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2015-2016学年湖北省宜昌五中九年级(上)期中数学试卷
一、选择题(本大题满分45分,共15小题,每题3分.在下列各小题给出的四个选项中,只有一项符合题目的要求,请把符合要求的选项前面的字母代号填写在答卷上指定的位置)1.下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A.B.C.D.2.一元二次方程5x2﹣4x﹣1=0的二次项系数和一次项系数分别为( )A.5,﹣1B.5,4C.5,﹣4D.5x2,﹣4x3.关于x的方程2x2﹣4=0解为( )A.2B.±2C.D.4.如图,矩形OABC的顶点O为坐标原点,点A在x轴上,点B的坐标为(2,1).如果将矩形0ABC绕点O旋转180°旋转后的图形为矩形OA1B1C1,那么点B1的坐标为( )A.(2,1)B.(﹣2,1)C.(﹣2,﹣1)D.(2,﹣l)5.抛物线的顶点坐标是( )A.(2,3)B.(2,﹣3)C.(﹣2,3)D.(﹣2,﹣3)6.若m、n是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根,则m+n﹣mn的值是( )A.﹣7B.7C.3D.﹣37.如图,抛物线y1=(x﹣2)2﹣1与直线y2=x﹣1交于A、B两点,则当y2≥y1时,x的取值范围为( )A.1≤x≤4B.x≤4C.x≥1D.x≤1或x≥48.已知抛物线y=ax2﹣2x+1与x轴没有交点,那么a的取值范围是( )A.a>1B.a<1C.a≥1D.a≤19.用配方法解一元二次方程x2﹣4x=5时,此方程可变形为( )A.(x+2)2=1B.(x﹣2)2=1C.(x+2)2=9D.(x﹣2)2=910.二次函数y=x2﹣2x﹣3上有两点(﹣1,y1),(4,y2),下列结论正确的是( )A.y1>y2B.y1<y2C.y1=y2D.无法确定11.如图,△ABC中,将△ABC绕点A顺时针旋转40°后,得到△AB′C′,且C′在边BC上,则∠AC′C的度数为( )A.50°B.60°C.70°D.80°12.若将抛物线y=x2向右平移2个单位,再向上平移3个单位,则所得抛物线的表达式为( )A.y=(x+2)2+3B.y=(x﹣2)2+3C.y=(x+2)2﹣3D.y=(x﹣2)2﹣313.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,关于此二次函数有以下四个结论
①a<0;
②c>0;
③b2﹣4ac>0;
④ab>0,其中正确的有( )个.A.1B.2C.3D.414.有一人患了流感,经过两轮传染后共有100人患了流感,那么每轮传染中平均一个人传染的人数为( )A.8人B.9人C.10人D.11人15.已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图,其中正确的是( )A.B.C.D.
二、解答题(本大题满分75分,共9小题)16.解方程x(2x+3)=4x+6.17.如图,已知△ABC的顶点A,B,C的坐标分别是A(﹣1,﹣1),B(﹣4,﹣3),C(﹣4,﹣1).
(1)作出△ABC关于原点O中心对称的图形;
(2)将△ABC绕原点O按顺时针方向旋转90°后得到△A1B1C1,画出△A1B1C1,并写出点A1的坐标.18.已知三角形的两条边a、b满足等式a2+b2=25,且a、b的长是方程x2﹣(2m﹣1)x+4(m﹣1)=0的两个根,求m的值.19.在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如果要使整个挂图的面积是ycm2,设金色纸边的宽为xcm,要求纸边的宽度不得少于1cm,同时不得超过2cm.
(1)求出y关于x的函数解析式,并直接写出自变量的取值范围;
(2)此时金色纸边的宽应为多少cm时,这幅挂图的面积最大?求出最大面积的值.20.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到盈利过程.下面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和s和t之间的关系).根据图象提供的信息,解答下列问题
(1)由已知图象上的三点坐标,求累积利润s(万元)与时间t(月)之间的函数关系式;
(2)求截止到几月末公司累积利润可达到30万元;
(3)求第8个月公司所获利润是多少万元?21.如图,在Rt△ABC的直角边AB,斜边AC上分别找点E,F,使AE=AF.将△AFE绕点A顺时针方向旋转,EF的中点O恰好落在AB的中点,延长AF交BC于D,连接BE.
