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2015-2016学年湖北省武汉市部分学校九年级(上)月考数学试卷(12月份)
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1.方程4x2﹣8x﹣25=0的一次项系数和常数项分别为( )A.﹣2,25B.﹣2,﹣25C.8,﹣25D.﹣8,﹣252.如图图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A.B.C.D.3.如图,将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度,得到△ADE.若∠CAE=65°,∠E=70°,且AD⊥BC,∠BAC的度数为( )A.60°B.75°C.85°D.90°4.如图,弦AC∥OB,∠B=25°,则∠O=( )A.20°B.30°C.40°D.50°5.方程5x﹣1=4x2的两根之和为( )A.B.﹣C.D.﹣6.如图是抛物线形拱桥,当拱顶高离水面2m时,水面宽4m.水面下降
2.5m,水面宽度增加( )A.1mB.2mC.3mD.6m7.二次函数y=x2﹣6x+21的图象顶点坐标为( )A.(﹣6,3)B.(6,3)C.(﹣6,75)D.(6,75)8.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,AD,AB,BC分别与⊙O相切于E,F,G三点,过点D作⊙O的切线BC于点M,切点为N,则DM的长为( )A.B.C.D.29.如图,在直角坐标系中,已知点A(﹣3,0)、B(0,4),对△OAB连续作旋转变换,依次得到△
1、△
2、△
3、△
4、…,△16的直角顶点的坐标为( )A.(60,0)B.(72,0)C.(67,)D.(79,)10.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10,BC=12,点D为线段BC上一动点.以CD为⊙O直径,作AD交⊙O于点E,连BE,则BE的最小值为( )A.6B.8C.10D.12
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11.圆的直径为13cm,如果圆心与直线的距离是d,且d≥
6.5cm,则直线与圆的位置关系是 .12.将抛物线y=2(x+3)2+5向右平移2个单位后的抛物线解析式为 .13.已知点A(a,1)与点B(3,b)关于原点对称,则线段AB= .14.有两人患了流感,经过两轮传染后共有242人患了流感,求每轮传染中平均一个人传染了几个人?设每轮传染中平均一个人传染了x人,则可列方程为 .15.边心距为2的正六边形的面积为 .16.将边长为的正方形ABCD与边长为的正方形CEFG如图摆放,点G恰好落在线段DE上.连BE,则BE长为 .
三、解答题(共8题,共72分)17.解方程3x2﹣6x﹣2=0.18.已知二次函数图象的顶点为(3,﹣1),与y轴交于点(0,﹣4).
(1)求二次函数解析式;
(2)求函数值y>﹣4时,自变量x的取值范围.19.如图,△ABC各顶点的坐标分别是A(﹣2,﹣4),B(0,﹣4),C(1,﹣1).
(1)在图中画出△ABC向左平移3个单位后的△A1B1C1;
(2)在图中画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2;
(3)在
(2)的条件下,AC边扫过的面积是 .20.已知关于x的方程kx2+(2k+1)x+2=0.
(1)求证无论k取任何实数时,方程总有实数根;
(2)当抛物线y=kx2+(2k+1)x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数,且k为正整数时,若P(a,y1),Q(1,y2)是此抛物线上的两点,且y1>y2,请结合函数图象确定实数a的取值范围;
(3)已知抛物线y=kx2+(2k+1)x+2恒过定点,求出定点坐标.21.如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径的⊙O交BC于点D,交AB于点E,过点D作DF⊥AB,垂足为点F,连接DE.
(1)求证直线DF与⊙O相切;
(2)若CD=3,BF=1,求AE的长.22.2015年十一黄金周商场大促销,某店主计划从厂家采购高级羽绒服和时尚皮衣两种产品共20件,高级羽绒服的采购单价y1(元/件)与采购数量x1(件)满足y1=﹣20x1+1500(0<x1≤20,x1为整数);时尚皮衣的采购单价y2(元/件)与采购数量x2(件)满足y2=﹣10x2+1300(0<x2≤20,x2为整数).
