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直线、射线、线段(基础)知识讲解撰稿孙景艳审稿赵炜【学习目标】1.理解直线、射线、线段的概念,掌握它们的区别和__;
2.利用直线、线段的性质解决相关实际问题;3.利用线段的和差倍分解决相关计算问题.【要点__】要点
一、直线1.概念直线是最简单、最基本的几何图形之一,是一个不作定义的原始概念,直线常用“一根拉得紧的细线”、“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述.
2.表示方法
(1)可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示,如图1所示,可表示为直线AB或直线BA.
(2)也可以用一个小写英文字母表示,如图2所示,可以表示为直线.
3.基本性质经过两点有一条直线,并且只有一条直线.简单说成两点确定一条直线.要点诠释直线的特征
(1)直线没有长短,向两方无限延伸.
(2)直线没有粗细.
(3)两点确定一条直线.
(4)两条直线相交有唯一一个交点.
4.点与直线的位置关系
(1)点在直线上,如图3所示,点A在直线m上,也可以说直线m经过点A.
(2)点在直线外,如图4,点B在直线n外,也可以说直线n不经过点B.要点
二、线段
1.概念直线上两点和它们之间的部分叫做线段.
2.表示方法
(1)线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示,如图所示,记作线段AB或线段BA.
(2)线段也可用一个小写英文字母来表示,如图5所示,记作线段a.
3.“作一条线段等于已知线段”的两种方法法一用圆规作一条线段等于已知线段.例如下图所示,用圆规在射线AC上截取AB=a.法二用刻度尺作一条线段等于已知线段.例如可以先量出线段a的长度,再画一条等于这个长度的线段.
4.基本性质两点的所有连线中,线段最短.简记为两点之间,线段最短.如图6所示,在A,B两点所连的线中,线段AB的长度是最短的.要点诠释
(1)线段是直的,它有两个端点,它的长度是有限的,可以度量,可以比较长短.
(2)连接两点间的线段的长度,叫做这两点的距离.
(3)线段的比较
①度量法用刻度尺量出两条线段的长度,再比较长短.
②叠合法利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上,使其中一个端点重合,另一个端点位于重合端点同侧,根据另一端点与重合端点的远近来比较长短.
5.线段的中点把一条线段分成两条相等线段的点,叫做线段的中点.如图7所示,点C是线段AB的中点,则,或AB=2AC=2BC.要点诠释若点C是线段AB的中点,则点C一定在线段AB上.要点
三、射线
1.概念直线上一点和它一侧的部分叫射线,这个点叫射线的端点.如图8所示,直线l上点O和它一旁的部分是一条射线,点O是端点.
2.特征是直的,有一个端点,不可以度量,不可以比较长短,无限长.
3.表示方法
(1)可以用两个大写英文字母表示,其中一个是射线的端点,另一个是射线上除端点外的任意一点,端点写在前面,如图8所示,可记为射线OA.
(2)也可以用一个小写英文字母表示,如图8所示,射线OA可记为射线l.要点诠释1端点相同,而延伸方向不同,表示不同的射线.如图9中射线OA,射线OB是不同的射线.2端点相同且延伸方向也相同的射线,表示同一条射线.如图10中射线OA、射线OB、射线OC都表示同一条射线.要点
四、直线、射线、线段的区别与__
1.直线、射线、线段之间的__
(1)射线和线段都是直线上的一部分,即整体与部分的关系.在直线上任取一点,则可将直线分成两条射线;在直线上取两点,则可将直线分为一条线段和四条射线.
