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2015-2016学年安徽省合肥市包河区九年级(上)期末数学试卷
一、选择题(共10小题,每小题4分,满分40分)1.下列函数是二次函数的是( )A.y=3x+1B.y=ax2+bx+cC.y=x2+3D.y=(x﹣1)2﹣x22.若反比例函数y=的图象位于第
一、三象限,则k的取值可以是( )A.﹣3B.﹣2C.﹣1D.03.将下列图形绕其对角线的交点顺时针旋转90°,所得图形一定与原图形重合的是( )A.平行四边形B.矩形C.正方形D.菱形4.已知二次函数y=x2+x+c的图象与x轴的一个交点为(2,0),则它与x轴的另一个交点坐标是( )A.(1,0)B.(﹣1,0)C.(2,0)D.(﹣3,0)5.已知Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2,tanA=,则BC的长是( )A.2B.8C.2D.46.抛物线y=x2,y=﹣3x2,y=﹣x2,y=2x2的图象开口最大的是( )A.y=x2B.y=﹣3x2C.y=﹣x2D.y=2x27.b是a,c的比例中项,且a b=13,则b c=( )A.13B.31C.19D.918.如图,⊙O的直径AB=2,点C在⊙O上,弦AC=1,则∠D的度数是( )A.30°B.45°C.60°D.75°9.如图,A点是半圆上一个三等分点,B点是弧AN的中点,P点是直径MN上一动点,⊙O的半径为1,则AP+BP的最小值为( )A.1B.C.D.10.已知函数y=,若使y=k成立的x值恰好有两个,则k的值为( )A.﹣1B.1C.0D.±1
二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)11.抛物线y=2(x﹣1)2+5的顶点坐标是______.12.若=,则=______.13.一只小虫由地面沿i=12的坡面向上前进了10m,则小虫距离地面的高度为______m.14.已知抛物线y1=﹣2x2+2和直线y2=2x+2的图象如图所示,当x任取一值时,x对应的函数值分别为y
1、y2.若y1≠y2,取y
1、y2中的较小值记为M;若y1=y2,记M=y1=y2.例如当x=1时,y1=0,y2=4,y1<y2,此时M=0.则下列结论中一定成立的是______(把所有正确结论的序号都填在横线上)
①当x>0时,y1>y2;
②使得M大于2的x值不存在;
③当x<0时,x值越大,M值越小;
④使得M=1的x值是﹣或.
三、解答题(共2小题,满分16分)15.计算6tan230°﹣sin60°﹣sin30°.16.如图,在△ABC中,∠C=90°,在AB边上取一点D,使BD=BC,过D作DE⊥AB交AC于E,AC=8,BC=6.求DE的长.
四、解答题(共2小题,满分16分)17.如图,二次函数y=(x﹣2)2+m的图象与y轴交于点C,点B是点C关于该函数图象对称轴对称的点,已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A(1,0)及点B.
(1)求二次函数的解析式;
(2)求一次函数的解析式.18.如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(﹣1,2),B(﹣3,4)C(﹣2,6)
(1)画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1
(2)以原点O为位似中心,画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2.
五、解答题(共2小题,满分20分)19.已知如图,M是的中点,过点M的弦MN交AB于点C,设⊙O的半径为4cm,MN=cm.
(1)求圆心O到弦MN的距离;
(2)求∠ACM的度数.20.如图所示,在天水至宝鸡(天宝)高速公路建设中需要确定某条隧道AB的长度,已知在离地面2700米高度C处的飞机上,测量人员测得正前方AB两点处的俯角分别是60°和30°,求隧道AB的长.(结果保留根号)
六、解答题(共1小题,满分12分)21.如图,已知一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A、B两点,且点A的横坐标和点B的纵坐标都是﹣2.求
(1)一次函数的解析式;
(2)△AOB的面积;
(3)并利用图象指出,当x为何值时有y1>y2;当x为何值时有y1<y2.
七、解答题(共1小题,满分12分)22.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,BC=10cm,AC=6cm,在线段BC上,动点P以2cm/s的速度从点B向点C匀速运动;同时在线段CA上,点Q以acm/s的速度从点C向点A匀速运动,当点P到达点C(或点Q到达点A)时,两点运动停止,在运动过程中.
(1)当点P运动s时,△CPQ与△ABC第一次相似,求点Q的速度a;
(2)当△CPQ与△ABC第二次相似时,求点P总共运动了多少秒?