(1)经店主与厂家协商,采购高级羽绒服的数量不少于时尚皮衣数量,且高级羽绒服采购单价不低于1240元,问该店主共有几种进货方案?
(2)该店主分别以1760元/件和1700元/件的销售出高级羽绒服和时尚皮衣,且全部售完,则在
(1)问的条件下,采购高级羽绒服多少件时总利润最大?并求最大利润.23.已知,正方形ABCD的边长为4,点E是对角线BD延长线上一点,AE=BD.将△ABE绕点A顺时针旋转α度(0°<α<360°)得到△AB′E′,点B、E的对应点分别为B′、E′.
(1)如图1,当α=30°时,求证B′C=DE;
(2)连接B′E、DE′,当B′E=DE′时,请用图2求α的值;
(3)如图3,点P为AB的中点,点Q为线段B′E′上任意一点,试探究,在此旋转过程中,线段PQ长度的取值范围为 .24.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣2,0)、B(8,0),与y轴交于点C(0,﹣4).直线y=x+m与抛物线交于点D、E(D在E的左侧),与抛物线的对称轴交于点F.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当m=2时,求∠DCF的大小;
(3)若在直线y=x+m下方的抛物线上存在点P,使得∠DPF=45°,且满足条件的点P只有两个,则m的值为 .(第
(3)问不要求写解答过程) 2015-2016学年湖北省武汉市部分学校九年级(上)月考数学试卷(12月份)参考答案与试题解析
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1.方程4x2﹣8x﹣25=0的一次项系数和常数项分别为( )A.﹣2,25B.﹣2,﹣25C.8,﹣25D.﹣8,﹣25【考点】一元二次方程的一般形式.【分析】根据ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)a,b,c分别叫二次项系数,一次项系数,常数项,可得答案.【解答】解4x2﹣8x﹣25=0的一次项系数和常数项分别为﹣8,﹣25.故选D. 2.如图图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A.B.C.D.【考点】中心对称图形;轴对称图形.【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.【解答】解A、不是轴对称图形,是中心对称图形.故选项错误;B、不是轴对称图形,是中心对称图形.故选项错误;C、是轴对称图形,也是中心对称图形.故选项正确;D、是轴对称图形,不是中心对称图形.故选项错误.故选C. 3.如图,将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度,得到△ADE.若∠CAE=65°,∠E=70°,且AD⊥BC,∠BAC的度数为( )A.60°B.75°C.85°D.90°【考点】旋转的性质.【分析】根据旋转的性质知,旋转角∠EAC=∠BAD=65°,对应角∠C=∠E=70°,则在直角△ABF中易求∠B=25°,所以利用△ABC的内角和是180°来求∠BAC的度数即可.【解答】解根据旋转的性质知,∠EAC=∠BAD=65°,∠C=∠E=70°.如图,设AD⊥BC于点F.则∠AFB=90°,∴在Rt△ABF中,∠B=90°﹣∠BAD=25°,∴在△ABC中,∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣25°﹣70°=85°,即∠BAC的度数为85°.故选C. 4.如图,弦AC∥OB,∠B=25°,则∠O=( )A.20°B.30°C.40°D.50°【考点】圆周角定理.【分析】先根据平行线的性质求出∠A的度数,再由圆周角定理即可得出结论.【解答】解∵AC∥OB,∠B=25°,∴∠A=∠B=25°.∵∠A与∠O是同弧所对的圆周角与圆心角,∴∠O=2∠A=50°.故选D. 5.方程5x﹣1=4x2的两根之和为( )A.B.﹣C.D.﹣【考点】根与系数的关系.【分析】把方程化为一般形式后,根据根与系数的关系得到两根之和即可.【解答】解∵5x﹣1=4x2,∴4x2﹣5x+1=0,设方程4x2﹣5x+1=0的两根设为x1,x2,∴x1+x2=.故选A. 6.如图是抛物线形拱桥,当拱顶高离水面2m时,水面宽4m.水面下降