(2)将射线反向延伸就可得到直线;将线段一方延伸就得到射线;将线段向两方延伸就得到直线.2.三者的区别如下表要点诠释
(1)__与区别可表示如下
(2)在表示直线、射线与线段时,勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样.【典型例题】类型
一、相关概念
1.下列说法中,正确的是A.射线OA与射线AO是同一条射线B.线段AB与线段BA是同一条线段C.过一点只能画一条直线D.三条直线两两相交,必有三个交点【答案】B【解析】射线OA的端点是O,射线AO的端点是A,所以射线OA与射线AO不是同一条射线,故A错误;过一点能画无数条直线,所以C错误;三条直线两两相交,有三个交点或一个交点三条直线相交于一点时,所以D错误;线段AB与线段BA是同一条线段,所以B正确.【总结升华】直线和线段用两个大写字母表示时,与字母的前后顺序无关,但射线必须是表示端点的字母写在前面,不能互换.举一反三【变式1】以下说法中正确的是 ()A.延长线段AB到CB.延长射线ABC.直线AB的端点之一是AD.延长射线OA到C【答案】A【变式2】如图所示,请分别指出图中的线段、射线和直线的条数,并把它们分别表示出来.【答案】解如下图所示,在直线上点A左侧和点C右侧分别任取点X和Y.图中有6条射线射线AX、射线AY、射线BX、射线BY、射线CX、射线CY.有3条线段线段AB或BA、线段BC或CB、线段AC或CA有1条直线直线AC或AB,BC.类型
二、有关作图2.如图所示,线段a,b,且a>b.用圆规和直尺画线段1a+b;2a-b.【答案与解析】解1画法如图1,画直线AF,在直线AF上画线段AB=a,再在AB的延长线上画线段BC=b,线段AC就是a与b的和,记作AC=a+b.2画法如图2,画直线AF,在直线AF上画线段AB=a,再在线段AB上画线段BD=b,线段AD就是a与b的差,记作AD=a-b.【总结升华】在画线段时,为使结果更准确,一般用直尺画直线,用圆规量取线段的长度.举一反三【变式1】下列语句正确的是 A.画直线AB=10cm B.画直线AB的垂直平分线C.画射线OB=3cm D.延长线段AB到C使BC=AB【答案】D【高清课堂直线、射线、线段397363按语句画图3
(3)】【变式2】用直尺作图P是直线a外一点,过点P有一条线段b与直线a不相交.【答案】解类型
三、有关条数及长度的计算
3.如图,A、B、C、D为平面内任意三点都不在同一条直线上的四点,那么过其中两点,可画出条直线.【思路点拨】根据两点确定一条直线即可计算出直线的条数.【答案】6条直线【解析】由两点确定一条直线知,点A与BCD三点各确定一条直线,同理点B与C、D各确定一条直线,C与D确定一条直线,综上共有直线3+2+1=6(条).【总结升华】平面上有个点,其中任意三点不在一条直线上,则最多确定的直线条数为.举一反三【变式1】如图所示,已知线段AB上有三个定点C、D、E.1图__有几条线段?2如果在线段CD上增加一点,则增加了几条线段?你能从中发现什么规律吗?【答案】解1线段的条数4+3+2+1=10条;2如果在线段CD上增加一点P,则P与其它五个点各组成一条线段,因此,增加了5条线段.(注解若在线段AB上增加一点,则增加2条线段,此时线段总条数为1+2;若再增加一点,则又增加了3条线段,此时线段总条数为1+2+3;…;当线段AB上增加到n个点即增加n-2个点时,线段的总条数为1+2+……+n-1=nn-
1.)【变式2】如图直线m上有4个点A、B、C、D,则图__有________条射线.【答案】
84.如图所示,AB=40,点C为AB的中点,点D为CB上的一点,点E是BD的中点,且EB=5,求CD的长.【思路点拨】显然CD=CB-BD,要求CD的长,应先确定CB和BD的长.【答案与解析】解因为AB=40,点C为AB的中点,所以.因为点E为BD的中点,EB=5,所以BD=2EB=10.所以CD=CB-BD=20-10=10.【总结升华】求线段的长度,注意围绕线段的和、差、倍、分展开,若每一条线段长度均已确定,所求问题便可迎刃而解.【高清课堂直线、射线、线段397363画图计算例2】举一反三【变式】在直线l上按指定方向依次取点A、B、C、D,且使AB BCCD=234,如图所示,若AB的中点M与CD的中点N的距离是15cm,求AB的长.【答案】解依题意,设AB=2xcm,那么BC=3xcm,CD=4xcm.则有MN=BM+BC+CN=x+3x+2x=15解得所以AB=2x=cm.类型
四、最短问题
5.如图所示,在一条笔直公路a的两侧,分别有A、B两个村庄,现要在公路a上建一个汽车站C,使汽车站到A、B两村的距离之和最小,问汽车站C的位置应如何确定[来源:学科网ZXXK]【答案与解析】解如图,连接AB与直线a交于点C,这个点C的位置就是符合条件的汽车站的位置.【总结升华】“两点之间线段最短”在实际生活中有广泛的应用,此类问题要与线段的性质__起来,这里线段最短是指线段的长度最短,连接两点的线段的长度叫做两点间的距离,线段是图形,线段长度是数值.举一反三【变式】1如图1所示,把原来弯曲的河道改直,A、B两地间的河道长度有什么变化2如图2,公园里设计了曲折迂回的桥,这样做对游人观赏湖面风光有什么影响与修一座直的桥相比,这样做是否增加了游人在桥上行走的路程说出上述问题中的道理.【答案】解1河道的长度变小了.2由于“两点之间,线段最短”,这样做增加了游人在桥上行走的路程,有利于游人更好地观赏湖面风光,起到“休闲”的作用.图6图7图8图9图10。