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2016-2017学年河南省济源市济水一中八年级(上)期中数学试卷一.选择题(共8小题,24分)1.下列长度的各组线段首尾相接能构成三角形的是( )A.3cm、5cm、8cmB.3cm、5cm、6cmC.3cm、3cm、6cmD.3cm、5cm、10cm2.下列运算正确的是( )A.﹣5(a﹣1)=﹣5a+1B.a2+a2=a4C.3a3•2a2=6a6D.(﹣a2)3=﹣a63.如图,在△ABC与△DEF中,已有条件AB=DE,还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF,不能添加的一组条件是( )A.∠B=∠E,BC=EFB.BC=EF,AC=DFC.∠A=∠D,∠B=∠ED.∠A=∠D,BC=EF4.已知一个正多边形的内角是140°,则这个正多边形的边数是( )A.6B.7C.8D.95.直线l1∥l2∥l3,且l1与l2的距离为1,l2与l3的距离为3.把一块含有45°角的直角三角板如图放置,顶点A、B、C恰好分别落在三条直线上,则△ABC的面积为( )A.B.C.12D.256.如图,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是射线OM上的一个动点,若PA=3,则PQ的最小值为( )A.2B.3C.4D.无法确定7.在下列“禁毒”、“和平”、“志愿者”、“节水”这四个标志中,属于轴对称图形的是( )A.B.C.D.8.如图,△ABC中,AB=AC,DE垂直平分AB,BE⊥AC,AF⊥BC,则下面结论错误的是( )A.BF=EFB.DE=EFC.∠EFC=45°D.∠BEF=∠CBE 二.填空题(共7小题,21分)9.计算(2ab2)3= .10.如图,∠ADC= °.11.如图,已知正方形ABCD的边长为16,M在DC上,且DM=4,N是AC上的一动点,则DN+MN的最小值是 .12.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°,则顶角的度数是 .13.已知P(5,5),点B、A分别在x的正半轴和y的正半轴上,∠APB=90°,则OA+OB= .14.如图,在△ABC中,∠ABC=50°,∠ACB=60°,点E在BC的延长线上,∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D,连接AD,以下结论
①∠BAC=70°;
②∠DOC=90°;
③∠BDC=35°;
④∠DAC=55°,其中正确的是 .(填写序号)15.如图,CA⊥AB,垂足为点A,AB=24,AC=12,射线BM⊥AB,垂足为点B,一动点E从A点出发以3厘米/秒沿射线AN运动,点D为射线BM上一动点,随着E点运动而运动,且始终保持ED=CB,当点E经过 秒时,△DEB与△BCA全等. 三.解答题(共8小题,75分)16.2﹣(a﹣2b)(a+2b)17.已知x2m=2,求(2x3m)2﹣(3xm)2的值.18.如图,已知点B,E,C,F在一条直线上,AB=DF,AC=DE,∠A=∠D.
(1)求证AC∥DE;
(2)若BF=13,EC=5,求BC的长.19.如图已知等边△ABC中,D是AC的中点,E是BC延长线上的一点,且CE=CD,DM⊥BC,垂足为M,求证M是BE的中点.20.如图,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线MN交AC于点D,交AB于点E.
