还剩20页未读,继续阅读
本资源只提供10页预览,全部文档请下载后查看!喜欢就下载吧,查找使用更方便
文本内容:
2016-2017学年江苏省扬州市八年级(上)月考数学试卷(12月份)
一、选择题(每小题3分,共24分)1.一名同学想用正方形和圆设计一个图案,要求整个图案关于正方形的某条对角线对称,那么下列图案中不符合要求的是( )A.B.C.D.2.在平面直角坐标系中,点P(﹣2,5)在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.下列无理数中,在﹣1与2之间的是( )A.﹣B.﹣C.D.4.下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是( )A.a=7,b=24,c=25B.a=
1.5,b=2,c=
2.5C.a=,b=,c=D.a=15,b=8,c=175.点(x1,y1)、(x2,y2)在直线y=﹣x+b上,若x1<x2,则y1与y2大小关系是( )A.y1<y2B.y1=y2C.y1>y2D.无法确定6.有一个数值转换器,原理如下当输入的x=64时,输出的y等于( )A.2B.8C.D.7.在同一坐标系中,正比例函数y=kx与一次函数y=x﹣k的图象大致应为( )A.B.C.D.8.如图,∠MON=90°,边长为2的等边三角形ABC的顶点A、B分别在边OM,ON上当B在边ON上运动时,A随之在边OM上运动,等边三角形的形状保持不变,运动过程中,点C到点O的最大距离为( )A.
2.4B.C.D.
二、填空题((每小题3分,共30分)9.9的平方根是 .10.函数的自变量x的取值范围是 .11.若直线y=﹣x+b与x轴交于点(2,0),则当y<0时,x的取值范围是 .12.等腰三角形的周长为20,底边长为x,腰长为y,则y关于x的函数关系式为 .13.在平面直角坐标系中,若点M(﹣1,3)与点N(x,3)之间的距离是5,则x的值是 .14.如图,长为8cm的橡皮筋放置在x轴上,固定两端A和B,然后把中点C向上拉升3cm到D,则橡皮筋被拉长了 cm.15.如图,在△ABC中,AB=AD=DC,∠BAD=20°,则∠C= .16.如图所示,购买一种苹果,所付款金额y(元)与购买量x(千克)之间的函数图象由线段OA和射线AB组成,则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省 元.17.如图,在△ABC中,CE平分∠ACB,CF平分∠ACD,且EF∥BC交AC于M,若CM=3,则CE2+CF2= .18.已知一次函数y=(k是不为0的自然数,且是常数)的图象与两坐标轴所围成的图形的面积为Sk(即k=1时,得S1,k=2时,得S2,┅).试求S1+S2+S3+…+S2016= .
三、解答题(第19-22题每题8分,第23-26题每题10分,第27-28题每题12分,共96分)19.
(1)计算﹣+
(2)求x的值4(x﹣3)2=100.20.如图,所示的正方形网格中,△ABC的顶点均在格点上,在所给平面直角坐标系中解答下列问题
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1;
(2)作出将△ABC绕原点O按逆时针方向旋转90°后所得的△A2B2C2;
(3)写出点B
1、B2的坐标.21.已知y+3与x+2成正比例,且当x=3时,y=7;
(1)求出y与x之间的函数关系式;
(2)当x=﹣1时,求y的值;
(3)当y=0时,求x的值.22.如图已知等边△ABC中,D是AC的中点,E是BC延长线上的一点,且CE=CD,DM⊥BC,垂足为M.
(1)求∠E的度数.
(2)求证M是BE的中点.23.把两个三角形按如图1放置,其中∠ACB=∠DEC=90°,∠CAB=45°,∠CDE=30°,且AB=6,DC=7,把△DCE绕点C顺时针旋转15°得△D1CE1,如图2,这时AB与CD1相交于点O,与D1E1相交于点F.
