还剩8页未读,继续阅读
本资源只提供10页预览,全部文档请下载后查看!喜欢就下载吧,查找使用更方便
文本内容:
江苏省无锡市锡山区2016-2017学年八年级(上)期中数学试卷
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)1.下列四个图案中,轴对称图形的个数是( )A.1B.2C.3D.42.下列各式中,正确的是( )A.(﹣)2=9B.=﹣2C.=﹣3D.±=±33.在实数,﹣,﹣
3.14,0,,
2.61611611161…已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4,则该等腰三角形的周长为( )A.8或10B.8C.10D.6或125.一个罐头的质量为
2.026kg,用四舍五入法将
2.026kg精确到
0.01kg可得近似值( )A.
2.03kgB.
2.02kgC.
2.0kgD.2kg6.如图,下列条件中,不能证明△ABD≌△ACD的是( )A.AB=AC,BD=CDB.∠B=∠C,BD=CDC.∠B=∠C,∠BAD=∠CAD.∠ADB=∠ADC,DB=DC7.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3,AB=5,BC=9,CD的垂直平分线交BC于E,连接DE,则四边形ABED的周长等于( )A.17B.18C.19D.208.给出下列命题
①在直角三角形ABC中,已知两边长为6和8,则第三边长为10;
②三角形的三边a、b、c满足b2+c2=a2,则∠C=90°;
③△ABC中,若∠A∠B∠C=156,则△ABC是直角三角形;
④△ABC中,若a bc=12,则这个三角形是直角三角形.其中,假命题的有哪几个( )A.
①②B.
③④C.
①③D.
②④9.如图,已知∠MON=30°,点A
1、A
2、A3…在射线ON上,点B
1、B
2、B3…在射线OM上,△A1B1A
2、△A2B2A
3、△A3B3A4…均为等边三角形,若OA1=1,则△A6B6A7的边长为( )A.6B.12C.32D.6410.如图,点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点,点P从顶点A,点Q从顶点B同时出发,且它们的速度都为1cm/s,下面四个结论正确的有( )个.
①BP=CM;
②△ABQ≌△CAP;
③∠CMQ的度数不变,始终等于60°;
④当第秒或第秒时,△PBQ为直角三角形.A.1B.2C.3D.4
二、填空题(本大题共8小题,每空2分,共20分)11.(4分)的算术平方根是 ,﹣64的立方根是 .12.(2分)一个正数的两个平方根分别是2a﹣2和a﹣4,则这个正数是 .13.(2分)如图,已知点A、D、C、F在同一条直线上,AB=DE,∠B=∠E,要使△ABC≌△DEF,还需要添加一个条件是 .14.(2分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=8,AD平分∠BAC,交BC边于点D,若CD=2,则△ABD的面积为 .15.(4分)直角三角形两条直角边的长分别为
5、12,则斜边长为 ,斜边上的高为 .16.(2分)如图,△ABC中,CD⊥AB于D,E是AC的中点.若AD=6,DE=5,则CD的长等于 .17.(2分)如图,在钝角△ABC中,已知∠A为钝角,边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E,若BD2+CE2=DE2,则∠A的度数为 °.18.(2分)如图,一个上方无盖的正方体盒子紧贴地面,一只蚂蚁由盒外AE的中点处出发,沿着盒子面爬行到盒内的点C处,已知正方体的边长为4,问这只蚂蚁爬行的最短距离是 .
三、解答题(本大题共9题,共70分)19.(8分)计算.
(1)|﹣2|+(﹣1)2+(﹣5)0﹣
(2)()2﹣+.20.(8分)求下列各式中的x
①(x+2)2=16
②8(x3+1)=﹣5621.尺规作图如图1,在四边形ABCD内找一点P,使得点P到AB、BC的距离相等,并且点P到点A、D的距离也相等.(不写作法,保留作图痕迹).
(2)如图2,在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中,点A、B、C在小正方形的顶点上,
①△ABC的面积为 .
②在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A1B1C1.22.(6分)如图,已知在△AFD和△CEB中,点A、E、F、C在同一直线上,AE=CF,∠D=∠B,AD∥BC.求证△AFD≌△CEB.23.(8分)如图,已知△ABC中,AB=AC,M是BC的中点,D、E分别是AB、AC边上的点,且BD=CE,
(1)求证MD=ME.
