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2016-2017学年广东省佛山市顺德区九年级(上)月考数学试卷(12月份)
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)在每小题列出的四个选项中,只有一个是正确的,请将下列各题的正确选项填写在答题卡相应的位置上.1.用配方法解方程x2﹣2x﹣1=0时,配方后得的方程为( )A.(x+1)2=0B.(x﹣1)2=0C.(x+1)2=2D.(x﹣1)2=22.下列命题是假命题的是( )A.对角线相等、垂直的平行四边形是正方形B.对角线相等的平行四边形是矩形C.对角线垂直的四边形是菱形D.对角线互相平分的四边形是平行四边形3.如图是几何体的三视图,该几何体是( )A.正三棱柱B.正三棱锥C.圆锥D.圆柱4.如图,△ABC中,DE∥BC,=,DE=2cm,则BC边的长是( )A.6cmB.4cmC.8cmD.7cm5.如果反比例函数y=的图象经过点(﹣3,﹣4),那么函数的图象应在( )A.第一,三象限B.第一,二象限C.第二,四象限D.第三,四象限6.从生产的一批螺钉中抽取1000个进行质量检查,结果发现有5个是次品,那么从中任取1个是次品概率约为( )A.B.C.D.7.如图,线段AB两个端点的坐标分别为A(6,6),B(8,2),以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD,则端点D的坐标为( )A.(3,3)B.(4,3)C.(3,1)D.(4,1)8.若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0没有实数根,则k的取值范围是( )A.k>﹣1B.k≥﹣1C.k<﹣1D.k≤﹣19.顺次连接矩形四边中点得到的四边形是( )A.正方形B.矩形C.平行四边形D.菱形10.当k>0时,反比例函数y=和一次函数y=kx+2的图象大致是( )A.B.C.D.
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上.11.观察表格,一元二次方程x2﹣x﹣
1.1=0最精确的一个近似解是 (精确到
0.1).x
1.
31.
41.
51.
61.
71.
81.9x2﹣x﹣
1.1﹣
0.71﹣
0.54﹣
0.35﹣
0.
140.
090.
340.6112.如图,点C为线段AB的黄金分割点(AC>BC),已知AB=4,则AC= .13.如图,将一张矩形纸片对折再对折(如图),然后沿着图中的虚线剪下(剪口与第一次的折线成45°角),得到
①、
②两部分,将
①展开后得到的平面图形是 .14.若点A(1,y1),点B(﹣2,y2)在双曲线y=的图象上,则y1与y2的大小关系为y1 y2(填“>”“<”或“=”.15.下图是某天内,电线杆在不同时刻的影长,按先后顺序应当排列为 .16.如图,已知△ABC的面积是1,A
1、B
1、C1分别是△ABC三边上的中点,△A1B1C1面积记为S1,A
2、B
2、C2分别是△A1B1C1三边上的中点,△A2B2C2的面积记为S2,以此类推,则△A4B4C4的面积S4= .
三、解答题
(一)(本大题共3小题,每小题6分,共18分)请在答题卡相应位置上作答.17.用因式分解法解方程4x(2x+1)=3(2x+1).18.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB的高.求证CD2=AD•BD.19.某校墙边有甲、乙两根木杆,已知乙木杆的高度为
1.5m.
(1)某一时刻甲木杆在阳光下的影子如图所示,画出此时乙木杆的影子DF.
(2)△ABC∽△DEF,如果测得甲、乙木杆的影子长分别为
1.6m和1m,那么甲木杆的高度是多少?
四、解答题
(二)(本大题共3小题,每小题7分,共21分)请在答题卡相应位置上作答.20.某商场以每件280元的价格购进一批商品,当每件商品售价为360元时,每月可售出60件,为了扩大销售,商场决定采取适当降价的方式促销,经调查发现,如果每件商品降价1元,那么商场每月就可以多售出5件.
(1)降价前商场每月销售该商品的利润是多少元?
(2)要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元,且更有利于减少库存,则每件商品应降价多少元?21.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB的中点,AE∥CD,CE∥AB,连接DE交AC于点O.