2.5m,水面宽度增加( )A.1mB.2mC.3mD.6m【考点】二次函数的应用.【分析】根据已知得出直角坐标系,进而求出二次函数解析式,再通过把y=﹣
2.5代入抛物线解析式得出水面宽度,即可得出答案.【解答】解建立平面直角坐标系,设横轴x通过AB,纵轴y通过AB中点O且通过C点,则通过画图可得知O为原点,抛物线以y轴为对称轴,且经过A,B两点,OA和OB可求出为AB的一半2米,抛物线顶点C坐标为(0,2),通过以上条件可设顶点式y=ax2+2,其中a可通过代入A点坐标(﹣2,0),到抛物线解析式得出a=﹣
0.5,所以抛物线解析式为y=﹣
0.5x2+2,当水面下降
2.5米,通过抛物线在图上的观察可转化为当y=﹣
2.5时,对应的抛物线上两点之间的距离,也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离,可以通过把y=﹣
2.5代入抛物线解析式得出﹣
2.5=﹣
0.5x2+2,解得x=±3,所以水面宽度增加到6米,比原先的宽度当然是增加了2米.故选B. 7.二次函数y=x2﹣6x+21的图象顶点坐标为( )A.(﹣6,3)B.(6,3)C.(﹣6,75)D.(6,75)【考点】二次函数的性质.【分析】把函数的一般式化成顶点式,即可求得顶点坐标.【解答】解∵y=x2﹣6x+21=(x﹣6)2+3,∴二次函数y=x2﹣6x+21的图象顶点坐标为(6,3).故选B. 8.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,AD,AB,BC分别与⊙O相切于E,F,G三点,过点D作⊙O的切线BC于点M,切点为N,则DM的长为( )A.B.C.D.2【考点】切线的性质;矩形的性质.【分析】连接OE,OF,ON,OG,在矩形ABCD中,得到∠A=∠B=90°,CD=AB=4,由于AD,AB,BC分别与⊙O相切于E,F,G三点得到∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°,推出四边形AFOE,FBGO是正方形,得到AF=BF=AE=BG=2,由勾股定理列方程即可求出结果.【解答】解连接OE,OF,ON,OG,在矩形ABCD中,∵∠A=∠B=90°,CD=AB=4,∵AD,AB,BC分别与⊙O相切于E,F,G三点,∴∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°,∴四边形AFOE,FBGO是正方形,∴AF=BF=AE=BG=2,∴DE=3,∵DM是⊙O的切线,∴DN=DE=3,MN=MG,∴CM=5﹣2﹣MN=3﹣MN,在Rt△DMC中,DM2=CD2+CM2,∴(3+NM)2=(3﹣NM)2+42,∴NM=,∴DM=3=,故选A. 9.如图,在直角坐标系中,已知点A(﹣3,0)、B(0,4),对△OAB连续作旋转变换,依次得到△
1、△
2、△
3、△
4、…,△16的直角顶点的坐标为( )A.(60,0)B.(72,0)C.(67,)D.(79,)【考点】规律型点的坐标.【分析】根据题目提供的信息,可知旋转三次为一个循环,图中第三次和第四次的直角顶点的坐标相同,由
①→
③时直角顶点的坐标可以求出来,从而可以解答本题.【解答】解由题意可得,△OAB旋转三次和原来的相对位置一样,点A(﹣3,0)、B(0,4),∴OA=3,OB=4,∠BOA=90°,∴AB=∴旋转到第三次时的直角顶点的坐标为(12,0),16÷3=5…1∴旋转第15次的直角顶点的坐标为(60,0),又∵旋转第16次直角顶点的坐标与第15次一样,∴旋转第16次的直角顶点的坐标是(60,0).故选A. 10.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10,BC=12,点D为线段BC上一动点.以CD为⊙O直径,作AD交⊙O于点E,连BE,则BE的最小值为( )A.6B.8C.10D.12【考点】切线的性质.【分析】连接CE,可得∠CED=∠CEA=90°,从而知点E在以AC为直径的⊙Q上,继而知点Q、E、B共线时BE最小,根据勾股定理求得QB的长,即可得答案.【解答】解如图,连接CE,∴∠CED=∠CEA=90°,∴点E在以AC为直径的⊙Q上,∵AC=10,∴QC=QE=5,当点Q、E、B共线时BE最小,∵BC=12,∴QB==13,∴BE=QB﹣QE=8,故选B.
