)连接PQ.由旋转可知,QC=PA=3.又∵ABCD是正方形,∴△ABP绕点B顺时针方向旋转了90°,才使点A与C重合,即∠PBQ=90°,∴∠PQB=45°,PQ=4.则在△PQC中,PQ=4,QC=3,PC=5,∴PC2=PQ2+QC2.即∠PQC=90°.故∠BQC=90°+45°=135°.
(2)将此时点P的对应点是点P′.由旋转知,△APB≌△CP′B,即∠BPA=∠BP′C,P′B=PB=5,P′C=PA=12.又∵△ABC是正三角形,∴△ABP绕点B顺时针方向旋转60°,才使点A与C重合,得∠PBP′=60°,又∵P′B=PB=5,∴△PBP′也是正三角形,即∠PP′B=60°,PP′=5.因此,在△PP′C中,PC=13,PP′=5,P′C=12,∴PC2=PP′2+P′C2.即∠PP′C=90°.故∠BPA=∠BP′C=60°+90°=150°.
35、【解答】解
(1)∵AM=MC=AC=a,则∴重叠部分的面积是△ACB的面积的一半为a2,周长为(1+)a.
(2)∵重叠部分是正方形∴边长为a,面积为a2,周长为2a.
(3)猜想重叠部分的面积为.理由如下过点M分别作AC、BC的垂线MH、MG,垂足为H、G设MN与AC的交点为E,MK与BC的交点为F∵M是△ABC斜边AB的中点,AC=BC=a∴MH=MG=又∵∠HME+∠HMF=∠GMF+∠HMF,∴∠HME=∠GMF,∴Rt△MHE≌Rt△MGF∴阴影部分的面积等于正方形CGMH的面积∵正方形CGMH的面积是MG•MH=×=∴阴影部分的面积是.
36、130°-α.2△ABE为等边三角形.证明连接AD、CD、ED.∵线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD,∴BC=BD,∠DBC=60°.∵∠ABE=60°,∴∠ABD=60°-∠DBE=∠EBC=30°-α.又∵BD=CD,∠DBC=60°,∴△BCD为等边三角形,∴BD=CD.又∵AB=AC,AD=AD,∴△ABD≌△ACDSSS.∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=α.∵∠BCE=150°,∴∠BEC=180°-30°-α-150°=α.∴∠BAD=∠BEC.在△ABD与△EBC中,∴△ABD≌△EBCAAS.∴AB=BE.又∵∠ABE=60°,∴△ABE为等边三角形.3∵∠BCD=60°,∠BCE=150°,∴∠DCE=150°-60°=90°.∵∠DEC=45°,∴△DCE为等腰直角三角形.∴CD=CE=BC.∵∠BCE=150°,∴∠EBC==15°.又∵∠EBC=30°-α=15°,∴α=30°
37、【解答】解
(1)∵点A在BC的垂直平分线上,∴AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∵∠ABC=30°,∴∠ACB=30°.故答案为30°.
(2)如图△CA′P′就是所求的三角形.
(3)如图当B、P、P′、A′共线时,PA+PB+PC=PB+PP′+P′A的值最小,此时BC=5,AC=CA′=,BA′=.
38、1BD=CF成立.理由∵△ABC是等腰直角三角形,四边形ADEF是正方形,∴AB=AC,AD=AF,∠BAC=∠DAF=90°.∵∠BAD=∠BAC-∠DAC,∠CAF=∠DAF-∠DAC,∴∠BAD=∠CAF,∴△BAD≌△CAFSAS.∴BD=CF.2
①证明设BG交AC于点M.∵△BAD≌△CAF已证,∴∠ABM=∠GCM.∵∠BMA=∠CMG,∴△BMA∽△CMG.∴∠BGC=∠BAC=90°.∴BD⊥CF.
②过点F作FN⊥AC于点N.∵在正方形ADEF中,AD=,∴AN=FN=AE=
1.∵在等腰直角△ABC中,AB=4,∴CN=AC-AN=3,BC==
4.∴在Rt△FCN中,tan∠FCN==.∴在Rt△ABM中,tan∠ABM==tan∠FCN=.∴AM=×AB=.∴CM=AC-AM=4-=,BM==.∵△BMA∽△CMG,∴=.∴=.∴CG=.∴在Rt△BGC中,BG==.
39.解析
(1)
①90°.
②线段OA,OB,OC之间的数量关系是. 如图1,连接OD.∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,∴△ADC≌△BOC,∠OCD=60°.∴CD = OC∠ADC =∠BOC=120° AD=OB.∴△OCD是等边三角形.∴OC=OD=CD,∠COD=∠CDO=60°.∵∠AOB=150°,∠BOC=120°,∴∠AOC=90°.∴∠AOD=30°,∠ADO=60°.∴∠DAO=90°.在Rt△ADO中,∠DAO=90°,∴.∴.
(2)
①如图2,当α=β=120°时,OA+OB+OC有最小值. 作图如图2的实线部分. 如图2,将△AOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△A’O’C,连接OO’. ∴△A’O’C≌△AOC,∠OCO’=∠ACA’=60°.∴O’C= OC O’A’ = OA,A’C = BC ∠A’O’C =∠AOC.∴△OCO’是等边三角形.∴OC= O’C = OO’,∠COO’=∠CO’O=60°.∵∠AOB=∠BOC=120°,∴∠AOC =∠A’O’C=120°.∴∠BOO’=∠OO’A’=180°.∴四点B,O,O’,A’共线.∴OA+OB+OC= O’A’+OB+OO’ =BA’时值最小.
②当等边△ABC的边长为1时,OA+OB+OC的最小值A’B=.。