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2015-2016学年江苏省淮安市启明外国语学校九年级(下)期中数学试卷
一、选择题(下列各题所给答案中,只有一个答案是正确的.每小题3分,共24分)1.﹣2的相反数是( )A.﹣2B.﹣C.2D.2.下列计算正确的是( )A.4﹣3=1B.(3a)3=9a3C.2﹣1=D.(a+b)2=a2+b23.下列调查方式,你认为最合适的是( )A.日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命,采用普查方式B.了解盐城市每天的流动人口数,采用抽样调查方式C.了解盐城市居民日平均用水量,采用普查方式D.旅客上飞机前的安检,采用抽样调查方式4.下列各组二次根式中是同类二次根式的是( )A.B.C.D.5.如图,△ABC是等腰三角形,AB=AC,过C点的直线DE∥AB,∠ACB=72°,则∠ACE的度数为( )A.82°B.72°C.56°D.36°6.点(2,3)在反比例函数y=图象上,下列四个点中,也在该函数图象上的是( )A.(﹣6,﹣1)B.(1,﹣6)C.(﹣2,3)D.(﹣3,2)7.分式可变形为( )A.B.C.D.8.如图,点P是直线y=x+1上动点,点Q(0,m)是y轴负半轴上定点,连接PQ,当PQ的长度最小时,∠PQO的正弦值为( )A.B.C.D.和m的取值有关
二、填空题(本大题共有10小题,每小题3分,共30分)9.因式分解a2b﹣4b= .10.据报道,我市公共自行车借还车站点总数已达335个,投放车辆7300辆,日均使用量达
1.5万人次,在市区基本实现全覆盖.其中数字7300用科学记数法可表示为 .11.∠A是锐角,若cosA=,则∠A的余角度数为 .12.一元二次方程x2+2x﹣3=﹣1的解为 .13.如图,AB是半圆O直径,点C、D在半圆上,若∠CAB=40°,则∠1+∠2的度数是 .14.篮子中有n个苹果和3个雪梨,从中随机拿1个,若选中雪梨的概率是,则n的值是 .15.已知x、y满足方程组,则x﹣3y的值为 .16.如图,△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE,且点E、C、B在一条直线上,∠DEC=52°,则∠AEC的度数为 .17.将一次函数y=﹣2x的图象向上平移k(k为常数)个单位后刚好经过点A(﹣1,m)、B(﹣2,n)两点,则m n.(填“>”、“<”、“=”)18.对于二次函数y=x2﹣2mx﹣3,有下列说法
①它的图象与x轴有两个公共点;
②如果当x≤1时y随x的增大而减小,则m=1;
③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点,则m=﹣1;
④如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等,则当x=2012时的函数值为﹣3.其中正确的说法是 .(把你认为正确说法的序号都填上)
三、解答题(共96分)19.计算
(1);
(2)(1﹣)÷.20.解不等式组,并求出它的正整数解.21.如图,▱ABCD中,点E是AB的中点,连接DE并延长交CB的延长线与F点,连接AC,DE⊥AC,垂足为G点,连接GB.求证BG=AD.22.教室讲台上粉笔盒中有红粉笔1支,黄粉笔1支,白粉笔3支,这些粉笔除颜色外其余都相同.
(1)小亮认为从粉笔盒中随机拿一支,只有红、黄、白三种可能,所以拿到红粉笔的概率是,你同意小亮的看法吗? (填“同意”或“不同意”);
(2)李老师在上课前,随机中粉笔盒中拿出两支粉笔,求他拿到都是白粉笔的概率.23.小红利用课余时间对某小区300户居民的用水情况进行了统计,发现5月份各户居民的用水量比4月份有所下降,宁宁将5月份各户居民的节水量统计整理如表统计图表节水量(米3)
11.
52.53户数708010050
(1)300户居民5月份节水量的众数,中位数分别是多少米3?