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11.圆的直径为13cm,如果圆心与直线的距离是d,且d≥
6.5cm,则直线与圆的位置关系是 相切或相离 .【考点】直线与圆的位置关系.【分析】欲求直线和圆的位置关系,先求出圆的半径,再与d进行比较.若d<r,则直线与圆相交;若d=r,则直线于圆相切;若d>r,则直线与圆相离;即可得出结果.【解答】解∵圆的直径为13cm,∴圆的半径为
6.5cm,∵圆心到直线的距离d≥
6.5cm,即d≥r,∴直线与圆相切或相离,故答案为相切或相离. 12.将抛物线y=2(x+3)2+5向右平移2个单位后的抛物线解析式为 y=2(x+1)2+5 .【考点】二次函数图象与几何变换.【分析】根据函数图象向左平移加,向右平移减,可得答案.【解答】解将抛物线y=2(x+3)2+5向右平移2个单位,所得抛物线的解析式为y=2(x+3﹣2)2+5,即y=2(x+1)2+5.故答案为y=2(x+1)2+5. 13.已知点A(a,1)与点B(3,b)关于原点对称,则线段AB= 2 .【考点】关于原点对称的点的坐标.【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数,纵坐标互为相反数,可得a、b的值,再根据勾股定理,可得答案.【解答】解由点A(a,1)与点B(3,b)关于原点对称,得a=﹣3,b=﹣1.A(﹣3,1),B(3,﹣1).由勾股定理得AB===2,故答案为2. 14.有两人患了流感,经过两轮传染后共有242人患了流感,求每轮传染中平均一个人传染了几个人?设每轮传染中平均一个人传染了x人,则可列方程为 2+2x+(2+2x)x=242 .【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.【分析】先根据题意列出第一轮传染后患流感的人数,再根据题意列出第二轮传染后患流感的人数,而已知第二轮传染后患流感的人数,故可得方程.【解答】解设每轮传染中平均一个人传染了x个人,第一轮传染后患流感的人数是2+x,第二轮传染后患流感的人数是2+x+x(1+x),而已知经过两轮传染后共有242人患了流感,则可得方程,2+2x+(2+2x)x=242.故答案为2+2x+(2+2x)x=242. 15.边心距为2的正六边形的面积为 24 .【考点】正多边形和圆.【分析】根据题意画出图形,先求出∠AOB的度数,证明△AOB是等边三角形,得出AB=OA,再根据直角三角形的性质求出OA的长,再根据S六边形=6S△AOB即可得出结论.【解答】解如图所示,∵图中是正六边形,∴∠AOB═60°.∵OA=OB,∴△OAB是等边三角形.∴OA=OAB=AB,∵OD⊥AB,OD=2,∴OA==4.∴AB=4,∴S△AOB=AB×OD=×4×2=4,∴正六边形的面积=6S△AOB=6×4=24.故答案为24. 16.将边长为的正方形ABCD与边长为的正方形CEFG如图摆放,点G恰好落在线段DE上.连BE,则BE长为 .【考点】正方形的性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理.【分析】连接BD,BG,设DC和BG相较于点O,利用△BOD∽△COG求出线段BO、OC、OD、OG,在RT△BGE中利用勾股定理即可求BE.【解答】解
(1)如图1,∵四边形ABCD、四边形CGEF都是正方形,∴BC=CD=,CG=CE=,∠BCD=∠GCE=90°,∠DEC=∠CGE=45°,∠BDC=45°,∴BD=,GE=2,∴∠BCG=∠DCE,在△BCG和△DCE中,,∴△BCG≌△DCE,∴∠BGC=∠DEC=45°,∴∠BGE=∠BGC+∠CGE=90°,∵∠DOB=∠GOC,∠BDO=∠OGC,∴△BDO∽△CGO,∴,设OC=k,则BO=k,∵BO2=OC2+BC2,∴5k2=5+k2,∴k=,∴OC=OD=,BO=
2.5,OG=
0.5,∴BG=BO+OG=3,在RT△BGE中,BG=3,EG=2,∴BE==,故答案为.