(1)四边形BDFE是什么特殊四边形,说明理由;
(2)是否存在Rt△ABC,使得图中四边形BDFE为菱形?若不存在,说明理由;若存在,求出此时Rt△ABC的面积与△AFE面积的比.22.宜兴科技公司生产销售一种电子产品,该产品总成本包括技术成本、制造成本、销售成本三部分,经核算,2013年该产品各部分成本所占比例约为2a1.且2013年该产品的技术成本、制造成本分别为400万元、1400万元.
(1)确定a的值,并求2013年产品总成本为多少万元;
(2)为降低总成本,该公司2014年及2015年增加了技术成本投入,确保这两年技术成本都比前一年增加一个相同的百分数m(m<50%),制造成本在这两年里都比前一年减少一个相同的百分数2m;同时为了扩大销售量,2015年的销售成本将在2013年的基础上提高10%,经过以上变革,预计2015年该产品总成本达到2013年该产品总成本的,求m的值.23.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,点E是边CD上任意一点(点E与点C、D不重合),过点A作AF⊥AE,交边CB的延长线于点F,连接EF,交边AB于点G.设DE=x,BF=y.
(1)求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;
(2)如果AD=BF,求证△AEF∽△DEA;
(3)当点E在边CD上移动时,△AEG能否成为等腰三角形?如果能,请直接写出线段DE的长;如果不能,请说明理由.24.抛物线y=ax2和直线y=kx+b(k为正常数)交于点A和点B,其中点A的坐标是(﹣2,1),过点A作x轴的平行线交抛物线于点E,点D是抛物线上B.E之间的一个动点,设其横坐标为t,经过点D作两坐标轴的平行线分别交直线AB于点C.B,设CD=r,MD=m.
(1)根据题意可求出a= ,点E的坐标是 .
(2)当点D可与B、E重合时,若k=
0.5,求t的取值范围,并确定t为何值时,r的值最大;
(3)当点D不与B、E重合时,若点D运动过程中可以得到r的最大值,求k的取值范围,并判断当r为最大值时m的值是否最大,说明理由.(下图供分析参考用) 2015-2016学年湖北省宜昌五中九年级(上)期中数学试卷参考答案与试题解析
一、选择题(本大题满分45分,共15小题,每题3分.在下列各小题给出的四个选项中,只有一项符合题目的要求,请把符合要求的选项前面的字母代号填写在答卷上指定的位置)1.下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A.B.C.D.【考点】中心对称图形;轴对称图形.【分析】逐一分析四个选项中的图形,可那个图形既是轴对称图形又是中心对称图形,由此即可得出结论.【解答】解A、是轴对称图形不是中心对称图形;B、既不是轴对称图形又不是中心对称图形;C、既是轴对称图形又是中心对称图形;D、是轴对称图形不是中心对称图形.故选C. 2.一元二次方程5x2﹣4x﹣1=0的二次项系数和一次项系数分别为( )A.5,﹣1B.5,4C.5,﹣4D.5x2,﹣4x【考点】一元二次方程的一般形式.【分析】根据方程的一般形式,找出二次项系数与一次项系数即可.【解答】解一元二次方程5x2﹣4x﹣1=0的二次项系数和一次项系数分别为5,﹣4,故选C 3.关于x的方程2x2﹣4=0解为( )A.2B.±2C.D.【考点】一元二次方程的解.【分析】把四个选项分别代入方程的左右两边,能够使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解.【解答】解把x=±代入方程2x2﹣4=0的左边=4﹣4=0=右边,所以关于x的方程2x2﹣4=0解为x=±.故选D. 4.如图,矩形OABC的顶点O为坐标原点,点A在x轴上,点B的坐标为(2,1).如果将矩形0ABC绕点O旋转180°旋转后的图形为矩形OA1B1C1,那么点B1的坐标为( )A.(2,1)B.(﹣2,1)C.(﹣2,﹣1)D.(2,﹣l)【考点】坐标与图形变化-旋转.【分析】将矩形0ABC绕点O顺时针旋转180°,就是把矩形0ABC上的每一个点绕点O顺时针旋转180°,求点B1的坐标即是点B关于点O的对称点B1点的坐标得出答案即可.