(2)扇形统计图中
2.5米3对应扇形的圆心角为 度;
(3)该小区300户居民5月份平均每户节约用水多少米3?(精确到
0.01)24.如图,地面人员在楼底C处看热气球A,测得tan∠ACD=,而从热气球看高楼顶部的仰角为60°,热气球离地面高度为18m,求这栋高楼有多高?25.如图,△ABC中,∠ABC=90°,∠A=60°,边AC的垂直平分线交BC于点D,交AC于点E,连接BE.O点在BC上,半圆O经过点C、D、E.
(1)说明BE是半圆O的切线;
(2)若BD=3,求图中阴影部分面积.26.如图,点B(4,4)在双曲线y=(x>0)上,点C在双曲线y=﹣(x<0)上,点A是x轴上一动点,连接BC、AC、AB.
(1)如图1,当BC∥x轴时,△ABC的面积;
(2)如图2,当点A运动到x轴正半轴时,如△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,求点A的坐标.27.某工厂投入生产一种机器的总成本为2000万元.当该机器生产数量至少为10台,但不超过70台时,每台成本y与生产数量x之间是一次函数关系,函数y与自变量x的部分对应值如下表x(单位台)102030y(单位万元∕台)605550
(1)求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)求该机器的生产数量;
(3)市场调查发现,这种机器每月销售量z(台)与售价a(万元∕台)之间满足如图所示的函数关系.该厂生产这种机器后第一个月按同一售价共卖出这种机器25台,请你求出该厂第一个月销售这种机器的利润.(注利润=售价﹣成本)28.如图,二次函数y=x2+bx﹣的图象与x轴交于点A(﹣3,0)和点B,以AB为边在x轴上方作正方形ABCD,点P是x轴上一动点,连接DP,过点P作DP的垂线与y轴交于点E.
(1)请直接写出点D的坐标 ;
(2)当点P在线段AO(点P不与A、O重合)上运动至何处时,线段OE的长有最大值,求出这个最大值;
(3)是否存在这样的点P,使△PED是等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积;若不存在,请说明理由. 2015-2016学年江苏省淮安市启明外国语学校九年级(下)期中数学试卷参考答案与试题解析
一、选择题(下列各题所给答案中,只有一个答案是正确的.每小题3分,共24分)1.﹣2的相反数是( )A.﹣2B.﹣C.2D.【考点】相反数.【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数,可得答案.【解答】解﹣2的相反数是2,故选C. 2.下列计算正确的是( )A.4﹣3=1B.(3a)3=9a3C.2﹣1=D.(a+b)2=a2+b2【考点】二次根式的加减法;幂的乘方与积的乘方;完全平方公式;负整数指数幂.【分析】利用二次根式加减运算法则以及积的乘方运算法则和完全平方公式、负整数指数幂的性质分别化简求出答案.【解答】解A、4﹣3=,故此选项错误;B、(3a)3=27a3,故此选项错误;C、2﹣1=,正确;D、(a+b)2=a2+2ab+b2,故此选项错误;故选C. 3.下列调查方式,你认为最合适的是( )A.日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命,采用普查方式B.了解盐城市每天的流动人口数,采用抽样调查方式C.了解盐城市居民日平均用水量,采用普查方式D.旅客上飞机前的安检,采用抽样调查方式【考点】全面调查与抽样调查.【分析】由普查得到的调查结果比较准确,但所费人力、物力和时间较多,而抽样调查得到的调查结果比较近似.【解答】解A、日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命,具有破坏性,应用抽样调查,故A错误;B、了解盐城市每天的流动人口数,采用抽样调查方式,故B正确;C、了解盐城市居民日平均用水量,采用抽样调查方式,故C错误;D、旅客上飞机前的安检,采用普查方式,故D错误;故选B. 4.