(1)若∠A=40°,求∠DBC的度数;
(2)若AE=6,△CBD的周长为20,求△ABC的周长.21.如图,在所给网格图1.下列长度的各组线段首尾相接能构成三角形的是( )A.3cm、5cm、8cmB.3cm、5cm、6cmC.3cm、3cm、6cmD.3cm、5cm、10cm【考点】三角形三边关系.【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.即可求解.【解答】解根据三角形的三边关系,得A、3+5=8,排除;B、3+5>6,正确;C、3+3=6,排除;D、3+5<10,排除.故选B.【点评】本题主要考查了三角形三边关系定理三角形任意两边之和大于第三边. 2.下列运算正确的是( )A.﹣5(a﹣1)=﹣5a+1B.a2+a2=a4C.3a3•2a2=6a6D.(﹣a2)3=﹣a6【考点】单项式乘单项式;合并同类项;去括号与添括号;幂的乘方与积的乘方.【分析】根据乘法分配律;合并同类项系数相加字母及指数不变;系数乘系数,同底数幂的乘法底数不变指数相加;积的乘方等于乘方的积,可得答案.【解答】解A、﹣5(a﹣1)=﹣5a+5,故A错误;B、合并同类项系数相加字母及指数不变,故B错误;C、系数乘系数,同底数幂的乘法底数不变指数相加,故C错误;D、积的乘方等于乘方的积,故D正确;故选D.【点评】本题考查了单项式的乘法,熟记法则并根据法则计算是解题关键. 3.如图,在△ABC与△DEF中,已有条件AB=DE,还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF,不能添加的一组条件是( )A.∠B=∠E,BC=EFB.BC=EF,AC=DFC.∠A=∠D,∠B=∠ED.∠A=∠D,BC=EF【考点】全等三角形的判定.【分析】分别对各选项中给出条件证明△ABC≌△DEF,进行一一验证即可解题.【解答】解
(1)在△ABC和△DEF中,,∴△ABC≌△DEF(SAS);故A正确;
(2)在△ABC和△DEF中,,∴△ABC≌△DEF(SSS);故B正确;
(3)在△ABC和△DEF中,,∴△ABC≌△DEF(ASA);故C正确;
(4)无法证明△ABC≌△DEF,故D错误;故选D.【点评】本题考查了全等三角形的判定,常用判定三角形全等方法有SSS,SAS,ASA,AAS,本题中对各选项进行验证是解题的关键. 4.已知一个正多边形的内角是140°,则这个正多边形的边数是( )A.6B.7C.8D.9【考点】多边形内角与外角.【专题】计算题;推理填空题.【分析】首先根据一个正多边形的内角是140°,求出每个外角的度数是多少;然后根据外角和定理,求出这个正多边形的边数是多少即可.【解答】解360°÷(180°﹣140°)=360°÷40°=9.答这个正多边形的边数是9.故选D.【点评】此题主要考查了多边形的内角与外角,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确多边形的外角和定理. 5.直线l1∥l2∥l3,且l1与l2的距离为1,l2与l3的距离为3.把一块含有45°角的直角三角板如图放置,顶点A、B、C恰好分别落在三条直线上,则△ABC的面积为( )A.B.C.12D.25【考点】全等三角形的判定与性质;平行线之间的距离;等腰直角三角形.【分析】作BE⊥l3于E,作AF⊥l3于F,得出BE=3,AF=3+1=4,再证明△BEC≌△CFA,得出CE=AF,根据勾股定理求出BC,即可得出结果.【解答】解作BE⊥l3于D,作AF⊥3于F,如图所示则∠BEC=∠CFA=90°,BE=3,AF=3+1=4,∴∠ECB+∠EBC=90°,∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠ACB=90°,AC=BC,∴∠ECB+∠FCA=90°,∴∠EBC=∠FCA,在△BEC和△CFA中,,∴△BEC≌△CFA(AAS),∴CE=AF=4,∴BC==5,∴AC=BC=5,∴S△ABC=AC•BC=×5×5=.故选B.【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线之间的距离、勾股定理以及等腰直角三角形的性质;通过作辅助线证明三角形全等得出对应边相等是解决问题的关键. 6.如图,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是射线OM上的一个动点,若PA=3,则PQ的最小值为( )A.2B.3C.4D.无法确定【考点】角平分线的性质;垂线段最短.