(1)证明四边形ADCE为菱形.
(2)BC=6,AB=10,求菱形ADCE的面积.22.在一个不透明的盒子里,装有三个分别标有数字1,2,3的小球,它们的形状、大小、质地等完全相同.小明先从盒子里随机取出一个小球,记下数字为x;放进盒子摇匀后,再由小华随机取出一个小球,记下数字为y.
(1)请用树状图或列表分析,写出(x,y)所有可能出现的结果;
(2)求小明、小华各取一次小球所确定的点(x,y)落在反比例函数y=图象上的概率.
五、解答题
(三)(本大题共3小题,每小题9分,共27分)请在答题卡相应位置上作答.23.如图,已知A(﹣4,2)、B(n,﹣4)是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象的两个交点.
(1)求m、n的值;
(2)求一次函数的关系式;
(3)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围.24.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,现在有一足够大的直角三角板,它的直角顶点D是BC上一点,另两条直角边分别交AB、AC于点E、F.
(1)如图1,若DE⊥AB,DF⊥AC,求证四边形AEDF是矩形;
(2)在
(1)条件下,若点D在∠BAC的角平分线上,试判断此时四边形AEDF的形状,并说明理由;
(3)若点D在∠BAC的角平分线上,将直角三角板绕点D旋转一定的角度,使得直角三角板的两条边与两条直角边分别交于点E、F(如图2),试证明AE+AF=AD.25.如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥AB,∠B=60°,AB=10cm,BC=4cm,点P沿线段AB从点A向点B运动,点P的运动速度是1cm/s.
(1)求AD的长;
(2)点P在运动过程中,是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似?若存在,求出AP的值;若不存在,请说明理由.
(3)设△APD的面积为S1,△CPB的面积为S2,在运动过程中存在某一时刻t,使得S1S2=25,请直接写出此时t的值t= . 2016-2017学年广东省佛山市顺德区九年级(上)月考数学试卷(12月份)参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)在每小题列出的四个选项中,只有一个是正确的,请将下列各题的正确选项填写在答题卡相应的位置上.1.用配方法解方程x2﹣2x﹣1=0时,配方后得的方程为( )A.(x+1)2=0B.(x﹣1)2=0C.(x+1)2=2D.(x﹣1)2=2【考点】解一元二次方程-配方法.【分析】在本题中,把常数项﹣1移项后,应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方.【解答】解把方程x2﹣2x﹣1=0的常数项移到等号的右边,得到x2﹣2x=1,方程两边同时加上一次项系数一半的平方,得到x2﹣2x+1=1+1配方得(x﹣1)2=2.故选D. 2.下列命题是假命题的是( )A.对角线相等、垂直的平行四边形是正方形B.对角线相等的平行四边形是矩形C.对角线垂直的四边形是菱形D.对角线互相平分的四边形是平行四边形【考点】命题与定理.【分析】根据正方形、矩形、菱形、平行四边形的判定方法即可得出结论.【解答】解A、对角线相等、垂直的平行四边形是正方形;真命题;B、对角线相等的平行四边形是矩形;真命题;C、对角线垂直的四边形是菱形;假命题;D、对角线互相平分的四边形是平行四边形;真命题;故选C. 3.如图是几何体的三视图,该几何体是( )A.正三棱柱B.正三棱锥C.圆锥D.圆柱【考点】由三视图判断几何体.【分析】该几何体的俯视图与左视图均为矩形,主视图为三角形,易得出该几何体的形状.【解答】解该几何体的左视图为矩形,俯视图亦为矩形,主视图是一个三角形,则可得出该几何体为正三棱柱.故选A. 4.如图,△ABC中,DE∥BC,=,DE=2cm,则BC边的长是( )A.6cmB.4cmC.8cmD.7cm【考点】相似三角形的判定与性质.