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2015-2016学年河南省周口市川汇区八年级（上）期中数学试卷
一、选择题1．如图所示，图中不是轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．2．以下列各组线段为边（单位cm），能组成三角形的是（ ）A．1，2，4B．4，6，8C．5，6，12D．2，3，53．已知△ABC≌△DEF，若∠A=60°，∠B=80°，则∠F等于（ ）A．60°B．80°C．140°D．40°4．△ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB边的取值范围是（ ）A．1＜AB＜29B．4＜AB＜24C．5＜AB＜19D．9＜AB＜195．在四边形ABCD中，AB=CD，BC=DA，则下列结论不一定成立的是（ ）A．AB=CBB．∠B=∠DC．AB∥CDD．∠A+∠B=180°6．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（ ）A．∠BCA=∠FB．∠B=∠EC．BC∥EFD．∠A=∠EDF7．如图，点O是△ABC内一点，∠A=80°，∠ABO=15°，∠ACO=40°，则∠BOC等于（ ）A．95°B．120°C．135°D．无法确定8．在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AC=6，点D、E在AB边上，AD=CD，点E关于AC、CD的对称点分别为F、G，则线段FG的最小值等于（ ）A．2B．3C．4D．5
二、填空题9．三角形的三边长分别是
2、
3、x，则x的取值范围是 ．10．六边形的内角和是外角和的n倍，则n等于 ．11．点P关于x、y轴的对称点为M、N，若M（﹣1，2），则N的坐标为 ．12．尺规作图“作一个角等于已知角“的依据是三角形全等的判定方法 ．13．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD是△ABC的角平分线，BC=10cm，BD DC=32，则点D到AB的距离为 ．14．如图，△ABC中，BA=BC，∠ABC=40°，∠ABC的平分线与BC的垂直平分线交于点O，E在BC边上，F在AC边上，将∠A沿直线EF翻折，使点A与点O恰好重合，则∠OEF的度数是 ．15．如图，在四边形ABCD中，点E在CB的延长线上，对角线AC平分∠BCD，∠ABE=∠ABD，若∠BDC=80°，则∠ADB等于 ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．求证“三角形的内角和定理”，画出图形，写出已知、求证、证明．17．如图，在△ABC中，D、E分别在AB、AC边上，BE平分∠ABC，DE∥BC，∠A=30°，∠BEC=60°，求△BDE各内角的度数．18．如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，若BD=4cm，△AEC的周长为15cm，求△ABC的周长．19．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AB∥CD，求证∠B=∠D，BC∥AD．20．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在△ABC的三条边上，且BF=CD，BD=CE．
（1）求证△DFE是等腰三角形；
（2）若∠A=56°，求∠EDF的度数．21．如图，已知△ABC，按照下列步骤作图
①以B为圆心，BA长为半径画弧；
②以C为圆心，CA长为半径画弧，两弧交于点D；
③连接AD，与BC交于点E，连接BD、CD．
（1）求证△ABC≌△DBC；
（2）若∠ABC=30°，∠ACB=45°，AB=4，求EC的长．22．如图
①，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．
（1）求证△ADE是等边三角形；
（2）如图
②，将△ADE绕着点A逆时针旋转适当的角度，使点B在ED的延长线上，连接CE，判断∠BEC的度数及线段AE、BE、CE之间的数量关系，并说明理由．23．下面是一个研究性解题案例，请补充完整如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠ABC=90°，∠ADC=135°
（1）探究发现当点P在线段AD上时（点P不与A、D重合），连接PB，作PE⊥PB，交直线CD于点E，猜想线段PB和PE的数量关系 ．
（2）猜想论证为了证明
