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第20讲矩形、菱形与正方形试题
一、选择题 1.2016·河池如图,将△ABC将BC方向平移得到△DCE,连接AD,下列条件能够判定四边形ABCD是菱形的是AA.AB=BCB.AC=BCC.∠B=60°D.∠ACB=60°第1题图 第2题图2.2016·兰州如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC,AD=2,DE=2,则四边形OCED的面积AA.2B.4C.4D.8导学号 020523453.2016·黔东南州如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若AB=2,∠ABC=60°,则BD的长为DA.2B.3C.D.2导学号 02052346第3题图 第4题图4.2016·广东如图,正方形ABCD的面积为1,则以相邻两边中点连线EF为边的正方形EFGH的周长为BA.B.2C.+1D.2+1导学号 020523475.2016·舟山如图,矩形ABCD中,AD=2,AB=3,过点A,C作相距为2的平行线段AE,CF,分别交CD,AB于点E,F,则DE的长是DA.B.C.1D.导学号 02052348第5题图 第6题图6.2016·宁夏如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O、E、F分别是AD、CD边上的中点,连接EF,若EF=,BD=2,则菱形ABCD的面积是AA.2B.C.6D.87.如图,正方形ABCD中,点E、F分别在BC、CD上,△AEF是等边三角形,连接AC交EF于G,下列结论
①BE=DF;
②∠DAF=15°;
③AC垂直平分EF;
④BE+DF=EF;
⑤S△CEF=2S△ABE,其中正确的结论有CA.2个B.3个C.4个D.5个导学号 02052349
二、填空题8.2016·兰州▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,且AC⊥BD,请添加一个条件__∠BAD=90°答案不唯一__,使得▱ABCD为正方形.导学号 020523509.2016·成都如图,在矩形ABCD中,AB=3,对角线AC,BD相交于点O,AE垂直平分OB于点E,则AD的长为__3__.导学号 02052351第9题图 第10题图10.2015·长春如图,点E在正方形ABCD的边CD上.若△ABE的面积为8,CE=3,则线段BE的长为__5__.导学号 0205235211.2016·南京如图,菱形ABCD的面积为120cm2,正方形AECF的面积为50cm2,则菱形的边长为__13__cm.导学号 02052353第11题图 第12题图12.2016·黄冈如图,在矩形ABCD中,点E、F分别在边CD、BC上,且DC=3DE=3a.将矩形沿直线EF折叠,使点C恰好落在AD边上的点P处,则FP=__2a__.13.2016·山西适应性训练如图,在平面直角坐标系xOy中,菱形OABC的顶点A在x轴上,顶点B的坐标为8,4,点P是对角线OB上一个动点,点D的坐标为0,-2,当DP与AP之和最小时,点P的坐标为__4,2__.导学号 02052354第13题图 第14题图14.2016·广东如图,正方形ABCD的边长为1,AC,BD是对角线.将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH,HG交AB于点E,连接DE交AC于点F,连接FG.则下列结论
①四边形AEGF是菱形;
②△AED≌△GED;
③∠DFG=
112.5°;
④BC+FG=
1.5;其中正确的结论是__
①②③__.导学号 02052355解析∵四边形ABCD是正方形,∴AD=DC=BC=AB,∠DAB=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°,∠ADB=∠BDC=∠CAD=∠CAB=45°,∵△DHG是由△DBC旋转得到,∴DG=DC=AD,∠DGE=∠DCB=∠DAE=90°,在Rt△AED和Rt△GED中,,∴△AED≌△GED,故
②正确,∴∠ADE=∠EDG=
22.5°,AE=EG,∴∠AED=∠AFE=
67.5°,∴AE=AF,同理EG=GF,∴AE=EG=GF=FA,∴四边形AEGF是菱形,故
①正确,∵∠DFG=∠GFC+∠DFC=∠BAC+∠DAC+∠ADF=
112.5°,故
③正确.∵AE=FG=EG=BG,BE=AE,∴BE>AE,∴AE<,∴CB+FG<
1.5,故
④错误.故正确的结论为
①②③