【分析】由于DE∥BC,可得出△ADE∽△ABC,根据相似三角形的性质即可得到结论.【解答】解∵=,∴=,∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴=,∵DE=2cm,∴BC=6cm.故选A. 5.如果反比例函数y=的图象经过点(﹣3,﹣4),那么函数的图象应在( )A.第一,三象限B.第一,二象限C.第二,四象限D.第三,四象限【考点】反比例函数的性质;反比例函数图象上点的坐标特征.【分析】首先利用待定系数法确定函数的表达式,再根据k的正负确定函数图象经过的象限.【解答】解y=,图象过(﹣3,﹣4),所以k=12>0,函数图象位于第一,三象限.故选A. 6.从生产的一批螺钉中抽取1000个进行质量检查,结果发现有5个是次品,那么从中任取1个是次品概率约为( )A.B.C.D.【考点】概率公式.【分析】由从生产的一批螺钉中抽取1000个进行质量检查,结果发现有5个是次品,直接利用概率公式求解即可求得答案.【解答】解∵从生产的一批螺钉中抽取1000个进行质量检查,结果发现有5个是次品,∴从中任取1个是次品概率约为=.故选B. 7.如图,线段AB两个端点的坐标分别为A(6,6),B(8,2),以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD,则端点D的坐标为( )A.(3,3)B.(4,3)C.(3,1)D.(4,1)【考点】位似变换;坐标与图形性质.【分析】利用位似图形的性质,结合两图形的位似比进而得出D点坐标.【解答】解∵线段AB的两个端点坐标分别为A(6,6),B(8,2),以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD,∴端点D的横坐标和纵坐标都变为B点的一半,∴端点D的坐标为(4,1).故选D. 8.若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0没有实数根,则k的取值范围是( )A.k>﹣1B.k≥﹣1C.k<﹣1D.k≤﹣1【考点】根的判别式.【分析】由关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0没有实数根,根据△的意义得到△<0,即(﹣2)2﹣4×1×(﹣k)<0,然后解不等式即可得到k的取值范围.【解答】解∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0没有实数根,∴△<0,即(﹣2)2﹣4×1×(﹣k)<0,解得k<﹣1,∴k的取值范围是k<﹣1.故选C. 9.顺次连接矩形四边中点得到的四边形是( )A.正方形B.矩形C.平行四边形D.菱形【考点】中点四边形.【分析】连接对角线,利用三角形中位线性质得EF是△ABD的中位线,则EF=BD;同理得GH=BD,EH=AC,GF=AC,根据矩形对角线相等得EF=GH=EH=GF,则中点四边形EFGH是菱形.【解答】解矩形ABCD中,E、F、G、H分别是AD、AB、BC、CD的中点,连接AC、BD,则EF=BD,GH=BD,EH=AC,GF=AC,又∵AC=BD,∴EF=GH=EH=GF,∴四边形EFGH是菱形,∴顺次连接矩形四边中点得到的四边形一定是菱形;故选D. 10.当k>0时,反比例函数y=和一次函数y=kx+2的图象大致是( )A.B.C.D.【考点】反比例函数的图象;一次函数的图象.【分析】根据k>0,判断出反比例函数y=经过一三象限,一次函数y=kx+2经过一二三象限,结合选项所给图象判断即可.【解答】解∵k>0,∴反比例函数y=经过一三象限,一次函数y=kx+2经过一二三象限.故选C.
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上.11.观察表格,一元二次方程x2﹣x﹣
1.1=0最精确的一个近似解是
1.7 (精确到
0.1).x
1.
31.
41.
51.
61.
71.
81.9x2﹣x﹣
1.1﹣
0.71﹣
0.54﹣
0.35﹣
0.
140.
090.