（1）中的猜想，小明尝试在AB上截取BF=PD，连结PF，请你完成以下的证明．
（3）拓展探究若点P为DA延长线上一点，其它条件不变，
（1）中的结论是否仍然成立？请画出相应图形，并直接给出判断． 2015-2016学年河南省周口市川汇区八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析
一、选择题1．如图所示，图中不是轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此对图中的图形进行判断．【解答】解A、有四条对称轴，是轴对称图形，故本选项错误；B、有三条对称轴，是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义，故本选项正确；D、有二条对称轴，是轴对称图形，故本选项错误．故选C．【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2．以下列各组线段为边（单位cm），能组成三角形的是（ ）A．1，2，4B．4，6，8C．5，6，12D．2，3，5【考点】三角形三边关系．【分析】根据三角形两边之和大于第三边进行判断即可．【解答】解在A选项中，1+2＜4，不符合三角形的三边关系，故A不能；在B选项中，4+6＞8，符合三角形的三边关系，故B能；在C选项中，5+6＜12，不符合三角形的三边关系，故C不能；在D选项中，2+3=5，不符合三角形的三边关系，故D不能；故选B．【点评】本题主要考查三角形的三边关系，掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键． 3．已知△ABC≌△DEF，若∠A=60°，∠B=80°，则∠F等于（ ）A．60°B．80°C．140°D．40°【考点】全等三角形的性质．【分析】根据全等三角形的性质得出∠D=∠A=60°，∠E=∠B=80°，根据三角形的内角和定理求出即可．【解答】解∵△ABC≌△DEF，∠A=60°，∠B=80°，∴∠D=∠A=60°，∠E=∠B=80°，∴∠F=180°﹣∠D﹣∠E=40°，故选D．【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意全等三角形的对应角相等． 4．△ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB边的取值范围是（ ）A．1＜AB＜29B．4＜AB＜24C．5＜AB＜19D．9＜AB＜19【考点】三角形三边关系；平行四边形的性质．【分析】延长AD至E，使DE=AD，连接CE，使得△ABD≌△ECD，则将AB和已知线段转化到一个三角形中，进而利用三角形的三边关系确定AB的范围即可．【解答】解延长AD至E，使DE=AD，连接CE．在△ABD和△ECD中，BD=CD，∠ADB=∠EDC，AD=ED，∴△ABD≌△ECD（SAS）．∴AB=CE．在△ACE中，根据三角形的三边关系，得AE﹣AC＜CE＜AE+AC，即9＜CE＜19．则9＜AB＜19．故选D．【点评】解决此题的关键是通过倍长中线，构造全等三角形，把要求的线段和已知的线段放到一个三角形中，再根据三角形的三边关系进行计算． 5．在四边形ABCD中，AB=CD，BC=DA，则下列结论不一定成立的是（ ）A．AB=CBB．∠B=∠DC．AB∥CDD．∠A+∠B=180°【考点】平行四边形的判定与性质．【分析】证出四边形ABCD是平行四边形，由平行四边形的性质即可得出结论．【解答】解∵AB=CD，BC=DA，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，AB∥CD，AD∥BC，∴∠A+∠B=180°，∴选项B、C、D正确，选项A不一定正确；故选A．【点评】本题考查了平行四边形的性质平行四边形的性质平行四边形的对边相等，对角线互相平分，理解性质定理是关键． 6．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（ ）A．∠BCA=∠FB．∠B=∠EC．BC∥EFD．∠A=∠EDF【考点】全等三角形的判定．【分析】全等三角形的判定方法SAS是指有两边对应相等，且这两边的夹角相等的两三角形全等，已知AB=DE，BC=EF，其两边的夹角是∠B和∠E，只要求出∠B=∠E即可．【解答】解A、根据AB=DE，BC=EF和∠BCA=∠F不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；B、∵在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS），故本选项正确；C、∵BC∥EF，∴∠F=∠BCA，根据AB=DE，BC=EF和∠F=∠BCA不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；D、根据AB=DE，BC=EF和∠A=∠EDF不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误．