八、解答题(共1小题,满分14分)23.某水果经销商到大圩种植基地采购葡萄,经销商一次性采购葡萄的采购单价y(元/千克)与采购量x(千克)之间的函数关系图象如图中折线AB→BC→CD所示(不包括端点A),
(1)当500<x≤1000时,写出y与x之间的函数关系式;
(2)葡萄的种植成本为8元/千克,某经销商一次性采购葡萄的采购量不超过1000千克,当采购量是多少时,大圩种植基地获利最大,最大利润是多少元?
(3)在
(2)的条件下,若经销商一次性付了16800元货款,求大圩种植基地可以获得多少元的利润? 2015-2016学年安徽省合肥市包河区九年级(上)期末数学试卷参考答案与试题解析
一、选择题(共10小题,每小题4分,满分40分)1.下列函数是二次函数的是( )A.y=3x+1B.y=ax2+bx+cC.y=x2+3D.y=(x﹣1)2﹣x2【考点】二次函数的定义.【分析】依据一次函数、二次函数的定义求解即可.【解答】解A、y=3x+1是一次函数,故A错误;B、当a=0时,y=ax2+bx+c不是二次函数,故B错误;C、y=x2+3是二次函数,故C正确;D、y=(x﹣1)2﹣x2可整理为y=﹣2x+1,是一次函数,故D错误.故选C. 2.若反比例函数y=的图象位于第
一、三象限,则k的取值可以是( )A.﹣3B.﹣2C.﹣1D.0【考点】反比例函数的性质.【分析】先根据反比例函数的性质列出关于k的不等式,求出k的取值范围,进而可得出结论.【解答】解∵反比例函y=的图象位于第
一、三象限,∴2k+1>0,解得k>﹣,∴k的值可以是0.故选D. 3.将下列图形绕其对角线的交点顺时针旋转90°,所得图形一定与原图形重合的是( )A.平行四边形B.矩形C.正方形D.菱形【考点】旋转对称图形.【分析】根据旋转对称图形的性质,可得出四边形需要满足的条件,结合选项即可得出答案.【解答】解由题意可得,此四边形的对角线互相垂直、平分且相等,则这个四边形是正方形.故选C. 4.已知二次函数y=x2+x+c的图象与x轴的一个交点为(2,0),则它与x轴的另一个交点坐标是( )A.(1,0)B.(﹣1,0)C.(2,0)D.(﹣3,0)【考点】抛物线与x轴的交点.【分析】根据根与系数的关系,,即可求出另一根,即可解答.【解答】解∵a=1,b=1,∴,即2+x=﹣1,解得x=﹣3,∴二次函数与x轴的另一个交点为(﹣3,0),故选D. 5.已知Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2,tanA=,则BC的长是( )A.2B.8C.2D.4【考点】解直角三角形.【分析】根据题意可以设出BC和AC的长度,然后根据勾股定理可以求得BC的长,本题得以解决.【解答】解∵Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2,tanA=,∴设BC=a,则AC=2a,∴,解得,a=2或a=﹣2(舍去),∴BC=2,故选A. 6.抛物线y=x2,y=﹣3x2,y=﹣x2,y=2x2的图象开口最大的是( )A.y=x2B.y=﹣3x2C.y=﹣x2D.y=2x2【考点】二次函数的图象.【分析】根据二次函数中|a|的值越小,则函数图象的开口也越大,可以得出那个选项是正确的.【解答】解∵二次函数中|a|的值越小,则函数图象的开口也越大,又∵,∴抛物线y=x2,y=﹣3x2,y=﹣x2,y=2x2的图象开口最大的是y=x2,故选A. 7.b是a,c的比例中项,且a b=13,则b c=( )A.13B.31C.19D.91【考点】比例线段.【分析】由b是a、c的比例中项,根据比例中项的定义,即可求得a b=b c,又由a b=13,即可求得答案.【解答】解∵b是a,c的比例中项,∴b2=ac,∴a b=b c,∵a b=13,∴b c=13;故选A. 8.如图,⊙O的直径AB=2,点C在⊙O上,弦AC=1,则∠D的度数是( )A.30°B.45°C.60°D.75°【考点】圆周角定理.【分析】先根据圆周角定理求出∠ACB的度数,再由AC=1,AB=2得出∠ABC=30°,故可得出∠A的度数,根据圆周角定理即可得出结论.【解答】解∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°.