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文本内容:
2016年河北省中考数学押题冲刺试卷
(一)
一、选择题(本大题共16个小题,1-10小题,每小题3分;11-16小题,每小题3分,共42分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.﹣(﹣3)×2的结果是( )A.1B.﹣5C.6D.﹣62.下列选项中,使根式有意义的a的取值范围为a<1的是( )A.B.C.D.3.如图,∠1的正切值为( )A.B.C.3D.24.下列几何体其中,左视图是平行四边形的有( )A.4个B.3个C.2个D.1个5.如图所示的图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )A.B.C.D.6.如图,正六边形螺帽的边长是2cm,这个扳手的开口a的值应是( )A.cmB.cmC.cmD.1cm7.在直角坐标系中,O为坐标原点,已知,在y轴上确定点P,使得△AOP为等腰三角形,则符合条件的P点共有几个( )A.4B.3C.2D.18.已知等腰△ABC的两条边的长度是一元二次方程x2﹣6x+8=0的两根,则△ABC的周长是( )A.10B.8C.6D.8或109.若关于x的方程有增根,则m的值为( )A.0B.1C.﹣1D.210.小明制作了如图所示的正方体礼品盒,其对面图案都相同,那么该正方体的平面展开图可能是( )A.B.C.D.11.上周周末放学,小华的妈妈来学校门口接他回家,小华离开教室后不远便发现把文具盒遗忘在了教室里,于是以相同的速度折返回去拿,到了教室后碰到班主任,并与班主任交流了一下周末计划才离开,为了不让妈妈久等,小华快步跑到学校门口,则小华离学校门口的距离y与时间t之间的函数关系的大致图象是( )A.B.C.D.12.如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称.AB∥x轴,AB=4cm,最低点C在x轴上,高CH=1cm,BD=2cm.则右轮廓线DFE的函数解析式为( )A.B.C.D.13.如图,AB∥DE,AC∥DF,AC=DF,下列条件中不能判断△ABC≌△DEF的是( )A.AB=DEB.∠B=∠EC.EF=BCD.EF∥BC14.如图,在▱ABCD中,AD=6,AB=4,DE平分∠ADC交BC于点E,则BE的长是( )A.2B.3C.4D.515.已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0)经过点M(﹣1,2)和点N(1,﹣2),交x轴于A,B两点,交y轴于C.则
①b=﹣2;
②该二次函数图象与y轴交于负半轴;
③存在这样一个a,使得M、A、C三点在同一条直线上;
④若a=1,则OA•OB=OC2.以上说法正确的有( )A.
①②③④B.
②③④C.
①②④D.
①②③16.如图所示,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥BC交AC于点E,已知AD=AB,连接BE交AD于点F,下列结论
①BE=CE;
②∠CAD=∠ABE;
③S△ABF=3S△DEF;
④△DEF∽△DAE,其中正确的有( )A.1个B.4个C.3个D.2个
二、填空题(本大题共4个小题,每小题3分,共12分,把答案写在题中横线上)17.分解因式8x2y﹣8xy+2y= .18.抛一枚质地均匀各面分别刻有
1、
2、
3、
4、
5、6点的正方体骰子,将所得的点数作为m的值,代入关于x、y的二元一次方程组中,则此二元一次方程组有整数解的概率为 .19.如图,菱形ABCD中,对角线AC=6,BD=8,M、N分别是BC、CD的中点,P是线段BD上的一个动点,则PM+PN的最小值是 .20.如图所示是装有三个小轮的手拉车在“爬”楼梯时的侧面示意图,定长的轮架杆OA,OB,OC抽象为线段,有OA=OB=OC,且∠AOB=120°.折线NG﹣GH﹣HE﹣EF表示楼梯,GH,EF是水平线,NG,HE是铅垂线,半径相等的小轮子⊙A,⊙B与楼梯两边都相切,且AO∥GH.如图2,若点H在线段OB时,则的值是 .
三、解答题(本大题共6个小题,共66分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)21.阅读下列材料解答“已知x﹣y=2,且x>1,y<0,试确定x+y的取值范围”有如下解法解∵x﹣y=2,∴x=y+2又∵x>1,∴y+2>1.∴y>﹣1.又∵y<0,∴﹣1<y<0.…
①同理得1<x<2.…
②由
①+
②得﹣1+1<y+x<0+2∴x+y的取值范围是0<x+y<2请按照上述方法,完成下列问题
(1)已知x﹣y=3,且x>2,y<1,则x+y的取值范围是 .