(1)求∠ACD1的度数;
(2)求线段AD1的长.24.某年级380名师生秋游,计划租用7辆客车,现有甲、乙两种型号客车,它们的载客量和租金如表.甲种客车乙种客车载客量(座/辆)6045租金(元/辆)550450
(1)设租用甲种客车x辆,租车总费用为y元.求出y(元)与x(辆)之间的函数表达式;
(2)当甲种客车有多少辆时,能保障所有的师生能参加秋游且租车费用最少,最少费用是多少元?25.课本P152有段文字把函数y=2x的图象分别沿y轴向上或向下平移3个单位长度,就得到函数y=2x+3或y=2x﹣3的图象.【阅读理解】小尧阅读这段文字后有个疑问把函数y=﹣2x的图象沿x轴向右平移3个单位长度,如何求平移后的函数表达式?老师给了以下提示如图1,在函数y=﹣2x的图象上任意取两个点A、B,分别向右平移3个单位长度,得到A′、B′,直线A′B′就是函数y=﹣2x的图象沿x轴向右平移3个单位长度后得到的图象.请你帮助小尧解决他的困难.
(1)将函数y=﹣2x的图象沿x轴向右平移3个单位长度,平移后的函数表达式为 .A.y=﹣2x+3;B.y=﹣2x﹣3;C.y=﹣2x+6;D.y=﹣2x﹣6【解决问题】
(2)已知一次函数的图象与直线y=﹣2x关于x轴对称,求此一次函数的表达式.【拓展探究】
(3)一次函数y=﹣2x的图象绕点(2,3)逆时针方向旋转90°后得到的图象对应的函数表达式为 .(直接写结果)26.在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,以AC为腰向外作等腰直角△ACE,∠EAC=90°,连接BE,交AD于点F,交AC于点G.
(1)若∠BAC=40°,求∠AEB的度数;
(2)求证∠AEB=∠ACF;
(3)求证EF2+BF2=2AC2.27.已知直线y=2x﹣10与直线y=x相交于点A,与x轴相交于点B.
(1)求△OAB的面积.
(2)若OC平分∠AOB交AB于C,在OA上截取OD=OB,连接CD,
①证明△OCD≌△OCB;
②求△OAC的面积;
③求点C的坐标.28.如图
①,一条笔直的公路上有A、B、C三地,B、C两地相距150千米,甲、乙两辆汽车分别从B、C两地同时出发,沿公路匀速相向而行,分别驶往C、B两地.甲、乙两车到A地的距离y
1、y2(千米)与行驶时间x(时)的关系如图
②所示.根据图象进行以下探究
(1)请在图
①中标出A地的位置,并作简要的文字说明;
(2)求图
②中M点的坐标,并解释该点的实际意义;
(3)在图
②中补全甲车到达C地的函数图象,并求甲车到A地的距离y1与行驶时间x的函数关系式;
(4)A地设有指挥中心,指挥中心及两车都配有对讲机,两部对讲机在15千米之内(含15千米)时能够互相通话,求两车可以同时与指挥中心用对讲机通话的时间. 2016-2017学年江苏省扬州市江都国际学校八年级(上)月考数学试卷(12月份)参考答案与试题解析
一、选择题(每小题3分,共24分)1.一名同学想用正方形和圆设计一个图案,要求整个图案关于正方形的某条对角线对称,那么下列图案中不符合要求的是( )A.B.C.D.【考点】轴对称图形.【分析】轴对称图形是针对一个图形而言的,是一种具有特殊性质图形,被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时,互相重合.【解答】解A、图象关于对角线所在的直线对称,两条对角线都是其对称轴;故符合要求;B、图象关于对角线所在的直线对称,两条对角线都是其对称轴;故符合要求;C、图象关于对角线所在的直线对称,有一条对称轴;故符合要求;D、图象关于对角线所在的直线不对称;故不符合要求;故选D. 2.在平面直角坐标系中,点P(﹣2,5)在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【考点】点的坐标.【分析】根据各象限内点的坐标特征解答.【解答】解点在平面直角坐标系中,点P(﹣2,5)在第二象限.故选B. 3.下列无理数中,在﹣1与2之间的是( )A.﹣B.﹣C.D.【考点】估算无理数的大小.【分析】根据无理数的定义进行估算解答即可.【解答】解A.﹣<﹣1,故错误;B.﹣<﹣1,故错误;C.﹣1<,故正确;D.>2,故错误;故选C. 4.下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是( )A.a=7,b=24,c=25B.a=