三、解答题(共8题,共72分)17.解方程3x2﹣6x﹣2=0.【考点】解一元二次方程-公式法.【分析】先根确定a=3,b=﹣6,c=﹣2,算出b2﹣4ac=36+24=60>0,确定有解,最后代入求根公式计算就可以了.【解答】解∵a=3,b=﹣6,c=﹣2,∴b2﹣4ac=36+24=60>0,∴x=,∴x1=,x2= 18.已知二次函数图象的顶点为(3,﹣1),与y轴交于点(0,﹣4).
(1)求二次函数解析式;
(2)求函数值y>﹣4时,自变量x的取值范围.【考点】待定系数法求二次函数解析式.【分析】
(1)已知函数的顶点坐标,就可设出函数的顶点式,利用待定系数法求解析式.
(2)根据二次函数的开口方向,顶点坐标以及对称性即可求解.【解答】解
(1)设抛物线的解析式为y=a(x﹣3)2﹣1,把(0,﹣4)代入得9a﹣1=﹣4,解得a=﹣.所以二次函数解析式为y=﹣(x﹣3)2﹣1;
(2)∵a=﹣<0,∴抛物线开口向下,∵顶点为(3,﹣1),∴点(0,﹣4)对称点为(6,﹣4),∴函数值y>﹣4时,自变量0<x<6. 19.如图,△ABC各顶点的坐标分别是A(﹣2,﹣4),B(0,﹣4),C(1,﹣1).
(1)在图中画出△ABC向左平移3个单位后的△A1B1C1;
(2)在图中画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2;
(3)在
(2)的条件下,AC边扫过的面积是 .【考点】作图-旋转变换;作图-平移变换.【分析】
(1)如图,画出△ABC向左平移3个单位后的△A1B1C1;
(2)如图,画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2;
(3)在
(2)的条件下,AC扫过的面积即为扇形AOA2的面积减去扇形COC2的面积,求出即可.【解答】解
(1)如图所示,△A1B1C1为所求的三角形;
(2)如图所示,△A2B2C2为所求的三角形;
(3)在
(2)的条件下,AC边扫过的面积S=﹣=5π﹣=.故答案为. 20.已知关于x的方程kx2+(2k+1)x+2=0.
(1)求证无论k取任何实数时,方程总有实数根;
(2)当抛物线y=kx2+(2k+1)x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数,且k为正整数时,若P(a,y1),Q(1,y2)是此抛物线上的两点,且y1>y2,请结合函数图象确定实数a的取值范围;
(3)已知抛物线y=kx2+(2k+1)x+2恒过定点,求出定点坐标.【考点】抛物线与x轴的交点;根的判别式;二次函数图象上点的坐标特征.【分析】
(1)分类讨论该方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况.当该方程为一元二次方程时,根的判别式△≥0,方程总有实数根;
(2)通过解kx2+(2k+1)x+2=0得到k=1,由此得到该抛物线解析式为y=x2+3x+2,结合图象回答问题.
(3)根据题意得到kx2+(2k+1)x+2﹣y=0恒成立,由此列出关于x、y的方程组,通过解方程组求得该定点坐标.【解答】
(1)证明
①当k=0时,方程为x+2=0,所以x=﹣2,方程有实数根,
②当k≠0时,∵△=(2k+1)2﹣4k×2=(2k﹣1)2≥0,即△≥0,∴无论k取任何实数时,方程总有实数根;
(2)解令y=0,则kx2+(2k+1)x+2=0,解关于x的一元二次方程,得x1=﹣2,x2=﹣,∵二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数,且k为正整数,∴k=1.∴该抛物线解析式为y=x2+3x+2,由图象得到当y1>y2时,a>1或a<﹣4.