【分析】作PE⊥OM于E,根据角平分线的性质求出PE的长即可.【解答】解作PE⊥OM于E,∵OP平分∠MON,PA⊥ON,PE⊥OM,∴PE=PA=3,故选B.【点评】本题主要考查角平分线的性质,掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键. 7.在下列“禁毒”、“和平”、“志愿者”、“节水”这四个标志中,属于轴对称图形的是( )A.B.C.D.【考点】轴对称图形.【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可.【解答】解A、不是轴对称图形,故选项错误;B、是轴对称图形,故选项正确;C、不是轴对称图形,故选项错误;D、不是轴对称图形,故选项错误.故选B.【点评】本题考查的是轴对称图形的概念,如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形. 8.如图,△ABC中,AB=AC,DE垂直平分AB,BE⊥AC,AF⊥BC,则下面结论错误的是( )A.BF=EFB.DE=EFC.∠EFC=45°D.∠BEF=∠CBE【考点】线段垂直平分线的性质;等腰三角形的性质.【分析】根据等腰三角形的三线合一得到BF=FC,根据直角三角形的性质判断A;根据直角三角形的性质判断B;根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质判断C,根据直角三角形的性质判断D.【解答】解∵AB=AC,AF⊥BC,∴BF=FC,∵BE⊥AC,∴EF=BC=BF,A不合题意;∵DE=AB,EF=BC,不能证明DE=EF,B符合题意;∵DE垂直平分AB,∴EA=EB,又BE⊥AC,∴∠BAC=45°,∴∠C=
67.5°,又FE=FC,∴∠EFC=45°,C不合题意;∵FE=FB,∴∠BEF=∠CBE;故选B.【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和直角三角形的性质,掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键. 二.填空题(共7小题,21分)9.计算(2ab2)3= 8a3b6 .【考点】幂的乘方与积的乘方.【分析】根据积的乘方,即可解答.【解答】解(2ab2)3=8a3b6,故答案为8a3b6.【点评】本题考查了积的乘方,解决本题的关键是熟记积的乘方公式. 10.如图,∠ADC= 70 °.【考点】全等三角形的判定与性质;三角形的外角性质.【分析】根据作图得出∠CAD=∠BAD=∠CAB,根据三角形的内角和定理求出∠CAB,求出∠BAD,根据三角形外角性质求出∠ADC=∠B+∠BAD,代入求出即可.【解答】解由作图可知∠CAD=∠BAD=∠CAB,∵∠C=90°,∠B=50°,∴∠CAB=180°﹣90°﹣50°=40°,∴∠BAD=×40°=20°,∴∠ADC=∠B+∠BAD=50°+20°=70°,故答案为70.【点评】本题考查了三角形的角平分线作法,三角形外角性质,三角形的内角和定理等知识点,通过做此题培养了学生的理解能力和推理能力. 11.如图,已知正方形ABCD的边长为16,M在DC上,且DM=4,N是AC上的一动点,则DN+MN的最小值是 20 .【考点】轴对称-最短路线问题.【分析】连接BN,由轴对称图形的性质可知BN=DN,从而将DN+MN的最小值转化为BM的长求解即可.【解答】解连接BN.∵四边形ABCD是正方形,∴NB=ND.∴DN+MN=BN+MN.当点B、N、M在同一条直线上时,ND+MN有最小值.由勾股定理得BM==20.故答案为20.【点评】本题主要考查的是轴对称的性质、正方形的性质、勾股定理的应用,明确当点B、N、M在同一条直线上时,ND+MN有最小值时解题的关键. 12.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°,则顶角的度数是 110°或70° .【考点】等腰三角形的性质.【分析】本题要分情况讨论.当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况.【解答】解此题要分情况讨论当等腰三角形的顶角是钝角时,腰上的高在外部.根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,即可求得顶角是90°+20°=110°;当等腰三角形的顶角是锐角时,腰上的高在其内部,故顶角是90°﹣20°=70°.故答案为110°或70°.【点评】考查了等腰三角形的性质,注意此类题的两种情况.