1.5,b=2,c=
2.5C.a=,b=,c=D.a=15,b=8,c=17【考点】勾股定理的逆定理.【分析】利用勾股定理的逆定理如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形就是直角三角形.最长边所对的角为直角.由此判定即可.【解答】A、∵72+242=252,∴三条线段能组成直角三角形,故A选项错误;B、∵
1.52+22=
2.522+4=6,∴能组成直角三角形,故B选项错误;C、∵()2+()2≠()2,∴三条线段不能组成直角三角形,故C选项正确;D、∵152+82=172,∴三条线段能组成直角三角形,故D选项错误;故选C. 5.点(x1,y1)、(x2,y2)在直线y=﹣x+b上,若x1<x2,则y1与y2大小关系是( )A.y1<y2B.y1=y2C.y1>y2D.无法确定【考点】一次函数图象上点的坐标特征.【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性,再根据x1<x2,则可得出y1与y2大小关系.【解答】解∵直线y=﹣x+b中k=﹣1<0,∴y随x的增大而减小,∵x1<x2,∴y1>y2.故选C. 6.有一个数值转换器,原理如下当输入的x=64时,输出的y等于( )A.2B.8C.D.【考点】算术平方根.【分析】根据图中的步骤,把64输入,可得其算术平方根为8,8再输入得其算术平方根是,是无理数则输出.【解答】解由图表得,64的算术平方根是8,8的算术平方根是;故选D. 7.在同一坐标系中,正比例函数y=kx与一次函数y=x﹣k的图象大致应为( )A.B.C.D.【考点】一次函数的图象.【分析】根据图象分别确定k的取值范围,若有公共部分,则有可能;否则不可能.【解答】解根据图象知A、k<0,﹣k<0.解集没有公共部分,所以不可能;B、k<0,﹣k>0.解集有公共部分,所以有可能;C、k>0,﹣k>0.解集没有公共部分,所以不可能;D、正比例函数的图象不对,所以不可能.故选B. 8.如图,∠MON=90°,边长为2的等边三角形ABC的顶点A、B分别在边OM,ON上当B在边ON上运动时,A随之在边OM上运动,等边三角形的形状保持不变,运动过程中,点C到点O的最大距离为( )A.
2.4B.C.D.【考点】直角三角形斜边上的中线;线段的性质两点之间线段最短;等边三角形的性质.【分析】如图,取AB的中点D.连接CD.根据三角形的边角关系得到OC小于等于OD+DC,只有当O、D及C共线时,OC取得最大值,最大值为OD+CD,由等边三角形的边长为2,根据D为AB中点,得到BD为1,根据三线合一得到CD垂直于AB,在直角三角形BCD中,根据勾股定理求出CD的长,在直角三角形AOB中,OD为斜边AB上的中线,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OD等于AB的一半,由AB的长求出OD的长,进而求出DC+OD,即为OC的最大值.【解答】解如图,取AB的中点D,连接CD.∵△ABC是等边三角形,且边长是2,∴BC=AB=2,∵点D是AB边中点,∴BD=AB=1,∴CD===,即CD=;连接OD,OC,有OC≤OD+DC,当O、D、C共线时,OC有最大值,最大值是OD+CD,由
(1)得,CD=,又∵△AOB为直角三角形,D为斜边AB的中点,∴OD=AB=1,∴OD+CD=1+,即OC的最大值为1+.故选C.
二、填空题((每小题3分,共30分)9.9的平方根是 ±3 .【考点】平方根.【分析】直接利用平方根的定义计算即可.【解答】解∵±3的平方是9,∴9的平方根是±3.故答案为±3. 10.函数的自变量x的取值范围是 x>﹣2 .【考点】函数自变量的取值范围.【分析】根据被开方数是非负数,分母不能为零,可得答案.【解答】解由题意,得x+2>0,解得x>﹣2,故答案为x>﹣2. 11.若直线y=﹣x+b与x轴交于点(2,0),则当y<0时,x的取值范围是 x>2 .【考点】一次函数图象上点的坐标特征.【分析】将点(2,0)代入一次函数解析式求出b值,再令y<0即可得出关于x的一元一次不等式,解之即可得出结论.【解答】解∵直线y=﹣x+b与x轴交于点(2,0),∴0=﹣2+b,解得b=2,∴一次函数解析式为y=﹣x+2.