(2)若D为AB的中点,并且AB=8,求ME的长.24.(6分)我们给出如下定义若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方,则称这个四边形为勾股四边形,这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边.
(1)如图
(1),已知格点(小正方形的顶点)O(0,0),A(3,0),B(0,4)请你画出以格点为顶点,OA,OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB;
(2)如图
(2),将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°,得到△DBE,连结AD,DC,∠DCB=30°.求证DC2+BC2=AC2,即四边形ABCD是勾股四边形.25.(8分)小王剪了两张直角三角形纸片,进行了如下的操作操作一如图1,将Rt△ABC沿某条直线折叠,使斜边的两个端点A与B重合,折痕为DE.
(1)如果AC=6cm,BC=8cm,可求得△ACD的周长为 ;
(2)如果∠CAD∠BAD=47,可求得∠B的度数为 ;操作二如图2,小王拿出另一张Rt△ABC纸片,将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,若AC=9cm,BC=12cm,请求出CD的长.26.(10分)已等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°.点D从点B出发沿射线BC移动,以AD为腰作等腰Rt△ADE,∠DAE=90°.连接CE.
(1)如图,求证△ACE≌△ABD;
(2)点D运动时,∠BCE的度数是否发生变化?若不变化,求它的度数;若变化,说明理由;
(3)若AC=,当CD=1时,请直接写出DE的长.27.(10分)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D是AC的中点,作∠ADB的角平分线DE交AB于点E,
(1)求证DE∥BC;
(2)若AE=3,AD=5,点P为线段BC上的一动点,当BP为何值时,△DEP为等腰三角形.请求出所有BP的值. 2016-2017学年江苏省无锡市锡山区八年级(上)期中数学试卷参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)1.下列四个图案中,轴对称图形的个数是( )A.1B.2C.3D.4【考点】轴对称图形.【分析】根据轴对称图形的定义1得出,图形沿一条直线对着,分成的两部分完全重合及是轴对称图形,分别判断得出即可.【解答】解根据图象,以及轴对称图形的定义可得,第1,2,4个图形是轴对称图形,第3个是中心对称图形,故选C.【点评】此题主要考查了轴对称图形的定义,根据定义判断出图形形状是解决问题的关键. 2.下列各式中,正确的是( )A.(﹣)2=9B.=﹣2C.=﹣3D.±=±3【考点】立方根;平方根;算术平方根.【分析】利用平方根与立方根定义判断即可.【解答】解A、原式=3,错误;B、原式=|﹣2|=2,错误;C、原式没有意义,错误;D、原式=±3,正确,故选D【点评】此题考查了立方根,平方根,以及算术平方根,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 3.在实数,﹣,﹣
3.14,0,,
2.61611611161…(2015•荆门)已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4,则该等腰三角形的周长为( )A.8或10B.8C.10D.6或12【考点】等腰三角形的性质;三角形三边关系.【分析】分2是腰长与底边长两种情况讨论求解.【解答】解
①2是腰长时,三角形的三边分别为
2、
2、4,∵2+2=4,∴不能组成三角形,
②2是底边时,三角形的三边分别为
2、
4、4,能组成三角形,周长=2+4+4=10,综上所述,它的周长是10.故选C.【点评】本题考查了等腰三角形的性质,难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系进行判定. 5.一个罐头的质量为
2.026kg,用四舍五入法将
2.026kg精确到
0.01kg可得近似值( )A.
2.03kgB.
2.02kgC.