(2)已知y>1,x<﹣1,若x﹣y=a成立,求x+y的取值范围(结果用含a的式子表示).22.“端午节”吃粽子是我国流传了上千年的习俗.某班学生在“端午节”前组织了一次综合实践活动,购买了一些材料制作爱心粽,每人从自己制作的粽子中随机选取两个献给自己的父母,其余的全部送给敬老院的老人们.统计全班学生制作粽子的个数,将制作粽子数量相同的学生分为一组,全班学生可分为A,B,C,D四个组,各组每人制作的粽子个数分别为4,5,6,7.根据如图不完整的统计图解答下列问题
(1)请补全上面两个统计图;(不写过程)
(2)该班学生制作粽子个数的平均数是 ;
(3)若制作的粽子有红枣馅(记为M)和蛋黄馅(记为N)两种,该班小明同学制作这两种粽子各两个混放在一起,请用列表或画树形图的方法求小明献给父母的粽子馅料不同的概率.23.如图,在锐角三角形纸片ABC中,AC>BC,点D,E,F分别在边AB,BC,CA上.
(1)已知DE∥AC,DF∥BC.
①判断四边形DECF一定是什么形状?
②裁剪当AC=24cm,BC=20cm,∠ACB=45°时,请你探索如何剪四边形DECF,能使它的面积最大,并证明你的结论;
(2)折叠请你只用两次折叠,确定四边形的顶点D,E,C,F,使它恰好为菱形,并说明你的折法和理由.24.如图,△ABC是等腰三角形,且AC=BC,∠ACB=120°,在AB上取一点O,使OB=OC,以O为圆心,OB为半径作图,过C作CD∥AB交⊙O于点D,连接BD.
(1)猜想AC与⊙O的位置关系,并证明你的猜想;
(2)试判断四边形BOCD的形状,并证明你的判断;
(3)已知AC=6,求扇形OBC围成的圆锥的底面圆半径.25.某种电缆在空中架设时,两端挂起的电缆下垂都近似成抛物线的形状,现按操作要求,电缆最低点离水平地面不得小于6米.
(1)如图1,若水平距离间隔80米建造一个电缆塔柱,求此电缆塔柱用于固定电缆的位置离地面至少应有多少米的高度?
(2)如图2,若在一个坡度为15的斜坡上,按水平距离间隔50米架设两固定电缆的位置离地面高度为20米的塔柱.
①求这种情况下在竖直方向上,下垂的电缆与地面的最近距离为多少米?
②这种情况下,直接写出下垂的电缆与地面的最近距离为多少米?26.研究几何图形,我们往往先给出这类图形的定义,再研究它的性质和判定.定义六个内角相等的六边形叫等角六边形.
(1)研究性质
①如图1,等角六边形ABCDEF中,三组正对边AB与DE,BC与EF,CD与AF分别有什么位置关系?证明你的结论.
②如图2,等角六边形ABCDEF中,如果有AB=DE,则其余两组正对边BC与EF,CD与AF相等吗?证明你的结论.
③如图3,等角六边形ABCDEF中,如果三条正对角线AD,BE,CF相交于一点O,那么三组正对边AB与DE,BC与EF,CD与AF分别有什么数量关系?证明你的结论.
(2)探索判定三组正对边分别平行的六边形,至少需要几个内角为120°,才能保证六边形一定是等角六边形? 2016年河北省中考数学押题冲刺试卷
(一)参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共16个小题,1-10小题,每小题3分;11-16小题,每小题3分,共42分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.﹣(﹣3)×2的结果是( )A.1B.﹣5C.6D.﹣6【考点】有理数的乘法.【分析】有理数乘法法则两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘,依此计算即可求解.【解答】解﹣(﹣3)×2=3×2=6故﹣(﹣3)×2的结果是6.故选C. 2.下列选项中,使根式有意义的a的取值范围为a<1的是( )A.B.C.D.【考点】二次根式有意义的条件.【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数,同时应考虑分母中若有字母,字母的取值不能使分母为零,即可求解.【解答】解A、当a≥1时,根式有意义.B、当a≤1时,根式有意义.C、a取任何值根式都有意义.D、要使根式有意义,则a≤1,且分母不为零,故a<1,故选D. 3.如图,∠1的正切值为( )A.B.C.3D.2【考点】锐角三角函数的定义;圆周角定理.【分析】根据同弧所对的圆周角相等,可以把求三角函数的问题,转化为直角三角形的边的比的问题.【解答】解根据圆周角的性质可得∠1=∠2.∵tan∠2=,∴∠1的正切值等于.故选A. 4.下列几何体其中,左视图是平行四边形的有( )A.4个B.3个C.2个D.1个【考点】简单几何体的三视图.【分析】左视图是从几何体的左面看所得到的图形.【解答】解圆柱的左视图是长方形,长方形是一个特殊的平行四边形;圆锥的左视图是三角形;棱柱的左视图是长方形,长方形是一个特殊的平行四边形;长方体的左视图是长方形,长方形是一个特殊的平行四边形;故左视图是平行四边形的有3个,故选B. 5.如图所示的图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )A.B.C.D.