【解答】解∵点B的坐标是(2,1),∴点B关于点O的对称点B1点的坐标是(﹣2,﹣1).故选C. 5.抛物线的顶点坐标是( )A.(2,3)B.(2,﹣3)C.(﹣2,3)D.(﹣2,﹣3)【考点】二次函数的性质.【分析】已知解析式是抛物线的顶点式,根据顶点式的坐标特点,直接写出顶点坐标.【解答】解因为的是抛物线的顶点式,根据顶点式的坐标特点可知,顶点坐标为(2,﹣3).故选B. 6.若m、n是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根,则m+n﹣mn的值是( )A.﹣7B.7C.3D.﹣3【考点】根与系数的关系.【分析】根据根与系数的关系求出m+n和mn的值,再代入求出即可.【解答】解∵m、n是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根,∴m+n=5,mn=﹣2,∴m+n﹣mn=5﹣(﹣2)=7.故选B. 7.如图,抛物线y1=(x﹣2)2﹣1与直线y2=x﹣1交于A、B两点,则当y2≥y1时,x的取值范围为( )A.1≤x≤4B.x≤4C.x≥1D.x≤1或x≥4【考点】二次函数与不等式(组).【分析】联立两函数解析式求出交点A、B的坐标,然后根据函数图象写出直线在抛物线上方部分的x的取值范围即可.【解答】解联立,解得,,所以,点A(1,0),B(4,3),所以,当y2≥y1时,x的取值范围为1≤x≤4.故选A. 8.已知抛物线y=ax2﹣2x+1与x轴没有交点,那么a的取值范围是( )A.a>1B.a<1C.a≥1D.a≤1【考点】抛物线与x轴的交点.【分析】根据抛物线与x轴没有交点,△<0令不等式即可解决问题.【解答】解∵抛物线y=ax2﹣2x+1与x轴没有交点,∴△<0,∴4﹣4a<0,∴a>1.故选A 9.用配方法解一元二次方程x2﹣4x=5时,此方程可变形为( )A.(x+2)2=1B.(x﹣2)2=1C.(x+2)2=9D.(x﹣2)2=9【考点】解一元二次方程-配方法.【分析】配方法的一般步骤
(1)把常数项移到等号的右边;
(2)把二次项的系数化为1;
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.【解答】解∵x2﹣4x=5,∴x2﹣4x+4=5+4,∴(x﹣2)2=9.故选D. 10.二次函数y=x2﹣2x﹣3上有两点(﹣1,y1),(4,y2),下列结论正确的是( )A.y1>y2B.y1<y2C.y1=y2D.无法确定【考点】二次函数图象上点的坐标特征.【分析】分别计算出自变量为﹣1和4所对应的函数值,然后比较函数值的大小即可.【解答】解当x=﹣1时,y1=x2﹣2x﹣3=1+2﹣3=0;当x=4时,y2=x2﹣2x﹣3=16﹣8﹣3=5,所以y1<y2.故选B. 11.如图,△ABC中,将△ABC绕点A顺时针旋转40°后,得到△AB′C′,且C′在边BC上,则∠AC′C的度数为( )A.50°B.60°C.70°D.80°【考点】旋转的性质;三角形内角和定理;等腰三角形的性质.【分析】根据旋转得出∠CAC′=40°,AC=AC′,求出∠AC′C=∠C,根据三角形内角和定理求出即可.【解答】解∵将△ABC绕点A顺时针旋转40°后,得到△AB′C′,∴∠CAC′=40°,AC=AC′,∴∠AC′C=∠C==70°,故选C. 12.若将抛物线y=x2向右平移2个单位,再向上平移3个单位,则所得抛物线的表达式为( )A.y=(x+2)2+3B.y=(x﹣2)2+3C.y=(x+2)2﹣3D.y=(x﹣2)2﹣3【考点】二次函数图象与几何变换.【分析】根据二次函数图象的平移规律解答即可.【解答】解将抛物线y=x2向右平移2个单位可得y=(x﹣2)2,再向上平移3个单位可得y=(x﹣2)2+3,故选B. 13.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,关于此二次函数有以下四个结论
①a<0;
②c>0;
③b2﹣4ac>0;
④ab>0,其中正确的有( )个.A.1B.2C.3D.4【考点】二次函数图象与系数的关系.【分析】由图象的开口方向可判断