2.0kgD.2kg【考点】近似数和有效数字.【分析】根据近似数的精确度,把千分位上的数字6进行四舍五入即可.【解答】解
2.026kg≈
2.03(精确到
0.01kg).故选A.【点评】本题考查了近似数和有效数字近似数与精确数的接近程度,可以用精确度表示.一般有,精确到哪一位,保留几个有效数字等说法;从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止,所有的数字都是这个数的有效数字. 6.如图,下列条件中,不能证明△ABD≌△ACD的是( )A.AB=AC,BD=CDB.∠B=∠C,BD=CDC.∠B=∠C,∠BAD=∠CAD.∠ADB=∠ADC,DB=DC【考点】全等三角形的判定.【分析】根据全等三角形的判定方法SSS、SAS、ASA、AAS分别进行分析即可.【解答】解A、BD=DC,AB=AC,再加公共边AD=AD可利用SSS定理进行判定,故此选项不合题意;B、∠B=∠C,BD=CD,再加公共边AD=AD不能判定△ABD≌△ACD,故此选项符合题意;C、∠B=∠C,∠BAD=∠CAD再加公共边AD=AD可利用AAS定理进行判定,故此选项不合题意;D、∠ADB=∠ADC,BD=DC再加公共边AD=AD可利用SAS定理进行判定,故此选项不合题意;故选B【点评】本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角. 7.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3,AB=5,BC=9,CD的垂直平分线交BC于E,连接DE,则四边形ABED的周长等于( )A.17B.18C.19D.20【考点】梯形;线段垂直平分线的性质.【分析】由CD的垂直平分线交BC于E,根据线段垂直平分线的性质,即可得DE=CE,即可得四边形ABED的周长为AB+BC+AD,继而求得答案.【解答】解∵CD的垂直平分线交BC于E,∴DE=CE,∵AD=3,AB=5,BC=9,∴四边形ABED的周长为AB+BE+DE+AD=AB+BE+EC+AD=AB+BC+AD=5+9+3=17.故选A.【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质.此题比较简单,注意掌握数形结合思想与转化思想的应用是解此题的关键. 8.给出下列命题
①在直角三角形ABC中,已知两边长为6和8,则第三边长为10;
②三角形的三边a、b、c满足b2+c2=a2,则∠C=90°;
③△ABC中,若∠A∠B∠C=156,则△ABC是直角三角形;
④△ABC中,若a bc=12,则这个三角形是直角三角形.其中,假命题的有哪几个( )A.
①②B.
③④C.
①③D.
②④【考点】命题与定理.【分析】利用分类讨论的思想和勾股定理对
①进行判断;根据勾股定理对
②进行判断;根据三角形内角和计算出三角形各内角的度数,然后对
③进行判断;根据勾股定理的逆定理对
④进行判断.【解答】解在直角三角形ABC中,已知两边长为6和8,则第三边长为10或2,所以
①错误;三角形的三边a、b、c满足b2+c2=a2,则∠A=90°,所以
②错误;△ABC中,若∠A∠B∠C=156,则∠A=15°,∠B=75°,∠C=90°,所以△ABC是直角三角形,所以
③正确;△ABC中,若a bc=12,则a2+b2=c2,则这个三角形是直角三角形,所以
④正确.故选B.【点评】本题考查了命题与定理判断一件事情的语句,叫做命题.许多命题都是由题设和结论两部分组成,题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项,一个命题可以写成“如果…那么…”形式. 9.如图,已知∠MON=30°,点A
1、A
2、A3…在射线ON上,点B
1、B
2、B3…在射线OM上,△A1B1A
2、△A2B2A
3、△A3B3A4…均为等边三角形,若OA1=1,则△A6B6A7的边长为( )A.6B.12C.32D.64【考点】等边三角形的性质;含30度角的直角三角形.【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3,以及A2B2=2B1A2,得出A3B3=4B1A2=4,A4B4=8B1A2=8,A5B5=16B1A2…进而得出答案.【解答】解∵△A1B1A2是等边三角形,∴A1B1=A2B1,∠3=∠4=∠12=60°,∴∠2=120°,∵∠MON=30°,∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°,又∵∠3=60°,∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°,∵∠MON=∠1=30°,∴OA1=A1B1=1,∴A2B1=1,∵△A2B2A
3、△A3B3A4是等边三角形,∴∠11=∠10=60°,∠13=60°,∵∠4=∠12=60°,∴A1B1∥A2B2∥A3B3,B1A2∥B2A3,∴∠1=∠6=∠7=30°,∠5=∠8=90°,∴A2B2=2B1A2,B3A3=2B2A3,∴A3B3=4B1A2=4,A4B4=8B1A2=8,A5B5=16B1A2=16,以此类推A6B6=32B1A2=32.故选C.【点评】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质,根据已知得出A3B3=4B1A2,A4B4=8B1A2,A5B5=16B1A2进而发现规律是解题关键. 10.如图,点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点,点P从顶点A,点Q从顶点B同时出发,且它们的速度都为1cm/s,下面四个结论正确的有( )个.