故选B．【点评】本题考查了对平行线的性质和全等三角形的判定的应用，注意有两边对应相等，且这两边的夹角相等的两三角形才全等，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目． 7．如图，点O是△ABC内一点，∠A=80°，∠ABO=15°，∠ACO=40°，则∠BOC等于（ ）A．95°B．120°C．135°D．无法确定【考点】三角形的外角性质．【分析】延长BO交AC于E，根据三角形内角与外角的性质可得∠1=∠A+∠ABO，∠BOC=∠ACO+∠1，再代入相应数值进行计算即可．【解答】解延长BO交AC于E，∵∠A=80°，∠ABO=15°，∴∠1=80°+15°=95°，∵∠ACO=40°，∴∠BOC=∠1+∠ACO=95°+40°=135°．故选C．【点评】此题主要考查了三角形内角与外角的关系，关键是掌握三角形内角与外角的关系定理． 8．在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AC=6，点D、E在AB边上，AD=CD，点E关于AC、CD的对称点分别为F、G，则线段FG的最小值等于（ ）A．2B．3C．4D．5【考点】轴对称的性质；含30度角的直角三角形．【分析】根据轴对称的性质得出CE=CF，∠CEF=∠CFE，CE=CG，EH=GH，∠CEF=∠CGH，进而得出CE=CG=CF，∠CGH=∠CFE，然后证得△BCD是等边三角形，从而证得∠FHG=60°，进一步证得∠FCG=∠FHG=60°，证得△CFG是等边三角形，得出FG=CF=CE，因为CE的最小值为3，所以FG的最小值为3．【解答】】解∵点E和F关于AC对称，∴AC垂直平分EF，∴CE=CF，∠CEF=∠CFE，∵点E和G关于CD对称，∴CD垂直平分FG，∴CE=CG，EH=GH，∠CEF=∠CGH，∴CE=CG=CF，∠CGH=∠CFE，∵∠ACB=90°，∠B=60°，∴∠A=30°，∵AD=CD，∴∠ACD=∠A=30°，∴∠BCD=60°，∴△BCD是等边三角形，∵EF∥BC，∴∠DEH=∠B=60°，∠EHD=∠BCD=60°，∴∠DHG=∠EHD=60°，∴∠FHG=60°∵∠CGH=∠CFE，∠CKF=∠HKG，∴∠FCG=∠FHG=60°，∵CF=CG，∴△CFG是等边三角形，∴FG=CF=CE，∵当CE⊥AB时，CE最短，此时CE=AC=3，∴FG的最小值为3，故选B．【点评】本题考查了轴对称的性质和等边三角形的判定和性质，证得△CFG是等边三角形是解题的关键．
二、填空题9．三角形的三边长分别是
2、
3、x，则x的取值范围是 1＜x＜5 ．【考点】三角形三边关系．【分析】直接根据三角形的三边关系求出x的取值范围即可．【解答】解∵三角形的三边长分别是
2、
3、x，∴3﹣2＜x＜2+3，即1＜x＜5．故答案为1＜x＜5．【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键． 10．六边形的内角和是外角和的n倍，则n等于 2 ．【考点】多边形内角与外角．【分析】六边形的内角和根据多边形的内角和公式即可求出，又外角和是360度，问题即可求解．【解答】解六边形的内角和是（6﹣2）•180°=720°，外角和=360°，720°÷360°=2．故答案为2．【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理，以及外角和定理，是一个基础的问题． 11．点P关于x、y轴的对称点为M、N，若M（﹣1，2），则N的坐标为 （1，﹣2） ．【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】根据题意可以求得点P的坐标，从而可以求得点N的坐标．【解答】解∵点P关于x轴的对称点为M（﹣1，2），∴点P的坐标为（﹣1，﹣2），点P关于y轴的对称点为N，∴点N的坐标为（1，﹣2），故答案为（1，﹣2）．【点评】本题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 12．尺规作图“作一个角等于已知角“的依据是三角形全等的判定方法 SSS ．【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定．【分析】通过对尺规作图过程的探究，找出三条对应相等的线段，判断三角形全等．因此判定三角形全等的依据是边边边公理．