中考数学总复习第四章图形的认识与三角形第19节直角三角形与勾股定理试题

第19节　直角三角形与勾股定理

一、选择题1．2015·北京如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为

1.2km，则M，C两点间的距离为DA．

0.5kmB．

1.5kmC．

0.9kmD．

1.2km第1题图　　　第3题图2．2015·毕节下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是BA.，，B．1，，C．6，7，8D．2，3，43．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB的长度为AA．5B．6C．7D．254．如图，△ABC中，∠C＝45°，点D在AB上，点E在BC上，若AD＝DB＝DE，AE＝1，则AC的长为DA.B．2C.D.第4题图　　第5题图5．如图，∠ACB＝90°，D为AB的中点，连接DC并延长到E，使CE＝CD，过点B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F，若AB＝6，则BF的长为CA．6B．7C．8D．106．导学号　149523662017·内江预测如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝10，则PQ的长为CA.B.C．3D．4第6题图　　第7题图7．导学号　149523672015·烟台如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S2015的值为CA．2012B．2013C．2012D．20138．导学号　149523682015·齐齐哈尔如图，在钝角△ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，EM平分∠AEB交AB于点M，取BC中点D，AC中点N，连接DN，DE，DF.下列结论

①EM＝DN；

②S△CDN＝S四边形ABDN；

③DE＝DF；

④DE⊥DF.其中正确结论的个数是DA．1B．2C．3D．4第8题图　　第9题图

二、填空题9．2017·绵阳预测如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC＋∠BCD＝90°且DC＝2AB，分别以DA，AB，BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是__S1＋S3＝S2__．10．2015·东营如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为____.第10题图　　　第11题图11．导学号　14952369如图，在锐角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是__6__．12．导学号　149523702015·江西如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为__2或2或2__.

三、解答题13．2017·南充预测如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AC边上的中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F.若AE＝4，FC＝3，求EF的长．解连接BD，EF，则∠ADB＝∠CDB＝90°.∵∠EDB＋∠BDF＝∠BDF＋∠CDF＝90°，∴∠EDB＝∠FDC.又∠EBD＝∠FCD＝45°，BD＝AC＝CD，∴△EBD≌△FCD，∴EB＝FC＝

3.又AE＋BE＝BF＋FC，∴AE＝BF＝4，∴在Rt△EBF中，EF＝＝514．2016·滨州如图，∠ABC＝90°，D，E分别在BC，AC上，AD⊥DE，且AD＝DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M.1求证∠FMC＝∠FCM；2AD与MC垂直吗？并说明理由．解1∵△ADE是等腰直角三角形，F是AE的中点，∴DF⊥AE，DF＝AF＝EF.又∵∠ABC＝90°，∠DCF，∠AMF都与∠MAC互余，∴∠DCF＝∠AMF.又∵∠DFC＝∠AFM＝90°，∴△DFC≌△AFMAAS，∴CF＝MF，∴∠FMC＝∠FCM　2AD⊥MC，理由由1知∠MFC＝90°，FD＝FE，FM＝FC，∴∠FDE＝∠FMC＝45°，∴DE∥CM，∵AD⊥DE，∴AD⊥MC15．导学号　149523712017·自贡预测如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝45°，∠ADB＝∠ABC＝105°.1若AD＝2，求AB的长；2若AB＋CD＝2＋2，求AB的长．解1过D点作DE⊥AB，过点B作BF⊥CD，∵∠A＝∠C＝45°，∠ADB＝∠ABC＝105°，∴∠ADC＝360°－∠A－∠C－∠ABC＝360°－45°－45°－105°＝165°，∴∠BDF＝∠ADC－∠ADB＝165°－105°＝60°，△ADE与△BCF为等腰直角三角形，∵AD＝2，∴AE＝DE＝＝，∵∠ABC＝105°，∴∠ABD＝105°－45°－30°＝30°，∴BE＝＝＝，∴AB＝＋　2设DE＝x，则AE＝x，BE＝＝＝x，∴BD＝＝2x，∵∠BDF＝60°，∴∠DBF＝30°，∴DF＝BD＝x，∴BF＝＝＝x，∴CF＝x，∵AB＝AE＋BE＝x＋x，CD＝DF＋CF＝x＋x，AB＋CD＝2＋2，∴AB＝＋116．导学号　149523722016·随州爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图

①、图

②、图

③中，AM，BN是△ABC的中线，AM⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形称为“中垂三角形”．设BC＝a，AC＝b，AB＝c.【特例探究】1如图

①，当tan∠PAB＝1，c＝4时，a＝__4__，b＝__4__；如图

②，当∠PAB＝30°，c＝2时，a＝____，b＝____；【归纳证明】2请你观察1中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图

③证明你的结论；【拓展证明】3如图

④，▱ABCD中，E，F分别是AD，BC的三等分点，且AD＝3AE，BC＝3BF，连接AF，BE，CE，且BE⊥CE于点E，AF与BE相交点G，AD＝3，AB＝3，求AF的长．解2结论a2＋b2＝5c2，证明如答图

①中，连接MN，∵AM，BN是中线，∴MN∥AB，MN＝AB，∴△MPN∽△APB，∴＝＝，设MP＝x，NP＝y，则AP＝2x，BP＝2y，∴a2＝BC2＝4BM2＝4MP2＋BP2＝4x2＋16y2，b2＝AC2＝4AN2＝4PN2＋AP2＝4y2＋16x2，c2＝AB2＝AP2＋BP2＝4x2＋4y2，∴a2＋b2＝20x2＋20y2＝54x2＋4y2＝5c2答图

①　　答图

②3如答图

②中，在△AGE和△FGB中，∴△AGE≌△FGBAAS，∴BG＝EG，取AB中点H，连接FH并且延长交DA的延长线于P点，同理可证△APH≌△BFH，∴AP＝BF，PE＝CF＝2BF，即PE∥CF，PE＝CF，∴四边形CEPF是平行四边形，∴FP∥CE，∵BE⊥CE，∴FP⊥BE，即FH⊥BG，∴△ABF是中垂三角形，由2可知AB2＋AF2＝5BF2，∵AB＝3，BF＝AD＝，∴9＋AF2＝5×2，∴AF＝4。