其中考查了直角三角形的两个锐角互余;三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 13.已知P(5,5),点B、A分别在x的正半轴和y的正半轴上,∠APB=90°,则OA+OB= 10 .【考点】全等三角形的判定与性质;坐标与图形性质.【分析】过P作PM⊥y轴于M,PN⊥x轴于N,得出四边形PMON是正方形,推出OM=OM=ON=PN=5,证△APM≌△BPN,推出AM=BN,求出OA+OB=ON+OM,代入求出即可.【解答】解过P作PM⊥y轴于M,PN⊥x轴于N,如图所示∵P(5,5),∴PN=PM=5,∵x轴⊥y轴,∴∠MON=∠PNO=∠PMO=90°,∴∠MPN=360°﹣90°﹣90°﹣90°=90°,则四边形MONP是正方形,∴OM=ON=PN=PM=5,∵∠APB=90°,∴∠APB=∠MON,∴∠MPA=90°﹣∠APN,∠BPN=90°﹣∠APN,∴∠APM=∠BPN,在△APM和△BPN中,,∴△APM≌△BPN(ASA),∴AM=BN,∴OA+OB=OA+0N+BN=OA+ON+AM=ON+OM=5+5=10故答案为10.【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定,三角形的内角和定理,坐标与图形性质,正方形的性质的应用;通过作辅助线构造三角形全等是解决问题的关键. 14.如图,在△ABC中,∠ABC=50°,∠ACB=60°,点E在BC的延长线上,∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D,连接AD,以下结论
①∠BAC=70°;
②∠DOC=90°;
③∠BDC=35°;
④∠DAC=55°,其中正确的是
①③④ .(填写序号)【考点】角平分线的性质.【分析】根据三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的性质、角平分线的性质解答即可.【解答】解∵∠ABC=50°,∠ACB=60°,∴∠BAC=180°﹣50°﹣60°=70°,
①正确;∵BD是∠ABC的平分线,∴∠DBC=∠ABC=25°,∴∠DOC=25°+60°=85°,
②错误;∠BDC=60°﹣25°=35°,
③正确;∵∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D,∴AD是∠BAC的外角平分线,∴∠DAC=55°,
④正确,故答案为
①③④.【点评】本题考查的是角平分线的定义和性质,掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键. 15.如图,CA⊥AB,垂足为点A,AB=24,AC=12,射线BM⊥AB,垂足为点B,一动点E从A点出发以3厘米/秒沿射线AN运动,点D为射线BM上一动点,随着E点运动而运动,且始终保持ED=CB,当点E经过 4,12,16 秒时,△DEB与△BCA全等.【考点】全等三角形的判定.【专题】动点型.【分析】设点E经过t秒时,△DEB≌△BCA;由斜边ED=CB,分类讨论BE=AC或BE=AB时的情况,求出t的值即可.【解答】解设点E经过t秒时,△DEB≌△BCA;此时AE=3t分情况讨论
(1)当点E在点B的左侧时,BE=24﹣3t=12,∴t=4;
(2)当点E在点B的右侧时,
①BE=AC时,3t=24+12,∴t=12;
②BE=AB时,3t=24+24,∴t=16.综上所述,故答案为4,12,16.【点评】本题考查了全等三角形的判定方法;分类讨论各种情况下的三角形全等是解决问题的关键. 三.解答题(共8小题,75分)16.(a+2b)2﹣(a﹣2b)(a+2b)【考点】完全平方公式;平方差公式.【分析】根据完全平方公式和平方差公式,即可解答.【解答】解(a+2b)2﹣(a﹣2b)(a+2b)=a2+4ab+4b2﹣(a2﹣4b2)=a2+4ab+4b2﹣a2+4b2=8b2+4ab.【点评】本题考查了完全平方公式和平方差公式,解决本题的关键是数熟记公式. 17.已知x2m=2,求(2x3m)2﹣(3xm)2的值.【考点】幂的乘方与积的乘方.【分析】根据积的乘方等于每个因式分别乘方,再把所得的幂相乘,可得已知条件,根据已知条件,可得计算结果.【解答】解原式=4x6m﹣9x2m=4(x2m)3﹣9x2m=4×23﹣9×2=14.【点评】本题考查了幂的乘方与积得乘方,先由积的乘方得出已知条件是解题关键. 18.如图,已知点B,E,C,F在一条直线上,AB=DF,AC=DE,∠A=∠D.