(3)依题意得kx2+(2k+1)x+2﹣y=0恒成立,即k(x2+2x)+x﹣y+2=0恒成立,则,解得或.所以该抛物线恒过定点(0,2)、(﹣2,0). 21.如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径的⊙O交BC于点D,交AB于点E,过点D作DF⊥AB,垂足为点F,连接DE.
(1)求证直线DF与⊙O相切;
(2)若CD=3,BF=1,求AE的长.【考点】切线的判定.【分析】
(1)连接OD,利用AB=AC,OD=OC,证得OD∥AB,易证DF⊥OD,故DF为⊙O的切线;
(2)根据内接四边形的性质得到∠AED+∠ACD=180°,由于∠AED+∠BED=180°,得到∠BED=∠ACD,由于∠B=∠B,推出△BED∽△BCA,根据相似三角形的性质得到,∠DEB=∠ODC,得到∠B=∠DEB,求得BE=2BF=2,BD=CD=BC=3,BC=6,即可得到结论.【解答】
(1)证明如图,连接OD,∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵OD=OC,∴∠ODC=∠C,∴∠ODC=∠B,∴OD∥AB,∵DF⊥AB,∴OD⊥DF,∵点D在⊙O上,∴直线DF与⊙O相切;
(2)解∵四边形ACDE是⊙O的内接四边形,∴∠AED+∠ACD=180°,∵∠AED+∠BED=180°,∴∠BED=∠ACD,∵∠B=∠B,∴△BED∽△BCA,∴,∠DEB=∠ODC,∴∠B=∠DEB,∴BD=DE,∴BE=2BF=2,∵OD∥AB,AO=CO,∴BD=CD=BC=3,∴BC=6,∴,∴AB=9,∴AE=AB﹣BE=7. 22.2015年十一黄金周商场大促销,某店主计划从厂家采购高级羽绒服和时尚皮衣两种产品共20件,高级羽绒服的采购单价y1(元/件)与采购数量x1(件)满足y1=﹣20x1+1500(0<x1≤20,x1为整数);时尚皮衣的采购单价y2(元/件)与采购数量x2(件)满足y2=﹣10x2+1300(0<x2≤20,x2为整数).
(1)经店主与厂家协商,采购高级羽绒服的数量不少于时尚皮衣数量,且高级羽绒服采购单价不低于1240元,问该店主共有几种进货方案?
(2)该店主分别以1760元/件和1700元/件的销售出高级羽绒服和时尚皮衣,且全部售完,则在
(1)问的条件下,采购高级羽绒服多少件时总利润最大?并求最大利润.【考点】二次函数的应用.【分析】
(1)首先根据题意求出x的取值范围,结合x为整数,即可判断出商家的几种进货方案;
(2)令总利润为W,根据利润=售价﹣成本列出W与x的函数关系式W=30(x﹣9)2+9570,求出二次函数的最值即可.【解答】解
(1)设购买羽绒服x件,则购买皮衣(20﹣x)件,则,∴10≤x≤13且为整数,∴该店主有4种进货方案羽绒服10件,皮衣10件;羽绒服11件,皮衣9件;羽绒服12件,皮衣8件;羽绒服13件,皮衣7件;
(2)设购买羽绒服x件,利润为W元,则W=x+﹣1300)(20﹣x)=30(x﹣9)2+9570(10≤x≤13且为整数)∵a=30>0,∴当10≤x≤13且为整数是,W随x的增大而增大,∴当x=13时,最大利润为10050元.答当采购羽绒服13件时,有最大利润为10050元. 23.已知,正方形ABCD的边长为4,点E是对角线BD延长线上一点,AE=BD.将△ABE绕点A顺时针旋转α度(0°<α<360°)得到△AB′E′,点B、E的对应点分别为B′、E′.