【解答】解在尺规作图中，作一个角等于已知角是通过构建三边对应相等的全等三角形来证，因此由作法知其判定依据是SSS，即边边边公理．故答案为SSS．【点评】本题考查了三角形全等的判定方法；可以让学生明确作图的依据，也是全等三角形在实际中的运用．注意在作法中找已知，根据已知决定方法． 13．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD是△ABC的角平分线，BC=10cm，BD DC=32，则点D到AB的距离为 4cm ．【考点】角平分线的性质．【专题】计算题．【分析】先由BC=10cm，BD DC=32计算出DC=4cm，由于∠ACB=90°，则点D到AC的距离为4cm，然后根据角平分线的性质即可得到点D到AB的距离等于4cm．【解答】解∵BC=10cm，BD DC=32，∴DC=4cm，∵AD是△ABC的角平分线，∠ACB=90°，∴点D到AB的距离等于DC，即点D到AB的距离等于4cm．故答案为4cm．【点评】本题考查了角平分线的判定与性质角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上． 14．如图，△ABC中，BA=BC，∠ABC=40°，∠ABC的平分线与BC的垂直平分线交于点O，E在BC边上，F在AC边上，将∠A沿直线EF翻折，使点A与点O恰好重合，则∠OEF的度数是 70° ．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】连接OA、OC，根据角平分线的定义求出∠DBO=20°，根据等腰三角形两底角相等求出∠BAC=∠BCA=70°，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OB=OC，根据等边对等角可得∠DCO=∠DBO=20°，从而求得∠OCF=50°，然后证明△ABO≌△CBO，于是得到∠EAO=∠BCO=20°，根据翻折的性质可知OA⊥EF，∠AEF=∠OEF，从而可求得∠OEF=70°．【解答】解如图，连接OA、OC，∵∠ABC=40°，BO为∠ABC的平分线，∴∠OBD=∠ABC=20°．又∵BA=BC，∴∠BAC=∠BCA=（180°﹣∠ABC）=×（180°﹣40°）=70°．∵DO是BC的垂直平分线，∴OB=OC．∴∠OCB=∠OBC=20°．在△AOB和△COB中，∴∠BAO=∠OCB=20°．由翻折的性质可知OA⊥EF，∠AEF=∠OEF．∴∠AEF=90°﹣20°=70°．∴∠OEF=70°．故答案为70°．【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键． 15．如图，在四边形ABCD中，点E在CB的延长线上，对角线AC平分∠BCD，∠ABE=∠ABD，若∠BDC=80°，则∠ADB等于 50° ．【考点】多边形内角与外角；角平分线的性质．【分析】先过点A作AF⊥CE于F，作AG⊥BD于G，作AH⊥CD于H，根据角平分线的性质得出AH=AG，再根据AG⊥BD，AH⊥CD，得出点A在∠BDH的角平分线上，进而求得∠ADB的度数．【解答】解过点A作AF⊥CE于F，作AG⊥BD于G，作AH⊥CD于H，∵AC平分∠BCD，∠ABE=∠ABD，∴AF=AH，AF=AG，∴AH=AG，∵AG⊥BD，AH⊥CD，∴点A在∠BDH的角平分线上，即∠ADB=∠BDH=（180°﹣∠BDC）=（180°﹣80°）=50°．故答案为50°．【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角，解决问题的关键是作辅助线，运用角平分线的性质定理及其判定定理进行推导计算．解题时注意角内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．求证“三角形的内角和定理”，画出图形，写出已知、求证、证明．【考点】三角形内角和定理．【分析】先写出已知、求证，再画图，然后证明．过点A作EF∥BC，利用EF∥BC，可得∠1=∠B，∠2=∠C，而∠1+∠2+∠BAC=180°，利用等量代换可证∠BAC+∠B+∠C=180°．【解答】已知△ABC，求证∠BAC+∠B+∠C=180°，证明过点A作EF∥BC，∵EF∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠C，∵∠1+∠2+∠BAC=180°，∴∠BAC+∠B+∠C=180°．即知三角形内角和等于180°．【点评】本题考查证明三角形内角和定理，解题的关键是做平行线，利用平行线的性质进行证明． 17．如图，在△ABC中，D、E分别在AB、AC边上，BE平分∠ABC，DE∥BC，∠A=30°，∠BEC=60°，求△BDE各内角的度数．