∵AB=2,AC=1,∴∠ABC=30°,∴∠A=90°﹣30°=60°,∴∠D=∠A=60°.故选C. 9.如图,A点是半圆上一个三等分点,B点是弧AN的中点,P点是直径MN上一动点,⊙O的半径为1,则AP+BP的最小值为( )A.1B.C.D.【考点】垂径定理;勾股定理;圆心角、弧、弦的关系;轴对称-最短路线问题.【分析】本题是要在MN上找一点P,使PA+PB的值最小,设A′是A关于MN的对称点,连接A′B,与MN的交点即为点P.此时PA+PB=A′B是最小值,可证△OA′B是等腰直角三角形,从而得出结果.【解答】解作点A关于MN的对称点A′,连接A′B,交MN于点P,则PA+PB最小,连接OA′,AA′.∵点A与A′关于MN对称,点A是半圆上的一个三等分点,∴∠A′ON=∠AON=60°,PA=PA′,∵点B是弧AN^的中点,∴∠BON=30°,∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°,又∵OA=OA′=1,∴A′B=.∴PA+PB=PA′+PB=A′B=.故选C. 10.已知函数y=,若使y=k成立的x值恰好有两个,则k的值为( )A.﹣1B.1C.0D.±1【考点】二次函数图象上点的坐标特征.【分析】首先在坐标系中画出已知函数y=的图象,利用数形结合的方法即可找到使y=k成立的x值恰好有两个的k值.【解答】解函数y=的图象如图根据图象知道当y=﹣1或y=1时,对应成立的x有恰好有2个,则k的值为±1.故选D.
二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)11.抛物线y=2(x﹣1)2+5的顶点坐标是 (1,5) .【考点】二次函数的性质.【分析】根据顶点式的坐标特点直接写出顶点坐标.【解答】解∵y=2(x﹣1)2+5是抛物线解析式的顶点式,根据顶点式的坐标特点可知,顶点坐标为(1,5). 12.若=,则= .【考点】比例的性质.【分析】根据两内项之积等于两外项之积列式整理即可得解.【解答】解∵=,∴4(a﹣b)=3b,∴4a=7b,∴=.故答案为. 13.一只小虫由地面沿i=12的坡面向上前进了10m,则小虫距离地面的高度为 2 m.【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题.【分析】根据坡度的概念得到CA、BC的关系,根据勾股定理计算即可.【解答】解∵AB=10米,tanA==.∴设BC=x,AC=2x,由勾股定理得,AB2=AC2+BC2,即100=x2+4x2,解得x=2,∴AC=4,BC=2m.故答案为2. 14.已知抛物线y1=﹣2x2+2和直线y2=2x+2的图象如图所示,当x任取一值时,x对应的函数值分别为y
1、y2.若y1≠y2,取y
1、y2中的较小值记为M;若y1=y2,记M=y1=y2.例如当x=1时,y1=0,y2=4,y1<y2,此时M=0.则下列结论中一定成立的是
②④ (把所有正确结论的序号都填在横线上)
①当x>0时,y1>y2;
②使得M大于2的x值不存在;
③当x<0时,x值越大,M值越小;
④使得M=1的x值是﹣或.【考点】二次函数的性质.【分析】若y1=y2,记M=y1=y2.首先求得抛物线与直线的交点坐标,利用图象可得当x>0时,利用函数图象可以得出y2>y1;当﹣1<x<0时,y1>y2;当x<﹣1时,利用函数图象可以得出y2>y1;然后根据当x任取一值时,x对应的函数值分别为y
1、y2.若y1≠y2,取y
1、y2中的较小值记为M;即可求得答案.【解答】解∵当y1=y2时,即﹣2x2+2=2x+2时,解得x=0或x=﹣1,∴当x>0时,利用函数图象可以得出y2>y1;当﹣1<x<0时,y1>y2;当x<﹣1时,利用函数图象可以得出0>y2>y1;∴
①不成立;∵抛物线y1=﹣2x2+2的最大值为2,故M大于2的x值不存在,∴
②成立;∵抛物线y1=﹣2x2+2,直线y2=2x+2,当x任取一值时,x对应的函数值分别为y
1、y2.若y1≠y2,取y
1、y2中的较小值记为M;∴当x<0时,根据函数图象可以得出x值越大,M值越大;∴
③不成立;∵如图当﹣1<x<0时,y1>y2;当M=1,2x+2=1,x=﹣;x>0时,y2>y1;当M=1,﹣2x2+2=1,x1=,x2=﹣(舍去),∴使得M=1的x值是﹣或,∴
④成立;故答案为
②④.
