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5.4 三角形的内切圆知识要点1 三角形的内切圆及作法文字叙述图例有关概念三角形的内切圆与三角形各边都________的圆.2圆的外切三角形三角形的三边都与一个圆相切,这个三角形叫作圆的外切三角形.作法作△ABC的∠ABC、∠ACB的________,设交点为I,以点I为圆心,点I到三角形任一条边的________为半径作圆,则⊙I就是该三角形的内切圆.知识要点2 三角形内心的定义及性质内容定义三角形的内心;三角形内切圆的圆心.2三角形的内心是这个三角形的三条____________的交点.性质三角形的内心到三角形三边的距离________.如上图,ID=IE=IF.2三角形的内心与三角形顶点的连线________这个角.如上图,BE为∠ABC的平分线.解题策略内切圆半径与三角形边的关系1任意三角形的内切圆如图
①,设三角形的周长为C,则S△ABC=Cr.2直角三角形的内切圆如图
②①*切线长定理推导由图可得四边形ODCE为正方形,∴OD=OE=CD=CE=r,∴BD=a-r,AE=b-r,又BF=BD=a-r,∴AF=AB-BF=c-a-r=c-a+r.所以由AF=AE,有c-a+r=b-r,可得r=a+b-c;
②面积推导S△ABC=ab=a+b+cr,可得r=.这两种结论可在做选择题和填空题时直接应用. 如图,Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB、BC分别相切于点D、E,过劣弧不包括端点D、E上任一点P作⊙O的切线MN与AB、BC分别交于点M、N.若⊙O的半径为r,则Rt△MBN的周长为 A.rB.rC.2rD.r分析连接OD,OE,∵⊙O是Rt△ABC的内切圆,∴OD⊥AB,OE⊥BC.又∵MD,MP都是⊙O的切线,且D、P是切点,∴MD=MP,同理可得NP=NE,∴CRt△MBN=MB+BN+NM=MB+BN+NP+PM=MB+MD+BN+NE=BD+BE=2r.故选C.教材P74例6变式如图,⊙O是△ABC的内切圆,切点分别为D、E、F,∠B=60°,∠C=70°,求∠EDF的度数.分析连接OE,OF.由三角形内角和定理可求得∠A=50°,由切线的性质可知∠OFA=90°,∠OEA=90°.根据四边形内角和为360°得到∠A+∠EOF=180°,故可求得∠EOF=130°.由圆周角定理可求∠EDF.方法点拨解决本题的关键是利用三角形内切圆的性质,求出∠EOF的度数.如图,已知E是△ABC的内心,∠A的平分线交BC于点F,且与△ABC的外接圆相交于点D.1求证BD=ED;2若AD=8cm,DF∶FA=1∶
3.求DE的长.分析1求证BD=ED,可利用等角对等边证明.只要证明∠DBE=∠DEB即可;2要求DE的长,可转化为求BD的长.利用△BDF∽△ADB,用比例式即可求解.方法点拨1充分利用内心的定义以及三角形的外角、同弧所对的圆周角来证明角相等,最后利用等角对等边证明线段相等;2用相似三角形得比例式,由比例式求解.1.如图,在△ABC中,∠ABC=50°,∠ACB=80°,O是△ABC的内心,∠BOC=___度.
2.如图,⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆,则⊙O的半径为________.3.已知,在△ABC中,内切圆I和边BC、CA、AB分别切于点D、E、F.1若∠A=60°,求∠FDE的度数;2若∠A=130°,求∠FDE的度数;3你能猜想出∠FDE与∠A有什么数量关系吗?参考答案:要点归纳知识要点1相切 角平分线 距离知识要点2角平分线 相等 平分典例导学例1 C例2 解连接OE,OF.∵∠B=60°,∠C=70°,∴∠A=180°-60°-70°=50°.∵AB是⊙O的切线,∴∠OFA=90°.同理∠OEA=90°,∴∠A+∠EOF=180°,∴∠EOF=130°,∴∠EDF=65°.例3 1证明∵E是△ABC的内心,∴∠ABE=∠CBE,∠BAD=∠CAD.又∵∠CBD=∠CAD,∴∠BAD=∠CBD.∴∠CBE+∠CBD=∠ABE+∠BAD.即∠DBE=∠DEB,∴BD=ED;2解∵AD=8cm,DF∶FA=1∶3,∴DF=AD=×8=2cm.∵∠CBD=∠BAD,∠D=∠D,∴△BDF∽△ADB,∴=.∴BD2=AD·DF=8×2=16cm2,∴BD=4cm,又∵BD=DE,∴DE=4cm.当堂检测1.115
2.3.解1∠FDE=60°;2∠FDE=25°;3∠A+2∠FDE=180°.。