340.61【考点】估算一元二次方程的近似解.【分析】根据表格中的数据和题意可以解答本题.【解答】解由表格可知,当x=
1.7时,y=
0.09与y=0最接近,故答案为
1.7. 12.如图,点C为线段AB的黄金分割点(AC>BC),已知AB=4,则AC= 2﹣2 .【考点】黄金分割.【分析】根据黄金比值是计算即可.【解答】解∵点C为线段AB的黄金分割点,AC>BC,∴AC=AB=2﹣2,故答案为2﹣2. 13.如图,将一张矩形纸片对折再对折(如图),然后沿着图中的虚线剪下(剪口与第一次的折线成45°角),得到
①、
②两部分,将
①展开后得到的平面图形是 正方形 .【考点】剪纸问题.【分析】由图可知三角形ACB为等腰直角三角形,展开后为正方形.【解答】解如图,展开后图形为正方形.故答案为正方形. 14.若点A(1,y1),点B(﹣2,y2)在双曲线y=的图象上,则y1与y2的大小关系为y1 < y2(填“>”“<”或“=”.【考点】反比例函数图象上点的坐标特征.【分析】先求出y1与y2的值,再比较大小即可.【解答】解∵点A(1,y1),点B(﹣2,y2)在双曲线y=的图象上,∴y1=﹣3,y2==.∵﹣3<,∴y1<y2.故答案为<. 15.下图是某天内,电线杆在不同时刻的影长,按先后顺序应当排列为 DABC .【考点】平行投影.【分析】根据北半球上太阳光下的影子变化的规律,易得答案.【解答】解根据北半球上太阳光下的影子变化的规律,从早晨到傍晚物体的指向是西﹣西北﹣北﹣东北﹣东,影长由长变短,再变长.可得顺序为DABC. 16.如图,已知△ABC的面积是1,A
1、B
1、C1分别是△ABC三边上的中点,△A1B1C1面积记为S1,A
2、B
2、C2分别是△A1B1C1三边上的中点,△A2B2C2的面积记为S2,以此类推,则△A4B4C4的面积S4= .【考点】三角形中位线定理;三角形的面积.【分析】由于A
1、B
1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点,就可以得出△A1B1C1∽△ABC,且相似比为,就可求出S△A1B1C1=,同样地方法得出S△A2B2C2=…依此类推所以就可以求出S△A4B4C4的值.【解答】解∵A
1、B
1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点,∴A1B
1、A1C
1、B1C1是△ABC的中位线,∴△A1B1C1∽△ABC,且相似比为,∴S△A1B1C1S△ABC=14,且S△ABC=1,∴S△A1B1C1=,∵A
2、B
2、C2分别是△A1B1C1的边B1C
1、C1A
1、A1B1的中点,∴△A1B1C1的∽△A2B2C2且相似比为,∴S△A2B2C2=,依此类推∴S△A3B3C3=,∴S△A4B4C4=.故答案为.
三、解答题
(一)(本大题共3小题,每小题6分,共18分)请在答题卡相应位置上作答.17.用因式分解法解方程4x(2x+1)=3(2x+1).【考点】解一元二次方程-因式分解法.【分析】方程移项后,利用因式分解法求出解即可.【解答】解方程移项得4x(2x+1)﹣3(2x+1)=0,分解因式得(2x+1)(4x﹣3)=0,可得2x+1=0或4x﹣3=0,解得x1=﹣,x2=. 18.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB的高.求证CD2=AD•BD.【考点】相似三角形的判定与性质.【分析】证明△ACD∽△CBD,然后根据相似三角形的对应边的比相等即可证得.【解答】证明∵Rt△ABC中,∠ACB=90°,∴∠1+∠2=90°,又∵CD是斜边AB上的高∴∠ADC=∠CDB=90°,∴∠1+∠A=90°,∴∠A=∠2,∴△ACD∽△CBD,∴=,∴CD2=AD•BD. 19.某校墙边有甲、乙两根木杆,已知乙木杆的高度为
1.5m.
(1)某一时刻甲木杆在阳光下的影子如图所示,画出此时乙木杆的影子DF.
(2)△ABC∽△DEF,如果测得甲、乙木杆的影子长分别为
1.6m和1m,那么甲木杆的高度是多少?【考点】平行投影.【分析】
(1)连接BC,过点E作EF∥BC与地面相交于点F,DF即为乙木杆的影子;
(2)根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解.【解答】解
(1)如图所示,DF是乙木杆的影子;
(2)∵△ABC∽△DEF,∴=,即=,解得AB=
2.4m.答甲木杆的高度是
2.4m.