①BP=CM;
②△ABQ≌△CAP;
③∠CMQ的度数不变,始终等于60°;
④当第秒或第秒时,△PBQ为直角三角形.A.1B.2C.3D.4【考点】全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质.【分析】由三角形ABC为等边三角形,得到三边相等,且内角为60°,根据题意得到AP=BQ,利用SAS得到三角形ABQ与三角形CAP全等;由全等三角形对应角相等得到∠AQB=∠CPA,利用三角形内角和定理即可确定出∠CMQ的度数不变,始终等于60°;分∠QPB与∠PQB为直角两种情况求出t的值,即可作出判断.【解答】解BP不一定等于CM,选项
①错误;根据题意得AP=BQ=t,∵△ABC为等边三角形,∴∠ABQ=∠CAP=60°,AB=AC,在△ABQ和△CAP中,,∴△ABQ≌△CAP(SAS),选项
②正确;∴∠AQB=∠CPA,在△APM中,∠PMA=180°﹣∠APM﹣∠PAM,∵∠CMQ=∠PMA=180°﹣∠APM﹣∠PAM,在△ABQ中,∠ABQ=60°,∴∠AQB+∠BAQ=120°,∴∠PAM+∠APM=120°,∴∠CMQ=∠PMA=60°,选项
③正确;若∠PQB=90°,由∠PBQ=60°,得到PB=2BQ,即4﹣t=2t,解得t=;若∠QPB=90°,由∠PBQ=60°,得到BQ=2PB,即t=2(4﹣t),解得t=,综上,当第秒或第秒时,△PBQ为直角三角形,选项
④正确,故选C【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,以及直角三角形的性质,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键.
二、填空题(本大题共8小题,每空2分,共20分)11.的算术平方根是 ,﹣64的立方根是 ﹣4 .【考点】算术平方根;立方根.【分析】根据算术平方根及立方根的定义进行求解即可.【解答】解的算术平方根是,﹣64的立方根是﹣4;故答案为,﹣4.【点评】此题考查了算术平方根与立方根,一个正数有两个平方根,它们互为相反数,正数是它的算术平方根;0的平方根是0;负数没有平方根.立方根的性质一个正数的立方根式正数,一个负数的立方根是负数,0的立方根式0. 12.一个正数的两个平方根分别是2a﹣2和a﹣4,则这个正数是 4 .【考点】平方根.【分析】根据平方根的定义和相反数得出2a﹣2+a﹣4=0,求出a=2,求出2a﹣2=2,即可得出答案.【解答】解∵一个正数的两个平方根分别是2a﹣2和a﹣4,∴2a﹣2+a﹣4=0,∴a=2,∴2a﹣2=2,∴这个正数为22=4,故答案为4.【点评】本题考查了平方根和相反数的应用,解此题的关键是求出a的值,注意一个正数有两个平方根,它们互为相反数. 13.如图,已知点A、D、C、F在同一条直线上,AB=DE,∠B=∠E,要使△ABC≌△DEF,还需要添加一个条件是 BC=EF .【考点】全等三角形的判定.【分析】已知AB=DE,∠B=∠E,再加上条件BC=EF,可根据SAS判定△ABC≌△DEF.【解答】解添加条件BC=EF.∵,∴△ABC≌△DEF(SAS),∴BC=EF.故答案为BC=EF.【点评】本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角. 14.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=8,AD平分∠BAC,交BC边于点D,若CD=2,则△ABD的面积为 8 .【考点】角平分线的性质.【分析】作DE⊥AB于E,根据角平分线的性质求出DE的长,根据三角形的面积公式计算即可.【解答】解作DE⊥AB于E,∵AD平分∠BAC,∠C=90°,DE⊥AB,∴DE=DC=2,∴△ABD的面积=×AB×DE=8,故答案为8.【点评】本题考查的是角平分线的性质,掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键. 15.直角三角形两条直角边的长分别为