令y=﹣x+2<0,解得x>2.故答案为x>2. 12.等腰三角形的周长为20,底边长为x,腰长为y,则y关于x的函数关系式为 .【考点】根据实际问题列一次函数关系式.【分析】等腰三角形的腰长=(周长﹣底边长)÷2,把相关数值代入即可.【解答】解等腰三角形的腰长y=(20﹣x)÷2=﹣+10.故答案为y=﹣+10. 13.在平面直角坐标系中,若点M(﹣1,3)与点N(x,3)之间的距离是5,则x的值是 ﹣6或4 .【考点】坐标与图形性质.【分析】根据纵坐标相同的点平行于x轴,再分点N在点M的左边和右边两种情况讨论求解.【解答】解∵点M(﹣1,3)与点N(x,3)的纵坐标都是3,∴MN∥x轴,点N在点M的左边时,x=﹣1﹣5=﹣6,点N在点M的右边时,x=﹣1+5=4,综上所述,x的值是﹣6或4.故答案为﹣6或4. 14.如图,长为8cm的橡皮筋放置在x轴上,固定两端A和B,然后把中点C向上拉升3cm到D,则橡皮筋被拉长了 2 cm.【考点】勾股定理的应用;等腰三角形的性质.【分析】根据勾股定理,可求出AD、BD的长,则AD+BD﹣AB即为橡皮筋拉长的距离.【解答】解Rt△ACD中,AC=AB=4cm,CD=3cm;根据勾股定理,得AD==5cm;∴AD+BD﹣AB=2AD﹣AB=10﹣8=2cm;故橡皮筋被拉长了2cm. 15.如图,在△ABC中,AB=AD=DC,∠BAD=20°,则∠C= 40° .【考点】三角形的外角性质;三角形内角和定理.【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出∠B的度数,再根据三角形外角的性质可求出∠ADC的度数,再由三角形内角和定理解答即可.【解答】解∵AB=AD,∠BAD=20°,∴∠B===80°,∵∠ADC是△ABD的外角,∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°+20°=100°,∵AD=DC,∴∠C===40°. 16.如图所示,购买一种苹果,所付款金额y(元)与购买量x(千克)之间的函数图象由线段OA和射线AB组成,则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省 2 元.【考点】一次函数的应用.【分析】根据函数图象,分别求出线段OA和射线AB的函数解析式,即可解答.【解答】解由线段OA的图象可知,当0<x<2时,y=10x,1千克苹果的价钱为y=10,设射线AB的解析式为y=kx+b(x≥2),把(2,20),(4,36)代入得,解得,∴y=8x+4,当x=3时,y=8×3+4=28.当购买3千克这种苹果分三次分别购买1千克时,所花钱为10×3=30(元),30﹣28=2(元).则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省2元. 17.如图,在△ABC中,CE平分∠ACB,CF平分∠ACD,且EF∥BC交AC于M,若CM=3,则CE2+CF2= 36 .【考点】勾股定理.【分析】根据角平分线的定义、外角定理推知∠ECF=90°,然后在直角三角形ECF中利用勾股定理求CE2+CF2的值即可.【解答】解∵CE平分∠ACB,CF平分∠ACD,∴∠ACE=∠ACB,∠ACF=∠ACD,即∠ECF=(∠ACB+∠ACD)=90°,又∵EF∥BC,CE平分∠ACB,CF平分∠ACD,∴∠ECB=∠MEC=∠ECM,∠DCF=∠CFM=∠MCF,∴CM=EM=MF=3,EF=6,由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=36,故答案为36. 18.已知一次函数y=(k是不为0的自然数,且是常数)的图象与两坐标轴所围成的图形的面积为Sk(即k=1时,得S1,k=2时,得S2,┅).试求S1+S2+S3+…+S2016= .【考点】一次函数图象上点的坐标特征.【分析】令x=0,y=0,分别求出图象与坐标轴的交点,再根据三角形面积公式表示S1,S2,S3,…S2016,根据规律求和.【解答】解令x=0,得y=,y=0,得x=,∴S=××=(﹣),∴S1+S2+S3+…+S2016,=(1﹣+﹣+﹣+…+﹣),=(1﹣),=.故答案为.
三、解答题(第19-22题每题8分,第23-26题每题10分,第27-28题每题12分,共96分)19.