三、解答题(共2小题,满分16分)15.计算6tan230°﹣sin60°﹣sin30°.【考点】实数的运算.【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果.【解答】解原式=6×()2﹣×﹣=2﹣﹣=2﹣2=0. 16.如图,在△ABC中,∠C=90°,在AB边上取一点D,使BD=BC,过D作DE⊥AB交AC于E,AC=8,BC=6.求DE的长.【考点】勾股定理;相似三角形的判定与性质.【分析】依题意易证△AED∽△ABC,根据相似三角形的对应边的比相等,即可求出DE的长.【解答】解在△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,∴AB==10,又∵BD=BC=6,∴AD=AB﹣BD=4,∵DE⊥AB,∴∠ADE=∠C=90°,又∵∠A=∠A,∴△AED∽△ABC,∴,∴DE==×6=3.
四、解答题(共2小题,满分16分)17.如图,二次函数y=(x﹣2)2+m的图象与y轴交于点C,点B是点C关于该函数图象对称轴对称的点,已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A(1,0)及点B.
(1)求二次函数的解析式;
(2)求一次函数的解析式.【考点】待定系数法求二次函数解析式;待定系数法求一次函数解析式.【分析】
(1)直接把A点坐标代入y=(x﹣2)2+m中秋出m即可得到二次函数的解析式;
(2)根据二次函数的性质得抛物线的对称轴为直线x=2,再求出C点坐标,接着利用对称性得到B点坐标,然后利用待定系数法求直线AB的解析式.【解答】解
(1)把A(1,0)代入y=(x﹣2)2+m得1+m=0,解得m=﹣1,所以二次函数的解析式为y=(x﹣2)2﹣1;
(2)抛物线的对称轴为直线x=2,当x=0时,y=(x﹣2)2﹣1=3,则C(0,3),因为点B是点C关于该函数图象对称轴对称的点,所以B点坐标为(4,3),设一次函数的解析式为y=kx+b,把A(1,0),B(4,3)代入得,解得,所以一次函数解析式为y=﹣x+1. 18.如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(﹣1,2),B(﹣3,4)C(﹣2,6)
(1)画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1
(2)以原点O为位似中心,画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2.【考点】作图-位似变换;作图-旋转变换.【分析】
(1)由A(﹣1,2),B(﹣3,4)C(﹣2,6),可画出△ABC,然后由旋转的性质,即可画出△A1B1C1;
(2)由位似三角形的性质,即可画出△A2B2C2.【解答】解如图
(1)△A1B1C1即为所求;
(2)△A2B2C2即为所求.
五、解答题(共2小题,满分20分)19.已知如图,M是的中点,过点M的弦MN交AB于点C,设⊙O的半径为4cm,MN=cm.
(1)求圆心O到弦MN的距离;
(2)求∠ACM的度数.【考点】垂径定理;圆周角定理;解直角三角形.【分析】
(1)连接OM,作OD⊥MN于D.根据垂径定理和勾股定理求解;
(2)根据
(1)中的直角三角形的边求得∠M的度数.再根据垂径定理的推论发现OM⊥AB,即可解决问题.【解答】解
(1)连接OM,∵点M是的中点,∴OM⊥AB,过点O作OD⊥MN于点D,由垂径定理,得MD=MN=2,在Rt△ODM中,OM=4,MD=2,∴OD==2,故圆心O到弦MN的距离为2cm;
(2)cos∠OMD=,∴∠OMD=30°,∵M为弧AB中点,OM过O,∴AB⊥OM,∴∠MPC=90°,∴∠ACM=60°. 20.如图所示,在天水至宝鸡(天宝)高速公路建设中需要确定某条隧道AB的长度,已知在离地面2700米高度C处的飞机上,测量人员测得正前方AB两点处的俯角分别是60°和30°,求隧道AB的长.(结果保留根号)【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.【分析】易得∠CAO=60°,∠CBO=30°,利用相应的正切值可得AO,BO的长,相减即可得到AB的长.【解答】解由题意得∠CAO=60°,∠CBO=30°,∵OA=2700×tan30°=2700×=900m,OB=2700×tan60°=2700m,∴AB=2700﹣900=1800(m).答隧道AB的长为1800m.