四、解答题
(二)(本大题共3小题,每小题7分,共21分)请在答题卡相应位置上作答.20.某商场以每件280元的价格购进一批商品,当每件商品售价为360元时,每月可售出60件,为了扩大销售,商场决定采取适当降价的方式促销,经调查发现,如果每件商品降价1元,那么商场每月就可以多售出5件.
(1)降价前商场每月销售该商品的利润是多少元?
(2)要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元,且更有利于减少库存,则每件商品应降价多少元?【考点】一元二次方程的应用.【分析】
(1)先求出每件的利润.再乘以每月销售的数量就可以得出每月的总利润;
(2)设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元,且更有利于减少库存,则每件商品应降价x元,由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可.【解答】解
(1)由题意,得60=4800元.答降价前商场每月销售该商品的利润是4800元;
(2)设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元,且更有利于减少库存,则每件商品应降价x元,由题意,得(5x+60)=7200,解得x1=8,x2=60.∵有利于减少库存,∴x=60.答要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元,且更有利于减少库存,则每件商品应降价60元. 21.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB的中点,AE∥CD,CE∥AB,连接DE交AC于点O.
(1)证明四边形ADCE为菱形.
(2)BC=6,AB=10,求菱形ADCE的面积.【考点】菱形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线;勾股定理.【分析】
(1)先证明四边形ADCE是平行四边形,再由直角三角形斜边上的中线性质得出CD=AB=AD,即可得出四边形ADCE为菱形;
(2)利用菱形的性质、勾股定理求得菱形ADCE的对角线的长度,然后根据菱形的面积=DE•AC解答即可.【解答】证明
(1)∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB中点,∴CD=AB=AD,又∵AE∥CD,CE∥AB∴四边形ADCE是平行四边形,∴平行四边形ADCE是菱形;
(2)在Rt△ABC中,AC===8.∵平行四边形ADCE是菱形,∴CO=OA,又∵BD=DA,∴DO是△ABC的中位线,∴BC=2DO.又∵DE=2DO,∴BC=DE=6,∴S菱形ADCE===24. 22.在一个不透明的盒子里,装有三个分别标有数字1,2,3的小球,它们的形状、大小、质地等完全相同.小明先从盒子里随机取出一个小球,记下数字为x;放进盒子摇匀后,再由小华随机取出一个小球,记下数字为y.
(1)请用树状图或列表分析,写出(x,y)所有可能出现的结果;
(2)求小明、小华各取一次小球所确定的点(x,y)落在反比例函数y=图象上的概率.【考点】反比例函数图象上点的坐标特征;列表法与树状图法.【分析】
(1)采用列表法即可写出(x,y)的所有可能出现的结果;
(2)找出表中落在反比例函数y=的图象上的点的个数再除以总的个数,即可求出答案.【解答】解
(1)列表如下x1231(1,1)(1,2)(1,3)2(2,1)(2,2)(2,3)3(3,1)(3,2)(3,3)一共有9种等可能性结果.
(2)点(x,y)落在反比例函数y=的图象上有2种(2,3)(3,2),所以点(x,y)落在y=的概率是.
五、解答题
(三)(本大题共3小题,每小题9分,共27分)请在答题卡相应位置上作答.23.如图,已知A(﹣4,2)、B(n,﹣4)是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象的两个交点.
(1)求m、n的值;
(2)求一次函数的关系式;
(3)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围.【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.【分析】
(1)把A(﹣3,1)代入y=求出m=﹣3,得出反比例函数的解析式,把B(2,n)代入反比例函数的解析式求出n,得出B的坐标;
(2)把A、B的坐标代入一次函数的解析式得出方程组,求出方程组的解即可;
(3)根据图形和A、B的横坐标即可得出答案.【解答】解
(1)把A(﹣4,2)代入y=得m=﹣8,即反比例函数的解析式为y=﹣,把B(n,﹣4)代入得n=2,即B(2,﹣4),即m=﹣8,n=2;
(2)把A、B的坐标代入一次函数的解析式得解得k=﹣1,b=﹣2,即一次函数的解析式是y=﹣x﹣2;
(3)一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围是x>2或﹣4<x<0. 24.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,现在有一足够大的直角三角板,它的直角顶点D是BC上一点,另两条直角边分别交AB、AC于点E、F.