(1)求证AC∥DE;
(2)若BF=13,EC=5,求BC的长.【考点】全等三角形的判定与性质.【分析】
(1)首先证明△ABC≌△DFE可得∠ACE=∠DEF,进而可得AC∥DE;
(2)根据△ABC≌△DFE可得BC=EF,利用等式的性质可得EB=CF,再由BF=13,EC=5进而可得EB的长,然后可得答案.【解答】
(1)证明在△ABC和△DFE中,∴△ABC≌△DFE(SAS),∴∠ACE=∠DEF,∴AC∥DE;
(2)解∵△ABC≌△DFE,∴BC=EF,∴CB﹣EC=EF﹣EC,∴EB=CF,∵BF=13,EC=5,∴EB==4,∴CB=4+5=9.【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质,全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时,关键是选择恰当的判定条件. 19.如图已知等边△ABC中,D是AC的中点,E是BC延长线上的一点,且CE=CD,DM⊥BC,垂足为M,求证M是BE的中点.【考点】等边三角形的性质.【专题】证明题.【分析】要证M是BE的中点,根据题意可知,证明△BDE△为等腰三角形,利用等腰三角形的高和中线向重合即可得证.【解答】证明连接BD,∵在等边△ABC,且D是AC的中点,∴∠DBC=∠ABC=×60°=30°,∠ACB=60°,∵CE=CD,∴∠CDE=∠E,∵∠ACB=∠CDE+∠E,∴∠E=30°,∴∠DBC=∠E=30°,∴BD=ED,△BDE为等腰三角形,又∵DM⊥BC,∴M是BE的中点.【点评】本题考查了等腰三角形顶角平分线、底边上的中线和高三线合一的性质以及等边三角形每个内角为60°的知识.辅助线的作出是正确解答本题的关键. 20.如图,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线MN交AC于点D,交AB于点E.
(1)若∠A=40°,求∠DBC的度数;
(2)若AE=6,△CBD的周长为20,求△ABC的周长.【考点】等腰三角形的性质;线段垂直平分线的性质.【分析】
(1)由在△ABC中,AB=AC,∠A=42°,利用等腰三角形的性质,即可求得∠ABC的度数,然后由AB的垂直平分线MN交AC于点D,根据线段垂直平分线的性质,可求得AD=BD,继而求得∠ABD的度数,则可求得∠DBC的度数.
(2)由△CBD的周长为20,推出AC+BC=20,根据AB=2AE=12,由此即可解决问题.【解答】解
(1)解∵在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,∴∠ABC=∠C=70°,∵AB的垂直平分线MN交AC于点D,∴AD=BD,∴∠ABD=∠A=40°,∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=30°.
(2)∵MN垂直平分AB,∴DA=DB,∵BC+BD+DC=20,∴AD+DC+BC=20,∴AC+BC=20,∵AB=2AE=12,∴△ABC的周长=AB+AC+BC=12+20=32.【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质.注意垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等. 21.如图,在所给网格图(每小格均为边长是1的正方形)中完成下列各题(用直尺画图)
(1)画出格点△ABC(顶点均在格点上)关于直线DE对称的△A1B1C1;
(2)在DE上画出点P,使PB1+PC最小.【考点】作图-轴对称变换;轴对称-最短路线问题.【专题】作图题.【分析】
(1)根据网格结构找出点A、B、C关于直线DE的对称点A
1、B
1、C1的位置,然后顺次连接即可;
(2)根据轴对称确定最短路线问题,连接BC1,与直线DE的交点即为所求的点P.【解答】解
(1)△A1B1C1如图所示;
(2)点P如图所示.【点评】本题考查了利用轴对称变换作图,利用轴对称确定最短路线问题,熟练掌握网格结构找出对应点的位置是解题的关键.