下列各组二次根式中是同类二次根式的是( )A.B.C.D.【考点】同类二次根式.【分析】先把各选项中的二次根式化为最简二次根式,然后根据同类二次根式的定义进行判断.【解答】解A、=2,则与为同类二次根式,所以A选项正确;B、=3,=,则与不是同类二次根式,所以B选项错误;C、=2,则与不是同类二次根式,所以C选项错误;D、=,=3,则与不是同类二次根式,所以D选项错误.故选A. 5.如图,△ABC是等腰三角形,AB=AC,过C点的直线DE∥AB,∠ACB=72°,则∠ACE的度数为( )A.82°B.72°C.56°D.36°【考点】等腰三角形的性质.【分析】利用等腰三角形的性质和三角形的内角和解答即可.【解答】解∵△ABC是等腰三角形,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=72°,∵DE∥AB,∴∠DCB=∠ABC=72°,∴∠ACE=180°﹣72°﹣72°=36°,故选D 6.点(2,3)在反比例函数y=图象上,下列四个点中,也在该函数图象上的是( )A.(﹣6,﹣1)B.(1,﹣6)C.(﹣2,3)D.(﹣3,2)【考点】反比例函数图象上点的坐标特征.【分析】根据题意可知xy=6,故A、B、C、D中,积为6的点为反比例函数图象上的点,否则,不是图象上的点.【解答】解A、∵﹣6×(﹣1)=6,点在反比例函数图象上,故本选项正确;B、∵1×(﹣6)=﹣6,点不在反比例函数图象上,故本选项错误;C、∵﹣2×3=﹣6,点不在反比例函数图象上,故本选项错误;D、∵﹣3×2=﹣6,点不在反比例函数图象上,故本选项错误;故选A. 7.分式可变形为( )A.B.C.D.【考点】分式的基本性质.【分析】根据分式的基本性质,即可解答.【解答】解,故选D. 8.如图,点P是直线y=x+1上动点,点Q(0,m)是y轴负半轴上定点,连接PQ,当PQ的长度最小时,∠PQO的正弦值为( )A.B.C.D.和m的取值有关【考点】一次函数图象上点的坐标特征;锐角三角函数的定义.【分析】根据垂线段最短作点Q到直线y=x+1的垂线,利用等角的三角函数值相等,求∠ABO的正弦值即可.【解答】解设直线y=x+1与x轴、y轴的交点分别是B、A,过Q作QP⊥BA于P,这时PQ的长最小,当x=0时,y=1,则A(0,1),当y=0时,x=﹣2,则B(﹣2,0),∴OA=1,OB=2,由勾股定理得AB==,∵∠PAQ+∠PQO=90°,∠PAQ+∠ABO=90°,∴∠ABO=∠PQO,∴sin∠PQO=sin∠ABO===,故选B.
二、填空题(本大题共有10小题,每小题3分,共30分)9.因式分解a2b﹣4b= b(a+2)(a﹣2) .【考点】提公因式法与公式法的综合运用.【分析】观察原式a2b﹣4b,找到公因式b,提出公因式后发现a2﹣4符合平方差公式,利用平方差公式继续分解可得.【解答】解a2b﹣4b=b(a2﹣4)=b(a+2)(a﹣2). 10.据报道,我市公共自行车借还车站点总数已达335个,投放车辆7300辆,日均使用量达
1.5万人次,在市区基本实现全覆盖.其中数字7300用科学记数法可表示为
7.3×103 .【考点】科学记数法—表示较大的数.【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时,n是正数;当原数的绝对值小于1时,n是负数.【解答】解7300=
7.3×103,故答案为
7.3×103. 11.∠A是锐角,若cosA=,则∠A的余角度数为 60° .【考点】特殊角的三角函数值.【分析】结合特殊角的三角函数值进行求解即可.【解答】解∵∠A是锐角,且cosA=,∴∠A=30°,∴∠A的余角的度数为90°﹣30°=60°.故答案为60°. 12.一元二次方程x2+2x﹣3=﹣1的解为 x1=,x2= .【考点】解一元二次方程-配方法.【分析】利用配方法解出方程即可.【解答】解x2+2x﹣3=﹣1,x2+2x=2,(x+1)2=3,x+1=,x1=,x2=.故答案为x1=,x2=. 13.