六、解答题(共1小题,满分12分)21.如图,已知一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A、B两点,且点A的横坐标和点B的纵坐标都是﹣2.求
(1)一次函数的解析式;
(2)△AOB的面积;
(3)并利用图象指出,当x为何值时有y1>y2;当x为何值时有y1<y2.【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.【分析】
(1)先利用反比例函数求出点A、B的坐标,再利用待定系数法求一次函数的解析式;
(2)求出一次函数图象与y轴的交点坐标,然后求出△AOC与△BOC的面积,则S△AOB=S△AOC+S△BOC;
(3)可根据图象直接写出答案.【解答】解
(1)∵点A的横坐标和点B的纵坐标都是﹣2,∴y=﹣=4,﹣=﹣2,解得x=4,∴A(﹣2,4),B(4,﹣2),把点AB的坐标代入函数解析式,得,解得,∴一次函数的解析式为y=﹣x+2;
(2)一次函数图象与y轴的交点坐标为(0,2),∴S△AOB=S△AOC+S△BOC,=×2×|﹣2|+×2×4,=2+4,=6;
(3)根据图象,当x<﹣2或0<x<4时,y1>y2,当﹣2<x<0,x>4,y1<y2.
七、解答题(共1小题,满分12分)22.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,BC=10cm,AC=6cm,在线段BC上,动点P以2cm/s的速度从点B向点C匀速运动;同时在线段CA上,点Q以acm/s的速度从点C向点A匀速运动,当点P到达点C(或点Q到达点A)时,两点运动停止,在运动过程中.
(1)当点P运动s时,△CPQ与△ABC第一次相似,求点Q的速度a;
(2)当△CPQ与△ABC第二次相似时,求点P总共运动了多少秒?【考点】相似三角形的判定.【分析】
(1)由于∠QCP=∠ACB,则根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似,当=时可判定△CPQ∽△CBA,即=,然后解方程可求出a的值;
(2)由于∠QCP=∠ACB,则=,△CPQ∽△CAB,即=,然后解t的方程即可.【解答】解
(1)如图1,BP=×2=,∵∠QCP=∠ACB,∴当=,△CPQ∽△CBA,即=,解得a=1,∴点Q的速度a为1cm/s;
(2)如图2,设点P总共运动了t秒,∵∠QCP=∠ACB,∴当=,△CPQ∽△CAB,即=,解得t=,∴点P总共运动了秒.
八、解答题(共1小题,满分14分)23.某水果经销商到大圩种植基地采购葡萄,经销商一次性采购葡萄的采购单价y(元/千克)与采购量x(千克)之间的函数关系图象如图中折线AB→BC→CD所示(不包括端点A),
(1)当500<x≤1000时,写出y与x之间的函数关系式;
(2)葡萄的种植成本为8元/千克,某经销商一次性采购葡萄的采购量不超过1000千克,当采购量是多少时,大圩种植基地获利最大,最大利润是多少元?
(3)在
(2)的条件下,若经销商一次性付了16800元货款,求大圩种植基地可以获得多少元的利润?【考点】一次函数的应用;一元二次方程的应用;二次函数的最值;二次函数的应用.【分析】
(1)利用待定系数法求出当500<x≤1000时,y与x之间的函数关系式即可;
(2)根据当0<x≤500时,当500<x≤1000时,分别求出获利W与x的函数关系式,进而求出最值即可;
(3)根据货款确定采购量x的范围,再由采购量×采购单价=货款,列方程求出采购量x的值,由
(2)可得利润.【解答】解
(1)设当500<x≤1000时,y与x之间的函数关系式为y=ax+b,,解得.故y与x之间的函数关系式为y=﹣
0.02x+40;
(2)当采购量是x千克时,蔬菜种植基地获利W元,当0<x≤500时,W=(30﹣8)x=22x,则当x=500时,W有最大值11000元,当500<x≤1000时,W=(y﹣8)x=(﹣
0.02x+32)x=﹣
0.02x2+32x=﹣
0.02(x﹣800)2+12800,故当x=800时,W有最大值为12800元,综上所述,一次性采购量为800千克时,蔬菜种植基地能获得最大利润为12800元;
(3)当x=500时,y=30,采购总费用为15000元;当x=1000时,y=20采购总费用为20000元;∵15000<16800<20000,∴该经销商一次性采购量500<x<1000,故该经销商采购单价为﹣
0.02x+40,根据题意得,x(﹣
0.02x+40)=16800,解得x1=1400(不符合题意,舍去),x2=600;当x=600时,大圩种植基地可以获得的利润w=﹣
0.02(x﹣800)2+12800=12000(元).答若经销商一次性付了16800元货款,大圩种植基地可以获得12000元的利润.。