【考点】平行线的性质．【分析】首先求出∠DBC的度数，进而利用平分线的知识求出∠EBC的度数，再利用利用平行线的知识求出∠DEB的度数，最后求出∠BDE的度数．【解答】解∵∠A=30°，∠BEC=60°，∴∠DBC=∠BEC﹣∠A=60°﹣30°=30°，∵BE平分∠ABC，∴∠EBC=∠DBE=30°，∵DE∥BC，∴∠DEB=∠EBC=30°，∠BDE=180°﹣∠DBC=180°﹣60°=120°．【点评】本题考查了平行线性质两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等． 18．如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，若BD=4cm，△AEC的周长为15cm，求△ABC的周长．【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB=EC，根据三角形的周长公式计算即可．【解答】解∵ED是BC的垂直平分线，∴EB=EC，BC=2BD=8cm，∵△AEC的周长为15cm，∴AE+EC+AC=15，则△ABC的周长=AB+BC+AC=AE+EC+BD=23cm．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 19．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AB∥CD，求证∠B=∠D，BC∥AD．【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的判定与性质．【专题】证明题．【分析】连接AC，由AB∥CD可得出∠BAC=∠DCA，结合AB=CD、AC=CA即可证出△ABC≌△CDA（SAS），由此即可得出∠B=∠D，∠BCA=∠DAC，再依据“内错角相等，两直线平行．”即可证出BC∥AD．【解答】证明连接AC，如图所示．∵AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA．在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（SAS），∴∠B=∠D，∠BCA=∠DAC，∴BC∥AD．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定与性质，解题的关键是证出△ABC≌△CDA（SAS）．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，数据各全等三角形的判定定理是关键． 20．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在△ABC的三条边上，且BF=CD，BD=CE．
（1）求证△DFE是等腰三角形；
（2）若∠A=56°，求∠EDF的度数．【考点】等腰三角形的判定与性质．【分析】
（1）由SAS可得△FBD≌△DCE，得出DF=ED，第一问可求解；
（2）由角之间的转化，从而可求解∠EDF的大小．【解答】证明
（1）∵AB=AC∴∠B=∠C，在△FBD与△DCE中∴△FBD≌△DCE．∴DF=ED，即△DEF是等腰三角形
（2）∵AB=AC，∠A=56°，∴∠B=∠C=．∴∠EDF=∠B=62°．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及等腰三角形的判定和性质问题，能够熟练掌握三角形的性质求解一些简单的计算、证明等问题． 21．如图，已知△ABC，按照下列步骤作图
①以B为圆心，BA长为半径画弧；
②以C为圆心，CA长为半径画弧，两弧交于点D；
③连接AD，与BC交于点E，连接BD、CD．
（1）求证△ABC≌△DBC；
（2）若∠ABC=30°，∠ACB=45°，AB=4，求EC的长．【考点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．【分析】
（1）直接运用SSS判定两三角形全等；
（2）根据线段垂直平分线的逆定理得BC是AD的垂直平分线，得△ABE是直角三角形，△AEC是等腰直角三角形，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AE的长，从而得出CE的长．【解答】证明
（1）由题意得AB=BD，AC=CD，∵BC=BC，∴△ABC≌△DBC；