①;由图象与y轴的交点在x轴的下方可判断
②;由图象与x轴有两个交点可判断
③;由图象的对称轴在y轴的右侧及开口方向可判断
④,可得出答案.【解答】解∵图象开口向下,∴a<0,故
①正确;∵图象与y轴的交点坐标在x轴的下方,∴c<0,故
②不正确;∵抛物线与x轴有两个交点,∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根,∴b2﹣4ac>0,故
③正确;∵图象对称轴在y轴的右侧,∴﹣>0,∴ab<0,故
④不正确;∴正确的有两个,故选B. 14.有一人患了流感,经过两轮传染后共有100人患了流感,那么每轮传染中平均一个人传染的人数为( )A.8人B.9人C.10人D.11人【考点】一元二次方程的应用.【分析】本题考查增长问题,应理解“增长率”的含义,如果设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人,那么由题意可列出方程,解方程即可求解.【解答】解设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人,第一轮过后有(1+x)个人感染,第二轮过后有(1+x)+x(1+x)个人感染,那么由题意可知1+x+x(1+x)=100,整理得,x2+2x﹣99=0,解得x=9或﹣11,x=﹣11不符合题意,舍去.那么每轮传染中平均一个人传染的人数为9人.故选B. 15.已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图,其中正确的是( )A.B.C.D.【考点】二次函数的图象;一次函数的图象.【分析】本题可先由二次函数图象得到字母系数的正负,再与一次函数和反比例函数的图象相比较看是否一致.逐一排除.【解答】解A、由二次函数的图象可知a<0,此时直线y=ax+b应经过
二、四象限,故A可排除;B、由二次函数的图象可知a<0,对称轴在y轴的右侧,可知a、b异号,b>0,此时直线y=ax+b应经过
一、
二、四象限,故B可排除;C、由二次函数的图象可知a>0,此时直线y=ax+b应经过
一、三象限,故C可排除;正确的只有D.故选D.
二、解答题(本大题满分75分,共9小题)16.解方程x(2x+3)=4x+6.【考点】解一元二次方程-因式分解法.【分析】先移项;然后提取公因式(2x+3)分解因式,利用因式分解法解方程.【解答】解x(2x+3)﹣2(2x+3)=0,∴(2x+3)(x﹣2)=0,∴2x+3=0或x﹣2=0,∴x1=﹣,x2=2. 17.如图,已知△ABC的顶点A,B,C的坐标分别是A(﹣1,﹣1),B(﹣4,﹣3),C(﹣4,﹣1).
(1)作出△ABC关于原点O中心对称的图形;
(2)将△ABC绕原点O按顺时针方向旋转90°后得到△A1B1C1,画出△A1B1C1,并写出点A1的坐标.【考点】作图-旋转变换.【分析】
(1)将△ABC的三点与点O连线并延长相同长度找对应点,然后顺次连接得中心对称图形△A′B′C′;
(2)将△ABC的三点与点O连线并绕原点O按顺时针方向旋转90°找对应点,然后顺次连接得△A1B1C1.【解答】解
(1)正确画出图形
(2)正确画出图形A1(﹣1,1). 18.已知三角形的两条边a、b满足等式a2+b2=25,且a、b的长是方程x2﹣(2m﹣1)x+4(m﹣1)=0的两个根,求m的值.【考点】根与系数的关系;完全平方公式.【分析】根据根与系数的关系得出a+b和ab的值,再根据a2+b2=25,得出(2m﹣1)2=25+2×4(m﹣1),求出m的值,再把不合题意的值舍去即可.【解答】解∵a、b的长是方程x2﹣(2m﹣1)x+4(m﹣1)=0的两个根,∴a+b=2m﹣1,ab=4(m﹣1),a>0,b>0,∵a2+b2=25,∴(a+b)2=a2+b2+2ab,∴(2m﹣1)2=25+2×4(m﹣1),∴m1=4,m2=﹣1,∵当m=﹣1时,ab<0,不合题意,舍去,∴m=4. 19.在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如果要使整个挂图的面积是ycm2,设金色纸边的宽为xcm,要求纸边的宽度不得少于1cm,同时不得超过2cm.