如图,AB是半圆O直径,点C、D在半圆上,若∠CAB=40°,则∠1+∠2的度数是 50° .【考点】圆周角定理.【分析】先用直径所对的圆周角是直角求出∠ABC,再用圆的内接四边形对角互补,求出∠ADC即可.【解答】解∵AB是圆的直径,∴∠BAC+∠ABC=90°,∵∠CAB=40°,∴∠ABC=50°∵点A,B,C,D四点共圆,∴∠ABC+∠ADC=180°,∴∠ADC=180°﹣50°=130°,在△ADC中,∠1+∠2=180°﹣∠ADC=180°﹣130°=50°,故答案为50°. 14.篮子中有n个苹果和3个雪梨,从中随机拿1个,若选中雪梨的概率是,则n的值是 6 .【考点】概率公式.【分析】利用选中雪梨的概率公式列出方程求解即可.【解答】解∵篮子中有n个苹果和3个雪梨,从中随机拿1个,若选中雪梨的概率是,∴=,解得n=6.故答案为6. 15.已知x、y满足方程组,则x﹣3y的值为 ﹣4 .【考点】二元一次方程组的解.【分析】两式相减即可得到答案.【解答】解,
①﹣
②得,x﹣3y=﹣4,故答案为﹣4. 16.如图,△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE,且点E、C、B在一条直线上,∠DEC=52°,则∠AEC的度数为 64° .【考点】旋转的性质.【分析】依据旋转的性质可知∠DEA=∠BCA,△AEC为等腰三角形,设∠AEC=x,则∠BCA=∠AED=x+52°,最后依据∠ACE+∠ACB=180°列方程求解即可.【解答】解由旋转的性质可知∠DEA=∠BCA,AE=AC.∵AE=AC,∴∠AEC=∠ACE.设∠AEC=∠ACE=x,则∠BCA=∠AED=x+52°.∵∠ACE+∠ACB=180°,∴x+x+52°=180°.解得x=64°.故答案为64°. 17.将一次函数y=﹣2x的图象向上平移k(k为常数)个单位后刚好经过点A(﹣1,m)、B(﹣2,n)两点,则m < n.(填“>”、“<”、“=”)【考点】一次函数图象与几何变换.【分析】一次函数y=﹣2x想的图象向上平移k个单位后,解析式为y=﹣2x+k,将点A(﹣1,m)、B(﹣2,n)可求m=2+k,n=4+k,即可判断m、n的大小.【解答】解根据平移规律可知,平移后解析式为y=﹣2x+k,将点A(﹣1,m)代入,得m=2+k,将点B(﹣2,N)代入,得n=4+k,∴m<n,故答案为<. 18.对于二次函数y=x2﹣2mx﹣3,有下列说法
①它的图象与x轴有两个公共点;
②如果当x≤1时y随x的增大而减小,则m=1;
③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点,则m=﹣1;
④如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等,则当x=2012时的函数值为﹣3.其中正确的说法是
①④ .(把你认为正确说法的序号都填上)【考点】二次函数的性质;二次函数图象与几何变换;抛物线与x轴的交点.【分析】
①根据函数与方程的关系解答;
②找到二次函数的对称轴,再判断函数的增减性;
③将m=﹣1代入解析式,求出和x轴的交点坐标,即可判断;
④根据坐标的对称性,求出m的值,得到函数解析式,将m=2012代入解析式即可.【解答】解
①∵△=4m2﹣4×(﹣3)=4m2+12>0,∴它的图象与x轴有两个公共点,故本选项正确;
②∵当x≤1时y随x的增大而减小,∴函数的对称轴x=﹣≥1在直线x=1的右侧(包括与直线x=1重合),则﹣≥1,即m≥1,故本选项错误;
③将m=﹣1代入解析式,得y=x2+2x﹣3,当y=0时,得x2+2x﹣3=0,即(x﹣1)(x+3)=0,解得,x1=1,x2=﹣3,将图象向左平移3个单位后不过原点,故本选项错误;
④∵当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等,∴对称轴为x==1006,则﹣=1006,m=1006,原函数可化为y=x2﹣2012x﹣3,当x=2012时,y=20122﹣2012×2012﹣3=﹣3,故本选项正确.故答案为
①④.