(1)如图1,若DE⊥AB,DF⊥AC,求证四边形AEDF是矩形;
(2)在
(1)条件下,若点D在∠BAC的角平分线上,试判断此时四边形AEDF的形状,并说明理由;
(3)若点D在∠BAC的角平分线上,将直角三角板绕点D旋转一定的角度,使得直角三角板的两条边与两条直角边分别交于点E、F(如图2),试证明AE+AF=AD.【考点】四边形综合题.【分析】
(1)由垂直的定义得到∠AED=∠AFD=90°,根据矩形的判定定理即可得到结论;
(2)根据角平分线的性质得到DE=DF,根据正方形的判定定理即可得到矩形AEDF是正方形;
(3)作DM⊥AB于M,DN⊥AC于N,证得四边形AMDN是正方形,由正方形的性质得到AM=DM=DN=AN,∠MDN=∠AMD=90°,由余角的性质得到∠NDF=∠EDM,根据全等三角形的性质得到EM=FN,根据勾股定理得到AD=AM,由于AM=(AM+AN)=(AE+AF),等量代换即可得到结论.【解答】解
(1)∵DE⊥AB,BF⊥AC,∴∠AED=∠AFD=90°,∵∠BAC=90°,∴四边形AEDF是矩形;
(2)四边形AEDF是正方形,理由∵点D在∠BAC的角平分线上,DE⊥AB,BF⊥AC,∴DE=DF,∴矩形AEDF是正方形;
(3)作DM⊥AB于M,DN⊥AC于N,∴∠AED=∠AFD=∠BAC=90°,∵点D在∠BAC的角平分线上,∴DM=DN,∴四边形AMDN是正方形,∴AM=DM=DN=AN,∠MDN=∠AMD=90°,∴∠MDF+∠NDF=90°,∵∠EDF=90°,∴∠MDF+∠EDM=90°,∴∠NDF=∠EDM,在△EMD与△END中,,∴△EMD≌△END,∴EM=FN,∵∠AMD=90°,∴AM2+DM2=AD2,∴AD=AM,∵AM=(AM+AN)=(AE+AF),∴AD=×(AE+AF),∴AE+AF=AD. 25.如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥AB,∠B=60°,AB=10cm,BC=4cm,点P沿线段AB从点A向点B运动,点P的运动速度是1cm/s.
(1)求AD的长;
(2)点P在运动过程中,是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似?若存在,求出AP的值;若不存在,请说明理由.
(3)设△APD的面积为S1,△CPB的面积为S2,在运动过程中存在某一时刻t,使得S1S2=25,请直接写出此时t的值t= s .【考点】相似形综合题.【分析】
(1)过C作CE⊥AB于点E,进而利用特殊直角三角形性质结合勾股定理得出答案;
(2)分别利用
①当∠PCB=90°时,
②当∠CPB=90°时,P点即为E点位置,分析得出答案;
(3)直接利用三角形位置关系得出AP BP=25,进而得出答案.【解答】解
(1)如图1,过C作CE⊥AB于点E在Rt△BEC中,BC=4,∠B=60°,∴∠ECB=30°,∴BE=2cm∴CE===2(cm),∵四边形AECD是矩形,∴AD=CE=2cm;
(2)存在.若以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似,则△PCB必有一个角是直角,
①如图2,当∠PCB=90°时,在Rt△BCP中,∠B=60°,BC=4,BP=2BC=8,AP=2,PC=4,在Rt△PAD中,AD=2,AP=2∴∠DAP=∠PCB=90°,∵==,==,即=,∴△ADP∽△CPB,此时AP=2cm;
②如图1,当∠CPB=90°时,P点即为E点位置,Rt△CPB中,CP=2,PB=2,Rt△ADP中,AD=2,AP=8∠DAP=∠CPB=90°,∵==,==,∴≠,∴△PCB与△ADP不相似,综上所述,AP=2cm时,△ADP∽△CPB;
(3)由题意可得△APD与△CPB同高,∵S1S2=25,∴=,则=,解得AP=,故t=s.故答案为s.。