5、12,则斜边长为 13 ,斜边上的高为 .【考点】勾股定理.【分析】可先用勾股定理求出斜边长,然后再根据直角三角形面积的两种公式求解即可.【解答】解由勾股定理可得AB2=52+122,则AB=13,直角三角形面积S=×5×12=×13×CD,可得斜边的高CD=.故答案为13,.【点评】本题考查勾股定理及直角三角形面积公式的综合运用,解答本题的关键是熟练掌握勾股定理,此题难度不大. 16.如图,△ABC中,CD⊥AB于D,E是AC的中点.若AD=6,DE=5,则CD的长等于 8 .【考点】勾股定理;直角三角形斜边上的中线.【分析】由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得AC=2DE=10;然后在直角△ACD中,利用勾股定理来求线段CD的长度即可.【解答】解如图,∵△ABC中,CD⊥AB于D,E是AC的中点,DE=5,∴DE=AC=5,∴AC=10.在直角△ACD中,∠ADC=90°,AD=6,AC=10,则根据勾股定理,得CD===8.故答案是8.【点评】本题考查了勾股定理,直角三角形斜边上的中线.利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AC的长度是解题的难点. 17.如图,在钝角△ABC中,已知∠A为钝角,边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E,若BD2+CE2=DE2,则∠A的度数为 135 °.【考点】线段垂直平分线的性质;勾股定理的逆定理.【分析】连接DA、EA,根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB,EA=EC,得到∠DAB=∠B,∠EAC=∠C,根据勾股定理的逆定理得到∠DAE=90°,根据三角形内角和定理计算即可.【解答】解连接DA、EA,∵边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E,∴DA=DB,EA=EC,∴∠DAB=∠B,∠EAC=∠C,∵BD2+CE2=DE2,∴AD2+AE2=DE2,∴∠DAE=90°,∴2∠B+2∠C+90°=180°,∴∠B+∠C=45°,∴∠BAC=135°.故答案为135.【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质,掌握段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键. 18.如图,一个上方无盖的正方体盒子紧贴地面,一只蚂蚁由盒外AE的中点处出发,沿着盒子面爬行到盒内的点C处,已知正方体的边长为4,问这只蚂蚁爬行的最短距离是 10 .【考点】平面展开-最短路径问题.【分析】画出长方体的侧面展开图,利用勾股定理求解即可.【解答】解如图,蚂蚁爬行的最短距离CM,在Rt△CMN中,CN=AE+AE=6,MN=8,∴CM===10故答案为10.【点评】此题是平面展开图﹣﹣最短路径问题,主要考查的是平面展开图,根据题意画出长方体的侧面展开图,利用勾股定理求解是解答此题的关键,画出侧面展开图是解本题的难点.
三、解答题(本大题共9题,共70分)19.计算.
(1)|﹣2|+(﹣1)2+(﹣5)0﹣
(2)()2﹣+.【考点】实数的运算;零指数幂.【分析】
(1)依据绝对值、有理数的乘方、零指数幂和二次根式的性质计算即可;
(2)依据二次根式的性质、算术平方根、立方根的定义求解即可.【解答】解
(1)原式=2+1+1﹣2=2
(2)原式=3﹣9+3=﹣3.【点评】本题主要考查的是实数的运算,熟练掌握相关知识是解题的关键. 20.求下列各式中的x
①(x+2)2=16
②8(x3+1)=﹣56【考点】立方根;平方根.【分析】
①先开平方,进而求解;
②先两边都除以8,再移项,最后求立方根即可.【解答】解
①x+2=±4,x1=﹣2+4=2,x2=﹣2﹣4=﹣6,∴x1=2,x2=﹣6;
②(x3+1)=﹣7,x3=﹣8,x=﹣2.【点评】考查用开方的方法解方程;注意正数的平方根有2个. 21.
(1)尺规作图如图1,在四边形ABCD内找一点P,使得点P到AB、BC的距离相等,并且点P到点A、D的距离也相等.(不写作法,保留作图痕迹).
(2)如图2,在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中,点A、B、C在小正方形的顶点上,
①△ABC的面积为 4 .