三、解答题(共96分)19.计算
(1);
(2)(1﹣)÷.【考点】分式的混合运算;实数的运算;零指数幂;特殊角的三角函数值.【分析】
(1)根据零指数幂,特殊角的三角函数可以解答本题;
(2)先化简括号内的式子,再根据分式的除法进行计算即可解答本题.【解答】解
(1)=1﹣+=1﹣=1;
(2)(1﹣)÷===. 20.解不等式组,并求出它的正整数解.【考点】一元一次不等式组的整数解;解一元一次不等式组.【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集,再求出它们的公共部分就是不等式组的解集,进一步得到它的正整数解.【解答】解解
①得x>﹣2,解
②得x≤2,则不等式组的解集为﹣2<x≤2,它的正整数解为1,2. 21.如图,▱ABCD中,点E是AB的中点,连接DE并延长交CB的延长线与F点,连接AC,DE⊥AC,垂足为G点,连接GB.求证BG=AD.【考点】平行四边形的性质.【分析】由平行四边形的性质得出AD∥BC,AD=BC,得出∠ADE=∠F,由AAS证明△ADE≌△BFE,得出BF=AF,因此BF=BC,证出∠CGF=90°,由直角三角形斜边上的中线性质得出BG=CF=BC,即可得出结论.【解答】证明∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,∴∠ADE=∠F,∵点E是AB的中点,∴AE=BE,在△ADE和△BFE中,,∴△ADE≌△BFE(AAS),∴BF=AF,∴BF=BC,∵DE⊥AC,∴∠CGF=90°,∴BG=CF=BC,∴BG=AD.∴AB∥DF, 22.教室讲台上粉笔盒中有红粉笔1支,黄粉笔1支,白粉笔3支,这些粉笔除颜色外其余都相同.
(1)小亮认为从粉笔盒中随机拿一支,只有红、黄、白三种可能,所以拿到红粉笔的概率是,你同意小亮的看法吗? 不同意 (填“同意”或“不同意”);
(2)李老师在上课前,随机中粉笔盒中拿出两支粉笔,求他拿到都是白粉笔的概率.【考点】列表法与树状图法;概率公式.【分析】
(1)根据笔盒中有红粉笔1支,黄粉笔1支,白粉笔3支,求得拿到红粉笔的概率,并进行判断;
(2)随机中粉笔盒中拿出两支粉笔总共由20种情况,其中两支粉笔都是白粉笔的情况有6种,据此计算概率.【解答】解
(1)∵拿到红粉笔的概率是,不是,∴不同意小亮的看法;
(2)∵随机中粉笔盒中拿出两支粉笔总共由20种情况,其中两支粉笔都是白粉笔的情况有6种,∴拿到两支粉笔都是白粉笔的概率=. 23.小红利用课余时间对某小区300户居民的用水情况进行了统计,发现5月份各户居民的用水量比4月份有所下降,宁宁将5月份各户居民的节水量统计整理如表统计图表节水量(米3)
11.
52.53户数708010050
(1)300户居民5月份节水量的众数,中位数分别是多少米3?
