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2016-2017学年河南省濮阳市八年级(上)月考数学试卷(12月份)
一、选择题(每小题3分,共24分)1.下列标志中,可以看作是轴对称图形的是( )A.B.C.D.2.三角形三条边大小之间存在一定的关系,以下列各组线段为边,能组成三角形的是( )A.2cm,3cm,5cmB.5cm,6cm,10cmC.1cm,1cm,3cmD.3cm,4cm,9cm3.如图,点P是∠BAC的平分线AD上一点,PE⊥AC于点E.已知PE=3,则点P到AB的距离是( )A.3B.4C.5D.64.等腰三角形一边长等于4,一边长等于9,则它的周长等于( )A.17B.22C.17或22D.135.下列运算正确的是( )A.x2+x3=x5B.(x2)3=x6C.x2•x3=x6D.(x2•y3)2=x4y56.如果4x2﹣ax+9是一个完全平方式,则a的值是( )A.±6B.6C.12D.±127.在△ABC内部取一点P,使得点P到△ABC的三边距离相等,则点P应是△ABC的交点?( )A.三条高B.三条角平分线C.三条中线D.不存在8.如图,下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成第1个图案需7根火柴,第2个图案需13根火柴,…,依此规律,第11个图案需( )根火柴.A.156B.157C.158D.159
二、填空题(每小题3分,共21分)9.已知一个多边形的内角和是外角和的2倍,此多边形是 边形.10.使式子1+有意义的x的取值范围是 .11.点M(3,﹣4)关于x轴的对称点的坐标是 .12.如图,线段AC与BD交于点O,且OA=OC,请添加一个条件,使△OAB≌△OCD,这个条件是 .13.因式分解x2﹣9y2= .14.如果规定“⊙”为一种新的运算a⊙b=a×b﹣a2+b2,例如3⊙4=3×4﹣32+42=12﹣9+16=19,仿照例子计算(﹣2)⊙6= .15.如图所示,在边长为2的正三角形ABC中,E、F、G分别为AB、AC、BC的中点,点P为线段EF上一个动点,连接BP、GP,则△BPG的周长的最小值是 .
三、解答题(8道大题,共75分)16.先化简,再选择你喜欢的数代入求值(﹣)÷.17.如图,写出△ABC的各顶点坐标,并画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1,写出△ABC关于X轴对称的△A2B2C2的各点坐标.18.已知D是AC上一点,BC=AE,DE∥AB,∠B=∠DAE.求证AB=DA.19.如图,已知AB比AC长3cm,BC的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,△ACD的周长是15cm,求AB和AC的长.20.甲、乙两地相距50km,A骑自行车从甲地到乙地,出发3小时20分钟后,B骑摩托车也从甲地去乙地.已知B的速度是A的速度的3倍,结果两人同时到达乙地.求A、B两人的速度.21.已知如图,锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O,且OB=OC.
(1)求证△ABC是等腰三角形;
(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上,并说明理由.22.阅读下列材料,回答问题.对于二次三项式x2+2ax+a2这样的完全平方式,可以用公式法将它分解成(a+x)2的形式.但是对于二次三项式x2+2ax﹣3a2,就不能直接分解.小明说,可以在二次三项式中先加上一项a2,使其成为完全平方式,再减去a2这项,使整个式子的值不变,于是有x2+2ax﹣3a2=x2+2ax+a2﹣a2﹣3a2=(x+a)2﹣4a2=[(x+a)+2a][(x+a)﹣2a]=(x+3a)(x﹣a);小红说,因为因式分解与整式乘法是互逆的关系,那么逆用乘法公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab即可将其分解因式,而且也很简单.如(l)x2+5x+6=x2+(3+2)x+3×2=(x+3)(x+2);
(2)x2﹣5x﹣6=x2+(﹣6+1)x+(﹣6)×l=(x﹣6)(x+l).你认为他们的说法正确吗?请你利用上述正确的方法,把下列多项式分解因式
(1)x2﹣8x+7;
(2)x2+7x﹣18;
(3)x4+4.23.如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110°,∠BOC=a.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,连接OD.