(1)求出y关于x的函数解析式,并直接写出自变量的取值范围;
(2)此时金色纸边的宽应为多少cm时,这幅挂图的面积最大?求出最大面积的值.【考点】二次函数的应用.【分析】
(1)用含x的代数式表示出镶纸边后矩形的长和宽,根据矩形的面积公式即可得出y关于x的函数解析式,结合题意标明x的取值范围即可;
(2)根据二次函数的性质确定在自变量的取值范围内函数的单调性,由此即可解决最值问题.【解答】解
(1)镶金色纸边后风景画的长为(80+2x)cm,宽为(50+2x)cm,∴y=(80+2x)•(50+2x)=4x2+260x+4000(1≤x≤2).
(2)∵二次函数y=4x2+260x+4000的对称轴为x=﹣=﹣,∴在1≤x≤2上,y随x的增大而增大,∴当x=2时,y取最大值,最大值为4536.答金色纸边的宽为2cm时,这幅挂图的面积最大,最大面积的值为4536cm2. 20.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到盈利过程.下面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和s和t之间的关系).根据图象提供的信息,解答下列问题
(1)由已知图象上的三点坐标,求累积利润s(万元)与时间t(月)之间的函数关系式;
(2)求截止到几月末公司累积利润可达到30万元;
(3)求第8个月公司所获利润是多少万元?【考点】二次函数的应用.【分析】
(1)本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题,应根据图象以及题目中所给的信息来列出S与t之间的函数关系式;
(2)把S=30代入累计利润S=t2﹣2t的函数关系式里,求得月份;
(3)分别t=7,t=8,代入函数解析S=t2﹣2t,再把总利润相减就可得出.【解答】解
(1)由图象可知其顶点坐标为(2,﹣2),故可设其函数关系式为S=a(t﹣2)2﹣2.∵所求函数关系式的图象过(0,0),于是得a(0﹣2)2﹣2=0,解得a=.∴所求函数关系式为S=(t﹣2)2﹣2,即S=t2﹣2t.答累积利润S与时间t之间的函数关系式为S=t2﹣2t;
(2)把S=30代入S=(t﹣2)2﹣2,得(t﹣2)2﹣2=30.解得t1=10,t2=﹣6(舍去).答截止到10月末公司累积利润可达30万元.
(3)把t=7代入关系式,得S=×72﹣2×7=
10.5,把t=8代入关系式,得S=×82﹣2×8=16,16﹣
10.5=
5.5,答第8个月公司所获利是
5.5万元. 21.如图,在Rt△ABC的直角边AB,斜边AC上分别找点E,F,使AE=AF.将△AFE绕点A顺时针方向旋转,EF的中点O恰好落在AB的中点,延长AF交BC于D,连接BE.
(1)四边形BDFE是什么特殊四边形,说明理由;
(2)是否存在Rt△ABC,使得图中四边形BDFE为菱形?若不存在,说明理由;若存在,求出此时Rt△ABC的面积与△AFE面积的比.【考点】相似三角形的判定与性质;菱形的判定;旋转的性质.【分析】
(1)由于AE=AF,且O是EF中点,根据等腰三角形三线合一的性质知AO⊥EF,即FO∥BD,从而证得OF是△ABD的中位线,由此可得BD=2OF=EF,那么BD、EF平行且相等,根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判断出四边形BDFE的形状.
(2)当四边形BDFE是菱形时,BD=FD,即AF=2BD,由此可得∠FAO=30°,∠BAC=∠EAF=60°;易证得△FOA∽△ABC,首先求出FO、OA即FO、AB的比例关系,即可得到△AFO、△ABC的面积比,进而可得到△AEF、△ABC的面积比.【解答】解
(1)四边形BDFE是平行四边形;理由如下∵AE=AF,且O是EF中点,∴AO⊥EF,即EF∥BD;∵O是AB中点,∴OF是△ABD的中位线,即BD=2OF=EF,∴BD、EF平行且相等,∴四边形BDFE是平行四边形.