(1)如图1,当α=30°时,求证B′C=DE;
(2)连接B′E、DE′,当B′E=DE′时,请用图2求α的值;
(3)如图3,点P为AB的中点,点Q为线段B′E′上任意一点,试探究,在此旋转过程中,线段PQ长度的取值范围为 ≤PQ≤4+2 .【考点】四边形综合题.【分析】
(1)先由正方形的性质得到直角三角形AOE,再经过简单计算求出角,判断出△ADE≌△AB′C即可;
(2)先判断出△AEB′≌△AE′D,再根据旋转角和图形,判断出∠BAB′=∠DAB′即可;
(3)先判断出点Q的位置,PQ最小时和最大时的位置,进行计算即可.【解答】解
(1)如图1,连接AC,B′C,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,AC⊥BD,AC=BD=2OA,∠CAB=ADB=45°,∵AE=BD,∴AC=AE=2OA,在Rt△AOE中,∠AOE=90°,AE=2OA,∴∠E=30°,∴∠DAE=∠ADB﹣∠E=45°﹣30°=15°,由旋转有,AD=AB=AB′∠BAB′=30°,∴∠DAE=15°,在△ADE和△AB′C中,,∴△ADE≌△AB′C,∴DE=B′C,
(2)如图2,由旋转得,AB′=AB=AD,AE′=AE,在△AEB′和△AE′D中,,∴△AEB′≌△AE′D,∴∠DAE′=∠EAB′,∴∠EAE′=∠DAB′,由旋转得,∠EAE′=∠BAB′,∴∠BAB′=∠DAB′,∵∠BAB′+∠DAB′=90°,∴α=∠BAB′=45°,
(3)如图3,由点到直线的距离,过点P作PM⊥BE,∵AB=4,点P是AB中点,∴BP=2,∴PM=,在旋转过程中,△ABE在旋转到点E在BA的延长线时,点Q和点E重合,∴AQ=AE=BQ=4,∴PQ=AQ+AP=4+2,故答案为≤PQ≤4+2. 24.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣2,0)、B(8,0),与y轴交于点C(0,﹣4).直线y=x+m与抛物线交于点D、E(D在E的左侧),与抛物线的对称轴交于点F.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当m=2时,求∠DCF的大小;
(3)若在直线y=x+m下方的抛物线上存在点P,使得∠DPF=45°,且满足条件的点P只有两个,则m的值为 ﹣ .(第
(3)问不要求写解答过程)【考点】待定系数法求二次函数解析式;二次函数的性质.【分析】
(1)已知抛物线过A(﹣2,0)、B(8,0)两点,可设交点式y=a(x+2)(x﹣8),再将点C(0,﹣4)代入求a即可;
(2)由抛物线解析式可知对称轴为x=3,与y轴的交点(0,﹣4),可求MC的长,y=x+2,可知D、F两点坐标,计算DM,FM,判断C、D、F三点在以M为圆心的圆上,利用圆周角定理求∠DCF的大小;
(3)当直线y=x+m下方的抛物线上存在点P,使得∠DPF=45°,且满足条件的点P只有两个时,仿照
(2)可求满足条件的m的值.【解答】解
(1)依题意,设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x﹣8),∵抛物线与y轴交于点C(0,﹣4),∴﹣4=a(0+2)(0﹣8).解得.∴抛物线的解析式为,即;
(2)由
(1)可得抛物线的对称轴为x=3,∵m=2,∴直线的解析式为y=x+2,∵直线y=x+2与抛物线交于点D、E,与抛物线的对称轴交于点F,∴F、D两点的坐标分别为F(3,5),D(﹣2,0).设抛物线的对称轴与x轴的交点为M,可得CM=FM=MD=5,∴F、D、C三点在以M为圆心,半径为5的圆上.∴∠DCF=.
(3)由抛物线解析式可知,抛物线顶点坐标为G(3,﹣)设F(3,3+m),则FG=m+3+,设D关于对称轴的对称点为D1,当四边形DGD1F为正方形时,满足题意,此时P点与顶点G重合,或者与D1重合,故DD1=F′G,D点横坐标为x=﹣(F′G﹣3)=﹣,纵坐标为﹣(F′G﹣3﹣m)=,将D点坐标抛物线解析式,解得.。