(1)求证△COD是等边三角形;
(2)当a=150°时,试判断△AOD的形状,并说明理由;
(3)探究当a为多少度时,△AOD是等腰三角形? 2016-2017学年河南省濮阳市经济开发区三中八年级(上)月考数学试卷(12月份)参考答案与试题解析
一、选择题(每小题3分,共24分)1.下列标志中,可以看作是轴对称图形的是( )A.B.C.D.【考点】轴对称图形.【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.【解答】解A、不是轴对称图形,是中心对称图形,不符合题意;B、不是轴对称图形,是中心对称图形,不符合题意;C、不是轴对称图形,是中心对称图形,不符合题意;D、是轴对称图形,符合题意.故选D. 2.三角形三条边大小之间存在一定的关系,以下列各组线段为边,能组成三角形的是( )A.2cm,3cm,5cmB.5cm,6cm,10cmC.1cm,1cm,3cmD.3cm,4cm,9cm【考点】三角形三边关系.【分析】根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析即可.【解答】解A、∵2+3=5,∴不能组成三角形,故本选项错误;B、∵10﹣5<6<10+5,∴能组成三角形,故本选项正确;C、∵1+1=2<3,∴不能组成三角形,故本选项错误;D、∵3+4=7<9,∴不能组成三角形,故本选项错误.故选B. 3.如图,点P是∠BAC的平分线AD上一点,PE⊥AC于点E.已知PE=3,则点P到AB的距离是( )A.3B.4C.5D.6【考点】角平分线的性质.【分析】已知条件给出了角平分线、PE⊥AC于点E等条件,利用角平分线上的点到角的两边的距离相等,即可求解.【解答】解利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知点P到AB的距离是也是3.故选A. 4.等腰三角形一边长等于4,一边长等于9,则它的周长等于( )A.17B.22C.17或22D.13【考点】等腰三角形的性质.【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为4和9,而没有明确腰、底分别是多少,所以要进行讨论,还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形.【解答】解∵4+4=8<9,0<4<9+9=18,∴腰的不应为4,而应为9,∴等腰三角形的周长=4+9+9=22,故选B. 5.下列运算正确的是( )A.x2+x3=x5B.(x2)3=x6C.x2•x3=x6D.(x2•y3)2=x4y5【考点】整式的混合运算.【分析】结合整式混合运算的运算法则进行求解即可.【解答】解A、x2+x3≠x5,本选项错误;B、(x2)3=x6,本选线正确;C、x2•x3=x5≠x6,本选项错误;D、(x2•y3)2=x4y6≠x4y5,本选项错误.故选B. 6.如果4x2﹣ax+9是一个完全平方式,则a的值是( )A.±6B.6C.12D.±12【考点】完全平方式.【分析】这里首末两项是2x和3这两个数的平方,那么中间一项为加上或减去2x和3的积的2倍,故a=±2×2×3=±12.【解答】解∵(2x±3)2=4x2±12x+9=4x2﹣ax+9,∴a=±2×2×3=±12.故选D. 7.在△ABC内部取一点P,使得点P到△ABC的三边距离相等,则点P应是△ABC的交点?( )A.三条高B.三条角平分线C.三条中线D.不存在【考点】三角形的角平分线、中线和高.【分析】根据到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点即三角形的内心.【解答】解∵到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点,∴点P应是△ABC的三条角平分线的交点.故选B 8.如图,下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成第1个图案需7根火柴,第2个图案需13根火柴,…,依此规律,第11个图案需( )根火柴.A.156B.157C.158D.159【考点】规律型图形的变化类.【分析】根据第1个图案需7根火柴,7=1×(1+3)+3,第2个图案需13根火柴,13=2×(2+3)+3,第3个图案需21根火柴,21=3×(3+3)+3,得出规律第n个图案需n(n+3)+3根火柴,再把11代入即可求出答案.【解答】方法一解根据题意可知第1个图案需7根火柴,7=1×(1+3)+3,第2个图案需13根火柴,13=2×(2+3)+3,第3个图案需21根火柴,21=3×(3+3)+3,…,第n个图案需n(n+3)+3根火柴,则第11个图案需11×(11+3)+3=157(根);故选B.方法二n=1,s=7;n=2,s=13;n=3,s=21,设s=an2+bn+c,∴,∴,∴s=n2+3n+3,把n=11代入,s=157.方法三,,,,,,,,,.