【考点】中心对称图形;轴对称图形.【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可.【解答】解A、不是轴对称图形,也不是中心对称图形;B、是轴对称图形,不是中心对称图形;C、是轴对称图形,不是中心对称图形;D、是轴对称图形,也是中心对称图形.故选D. 6.如图,正六边形螺帽的边长是2cm,这个扳手的开口a的值应是( )A.cmB.cmC.cmD.1cm【考点】正多边形和圆.【分析】连接AC,作BD⊥AC于D;根据正六边形的特点求出∠ABC的度数,再由等腰三角形的性质求出∠BAD的度数,由特殊角的三角函数值求出AD的长,进而可求出AC的长.【解答】解连接AC,过B作BD⊥AC于D;∵AB=BC,∴△ABC是等腰三角形,∴AD=CD;∵此多边形为正六边形,∴∠ABC==120°,∴∠ABD==60°,∴∠BAD=30°,AD=AB•cos30°=2×=,∴a=2cm.故选A. 7.在直角坐标系中,O为坐标原点,已知,在y轴上确定点P,使得△AOP为等腰三角形,则符合条件的P点共有几个( )A.4B.3C.2D.1【考点】等腰三角形的判定;坐标与图形性质.【分析】首先算出AO的长,再以O为圆心,AO长为半径画圆,交y轴于两点,再做出AO的垂直平分线,与y轴交点也可以构造出等腰三角形,此时为(0,2)点,得出只有两点即为P所在位置.【解答】解过点A作AC⊥x轴于点C,∵,∴AO=2,tan∠AOC===,∴∠AOC=30°,以O为圆心,2为半径画圆,交y轴于两点(0,2),(0,﹣2),作AO的垂直平分线,此时交点正好与(0,2)点重合,故使得△AOP为等腰三角形,则符合条件的P点共有2个,故选C. 8.已知等腰△ABC的两条边的长度是一元二次方程x2﹣6x+8=0的两根,则△ABC的周长是( )A.10B.8C.6D.8或10【考点】解一元二次方程-因式分解法;三角形三边关系;等腰三角形的性质.【分析】用因式分解法可以求出方程的两个根分别是2和4,根据等腰三角形的三边关系,腰应该是4,底是2,然后可以求出三角形的周长.【解答】解x2﹣6x+8=0,∴(x﹣2)(x﹣4)=0,∴x1=2,x2=4.由三角形的三边关系可得(两边之和大于第三边),∴腰长是4,底边是2,所以周长是4+4+2=10.故选A. 9.若关于x的方程有增根,则m的值为( )A.0B.1C.﹣1D.2【考点】分式方程的增根.【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根.把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值.【解答】解方程两边都乘(x﹣2),得m=1﹣x∵最简公分母(x﹣2)∴原方程增根为x=2,∴把x=2代入整式方程,得m=﹣1.故选C. 10.小明制作了如图所示的正方体礼品盒,其对面图案都相同,那么该正方体的平面展开图可能是( )A.B.C.D.【考点】几何体的展开图.【分析】对面图案均相同的正方体礼品盒,则两个相同的图案一定不能相邻,据此即可判断.【解答】解A、两个相同的图案三角形和花都相邻,故选项错误;B、正确;C、两个相同的图案三角形和星相邻,故选项错误;D、两个相同的图案星和花相邻,故选项错误.故选B. 11.上周周末放学,小华的妈妈来学校门口接他回家,小华离开教室后不远便发现把文具盒遗忘在了教室里,于是以相同的速度折返回去拿,到了教室后碰到班主任,并与班主任交流了一下周末计划才离开,为了不让妈妈久等,小华快步跑到学校门口,则小华离学校门口的距离y与时间t之间的函数关系的大致图象是( )A.B.C.D.【考点】函数的图象.【分析】根据题意出教室,离门口近,返回教室离门口远,在教室内距离不变,速快跑距离变化快,可得答案.【解答】解根据题意得,函数图象是距离先变短,再变长,在教室内没变化,最后迅速变短,B符合题意;故选B. 12.如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称.AB∥x轴,AB=4cm,最低点C在x轴上,高CH=1cm,BD=2cm.则右轮廓线DFE的函数解析式为( )A.B.C.D.【考点】二次函数的应用.【分析】利用坐标系易得A、B、C三点的坐标,根据待定系数法就可以求出抛物线的解析式,再利用二次函数关于y轴对称的性质,即可得出答案.【解答】解设左轮廓线ACB的抛物线解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),∵A(﹣5,1),B(﹣1,1),C(﹣3,0),∴,解得;∴左轮廓线ACB的抛物线解析式为y=x2+x+;由左右两轮廓线关于y轴对称,y=x2+x+=(x+3)2,∴右轮廓线DFE的函数解析式为y=(x﹣3)2,故选C. 13.如图,AB∥DE,AC∥DF,AC=DF,下列条件中不能判断△ABC≌△DEF的是( )A.AB=DEB.∠B=∠EC.EF=BCD.EF∥BC【考点】全等三角形的判定.【分析】本题可以假设A、B、C、D选项成立,分别证明△ABC≌△DEF,即可解题.【解答】解∵AB∥DE,AC∥DF,∴∠A=∠D,