（2）∵AB=BD，AC=CD，∴BC是AD的垂直平分线，∴AD⊥BC，在Rt△ABE中，∵∠ABE=30°，AB=4，∴AE=AB=2，∵∠ACB=45°，∴△AEC是等腰直角三角形，∴AE=EC，∵AE=2，∴EC=2．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定及线段垂直平分线的性质，要熟知全等三角形的判定方法SSS、SAS、AAS、ASA；在判定两全等三角形全等时，要注意三角形间的公共边和公共角；在直角三角形中，要熟练掌握几下性质
①勾股定理，
②等腰直角三角形，
③30°角所对的直角边等于斜边的一半． 22．（如图
①，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．
（1）求证△ADE是等边三角形；
（2）如图
②，将△ADE绕着点A逆时针旋转适当的角度，使点B在ED的延长线上，连接CE，判断∠BEC的度数及线段AE、BE、CE之间的数量关系，并说明理由．【考点】旋转的性质；平行线的性质；等边三角形的判定与性质．【分析】
（1）根据△ABC为等边三角形，则∠C=∠B=60°，由DE∥BC得到∠ADE=∠C=∠B=∠AED=60°，然后根据等边三角形的判定方法得到△ADE是等边三角形；
（2）由SAS证明△ABD≌△ACE，得出AD=AE，求出∠DAE=∠CAE+∠DAC=60°，证出△ADE是等边三角形，得出AE=DE，即可得出结论．【解答】
（1）证明∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C，∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴∠A=∠ADE=∠AED，∴△ADE是等边三角形．∵△ABC是等边三角形；
（2）解AE+CE=BE；理由如下∵AB=AC，AD=AE，∠BAD=60°﹣∠DAC=∠CAE，由旋转的性质得△ABD≌△ACE，∴AD=AE，∵∠DAE=∠CAE+∠DAC=∠BAD+∠DAC=∠BAC=60°，∴△ADE是等边三角形，∴AE=DE，∴AE+CE=DE+BD=BE．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、旋转的性质、平行线的性质；熟练掌握等边三角形的判定与性质是解决问题的关键． 23．下面是一个研究性解题案例，请补充完整如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠ABC=90°，∠ADC=135°
（1）探究发现当点P在线段AD上时（点P不与A、D重合），连接PB，作PE⊥PB，交直线CD于点E，猜想线段PB和PE的数量关系 PB=PE ．
（2）猜想论证为了证明
（1）中的猜想，小明尝试在AB上截取BF=PD，连结PF，请你完成以下的证明．
（3）拓展探究若点P为DA延长线上一点，其它条件不变，
（1）中的结论是否仍然成立？请画出相应图形，并直接给出判断．【考点】四边形综合题．【分析】
（1）通过观察和测量可猜想PB=PE；
（2）首先证明△APF为等腰直角三角形，于是得到∠AFP=45°，从而可求得∠BFP=∠PDE=135°，然后依据同角的余角相等可证明∠DPE=∠PBF，接下来依据ASA证明△PFB≌△EDP，依据全等三角形的性质可得到PB=PE；
（3）延长AB到F使AF=PA，连结PF．题意可知△PFA为等腰直角三角形，于是可证明∠PFB=∠EDP=45°，然后依据同角的余角相等可证明∠PBA=∠EPD，接下来证明PD=BF，依据ASA可证明△PED≌△BPF，于是可得到PE=PB．【解答】解
（1）PB=PE．
（2）如图1所示∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠A=90°．∵AB=AD，BF=PD，∴AF=AP．∴∠AFP=45°．∴∠BFP=135°．∴∠BFP=∠PDE．∵∠BPE=90°，∴∠APB+∠DPE=90°．又∵∠APB+∠PBF=90°，∴∠DPE=∠PBF．在△PFB和△EDP中，，∴△PFB≌△EDP．∴PB=PE．故答案为PB=PE．
（3）成立．理由如图2所示延长AB到F使AF=PA，连结PF．∵FA=PF，∠A=90°，∴∠F=45°．∵∠ADC=135°，∴∠EDP=45°．∴∠PFB=∠EDP．∵∠EPD+DPB=90°，∠DPB+∠PBA=90°，∴∠PBA=∠EPD．∵AF=PA，AB=AD，∴PD=BF．在△PED和△BPF中，，∴△PED≌△BPF．∴PE=PB．【点评】本题主要考查的是主要考查的是四边形，三角形的综合应用，解答本题主要应用了全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．。
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