二、填空题(每小题3分,共21分)9.已知一个多边形的内角和是外角和的2倍,此多边形是 六 边形.【考点】多边形内角与外角.【分析】设这个多边形的边数为n,根据内角和公式和外角和公式,列出等式求解即可.【解答】解设这个多边形的边数为n,∴(n﹣2)•180°=2×360°,解得n=6,故答案为六. 10.使式子1+有意义的x的取值范围是 x≠1 .【考点】分式有意义的条件.【分析】分式有意义,分母不等于零.【解答】解由题意知,分母x﹣1≠0,即x≠1时,式子1+有意义.故答案为x≠1. 11.点M(3,﹣4)关于x轴的对称点的坐标是 (3,4) .【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标.【分析】根据“关于x轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相反数”解答.【解答】解点M(3,﹣4)关于x轴的对称点M′的坐标是(3,4).故答案为(3,4). 12.如图,线段AC与BD交于点O,且OA=OC,请添加一个条件,使△OAB≌△OCD,这个条件是 ∠A=∠C,∠B=∠D,OD=OB,AB∥CD .【考点】全等三角形的判定.【分析】本题要判定△OAB≌△OCD,已知OA=OC,∠AOB=∠COD,具备了一组边对应相等和一组角对应相等,故添加∠A=∠C,∠B=∠D,OD=OB,AB∥CD后可分别根据ASA、AAS、SAS、AAS判定△OAB≌△OCD.【解答】解∵OA=OC,∠A=∠C,∠AOB=∠COD,∴△OAB≌△OCD(ASA).∵OA=OC,∠B=∠D,∠AOB=∠COD,∴△OAB≌△OCD(AAS).∵OA=OC,OD=OB,∠AOB=∠COD,∴△OAB≌△OCD(SAS).∵AB∥CD,∴∠A=∠C,∠B=∠D(两直线平行,内错角相等),∵OA=OC,∴△OAB≌△OCD(AAS).故填∠A=∠C,∠B=∠D,OD=OB,AB∥CD. 13.因式分解x2﹣9y2= (x+3y)(x﹣3y) .【考点】因式分解-运用公式法.【分析】直接利用平方差公式分解即可.【解答】解x2﹣9y2=(x+3y)(x﹣3y). 14.如果规定“⊙”为一种新的运算a⊙b=a×b﹣a2+b2,例如3⊙4=3×4﹣32+42=12﹣9+16=19,仿照例子计算(﹣2)⊙6= 20 .【考点】有理数的混合运算.【分析】原式利用新定义计算即可得到结果.【解答】解根据题中新定义得原式=﹣12﹣4+36=20,故答案为20 15.如图所示,在边长为2的正三角形ABC中,E、F、G分别为AB、AC、BC的中点,点P为线段EF上一个动点,连接BP、GP,则△BPG的周长的最小值是 3 .【考点】轴对称-最短路线问题;等边三角形的性质;平行线分线段成比例.【分析】连接AG交EF于M,根据等边三角形的性质证明A、G关于EF对称,得到P,△PBG周长最小,求出AB+BG即可得到答案.【解答】解要使△PBG的周长最小,而BG=1一定,只要使BP+PG最短即可,连接AG交EF于M,∵等边△ABC,E、F、G分别为AB、AC、BC的中点,∴AG⊥BC,EF∥BC,∴AG⊥EF,AM=MG,∴A、G关于EF对称,即当P和E重合时,此时BP+PG最小,即△PBG的周长最小,AP=PG,BP=BE,最小值是PB+PG+BG=AE+BE+BG=AB+BG=2+1=3.故答案为3.