(1)AB=DE,则△ABC和△DEF中,,∴△ABC≌△DEF,故A选项错误;
(2)∠B=∠E,则△ABC和△DEF中,,∴△ABC≌△DEF,故B选项错误;
(3)EF=BC,无法证明△ABC≌△DEF(ASS);故C选项正确;
(4)∵EF∥BC,AB∥DE,∴∠B=∠E,则△ABC和△DEF中,,∴△ABC≌△DEF,故D选项错误;故选C. 14.如图,在▱ABCD中,AD=6,AB=4,DE平分∠ADC交BC于点E,则BE的长是( )A.2B.3C.4D.5【考点】平行四边形的性质.【分析】由四边形ABCD是平行四边形,可得BC=AD=6,CD=AB=4,AD∥BC,得∠ADE=∠DEC,又由DE平分∠ADC,可得∠CDE=∠DEC,根据等角对等边,可得EC=CD=4,所以求得BE=BC﹣EC=2.【解答】解∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC=AD=6,CD=AB=4,AD∥BC,∴∠ADE=∠DEC,∵DE平分∠ADC,∴∠ADE=∠CDE,∴∠CDE=∠DEC,∴EC=CD=4,∴BE=BC﹣EC=2.故选A. 15.已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0)经过点M(﹣1,2)和点N(1,﹣2),交x轴于A,B两点,交y轴于C.则
①b=﹣2;
②该二次函数图象与y轴交于负半轴;
③存在这样一个a,使得M、A、C三点在同一条直线上;
④若a=1,则OA•OB=OC2.以上说法正确的有( )A.
①②③④B.
②③④C.
①②④D.
①②③【考点】抛物线与x轴的交点.【分析】
①根据二次函数y=ax2+bx+c(a>0)经过点M(﹣1,2)和点N(1,﹣2),代入可得a、b、c的关系,然后通过变形可以得到b的值,即可判断
①是否正确;
②根据二次函数y=ax2+bx+c(a>0)经过点M(﹣1,2)和点N(1,﹣2),代入可得a、b、c的关系,通过变形可以得到a、c的关系,由a>0,即可判断c的正负,从而可以判断
②是否正确;
③求出过点M、C的直线解析式,然后令y=0,求出相应的x的值,然后将x的值代入二次函数的解析式,看是否有a的值使得二次函数的值等于,注意a的值必须大于0,从而可以判断
③是否正确;
④根据a的值可以得到二次函数的解析式,从而可以推出结论是否正确.【解答】解∵二次函数y=ax2+bx+c(a>0)经过点M(﹣1,2)和点N(1,﹣2),∴
②﹣
①,得2b=﹣4,解得b=﹣2,故
①b=﹣2正确;
②+
①,得2(a+c)=0,∴a+c=0,∵a>0,∴c=﹣a<0,故
②正确;设过点M(﹣1,2),点C(0,c)的直线的解析式为y=kx+m∴,解得,∴y=(c﹣2)x+c,∵c=﹣a,∴y=(﹣a﹣2)x﹣a,当y=0时,x=,将x=代入y=ax2﹣2x﹣a,得y=,令=0,得a=0,∵a>0,∴a=0不符题意,故
③错误;当a=1时,二次函数的解析式为y=x2﹣2x﹣1,∴当y=0时,设x2﹣2x﹣1=0的两根为x1,x2,∴,∴OA•OB=|x1|•|x2|=|﹣1|=1=(﹣1)2=OC2,故
④正确;故选C. 16.如图所示,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥BC交AC于点E,已知AD=AB,连接BE交AD于点F,下列结论
①BE=CE;
②∠CAD=∠ABE;
③S△ABF=3S△DEF;
④△DEF∽△DAE,其中正确的有( )A.1个B.4个C.3个D.2个【考点】三角形综合题.【分析】要解答本题,首先由中垂线的性质可以求得BE=CE,利用外角与内角的关系可以得出∠CAD=∠ABE,通过作辅助线利用等腰三角形的性质和三角形全等可以得出EF=FH=HB,根据等高的两三角形的面积关系求出AF=DF,S△ABF=3S△DEF,利用角的关系代替证明∠5≠∠4,从而得出△DEF与△DAE不相似.根据以上的分析可以得出正确的选项答案.【解答】解∵D是BC的中点,且DE⊥BC,∴DE是BC的垂直平分线,CD=BD,∴CE=BE,故
①正确;∴∠C=∠7,∵AD=AB,∴∠8=∠ABC=∠6+∠7,∵∠8=∠C+∠4,∴∠C+∠4=∠6+∠7,∴∠4=∠6,即∠CAD=∠ABE,故
②正确;作AG⊥BD于点G,交BE于点H,∵AD=AB,DE⊥BC,∴∠2=∠3,DG=BG=BD,DE∥AG,∴△CDE∽△CGA,△BGH∽△BDE,EH=BH,∠EDA=∠3,∠5=∠1,∴在△DEF与△AHF中,,∴△DEF≌△AHF(AAS),∴AF=DF,EF=HF=EH,且EH=BH,∴EF BF=13,∴S△ABF=3S△AEF,∵S△DEF=S△AEF,∴S△ABF=3S△DEF,故
③正确;∵∠1=∠2+∠6,且∠4=∠6,∠2=∠3,∴∠5=∠3+∠4,∴∠5≠∠4,∴△DEF∽△DAE,不成立,故
④错误.综上所述正确的答案有3个.故选C.
