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综合集训4 图形的认识与三角形
一、选择题1.2017·资阳预测如图,在△ABC中,∠C=90°,点D,E分别在边AC,AB上.若∠B=∠ADE,则下列结论正确的是CA.∠A和∠B互为补角B.∠B和∠ADE互为补角C.∠A和∠ADE互为余角D.∠AED和∠DEB互为余角第1题图 第2题图2.2016·东营如图,直线m∥n,∠1=70°,∠2=30°,则∠A等于CA.30°B.35°C.40°D.50°3.2016·荆州如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠CAB的平分线交BC于D,DE是AB的垂直平分线,垂足为E.若BC=3,则DE的长为AA.1B.2C.3D.4第3题图 第4题图4.2016·新疆如图,在△ABC和△DEF中,∠B=∠DEF,AB=DE,添加下列一个条件后,仍然不能证明△ABC≌△DEF,这个条件是DA.∠A=∠DB.BC=EFC.∠ACB=∠FD.AC=DF5.如图所示的正方形网格中,网格线的交点称为格点.已知A,B是两格点,如果C也是图中的格点,且使得△ABC为等腰三角形,则点C的个数是CA.6B.7C.8D.9第5题图 第6题图6.导学号 149523762015·日照如图,在直角△BAD中,延长斜边BD到点C,使DC=BD,连接AC,若tanB=,则tan∠CAD的值DA.B.C.D.7.导学号 149523772016·重庆如图,某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED,从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°,旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米,梯坎坡长BC是12米,梯坎坡度i=1,则大楼AB的高度约为D精确到
0.1米,参考数据≈
1.41,≈
1.73,≈
2.45A.
30.6 B.
32.1C.
37.9 D.
39.4第7题图 第8题图
二、填空题8.2017·眉山预测如图,直线AB∥CD,BC平分∠ABD,若∠1=54°,则∠2=__72°__.9.2015·枣庄如图,△ABC中,CD⊥AB于D,E是AC的中点.若AD=6,DE=5,则CD的长等于__8__.第9题图 第10题图10.如图,网格中的每个小正方形的边长都是1,△ABC每个顶点都在网格的交点处,则sinA=____.11.导学号 149523782016·临沂一般地,当α、β为任意角时,sinα+β与sinα-β的值可以用下面的公式求得sinα+β=sinα·cosβ+cosα·sinβ;sinα-β=sinα·cosβ-cosα·sinβ.例如sin90°=sin60°+30°=sin60°·cos30°+cos60°·sin30°=×+×=
1.类似地,可以求得sin15°的值是____.12.导学号 149523792015·昆明如图,△ABC是等边三角形,高AD,BE相交于点H,BC=4,在BE上截取BG=2,以GE为边作等边三角形GEF,则△ABH与△GEF重叠阴影部分的面积为____.
三、解答题13.导学号 149523802016·连云港如图,在△ABC中,∠C=150°,AC=4,tanB=.1求BC的长;2利用此图形求tan15°的值.精确到
0.1,参考数据≈
1.4,≈
1.7,≈
2.2解1过A作AD⊥BC,交BC的延长线于点D,如图1所示图1在Rt△ADC中,AC=4,∵∠ACB=150°,∴∠ACD=30°,∴AD=AC=2,CD=AC·cos30°=4×=2,在Rt△ABD中,tanB===,∴BD=16,∴BC=BD-CD=16-22在BC边上取一点M,使得CM=AC,连接AM,如图2所示图2∵∠ACB=150°,∴∠AMC=∠MAC=15°,tan15°=tan∠AMD====2-≈2-
1.7=
0.314.导学号 149523812017·广元预测已知点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点不与A,B重合,分别过A,B向直线CP作垂线,垂足分别为E,F,Q为斜边AB的中点.1如图
①,当点P与点Q重合时,AE与BF的位置关系是__AE∥BF__,QE与QF的数量关系是__QE=QF__;2如图
②,当点P在线段AB上不与点Q重合时,试判断QE与QF的数量关系,并给予证明;3如图
③,当点P在线段BA或AB的延长线上时,此时2中的结论是否成立?请画出图形并给予证明.解2QE=QF.证明如图
④,延长FQ交AE于点D,∵AE∥BF,∴∠1=∠
2.又∵∠3=∠4,AQ=BQ,∴△AQD≌△BQF,∴QD=QF,∵AE⊥CP,∴QE为斜边FD上的中线,∴QE=QF 3此时2中的结论成立.理由如图
⑤,延长EQ,FB交于点D,∵AE∥BF,∴∠1=∠D,又∵∠2=∠3,AQ=BQ,∴△AQE≌△BQD,∴QE=QD.∵BF⊥CP,∴FQ为斜边DE上的中线,∴QE=QF图
④ 图
⑤15.导学号 149523822017·巴中预测感知如图
①,AD平分∠BAC.∠B+∠C=180°,∠B=90°,易知DB=DC.探究如图
②,AD平分∠BAC,∠ABD+∠ACD=180°,∠ABD<90°,求证DB=DC.应用如图
③,四边形ABDC中,∠B=45°,∠C=135°,DB=DC=a,则AB-AC=__a__.用含a的代数式表示探究证明如图
②中,作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,∵DA平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF,∵∠B+∠ACD=180°,∠ACD+∠FCD=180°,∴∠B=∠FCD,在△DFC和△DEB中,∴△DFC≌△DEBAAS,∴DC=DB.应用解如图
③,连接AD,作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,∵∠B+∠ACD=180°,∠ACD+∠FCD=180°,∴∠B=∠FCD,在△DFC和△DEB中,∴△DFC≌△DEBAAS,∴DF=DE,CF=BE,在Rt△ADF和Rt△ADE中,∴Rt△ADF≌Rt△ADEHL,∴AF=AE,∴AB-AC=AE+BE-AF-CF=2BE,在Rt△DEB中,∵∠DEB=90°,∠B=∠EDB=45°,BD=a,∴BE=a,∴AB-AC=a.故答案为a。