(2)若四边形BDFE是菱形,则DF=BD,即AD=2BD,∴∠BAD=30°,∠BAC=∠EAF=60°;∵∠FAO=∠C=30°,∠FOA=∠ABC=90°,∴△FOA∽△ABC,在Rt△AOF中,∠FAO=30°,则AO=OF,即AB=2OF;∴S△ABC=
(2)2S△FOC=12S△FOC,又∵S△FAE=2S△FOC,∴S△ABC=6S△FAE.∴S△ABC S△FAE=61. 22.宜兴科技公司生产销售一种电子产品,该产品总成本包括技术成本、制造成本、销售成本三部分,经核算,2013年该产品各部分成本所占比例约为2a1.且2013年该产品的技术成本、制造成本分别为400万元、1400万元.
(1)确定a的值,并求2013年产品总成本为多少万元;
(2)为降低总成本,该公司2014年及2015年增加了技术成本投入,确保这两年技术成本都比前一年增加一个相同的百分数m(m<50%),制造成本在这两年里都比前一年减少一个相同的百分数2m;同时为了扩大销售量,2015年的销售成本将在2013年的基础上提高10%,经过以上变革,预计2015年该产品总成本达到2013年该产品总成本的,求m的值.【考点】一元二次方程的应用.【分析】
(1)由2a=4001400得出方程求得a的数值,进一步求得总成本即可;
(2)分别求得2015年的技术成本、制造成本、销售成本,进一步利用预计2015年该产品总成本达到2013年该产品总成本的,建立方程解决问题.【解答】解
(1)由题意得2a=4001400,解得a=7.则销售成本为400÷2=200万元,2013年产品总成本为400+1400+200=2000万元.
(2)由题意可得400(1+m)2+1400(1﹣2m)2+200(1+10%)=2000×,整理得300m2﹣240m+21=0,解得m1=
0.1,m2=
0.7(m<50%,不合题意舍去).答m的值是10%. 23.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,点E是边CD上任意一点(点E与点C、D不重合),过点A作AF⊥AE,交边CB的延长线于点F,连接EF,交边AB于点G.设DE=x,BF=y.
(1)求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;
(2)如果AD=BF,求证△AEF∽△DEA;
(3)当点E在边CD上移动时,△AEG能否成为等腰三角形?如果能,请直接写出线段DE的长;如果不能,请说明理由.【考点】等腰三角形的判定;根据实际问题列一次函数关系式;矩形的性质;相似三角形的判定与性质.【分析】
(1)由矩形的性质推出∠BAD=∠D=∠ABC=90°,即得∠D=∠ABF,再由AF⊥AE得出∠EAF=∠BAD=90°,然后由∠EAF=∠BAF+∠BAE,∠BAD=∠DAE+∠BAE,得出∠DAE=∠BAF,由∠D=∠ABF,∠DAE=∠BAF,得△DAE∽△BAF,再由三角形相似的性质得到y关于x的函数解析式y=,从而得出x的取值范围.
(2)由AB∥CD,得出==1.即得FG=EG,再由∠EAF=90°,得AG=FG,∠FAG=∠AFG,∴∠AFE=∠DAE,再由∠EAF=∠D,∠AFE=∠DAE,得△AEF∽△DEA.
(3)当点E在边CD上移动时,△AEG能成为等腰三角形,此时可以推断出三种情况,一一推断即可.【解答】解
(1)在矩形ABCD中,∠BAD=∠D=∠ABC=90°,AD=BC=3.即得∠D=∠ABF.∵AF⊥AE,∴∠EAF=∠BAD=90°.又∵∠EAF=∠BAF+∠BAE,∠BAD=∠DAE+∠BAE,∴∠DAE=∠BAF.于是,由∠D=∠ABF,∠DAE=∠BAF,得△DAE∽△BAF.∴=.由DE=x,BF=y,得=,即得y=x.∴y关于x的函数解析式是y=x,0<x<4.
(2)∵AD=BF,AD=BC,∴BF=BC.在矩形ABCD中,AB∥CD,∴==1.即得FG=EG.于是,由∠EAF=90°,得AG=FG.∴∠FAG=∠AFG.∴∠AFE=∠DAE.于是,由∠EAF=∠D,∠AFE=∠DAE,得△AEF∽△DEA.