二、填空题(本大题共4个小题,每小题3分,共12分,把答案写在题中横线上)17.分解因式8x2y﹣8xy+2y= 2y(2x﹣1)2 .【考点】提公因式法与公式法的综合运用.【分析】先提取公因式2y,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解.完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2.【解答】解8x2y﹣8xy+2y,=2y(4x2﹣4x+1),=2y(2x﹣1)2. 18.抛一枚质地均匀各面分别刻有
1、
2、
3、
4、
5、6点的正方体骰子,将所得的点数作为m的值,代入关于x、y的二元一次方程组中,则此二元一次方程组有整数解的概率为 .【考点】概率公式;二元一次方程组的解.【分析】先根据题意求出方程组的解,再根据概率公式即可求出答案.【解答】解∵当m=1时,,当m=2时,,当m=3时,,当m=4时,,当m=5时,,当m=6时,无解,∴二元一次方程组有整数解的概率为=;故答案为. 19.如图,菱形ABCD中,对角线AC=6,BD=8,M、N分别是BC、CD的中点,P是线段BD上的一个动点,则PM+PN的最小值是 5 .【考点】轴对称-最短路线问题;勾股定理的应用;平行四边形的判定与性质;菱形的性质.【分析】作M关于BD的对称点Q,连接NQ,交BD于P,连接MP,此时MP+NP的值最小,连接AC,求出CP、PB,根据勾股定理求出BC长,证出MP+NP=QN=BC,即可得出答案.【解答】解作M关于BD的对称点Q,连接NQ,交BD于P,连接MP,此时MP+NP的值最小,连接AC,∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∠QBP=∠MBP,即Q在AB上,∵MQ⊥BD,∴AC∥MQ,∵M为BC中点,∴Q为AB中点,∵N为CD中点,四边形ABCD是菱形,∴BQ∥CD,BQ=CN,∴四边形BQNC是平行四边形,∴NQ=BC,∵四边形ABCD是菱形,∴CP=AC=3,BP=BD=4,在Rt△BPC中,由勾股定理得BC=5,即NQ=5,∴MP+NP=QP+NP=QN=5,故答案为5. 20.如图所示是装有三个小轮的手拉车在“爬”楼梯时的侧面示意图,定长的轮架杆OA,OB,OC抽象为线段,有OA=OB=OC,且∠AOB=120°.折线NG﹣GH﹣HE﹣EF表示楼梯,GH,EF是水平线,NG,HE是铅垂线,半径相等的小轮子⊙A,⊙B与楼梯两边都相切,且AO∥GH.如图2,若点H在线段OB时,则的值是 .【考点】切线的性质.【分析】如图,作OK⊥GH,BT⊥HE垂足分别为K、T,设圆的半径都是r,分别求出OH、HB即可解决问题.【解答】解如图,作OK⊥GH,BT⊥HE垂足分别为K、T,设圆的半径都是r,在Rt△OKH中,∵∠OKH=90°,OK=r,∠OHK=180°﹣∠AOB=60°,∴cos60°=,∴OH=r,在Rt△HTB中,∵∠HTB=90°,BT=r,∠THB=30°,∴BH=2BT=2r,∴==.故答案为.
三、解答题(本大题共6个小题,共66分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)21.阅读下列材料解答“已知x﹣y=2,且x>1,y<0,试确定x+y的取值范围”有如下解法解∵x﹣y=2,∴x=y+2又∵x>1,∴y+2>1.∴y>﹣1.又∵y<0,∴﹣1<y<0.…
①同理得1<x<2.…
②由
①+
②得﹣1+1<y+x<0+2∴x+y的取值范围是0<x+y<2请按照上述方法,完成下列问题
(1)已知x﹣y=3,且x>2,y<1,则x+y的取值范围是 1<x+y<5 .