②在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A1B1C1.【考点】作图-轴对称变换;角平分线的性质;线段垂直平分线的性质.【分析】
(1)分别作出AD的垂直平分线及∠ABC的平分线,两条直线的交点即为P点的位置;
(2)
①利用正方形的面积减去三个顶点上三角形的面积可得出结论;
②作出各点关于直线l的对称点,再顺次连接即可.【解答】解
(1)如图1,点P即为所求点;
(2)
①S△ABC=3×3﹣×2×2﹣×3×1﹣×3×1=9﹣2﹣﹣=4;故答案为4;
②如图,△A1B1C1即为所求.【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换,熟知轴对称的性质是解答此题的关键. 22.如图,已知在△AFD和△CEB中,点A、E、F、C在同一直线上,AE=CF,∠D=∠B,AD∥BC.求证△AFD≌△CEB.【考点】全等三角形的判定.【分析】先根据平行线的性质得出∠A=∠C,根据线段相互间的加减关系求出AF=CE,又有AD=CB,根据SAS三角形全等的判定定理即可证明△AFD≌△CEB.【解答】证明∵AD∥BC∴∠A=∠C∵AE=CF∴AE+EF=CF+EF∴AF=CE∵在△AFD和△CEB中∴△AFD≌△CEB(AAS)【点评】本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角. 23.如图,已知△ABC中,AB=AC,M是BC的中点,D、E分别是AB、AC边上的点,且BD=CE,
(1)求证MD=ME.
(2)若D为AB的中点,并且AB=8,求ME的长.【考点】全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质.【分析】
(1)根据等腰三角形的性质可证∠DBM=∠ECM,可证△BDM≌△CEM,可得MD=ME,即可解题;
(2)连接AM,利用等腰三角形的性质得到直角△ABM,利用直角三角形的性质,D为AB的中点,所以DM=AB=4.【解答】解
(1)在△ABC中,∵AB=AC,∴∠DBM=∠ECM,∵M是BC的中点,∴BM=CM,在△BDM和△CEM中,,∴△BDM≌△CEM(SAS),∴MD=ME.
(2)如图,连接AM,∵△ABC中,AB=AC,M是BC的中点,∴AM⊥BC,∴得到直角△ABM,∵D为AB的中点,∴DM=AB==4.【点评】本题考查了全等三角形的判定,等腰三角形的性质,考查了全等三角形对应边相等的性质,解决本题的关键是证明△BDM≌△CEM. 24.我们给出如下定义若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方,则称这个四边形为勾股四边形,这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边.
(1)如图
(1),已知格点(小正方形的顶点)O(0,0),A(3,0),B(0,4)请你画出以格点为顶点,OA,OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB;
(2)如图
(2),将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°,得到△DBE,连结AD,DC,∠DCB=30°.求证DC2+BC2=AC2,即四边形ABCD是勾股四边形.【考点】作图-旋转变换;勾股定理;多边形的对角线.【分析】
(1)由于∠AOB=90°,则OB2+OA2=AB2=25,则找出格点M使它到O点的距离为5(坐标轴上除外)可得到满足条件的四边形OAMB;
(2)连接CE,如图
(2),利用旋转的性质得DE=AC,BC=BE,∠CBE=60°,则可判断△BCE为等边三角形,所以BC=CE,∠BCE=60°,再证明∠DCE=90°,然后利用勾股定理得到DC2+EC2=DE2,从而得到DC2+BC2=AC2.【解答】解
(1)如图
(1),四边形OAMB或四边形OAM′B为所作;
(2)连接CE,如图
(2),∵△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°,得到△DBE,∴DE=AC,BC=BE,∠CBE=60°,∴△BCE为等边三角形,∴BC=CE,∠BCE=60°,∵∠DCB=30°,∴∠DCE=90°,∴DC2+EC2=DE2,∴DC2+BC2=AC2,即四边形ABCD是勾股四边形.【点评】本题考查了作图﹣旋转变换根据旋转的性质可知,对应角都相等都等于旋转角,对应线段也相等,由此可以通过作相等的角,在角的边上截取相等的线段的方法,找到对应点,顺次连接得出旋转后的图形.也考查了阅读理解能力. 25.小王剪了两张直角三角形纸片,进行了如下的操作操作一如图1,将Rt△ABC沿某条直线折叠,使斜边的两个端点A与B重合,折痕为DE.