三、解答题15.2016·聊城如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,点E是AC的中点,AC=2AB,∠BAC的平分线AD交BC于点D,作AF∥BC,连接DE并延长交AF于点F,连接FC.求证四边形ADCF是菱形.导学号 02052356证明∵AF∥CD,∴∠AFE=∠CDE,在△AFE和△CED中,,∴△AEF≌△CED,∴AF=CD,∵AF∥CD,∴四边形ADCF是平行四边形,∵AC=2AB,∠B=90°,∴∠ACB=30°,∠CAB=60°,∵AD平分∠CAB,∴∠DAC=∠DAB=30°=∠ACD,∴DA=DC,∴四边形ADCF是菱形16.2016·内江如图所示,△ABC中,D是BC边上一点,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交CE的延长线于F,且AF=BD,连接BF.1求证D是BC的中点;2若AB=AC,试判断四边形AFBD的形状,并证明你的结论.导学号 020523571证明∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DCE,∵点E为AD的中点,∴AE=DE,在△AEF和△DEC中,,∴△AEF≌△DECAAS,∴AF=CD=BD,∴点D为BC的中点;2解若AB=AC,则四边形AFBD是矩形.证明如下∵△AEF≌△DEC,∴AF=CD,∵AF=BD,∴CD=BD,∵AF∥BD,AF=BD,∴四边形AFBD是平行四边形,∵AB=AC,BD=CD,∴∠ADB=90°,∴平行四边形AFBD是矩形17.2016·青岛已知如图,在▱ABCD中,E,F分别是边AD,BC上的点,且AE=CF,直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G,H,交BD于点O.1求证△ABE≌△CDF;2连接DG,若DG=BG,则四边形BEDF是什么特殊四边形?请说明理由.导学号 020523581证明∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,∠BAE=∠DCF,在△ABE和△CDF中,,∴△ABE≌△CDFSAS;2解四边形BEDF是菱形.理由如下∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,∵AE=CF,∴DE=BF,∴四边形BEDF是平行四边形,∴OB=OD,∵DG=BG,∴GO⊥BD,即EF⊥BD,∴四边形BEDF是菱形18.2016·株洲已知正方形ABCD中,BC=3,点E、F分别是CB、CD延长线上的点,DF=BE,连接AE、AF,过点A作AH⊥ED于H点.1求证△ADF≌△ABE;2若BE=1,求tan∠AED的值.导学号 02052359解1正方形ABCD中,∵AD=AB,∠ADC=∠ABC=90°,∴∠ADF=∠ABE=90°,在△ADF与△ABE中,,∴△ADF≌△ABE;2如图,过点A作AH⊥DE于点H,在Rt△ABE中,∵AB=BC=3,∵BE=1,∴AE=,ED==5,∵S△AED=AD×AB=,∴S△AED=ED×AH=,即·5·AH=,解出AH=
1.8,在Rt△AHE中,EH==
2.6,∴tan∠AED===19.2016·遵义如图,矩形ABCD中,延长AB至E,延长CD至F,BE=DF,连接EF,与BC、AD分别相交于P、Q两点.1求证CP=AQ;2若BP=1,PQ=2,∠AEF=45°,求矩形ABCD的面积.导学号 020523601证明∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°,AB=CD,AD=BC,AB∥CD,AD∥BC,∴∠E=∠F,∵BE=DF,∴AE=CF,在△CFP和△AEQ中,,∴△CFP≌△AEQASA,∴CP=AQ;2解∵AD∥BC,∴∠PBE=∠A=90°,∵∠AEF=45°,∴△BEP、△AEQ是等腰直角三角形,∴BE=BP=1,AQ=AE,∴PE=BP=,∴EQ=PE+PQ=+2=3,∴AQ=AE=3,∴AB=AE-BE=2,∵CP=AQ,AD=BC,∴DQ=BP=1,∴AD=AQ+DQ=3+1=4,∴S矩形ABCD=AB·AD=2×4=820.2015·荆州如图
①,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,点E在AD的延长线上,且PA=PE,PE交CD于F.1证明PC=PE;2求∠CPE的度数;3如图
②,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变,当∠ABC=120°时,连接CE,试探究线段AP与线段CE的数量关系,并说明理由.导学号 020523611证明在正方形ABCD中,AB=BC,∠ABP=∠CBP=45°,在△ABP和△CBP中,∴△ABP≌△CBPSAS,∴PA=PC,∵PA=PE,∴PC=PE;2解由1知,△ABP≌△CBP,∴∠BAP=∠BCP,∴∠DAP=∠DCP,∵PA=PE,∴∠DAP=∠E,∴∠DCP=∠E,∵∠CFP=∠EFD对顶角相等,∴180°-∠PFC-∠PCF=180°-∠DFE-∠E,即∠CPF=∠EDF=90°;3解在菱形ABCD中,AB=BC,∠ABP=∠CBP=60°,在△ABP和△CBP中,∴△ABP≌△CBPSAS,∴PA=PC,∠BAP=∠BCP,∵PA=PE,∴PC=PE,∴∠DAP=∠DCP,∵PA=PC,∴∠DAP=∠DEP,∴∠DCP=∠DEP,∵∠CFP=∠EFD,∴180°-∠PFC-∠PCF=180°-∠DFE-∠DEP,即∠CPF=∠EDF=180°-∠ADC=180°-120°=60°,∴△EPC是等边三角形,∴PC=CE,∴AP=CE。