(1)计算﹣+
(2)求x的值4(x﹣3)2=100.【考点】实数的运算.【分析】
(1)原式利用算术平方根、立方根定义计算即可得到结果;
(2)方程整理后,利用平方根定义开方即可求出x的值.【解答】解
(1)原式=5﹣(﹣3)+=
8.5;
(2)方程整理得(x﹣3)2=25,开方得x﹣3=±5,解得x1=8,x2=﹣2. 20.如图,所示的正方形网格中,△ABC的顶点均在格点上,在所给平面直角坐标系中解答下列问题
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1;
(2)作出将△ABC绕原点O按逆时针方向旋转90°后所得的△A2B2C2;
(3)写出点B
1、B2的坐标.【考点】作图-旋转变换;作图-轴对称变换.【分析】
(1)根据关于x轴对称的点的坐标特征写出点A
1、B
1、C1,然后描点即可得到△A1B1C1;
(2)利用网格特点和旋转的性质画出点A
2、B
2、C2,然后描点即可得到△A2B2C2;
(3)利用画图写出点B
1、B2的坐标.【解答】解
(1)如图,△A1B1C1为所作;
(2)如图,△A2B2C2为所作;
(3)点B
1、B2的坐标分别为(﹣2,2),(2,﹣2). 21.已知y+3与x+2成正比例,且当x=3时,y=7;
(1)求出y与x之间的函数关系式;
(2)当x=﹣1时,求y的值;
(3)当y=0时,求x的值.【考点】待定系数法求一次函数解析式.【分析】
(1)设y+3=k(x+2)(k≠0),根据当x=3时,y=7,即可得出关于k的一元一次方程,解之即可得出k值,将k值代入y+3=k(x+2)中整理后即可得出结论;
(2)将x=﹣1代入y=2x+1中即可得出结论;
(3)将y=0代入y=2x+1中,求出x值即可.【解答】解
(1)设y+3=k(x+2)(k≠0),∵当x=3时,y=7,∴7+3=k(3+2),∴k=2,∴y+3=2x+4,即y=2x+1.
(2)当x=﹣1时,y=﹣1×2+1=﹣1.
(3)当y=0时,2x+1=0,解得x=﹣. 22.如图已知等边△ABC中,D是AC的中点,E是BC延长线上的一点,且CE=CD,DM⊥BC,垂足为M.
(1)求∠E的度数.
(2)求证M是BE的中点.【考点】等边三角形的性质;含30度角的直角三角形.【分析】
(1)由等边△ABC的性质可得∠ACB=∠ABC=60°,然后根据等边对等角可得∠E=∠CDE,最后根据外角的性质可求∠E的度数;
(2)连接BD,由等边三角形的三线合一的性质可得∠DBC=∠ABC=×60°=30°,结合
(1)的结论可得∠DBC=∠E,然后根据等角对等边,可得DB=DE,最后根据等腰三角形的三线合一的性质可得M是BE的中点.【解答】
(1)解∵三角形ABC是等边△ABC,∴∠ACB=∠ABC=60°,又∵CE=CD,∴∠E=∠CDE,又∵∠ACB=∠E+∠CDE,∴∠E=∠ACB=30°;
(2)证明连接BD,∵等边△ABC中,D是AC的中点,∴∠DBC=∠ABC=×60°=30°由
(1)知∠E=30°∴∠DBC=∠E=30°∴DB=DE又∵DM⊥BC∴M是BE的中点. 23.把两个三角形按如图1放置,其中∠ACB=∠DEC=90°,∠CAB=45°,∠CDE=30°,且AB=6,DC=7,把△DCE绕点C顺时针旋转15°得△D1CE1,如图2,这时AB与CD1相交于点O,与D1E1相交于点F.