(2)已知y>1,x<﹣1,若x﹣y=a成立,求x+y的取值范围(结果用含a的式子表示).【考点】一元一次不等式组的应用.【分析】
(1)根据阅读材料所给的解题过程,直接套用解答即可;
(2)理解解题过程,按照解题思路求解.【解答】解
(1)∵x﹣y=3,∴x=y+3,又∵x>2,∴y+3>2,∴y>﹣1.又∵y<1,∴﹣1<y<1,…
①同理得2<x<4,…
②由
①+
②得﹣1+2<y+x<1+4∴x+y的取值范围是1<x+y<5;
(2)∵x﹣y=a,∴x=y+a,又∵x<﹣1,∴y+a<﹣1,∴y<﹣a﹣1,又∵y>1,∴1<y<﹣a﹣1,…
①同理得a+1<x<﹣1,…
②由
①+
②得1+a+1<y+x<﹣a﹣1+(﹣1),∴x+y的取值范围是a+2<x+y<﹣a﹣2. 22.“端午节”吃粽子是我国流传了上千年的习俗.某班学生在“端午节”前组织了一次综合实践活动,购买了一些材料制作爱心粽,每人从自己制作的粽子中随机选取两个献给自己的父母,其余的全部送给敬老院的老人们.统计全班学生制作粽子的个数,将制作粽子数量相同的学生分为一组,全班学生可分为A,B,C,D四个组,各组每人制作的粽子个数分别为4,5,6,7.根据如图不完整的统计图解答下列问题
(1)请补全上面两个统计图;(不写过程)
(2)该班学生制作粽子个数的平均数是 6个 ;
(3)若制作的粽子有红枣馅(记为M)和蛋黄馅(记为N)两种,该班小明同学制作这两种粽子各两个混放在一起,请用列表或画树形图的方法求小明献给父母的粽子馅料不同的概率.【考点】条形统计图;扇形统计图;列表法与树状图法.【分析】
(1)由A的人数除以所占的百分比求出总人数,进而求出D的人数,得到C占的百分比,补全统计图即可;
(2)根据题意列出算式,计算即可得到结果;
(3)列表得出所有等可能的情况数,找出粽子馅料不同的结果,即可求出所求的概率.【解答】解
(1)根据题意得6÷15%=40(人),D的人数为40×40%=16(人),C占的百分比为1﹣(10%+15%+40%)=35%,补全统计图,如图所示
(2)根据题意得(6×4+4×5+14×6+16×7)÷40=6(个),则该班学生制作粽子个数的平均数是6个;故答案为6个;
(3)列表如下MMNNM﹣﹣﹣(M,M)(N,M)(N,M)M(M,M)﹣﹣﹣(N,M)(N,M)N(M,N)(M,N)﹣﹣﹣(N,N)N(M,N)(M,N)(N,N)﹣﹣﹣所有等可能的情况有12种,其中粽子馅料不同的结果有8种,则P==. 23.如图,在锐角三角形纸片ABC中,AC>BC,点D,E,F分别在边AB,BC,CA上.
(1)已知DE∥AC,DF∥BC.
①判断四边形DECF一定是什么形状?
②裁剪当AC=24cm,BC=20cm,∠ACB=45°时,请你探索如何剪四边形DECF,能使它的面积最大,并证明你的结论;
(2)折叠请你只用两次折叠,确定四边形的顶点D,E,C,F,使它恰好为菱形,并说明你的折法和理由.【考点】四边形综合题;二次函数的最值;菱形的判定;相似三角形的判定与性质.【分析】
(1)
①根据有两组对边互相平行的四边形是平行四边形即可求得,
②根据△ADF∽△ABC推出对应边的相似比,然后进行转换,即可得出高h与x之间的函数关系式,根据平行四边形的面积公式,很容易得出面积S关于h的二次函数表达式,求出顶点坐标,就可得出面积s最大时h的值.
(2)第一步BC边向AC边折叠,使BC与AC重合,得到折痕交AB于D(CD为∠ACB对角线);第二步C点向AB边折叠,使C点与D点重合,得到折痕交BC边于E,交AC边于F;通过上述两次折叠,得到点DECF,组成的四边形为菱形.【解答】解
(1)如图1,
①∵DE∥AC,DF∥BC,∴四边形DECF是平行四边形.
②作AG⊥BC,交BC于G,交DF于H,∵∠ACB=45°,AC=24cm∴AG==12cm,设DF=EC=x,平行四边形的高为h,则AH=12h,∵DF∥BC,∴△ADF∽△ABC,∴=,∵BC=20cm,即=∴x=×20,∵S=xh=×20h=20h﹣h2.∴h=﹣=﹣=6,∵AG=12cm,∴AF=FC,∴在AC中点处剪四边形DECF,能使它的面积最大.