(2)扇形统计图中
2.5米3对应扇形的圆心角为 120 度;
(3)该小区300户居民5月份平均每户节约用水多少米3?(精确到
0.01)【考点】扇形统计图;统计表;中位数;众数.【分析】
(1)众数是一组数据中出现次数最多的数据;将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数,根据定义可求解;
(2)首先计算出节水量
2.5米3对应的居名民数所占百分比,再用360°×百分比即可;
(3)根据加权平均数公式进行计算即可.【解答】解
(1)在被调查的300户居民中,用水量为
2.5米3的最多,达到100户,故众数为
2.5,中位数是第
150、151两户用水量的平均数,即中位数为=2;
(2)扇形统计图中
2.5米3对应扇形的圆心角为360°×=120°,故答案为120;
(3)≈
1.97,答该小区300户居民5月份平均每户节约用水
1.97米3. 24.如图,地面人员在楼底C处看热气球A,测得tan∠ACD=,而从热气球看高楼顶部的仰角为60°,热气球离地面高度为18m,求这栋高楼有多高?【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.【分析】根据题意做出合适的辅助线,构造直角三角形,利用锐角三角函数可以求得BF和CF的长,从而可以求得BC的长,本题得以解决.【解答】解作AE⊥CD于点E,作AF⊥BC于点F,如右图所示,∵tan∠ACD=,AE=18m,tan∠ACD=,∴CE=m,∴AF=CE=24m,AE=CF=18m,又∵∠AFB=90°,∠BAF=60°,∴BF=AF•tan60°=24×m,∴BC=BF+CF=(24+18)m,即这栋楼的高度为(24+18)m. 25.如图,△ABC中,∠ABC=90°,∠A=60°,边AC的垂直平分线交BC于点D,交AC于点E,连接BE.O点在BC上,半圆O经过点C、D、E.
(1)说明BE是半圆O的切线;
(2)若BD=3,求图中阴影部分面积.【考点】切线的判定;扇形面积的计算.【分析】
(1)连结OE,如图,先计算出∠OEC=∠C=30°,则∠BOE=60°,再证明AE=CE,则∠EBC=∠C=30°,所以∠BEO=90°,然后根据切线的判定定理可判断BE是半圆O的切线;
(2)利用含30度的直角三角形三边的关系,在Rt△OBE中得到BO=2OE,则OD=BD=3,在Rt△DEC中可计算出DE=CD=3,CE=DE=3,然后利用扇形面积公式,利用,图中阴影部分面积=扇形EOC面积﹣△OCE的面积进行计算.【解答】
(1)证明连结OE,如图,∵∠ABC=90°,∠A=60°,∴∠C=30°,∵OC=OE,∴∠OEC=∠C=30°,∴∠BOE=∠OEC+∠C=60°,∵DE垂直平分AC,∴BE为AC边上的中线,∴AE=CE,∴∠EBC=∠C=30°,∴∠BEO=180°﹣30°﹣60°=90°,∴OE⊥BE,∴BE是半圆O的切线;
(2)解在Rt△OBE中,∵∠EBO=30°,∴BO=2OE,即BD+OD=2OD,∴OD=BD=3,在Rt△DEC中,DE=CD=3,CE=DE=3,∵∠EOD=60°,∴∠COE=120°,∴扇形EOC面积==3π,△OCE的面积=S△CDE=××3×3=,∴图中阴影部分面积=扇形EOC面积﹣△OCE的面积=3π﹣. 26.如图,点B(4,4)在双曲线y=(x>0)上,点C在双曲线y=﹣(x<0)上,点A是x轴上一动点,连接BC、AC、AB.
(1)如图1,当BC∥x轴时,△ABC的面积;
(2)如图2,当点A运动到x轴正半轴时,如△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,求点A的坐标.【考点】反比例函数综合题.【分析】
(1)由BC∥x轴,可得出B、C的纵坐标相等,由此即可得出点C的坐标,再由三角形的面积公式即可得出结论;
(2)过点C作CD⊥x轴于点D,过点B作BE⊥x轴于点E,则可证出△CAD≌△ABE,由此即可得出关于m、n的方程组,解方程组即可得出m、n的值,由此即可得出点A的坐标.【解答】解
(1)BC∥x轴,∴B、C的纵坐标相等.∵令y=﹣中y=4,则﹣=4,解得x=﹣2,∴点C(﹣2,4).S△ABC=×[4﹣(﹣2)]×4=12.