(3)当点E在边CD上移动时,△AEG能成为等腰三角形.此时,
①当AG=EG时,那么EG=FG=AG,即G为EF中点,即AG为中线此时FB=BC=3当y=3代入y=x.得x=;即DE=;
②当AE=GE时,过点G向DC作垂线有GH⊥DC,由AAS易得△ADE≌△GHE,即EH=DE=x,GB=HC=4﹣2x,GH=3∵△FBG∽△FCE,∴=,即=,解得x=,即DE=;
③当AG=AE时,∵AE2=AD2+DE2=9+x2∴AG=∴GB=4﹣∵△FBG∽△FCE,∴∴=解得x=,即DE= 24.抛物线y=ax2和直线y=kx+b(k为正常数)交于点A和点B,其中点A的坐标是(﹣2,1),过点A作x轴的平行线交抛物线于点E,点D是抛物线上B.E之间的一个动点,设其横坐标为t,经过点D作两坐标轴的平行线分别交直线AB于点C.B,设CD=r,MD=m.
(1)根据题意可求出a= ,点E的坐标是 (2,1) .
(2)当点D可与B、E重合时,若k=
0.5,求t的取值范围,并确定t为何值时,r的值最大;
(3)当点D不与B、E重合时,若点D运动过程中可以得到r的最大值,求k的取值范围,并判断当r为最大值时m的值是否最大,说明理由.(下图供分析参考用)【考点】二次函数综合题.【分析】
(1)利用二次函数图象上点的坐标特征知,点A的坐标满足抛物线的解析式,所以把点A的坐标代入抛物线的解析式,即可求得a的值;由抛物线y=ax2的对称性知,点A、点E关于y轴对称;
(2)根据抛物线与直线的解析式求得点B的坐标为(4,4),则t的最小值是点E的横坐标,t的最大值是点B的横坐标;由于点C在直线y=x+2上,点D在抛物线y=x2上,CD∥x轴,所以D(t,t2),C(,t2);最后由两点间的距离公式求得r=|(t﹣1)2﹣|(2≤t≤4),所以根据二次函数最值的求法来求当r取最大值时t的值;
(3)
①设D(t,t2).由一次函数、二次函数图象上点的坐标特征求得点C的坐标为(t2﹣,t2).然后根据两点间的距离公式知r=﹣(t﹣2k)2+k+,易知当t=2k时,r取最大值.
②根据一次函数y=kx+b中的k的几何意义知k==,即m=kr=﹣(t﹣2k)2+k2+b,显然,当t=2k时,m取最大值.【解答】解
(1)根据题意知,点A(﹣2,1)在抛物线y=ax2上,∴1=(﹣2)2a,解得,a=.∵抛物线y=ax2关于y轴对称,AE∥x轴,∴点A、E关于y轴对称,∴E(2,1).故答案是,(2,1).
(2)∵点A(﹣2,1)在直线y=kx+b(k为正常数)上,k=
0.5,∴1=﹣2×
0.5+b,解得,b=2,即直线AB的解析式为y=x+2.∵由
(1)知,抛物线的解析式y=x2,抛物线y=x2和直线y=x+2(k为正常数)交于点A和点B,∴,解得,或,∴它们的交点坐标是(﹣2,1),(4,4),即B(4,4).当点D与点E重合时,t=2.当点D与点B重合时,t=4,∴t的取值范围是2≤t≤4.∵点C在直线y=x+2上,点D在抛物线y=x2上,CD∥x轴,∴D(t,t2),C(,t2),∴r=t﹣=﹣(t﹣1)2+(2≤t≤4).∵在2≤t≤4范围内,r随t的增大而减小,∴当t=2时,r最大=4.即当t=2时,r取最大值.
(3)∵点A、B是直线与抛物线的交点,∴kx+b=x2,即x2﹣4kx﹣4b=0,∴xA+xB=4k.∵xA=﹣2,∴xB=4k+2.又∵点D不与B、E重合,∴2<t<4k+2.设D(t,t2),则点C的纵坐标为t2,将其代入y=kx+b中,得x=t2﹣,∴点C的坐标为(t2﹣,t2),∴r=CD=t﹣(t2﹣)=﹣(t﹣2k)2+k+,当t=2k时,r取最大值.∴2<2k<4k+2,解得,k>1.又∵k==,∴m=kr=﹣(t﹣2k)2+k2+b,∴当t=2k时,m的值也最大.综上所述,当r为最大值时m的值也是最大.。