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小专题四 与圆的切线有关的计算与证明1.如图,I是△ABC的内心,∠1+∠2=65°,求∠BAC的度数.2.黄石中考如图,⊙O的直径AB=4,∠ABC=30°,BC交⊙O于点D,D是BC的中点.1求BC的长;2过点D作DE⊥AC,垂足为点E,求证直线DE是⊙O的切线.3.如图,AB=BC,以AB为直径的⊙O交AC于点D,过D作DE⊥BC,垂足为点E.1求证DE是⊙O的切线;2作DG⊥AB交⊙O于点G,垂足为点F,若∠A=30°,AB=8,求弦DG的长.4.如图所示,MN是⊙O的切线,B为切点,BC是⊙O的弦且∠CBN=45°,过C的直线与⊙O,MN分别交于A,D两点,过C作CE⊥BD于点E.1求证CE是⊙O的切线;2若∠D=30°,BD=2+2,求⊙O的半径r.
5.已知直线l与⊙O,AB是⊙O的直径,AD⊥l于点D. 1如图1,当直线l与⊙O相切于点C时,若∠DAC=30°,求∠BAC的大小;如图2,当直线l与⊙O相交于点E,F时,若∠DAE=18°,求∠BAF的大小.6.长沙中考如图,四边形ABCD内接于⊙O,对角线AC为⊙O的直径,过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E,点F为CE的中点,连接DB,DC,DF.1求∠CDE的度数;2求证DF是⊙O的切线;3若AC=2DE,求tan∠ABD的值.7.常德中考如图,已知以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E,连接EO并延长交BC的延长线于点D,点F为BC的中点,连接EF.1求证EF是⊙O的切线;2若⊙O的半径为3,∠EAC=60°,求AD的长.参考答案1.∵I是△ABC的内心,∴∠1=∠ABC,∠2=∠ACB.∴∠1+∠2=∠ABC+∠ACB.∵∠1+∠2=65°,∴∠ABC+∠ACB=65°×2=130°.∴∠BAC=180°-∠ABC+∠ACB=180°-130°=50°.2.1连接AD.∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=90°.又∠ABC=30°,AB=4,∴BD=
2.∵D为BC的中点,∴BC=2BD=
4.2证明连接DO.∵D,O分别为BC,AB的中点,∴DO是△ABC的中位线.∴DO∥AC.又∵DE⊥AC,∴DO⊥DE.又∵点D在⊙O上,∴直线DE是⊙O的切线.3.证明1连接OD.∵OA=OD,∴∠A=∠ODA.又∵AB=BC,∴∠A=∠C.∴∠ODA=∠C.∴DO∥BC.∵DE⊥BC,∴OD⊥DE.又点D在⊙O上,∴DE是⊙O的切线.2∵∠A=30°,∴∠DOF=2∠A=60°.又DG⊥AB,且OD=AB=4,∴OF=OD=
2.∴DF===
2.∴DG=2DF=
4.4.1证明连接OB,OC.∵MN是⊙O的切线,∴OB⊥MN.∵∠CBN=45°,∴∠OBC=45°,∠BCE=45°.∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB=45°.∴∠OCE=90°.又∵点C在⊙O上,∴CE是⊙O的切线.2∵OB⊥BE,CE⊥BE,OC⊥CE,∴四边形BOCE是矩形.又OB=OC,∴四边形BOCE是正方形.∴BE=CE=OB=OC=r.在Rt△CDE中,∵∠D=30°,CE=r,∴DE=r.∵BD=2+2,∴r+r=2+
2.∴r=2,即⊙O的半径为
2.5.1连接OC.∵直线l与⊙O相切于点C,∴OC⊥l,∠OCD=90°.∵AD⊥l,∴∠ADC=90°.∴AD∥OC.∴∠ACO=∠DAC.在⊙O中,∵OA=OC,∴∠BAC=∠ACO.∴∠BAC=∠DAC=30°.2连接BF.∵∠AEF为Rt△ADE的一个外角,∠DAE=18°,∴∠AEF=∠ADE+∠DAE=90°+18°=108°.在⊙O中,四边形ABFE是圆内接四边形,有∠AEF+∠B=180°.∴∠B=180°-108°=72°.由AB是⊙O的直径,得∠AFB=90°.∴∠BAF=90°-∠B=18°.6.1∵AC为⊙O直径,∴∠ADC=90°.∴∠CDE=90°.2证明连接OD.∵∠CDE=90°,F为CE中点,∴DF=CE=CF.∴∠FDC=∠FCD.又∵OD=OC,∴∠ODC=∠OCD.∴∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠FCD.∴∠ODF=∠OCF.∵EC⊥AC,∴∠OCF=90°.∴∠ODF=90°,即DF为⊙O切线.3在△ACD与△ACE中,∠ADC=∠ACE=90°,∠EAC=∠CAD,∴△ACD∽△AEC.∴=.∴AC2=AD·AE.又AC=2DE,∴20DE2=AE-DE·AE.∴AE-5DEAE+4DE=
0.∴AE=5DE,AD=4DE.在Rt△ACD中,AC2=AD2+CD2,∴CD=2DE.又∵∠ABD=∠ACD,∴tan∠ABD=tan∠ACD==
2.7.1证明连接FO,易证OF∥AB.∵AC为⊙O的直径,∴CE⊥AE.∵OF∥AB,∴OF⊥CE.∴OF所在直线垂直平分CE.∴FC=FE,OE=OC.∴∠FEC=∠FCE,∠OEC=∠OCE.∵∠ACB=90°,∴∠OCE+∠FCE=90°,∴∠OEC+∠FEC=90°,即∠FEO=90°.∴FE为⊙O的切线.2∵⊙O的半径为3,∴AO=CO=EO=
3.∵∠EAC=60°,OA=OE,∴∠EOA=60°.∴∠COD=∠EOA=60°.∵在Rt△OCD中,∠COD=60°,OC=3,∴CD=
3.∵在Rt△ACD中,∠ACD=90°,CD=3,AC=6,∴AD==
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