三、解答题(8道大题,共75分)16.先化简,再选择你喜欢的数代入求值(﹣)÷.【考点】分式的化简求值.【分析】对括号里的分式先进行通分,再把分式的除法转化为分式的乘法,最后代入使分式有意义的值即可.【解答】解原式=×=当m=1时,原式=1(注意代入求值,要保证原式有意义,不能是0,2,﹣2) 17.如图,写出△ABC的各顶点坐标,并画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1,写出△ABC关于X轴对称的△A2B2C2的各点坐标.【考点】作图-轴对称变换.【分析】利用轴对称性质,作出A、B、C关于x轴的对称点,顺次连接各点,即得到关于y轴对称的△A1B1C1;利用轴对称性质,作出A、B、C关于y轴的对称点,顺次连接各点,即得到关于x轴对称的△A2B2C2;然后根据图形写出坐标即可.【解答】解△ABC的各顶点的坐标分别为A(﹣3,2),B(﹣4,﹣3),C(﹣1,﹣1);所画图形如下所示,其中△A2B2C2的各点坐标分别为A2(﹣3,﹣2),B2(﹣4,3),C2(﹣1,1). 18.已知D是AC上一点,BC=AE,DE∥AB,∠B=∠DAE.求证AB=DA.【考点】全等三角形的判定与性质.【分析】根据平行线的性质,可得内错角相等,根据AAS,可得两三角形全等,根据全等三角形的性质,可得证明结果.【解答】证明∵DE∥AB,∴∠EDA=∠CAB.在△DAE和△ACB中,∴△DAE≌ACB(AAS),∴AB=DA. 19.如图,已知AB比AC长3cm,BC的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,△ACD的周长是15cm,求AB和AC的长.【考点】线段垂直平分线的性质.【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得CD=BD,然后求出△ACD的周长=AB+CC,再解关于AC、AB的二元一次方程组即可.【解答】解∵DE是BC的垂直平分线,∴CD=BD,∴△ACD的周长=AC+AD+CD=AC+BD+AD=AC+AB,由题意得,,解得.∴AB和AC的长分别为9cm,6cm. 20.甲、乙两地相距50km,A骑自行车从甲地到乙地,出发3小时20分钟后,B骑摩托车也从甲地去乙地.已知B的速度是A的速度的3倍,结果两人同时到达乙地.求A、B两人的速度.【考点】分式方程的应用.【分析】本题中有两个相等关系“B的速度是A的速度的3倍”以及“B比A少用3小时20分钟”;根据等量关系可列方程.【解答】解设A的速度为xkm/时,则B的速度为3xkm/时.根据题意得方程.解得x=10.经检验x=10是原方程的根.∴3x=30.答A,B两人的速度分别为10km/时、30km/时. 21.已知如图,锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O,且OB=OC.
(1)求证△ABC是等腰三角形;
(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上,并说明理由.【考点】等腰三角形的判定.【分析】
(1)由OB=OC即可得出∠OBC=∠OCB,根据垂直的定义即可得出∠BDC=∠CEB=90°,结合公共边BC=CB即可证出△BDC≌△CEB(AAS),进而可得出∠EBC=∠DCB,再根据角相等即可得出AB=AC,从而证出△ABC是等腰三角形;
(2)由△BDC≌△CEB可得出BD=CE,结合OB=OC即可得出OD=OE,利用角平分线性质定理的逆定理即可得出点O在∠BAC的平分线上.【解答】
(1)证明∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,∵BD、CE是△ABC的两条高,∴∠BDC=∠CEB=90°.在△BDC和△CEB中,,∴△BDC≌△CEB(AAS),∴∠EBC=∠DCB,∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形.