(2)过点C作CD⊥x轴于点D,过点B作BE⊥x轴于点E,如图所示.设点A坐标为(m,0)(m>0),点C(n,﹣)(n<0),∵∠BAC=90°,∴∠CAD+∠BAE=90°,∠ABE+∠BAE=90°,∴∠CAD=∠ABE.在△CAD和△ABE中,,∴△CAD≌△ABE(AAS),∴CD=AE,AD=BE.∴,解得或(舍去),故点A的坐标为(4﹣2,0). 27.某工厂投入生产一种机器的总成本为2000万元.当该机器生产数量至少为10台,但不超过70台时,每台成本y与生产数量x之间是一次函数关系,函数y与自变量x的部分对应值如下表x(单位台)102030y(单位万元∕台)605550
(1)求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)求该机器的生产数量;
(3)市场调查发现,这种机器每月销售量z(台)与售价a(万元∕台)之间满足如图所示的函数关系.该厂生产这种机器后第一个月按同一售价共卖出这种机器25台,请你求出该厂第一个月销售这种机器的利润.(注利润=售价﹣成本)【考点】一次函数的应用.【分析】
(1)设y与x之间的关系式为y=kx+b,运用待定系数法就可以求出其关系式,由该机器生产数量至少为10台,但不超过70台就可以确定自变量的取值范围;
(2)根据每台的成本乘以生产数量等于总成本建立方程求出其解即可;
(3)设每月销售量z(台)与售价a(万元∕台)之间的函数关系式为z=ma+n,运用待定系数法求出其解析式,再将z=25代入解析式求出a的值,就可以求出每台的利润,从而求出总利润.【解答】解
(1)设y与x之间的关系式为y=kx+b,由题意,得,解得,∴y=﹣x+65.∵该机器生产数量至少为10台,但不超过70台,∴10≤x≤70;
(2)由题意,得xy=2000,﹣x2+65x=2000,﹣x2+130x﹣4000=0,解得x1=50,x2=80>70(舍去).答该机器的生产数量为50台;
(3)设每月销售量z(台)与售价a(万元∕台)之间的函数关系式为z=ma+n,由函数图象,得,解得,∴z=﹣a+90.当z=25时,a=65,成本y=﹣x+65=﹣×50+65=40(万元);总利润为25(65﹣40)=625(万元).答该厂第一个月销售这种机器的利润为625万元. 28.如图,二次函数y=x2+bx﹣的图象与x轴交于点A(﹣3,0)和点B,以AB为边在x轴上方作正方形ABCD,点P是x轴上一动点,连接DP,过点P作DP的垂线与y轴交于点E.
(1)请直接写出点D的坐标 (﹣3,4) ;
(2)当点P在线段AO(点P不与A、O重合)上运动至何处时,线段OE的长有最大值,求出这个最大值;
(3)是否存在这样的点P,使△PED是等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积;若不存在,请说明理由.【考点】二次函数综合题.【分析】
(1)将点A的坐标代入二次函数的解析式求得其解析式,然后求得点B的坐标即可求得正方形ABCD的边长,从而求得点D的纵坐标;
(2)PA=t,OE=l,利用△DAP∽△POE得到比例式,从而得到有关两个变量的二次函数,求最值即可;
(3)分点P位于y轴左侧和右侧两种情况讨论即可得到重叠部分的面积.【解答】解
(1)(﹣3,4);
(2)设PA=t,OE=l由∠DAP=∠POE=∠DPE=90°得△DAP∽△POE∴∴l=﹣+=﹣(t﹣)2+∴当t=时,l有最大值即P为AO中点时,OE的最大值为;
(3)存在.
①点P点在y轴左侧时,DE交AB于点G,P点的坐标为(﹣4,0),∴PA=OP﹣AO=4﹣3=1,由△PAD≌△EOP得OE=PA=1∵△ADG∽△OEG∴AG GO=AD OE=41∴AG==∴重叠部分的面积==
②当P点在y轴右侧时,P点的坐标为(4,0),此时重叠部分的面积为。