(2)
①BC边向AC边折叠,使BC与AC重合,得到折痕交AB于D(CD为∠ACB的角平分线);
②C点向AB边折叠,使C点与D点重合,得到折痕交BC边于E,交AC边于F;通过上述两次折叠,得到点DECF,组成的四边形为菱形.理由∵CD和EF是四边形DECF对角线,而CD和EF互相垂直且平分,∴四边形DECF是菱形.
(3)先折∠ACB的平分线(使CB落在CA上),折线与AB的交点为点D,再折DC的垂直平分线(使点C与点D重合),压平,折线与BC、CA的交点分别为E、F,展平后四边形DECF就是菱形.理由如下由CB落在CA上,折现与AB的交点为点D,可得∠ACD=∠BCD.由点C与点D重合,折线与BC、CA的交点分别为点E、F,可得CF=DF=DE=CE,即四边形DECF为菱形. 24.如图,△ABC是等腰三角形,且AC=BC,∠ACB=120°,在AB上取一点O,使OB=OC,以O为圆心,OB为半径作图,过C作CD∥AB交⊙O于点D,连接BD.
(1)猜想AC与⊙O的位置关系,并证明你的猜想;
(2)试判断四边形BOCD的形状,并证明你的判断;
(3)已知AC=6,求扇形OBC围成的圆锥的底面圆半径.【考点】切线的判定;菱形的判定;圆锥的计算.【分析】
(1)根据等腰三角形的性质得∠A=∠ABC=30°,再由OB=OC得∠OCB=∠OBC=30°,所以∠ACO=∠ACB﹣∠OCB=90°,然后根据切线的判定定理即可得到AC是⊙O的切线;
(2)连结OD,由CD∥AB得到∠AOC=∠OCD,根据三角形外角性质得∠AOC=∠OBC+∠OCB=60°,所以∠OCD=60°,于是可判断△OCD为等边三角形,则CD=OB=OC,先可判断四边形OBDC为平行四边形,加上OB=OC,于是可判断四边形BOCD为菱形;
(3)在Rt△AOC中,根据含30度的直角三角形三边的关系得到OC=AC=2,再根据弧长公式计算出弧BC的长=π,然后根据圆锥的计算求圆锥的底面圆半径.【解答】解
(1)AC与⊙O相切.理由如下∵AC=BC,∠ACB=120°,∴∠A=∠ABC=30°,∵OB=OC,∴∠OCB=∠OBC=30°,∴∠ACO=∠ACB﹣∠OCB=90°,∴OC⊥AC,∴AC是⊙O的切线;
(2)四边形BOCD为菱形.理由如下连结OD,∵CD∥AB,∴∠AOC=∠OCD,∵∠AOC=∠OBC+∠OCB=60°,∴∠OCD=60°,而OC=OD,∴△OCD为等边三角形,∴CD=OB=OC,∴四边形OBDC为平行四边形,而OB=OC,∴四边形BOCD为菱形;
(3)在Rt△AOC中,AC=6,∠A=30°,∴OC=AC=2,∴弧BC的长==π,设圆锥的底面圆半径为r,∴2πr=π,∴r=. 25.某种电缆在空中架设时,两端挂起的电缆下垂都近似成抛物线的形状,现按操作要求,电缆最低点离水平地面不得小于6米.
(1)如图1,若水平距离间隔80米建造一个电缆塔柱,求此电缆塔柱用于固定电缆的位置离地面至少应有多少米的高度?
(2)如图2,若在一个坡度为15的斜坡上,按水平距离间隔50米架设两固定电缆的位置离地面高度为20米的塔柱.
①求这种情况下在竖直方向上,下垂的电缆与地面的最近距离为多少米?
②这种情况下,直接写出下垂的电缆与地面的最近距离为多少米?【考点】二次函数的应用;解直角三角形的应用-坡度坡角问题.【分析】
(1)因为水平距离间隔80米,说明最低点的横坐标为40,代入,求出高度,加上6即可;
(2)以点A为原点建立坐标系,设抛物线的顶点为M,作MF⊥CD,交DE于点G,交CD于点F,首先根据题意,设出抛物线的解析式为y=x2+bx,把B(50,10)代入,可求出抛物线的解析式,根据其性质,可得出顶点的坐标M(15,﹣
2.25),求得MF,根据坡度15,可求得GF的长,即可求出MG的长,即下垂的电缆与地面的最近距离;【解答】解
(1)y=×402=16,16+6=22米;固定电缆的位置离地面至少应有22米的高度.
(2)如图,
①以D为坐标原点,DC方向为x轴正方向建立直角坐标系.设此时抛物线解析式为y=x2+bx+c易知A(0,20),B(50,30),代入解析式可求得b=﹣310,c=20.∴y=x2﹣310x+20易求得斜坡所在直线的解析式为y=15x设一条与x轴垂直的直线x=m与抛物线交于M,与斜坡交于G.则MG=m2﹣310m+20﹣15m=1100(m﹣25)2+
13.75∴当m=25时,MN的最小值为
13.75即在竖直方向上,下垂的电缆与地面的最近距离为
13.75米 26.研究几何图形,我们往往先给出这类图形的定义,再研究它的性质和判定.定义六个内角相等的六边形叫等角六边形.