(1)求∠ACD1的度数;
(2)求线段AD1的长.【考点】旋转的性质.【分析】
(1)根据旋转的性质得出∠BCE1=15°,进而求出∠D1CB的度数,进而得出答案;
(2)根据已知得出OD1的长,进而利用勾股定理得出答案.【解答】解
(1)∵把△DCE绕点C顺时针旋转15°得△D1CE1,∴∠BCE1=15°,∴∠D1CB=60°﹣15°=45°,∴∠ACD1=45°;
(2)∵∠ACD1=∠BCD1=45°且AC=CB∴AO=BO=AB=3,CD1⊥AB∴CO=AB=3∴OD1=7﹣3=4在Rt△AOD1中有AO2+OD12=AD12∴AD1==5. 24.某年级380名师生秋游,计划租用7辆客车,现有甲、乙两种型号客车,它们的载客量和租金如表.甲种客车乙种客车载客量(座/辆)6045租金(元/辆)550450
(1)设租用甲种客车x辆,租车总费用为y元.求出y(元)与x(辆)之间的函数表达式;
(2)当甲种客车有多少辆时,能保障所有的师生能参加秋游且租车费用最少,最少费用是多少元?【考点】一次函数的应用.【分析】
(1)根据表格可以求出y(元)与x(辆)之间的函数表达式;
(2)由表格中的数据可以得到甲乙两辆车的载客量应至少为380人,从而可以列出相应的不等式得到x的值,因为x为整数,从而可以解答本题.【解答】解
(1)由题意,得y=550x+450(7﹣x),化简,得y=100x+3150,即y(元)与x(辆)之间的函数表达式是y=100x+3150;
(2)由题意,得60x+45(7﹣x)≥380,解得,x≥.∵y=100x+3150,∴k=100>0,∴x=5时,租车费用最少,最少为y=100×5+3150=3650(元),即当甲种客车有5辆时,能保障所有的师生能参加秋游且租车费用最少,最少费用是3650元. 25.课本P152有段文字把函数y=2x的图象分别沿y轴向上或向下平移3个单位长度,就得到函数y=2x+3或y=2x﹣3的图象.【阅读理解】小尧阅读这段文字后有个疑问把函数y=﹣2x的图象沿x轴向右平移3个单位长度,如何求平移后的函数表达式?老师给了以下提示如图1,在函数y=﹣2x的图象上任意取两个点A、B,分别向右平移3个单位长度,得到A′、B′,直线A′B′就是函数y=﹣2x的图象沿x轴向右平移3个单位长度后得到的图象.请你帮助小尧解决他的困难.
(1)将函数y=﹣2x的图象沿x轴向右平移3个单位长度,平移后的函数表达式为 C .A.y=﹣2x+3;B.y=﹣2x﹣3;C.y=﹣2x+6;D.y=﹣2x﹣6【解决问题】
(2)已知一次函数的图象与直线y=﹣2x关于x轴对称,求此一次函数的表达式.【拓展探究】
(3)一次函数y=﹣2x的图象绕点(2,3)逆时针方向旋转90°后得到的图象对应的函数表达式为 y=x﹣ .(直接写结果)【考点】一次函数图象与几何变换.【分析】
(1)平移时k的值不变,只有b发生变化.
(2)直接根据平面直角坐标系中,点关于x轴对称的特点得出答案;
(3)直接根据一次函数互相垂直时系数之积为﹣1,进而得出答案.【解答】解
(1)将函数y=﹣2x的图象沿x轴向右平移3个单位长度,平移后的函数表达式为y=﹣2x+6,故选C;
(2)在函数y=﹣2x的图象上取两个点A(0,0)、B(1,﹣2),关于x轴对称的点的坐标A′(0,0)、B′(1,2),一次函数的表达式为y=2x;
(3)∵一次函数y=﹣2x的图象绕点(2,3)逆时针方向旋转90°,∴旋转后得到的图象与原图象垂直,则对应的函数解析式为y=x﹣.故答案为y=x﹣. 26.在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,以AC为腰向外作等腰直角△ACE,∠EAC=90°,连接BE,交AD于点F,交AC于点G.
(1)若∠BAC=40°,求∠AEB的度数;
(2)求证∠AEB=∠ACF;
(3)求证EF2+BF2=2AC2.【考点】全等三角形的判定与性质;勾股定理;等腰直角三角形.【分析】
(1)根据等腰直角三角形的旋转得出∠ABE=∠AEB,求出∠BAE,根据三角形内角和定理求出即可;
(2)根据等腰三角形的性质得出∠BAF=∠CAF,根据SAS推出△BAF≌△CAF,根据全等得出∠ABF=∠ACF,即可得出答案;
(3)根据全等得出BF=CF,求出∠CFG=∠EAG=90°,根据勾股定理求出EF2+BF2=EF2+CF2=EC2,EC2=AC2+AE2=2AC2,即可得出答案.【解答】
(1)解∵AB=AC,△ACE是等腰直角三角形,∴AB=AE,∴∠ABE=∠AEB,又∵∠BAC=40°,∠EAC=90°,∴∠BAE=40°+90°=130°,∴∠AEB=÷2=25°;
(2)证明∵AB=AC,D是BC的中点,∴∠BAF=∠CAF.在△BAF和△CAF中∴△BAF≌△CAF(SAS),∴∠ABF=∠ACF,∵∠ABE=∠AEB,∴∠AEB=∠ACF;
(3)证明∵△BAF≌△CAF,∴BF=CF,∵∠AEB=∠ACF,∠AGE=∠FGC,∴∠CFG=∠EAG=90°,∴EF2+BF2=EF2+CF2=EC2,∵△ACE是等腰直角三角形,∴∠CAE=90°,AC=AE,∴EC2=AC2+AE2=2AC2,即EF2+BF2=2AC2. 27.已知直线y=2x﹣10与直线y=x相交于点A,与x轴相交于点B.