(2)解点O在∠BAC的平分线上,理由如下∵△BDC≌△CEB,∴BD=CE,又∵OB=OC,∴OD=OE.∵OD⊥AC,OE⊥AB,∴点O在∠BAC的平分线上. 22.阅读下列材料,回答问题.对于二次三项式x2+2ax+a2这样的完全平方式,可以用公式法将它分解成(a+x)2的形式.但是对于二次三项式x2+2ax﹣3a2,就不能直接分解.小明说,可以在二次三项式中先加上一项a2,使其成为完全平方式,再减去a2这项,使整个式子的值不变,于是有x2+2ax﹣3a2=x2+2ax+a2﹣a2﹣3a2=(x+a)2﹣4a2=[(x+a)+2a][(x+a)﹣2a]=(x+3a)(x﹣a);小红说,因为因式分解与整式乘法是互逆的关系,那么逆用乘法公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab即可将其分解因式,而且也很简单.如(l)x2+5x+6=x2+(3+2)x+3×2=(x+3)(x+2);
(2)x2﹣5x﹣6=x2+(﹣6+1)x+(﹣6)×l=(x﹣6)(x+l).你认为他们的说法正确吗?请你利用上述正确的方法,把下列多项式分解因式
(1)x2﹣8x+7;
(2)x2+7x﹣18;
(3)x4+4.【考点】因式分解的应用.【分析】
(1)逆用乘法公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab即可.
(2)逆用乘法公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab即可.
(3)利用添项法即可因式分解.【解答】解
(1)x2﹣8x+7=x2+(﹣1﹣7)x+(﹣1)×(﹣7)=(x﹣1)(x﹣7)
(2)x2+7x﹣18=x2+(9﹣2)x+(﹣2)×9=(x﹣2)(x+9)
(3)x4+4=x4+4x2﹣4x2+4=x4+4x2+4﹣4x2=(x2+2)2﹣(2x)2=(x2+2x+2)(x2﹣2x+2) 23.如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110°,∠BOC=a.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,连接OD.
(1)求证△COD是等边三角形;
(2)当a=150°时,试判断△AOD的形状,并说明理由;
(3)探究当a为多少度时,△AOD是等腰三角形?【考点】旋转的性质;全等三角形的判定与性质;等腰三角形的判定;等边三角形的判定与性质.【分析】
(1)根据旋转的性质可得出OC=OD,结合题意即可证得结论;
(2)结合
(1)的结论可作出判断;
(3)找到变化中的不变量,然后利用旋转及全等的性质即可做出解答.【解答】
(1)证明∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,∴CO=CD,∠OCD=60°,∴△COD是等边三角形.
(2)解当α=150°时,△AOD是直角三角形.理由是∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,∴△BOC≌△ADC,∴∠ADC=∠BOC=150°,又∵△COD是等边三角形,∴∠ODC=60°,∴∠ADO=∠ADC﹣∠ODC=90°,∵∠α=150°∠AOB=110°,∠COD=60°,∴∠AOD=360°﹣∠α﹣∠AOB﹣∠COD=360°﹣150°﹣110°﹣60°=40°,∴△AOD不是等腰直角三角形,即△AOD是直角三角形.
(3)解
①要使AO=AD,需∠AOD=∠ADO,∵∠AOD=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α,∠ADO=α﹣60°,∴190°﹣α=α﹣60°,∴α=125°;
②要使OA=OD,需∠OAD=∠ADO.∵∠OAD=180°﹣(∠AOD+∠ADO)=180°﹣=50°,∴α﹣60°=50°,∴α=110°;
③要使OD=AD,需∠OAD=∠AOD.∵∠AOD=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α,∠OAD==120°﹣,∴190°﹣α=120°﹣,解得α=140°.综上所述当α的度数为125°或110°或140°时,△AOD是等腰三角形.。