(1)研究性质
①如图1,等角六边形ABCDEF中,三组正对边AB与DE,BC与EF,CD与AF分别有什么位置关系?证明你的结论.
②如图2,等角六边形ABCDEF中,如果有AB=DE,则其余两组正对边BC与EF,CD与AF相等吗?证明你的结论.
③如图3,等角六边形ABCDEF中,如果三条正对角线AD,BE,CF相交于一点O,那么三组正对边AB与DE,BC与EF,CD与AF分别有什么数量关系?证明你的结论.
(2)探索判定三组正对边分别平行的六边形,至少需要几个内角为120°,才能保证六边形一定是等角六边形?【考点】四边形综合题;全等三角形的判定与性质;多边形内角与外角;平行四边形的判定与性质;相似三角形的判定与性质.【分析】
(1)通过验证容易得到猜想三组正对边分别平行.要证明两条线段平行,只需证明同位角相等或内错角相等或同旁内角互补,要证AB∥DE,只需连接AD,证明∠ADE=∠DAB即可,其它两组同理可得.
(2)要证BC=EF,CD=AF,只需连接AE、BD,证明△AFE≌△DCB即可.
(3)由条件“三条正对角线AD,BE,CF相交于一点O”及
(1)中的结论可证到=,将等角六边形ABCDEF补成等边三角形后,可以证到AB+AF=DE+DC,从而得到三组正对边分别相等.
(4)若只有1个内角为120°或有2个内角为120°,可以通过举反例说明该六边形不一定是等角六边形;若有3个内角为120°,可以通过分类讨论证明该六边形一定是等角六边形.【解答】解
(1)
①结论AB∥DE,BC∥EF,CD∥AF.证明连接AD,如图1,∵六边形ABCDEF是等角六边形,∴∠BAF=∠F=∠E=∠EDC=∠C=∠B==120°.∵∠DAF+∠F+∠E+∠EDA=360°,∴∠DAF+∠EDA=360°﹣120°﹣120°=120°.∵∠DAF+∠DAB=120°,∴∠DAB=∠EDA.∴AB∥DE.同理BC∥EF,CD∥AF.
②结论EF=BC,AF=DC.证明连接AE、DB,如图2,∵AB∥DE,AB=DE,∴四边形ABDE是平行四边形.∴AE=DB,∠EAB=∠BDE.∵∠BAF=∠EDC.∴∠FAE=∠CDB.在△AFE和△DCB中,.∴△AFE≌△DCB.∴EF=BC,AF=DC.
③结论AB=DE,AF=DC,EF=BC.延长FE、CD相交于点P,延长EF、BA相交于点Q,延长DC、AB相交于点S,如图3.∵六边形ABCDEF是等角六边形,∴∠BAF=∠AFE=120°.∴∠QAF=∠QFA=60°.∴△QAF是等边三角形.∴∠Q=60°,QA=QF=AF.同理∠S=60°,SB=SC=BC;∠P=60°,PE=PD=ED.∵∠S=∠P=60°,∴△PSQ是等边三角形.∴PQ=QS=SP.∴QB=QS﹣BS=PS﹣CS=PC.∴AB+AF=AB+QA=QB=PC=PD+DC=ED+DC.∵AB∥ED,∴△AOB~△DOE.∴.同理,.∴.∴==1.∴AB=ED,AF=DC,EF=BC.
(2)连接BF,如图4,∵BC∥EF,∴∠CBF+∠EFB=180°.∵∠A+∠ABF+∠AFB=180°,∴∠ABC+∠A+∠AFE=360°.同理∠A+∠ABC+∠C=360°.∴∠AFE=∠C.同理∠A=∠D,∠ABC=∠E.Ⅰ.若有2个内角等于120°,不能保证该六边形一定是等角六边形.反例当∠A=∠D=120°,∠ABC=150°时,∠E=∠ABC=150°.∵六边形的内角和为720°,∴∠AFE=∠C==90°.此时该六边形不是等角六边形.Ⅱ.若有3个内角等于120°,能保证该六边形一定是等角六边形.设∠A=∠D=α,∠ABC=∠E=β,∠AFE=∠C=γ.则2α+2β+2γ=720°.∴α+β+γ=360°.∵有3个内角等于120°,∴α、β、γ中至少有两个为120°.若α、β、γ都等于120°,则六个内角都等于120°;若α、β、γ中有两个为120°,根据α+β+γ=360°可得第三个也等于120°,则六个内角都等于120°.综上所述至少有3个内角等于120°,能保证该六边形一定是等角六边形.。