(1)求△OAB的面积.
(2)若OC平分∠AOB交AB于C,在OA上截取OD=OB,连接CD,
①证明△OCD≌△OCB;
②求△OAC的面积;
③求点C的坐标.【考点】一次函数综合题.【分析】
(1)联立两函数解析式可求得A点坐标,再由y=2x﹣10可求得B点坐标,则可求得△OAB的面积;
(2)
①由角平分线的定义,结合条件可证明△OCD≌△OCB;
②由全等可求得OB=OD=5,且OA=10,则可求得OD=DA,则S△OCD=S△ACD=S△OCB,可求得△OAC的面积;
③过点C分别做CM⊥x轴,CN⊥OA,垂足分别为点M、N,利用三角形的面积可求得CN,则可求得CM,可求得C点坐标.【解答】解
(1)联立,解得,∴A(8,6),∴OA==10,在y=2x﹣10中,令y=0可得2x﹣10=0,解得x=5,∴B(5,0),∴OB=5,∴S△OAB=×5×6=15;
(2)
①证明∵OC平分∠AOB,∴∠COD=∠COB,在△OCD和△OCB中∴△OCD≌△OCB(SAS);
②∵OB=OD=5,且OA=10,∴OD=DA=5,∴S△OCD=S△ACD=S△OCB=S△OAB=5,∴S△OAC=2S△OCD=10;
③如图,过点C分别做CM⊥x轴,CN⊥OA,垂足分别为点M、N,∵S△OAC=×OA×CN=10,∴CN=CM=2,即点C的纵坐标为2,当y=2时,2=2x﹣10,解得x=6,∴C(6,2). 28.如图
①,一条笔直的公路上有A、B、C三地,B、C两地相距150千米,甲、乙两辆汽车分别从B、C两地同时出发,沿公路匀速相向而行,分别驶往C、B两地.甲、乙两车到A地的距离y
1、y2(千米)与行驶时间x(时)的关系如图
②所示.根据图象进行以下探究
(1)请在图
①中标出A地的位置,并作简要的文字说明;
(2)求图
②中M点的坐标,并解释该点的实际意义;
(3)在图
②中补全甲车到达C地的函数图象,并求甲车到A地的距离y1与行驶时间x的函数关系式;
(4)A地设有指挥中心,指挥中心及两车都配有对讲机,两部对讲机在15千米之内(含15千米)时能够互相通话,求两车可以同时与指挥中心用对讲机通话的时间.【考点】一次函数的应用.【分析】
(1)由图
②得AB=60km或者AC=90km,则AB AC=23,据此画图;
(2)由图
②得乙车从C地到B地一共需要2小时,则速度=150÷2=75km/h,又知C地到A地路程为90km,所以时间为90÷75=
1.2,得出M的坐标;并表示M点是乙车到达A地;
(3)根据(1,0)、(0,60)求y1与行驶时间x的函数关系式;计算甲的速度为60km/h,最后计算甲走完全程的时间为150÷60=
2.5,根据(1,0)、(
2.5,90)画线段;
(4)分别求DM、MC、BC的解析式,求两车距离A地小于等于15km时对应的时间,并计算时间差即可.【解答】解
(1)如图
①,满足AB AC=23,即AB=60km或者AC=90km;
(2)150÷2=75,∴t=90÷75=
1.2时,∴M(
1.2,0),表示此时乙车到达A地,
(3)当0<x<
1.2时,设AB的解析式为y1=kx+b,把(1,0)、(0,60)代入得,解得,∴y1=﹣60x+60,甲的速度为60÷1=60,∴150÷60=
2.5,如图
②所示,补充甲甲车到达C地的函数图象;
(4)同理BC的解析式为y1=60x﹣60,DM的解析式为y2=﹣75x+90,ME的解析式为y2=75x﹣90,由题意得,解得≤x≤,由题意得,解得1≤x≤,∴1≤x≤,﹣1=,∴两车可以同时与指挥中心用对讲机通话的时间小时=15分钟.。