22.已知∠MON=40°,OE平分∠MON,点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点(A、B、C不与点O重合),连接AC交射线OE于点D.设∠OAC=x°.
(1)如图1,若AB∥ON,则
①∠ABO的度数是 20° ;
②当∠BAD=∠ABD时,x= 120° ;当∠BAD=∠BDA时,x= 60° .
(2)如图2,若AB⊥OM,则是否存在这样的x的值,使得△ADB中有两个相等的角?若存在,求出x的值;若不存在,说明理由.【考点】三角形的角平分线、中线和高;平行线的性质;三角形内角和定理.【专题】计算题.【分析】利用角平分线的性质求出∠ABO的度数是关键,分类讨论的思想.【解答】解
(1)
①∵∠MON=40°,OE平分∠MON∴∠AOB=∠BON=20°∵AB∥ON∴∠ABO=20°
②∵∠BAD=∠ABD∴∠BAD=20°∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°∴∠OAC=120°∵∠BAD=∠BDA,∠ABO=20°∴∠BAD=80°∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°∴∠OAC=60°故答案为
①20
②120,60
(2)
①当点D在线段OB上时,若∠BAD=∠ABD,则x=20若∠BAD=∠BDA,则x=35若∠ADB=∠ABD,则x=50
②当点D在射线BE上时,因为∠ABE=110°,且三角形的内角和为180°,所以只有∠BAD=∠BDA,此时x=125.综上可知,存在这样的x的值,使得△ADB中有两个相等的角,且x=
20、
35、
50、125.【点评】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角性质的应用,注意三角形的内角和等于180°,三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和. 23.
(1)如图1,把△ABC沿DE折叠,使点A落在点A’处,试探索∠1+∠2与∠A的关系.(不必证明).
(2)如图2,BI平分∠ABC,CI平分∠ACB,把△ABC折叠,使点A与点I重合,若∠1+∠2=130°,求∠BIC的度数;
(3)如图3,在锐角△ABC中,BF⊥AC于点F,CG⊥AB于点G,BF、CG交于点H,把△ABC折叠使点A和点H重合,试探索∠BHC与∠1+∠2的关系,并证明你的结论.【考点】三角形内角和定理;翻折变换(折叠问题).【分析】
(1)根据翻折变换的性质以及三角形内角和定理以及平角的定义求出即可;
(2)根据三角形角平分线的性质得出∠IBC+∠ICB=90°﹣∠A,得出∠BIC的度数即可;
(3)根据翻折变换的性质以及垂线的性质得出,∠AFH+∠AGH=90°+90°=180°,进而求出∠A=(∠1+∠2),即可得出答案.【解答】解
(1)∠1+∠2=2∠A;
(2)由
(1)∠1+∠2=2∠A,得2∠A=130°,∴∠A=65°∵IB平分∠ABC,IC平分∠ACB,∴∠IBC+∠ICB=(∠ABC+∠ACB)=(180°﹣∠A)=90°﹣∠A,∴∠BIC=180°﹣(∠IBC+∠ICB),=180°﹣(90°﹣∠A)=90°+×65°=
122.5°;
(3)∵BF⊥AC,CG⊥AB,∴∠AFH+∠AGH=90°+90°=180°,∠FHG+∠A=180°,∴∠BHC=∠FHG=180°﹣∠A,由
(1)知∠1+∠2=2∠A,∴∠A=(∠1+∠2),∴∠BHC=180°﹣(∠1+∠2).【点评】此题主要考查了图形的翻着变换的性质以及角平分线的性质和三角形内角和定理,正确的利用翻折变换的性质得出对应关系是解决问题的关键.。