(1)如果AC=6cm,BC=8cm,可求得△ACD的周长为 14cm ;
(2)如果∠CAD∠BAD=47,可求得∠B的度数为 35° ;操作二如图2,小王拿出另一张Rt△ABC纸片,将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,若AC=9cm,BC=12cm,请求出CD的长.【考点】翻折变换(折叠问题).【分析】操作一利用对称找准相等的量BD=AD,∠BAD=∠B,然后分别利用周长及三角形的内角和可求得答案;操作二利用折叠找着AC=AE,利用勾股定理列式求出AB,设CD=x,表示出BD,AE,在Rt△BDE中,利用勾股定理可得答案;【解答】解操作一
(1)由折叠的性质可得AD=BD,∵△ACD的周长=AC+CD+AD,∴△ACD的周长=AC+CD+BD=AC+BC=8+6=14(cm);故填14cm;
(2)设∠CAD=4x,∠BAD=7x由题意得方程7x+7x+4x=90,解之得x=5,所以∠B=35°;故填35°;操作二∵AC=9cm,BC=12cm,∴AB===15(cm),根据折叠性质可得AC=AE=9cm,∴BE=AB﹣AE=6cm,设CD=x,则BD=12﹣x,DE=x,在Rt△BDE中,由题意可得方程x2+62=(12﹣x)2,解之得x=
4.5,∴CD=
4.5cm.【点评】本题考查了直角三角形中的勾股定理的应用及图形的翻折问题;解决翻折问题时一般要找着相等的量,然后结合有关的知识列出方程进行解答. 26.(10分)(2016秋•锡山区期中)已等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°.点D从点B出发沿射线BC移动,以AD为腰作等腰Rt△ADE,∠DAE=90°.连接CE.
(1)如图,求证△ACE≌△ABD;
(2)点D运动时,∠BCE的度数是否发生变化?若不变化,求它的度数;若变化,说明理由;
(3)若AC=,当CD=1时,请直接写出DE的长.【考点】全等三角形的判定与性质;勾股定理;等腰直角三角形.【分析】
(1)由△ABC和△ADE都是等腰Rt△可得,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°,则有∠BAD=∠CAE,从而可证到△ACE≌△ABD;
(2)由△ACE≌△ABD可得∠ACE=∠ABD=45°,从而得到∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°;
(3)可分点D在线段BC上时(如图1)和点D在线段BC延长线上时(如图2)两种情况讨论,在Rt△ABC中运用勾股定理可求出BC,从而得到BD,由△ACE≌△ABD可得CE=BD,在Rt△DCE中运用勾股定理就可求出DE.【解答】解
(1)∵△ABC和△ADE都是等腰Rt△,∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAD=∠CAE.在△ACE和△ABD中,,∴△ACE≌△ABD;
(2)∵△ACE≌△ABD,∴∠ACE=∠ABD=45°,∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=45°+45°=90°;∴∠BCE的度数不变,为90°;
(3)
①点D在线段BC上时,如图1,∵AB=AC=,∠BAC=90°,∴BC=4.∵CD=1,∴BD=3.∵△ACE≌△ABD,∴CE=BD=3.∵∠BCE=90°,∴DE===;
②点D在线段BC延长线上时,如图2,∵AB=AC=,∠BAC=90°,∴BC=4.∵CD=1,∴BD=5.∵△ACE≌△ABD,∴CE=BD=5.∵∠BCE=90°,∴∠ECD=90°,∴DE===.综上所述DE的长为或.【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识,需要注意的是由于D从点B出发沿射线BC移动,需分情况讨论. 27.(10分)(2016秋•常熟市期中)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D是AC的中点,作∠ADB的角平分线DE交AB于点E,
(1)求证DE∥BC;
(2)若AE=3,AD=5,点P为线段BC上的一动点,当BP为何值时,△DEP为等腰三角形.请求出所有BP的值.【考点】直角三角形斜边上的中线;平行线的判定;等腰三角形的判定.【分析】
(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BD=AD=AC,再根据等腰三角形三线合一的性质可得DE⊥AB,再根据垂直于同一直线的两直线平行证明;
(2)利用勾股定理列式求出DE的长,根据等腰三角形三线合一的性质求出BE=AE,然后分DE=EP、DP=EP、DE=DP三种情况讨论求解.【解答】
(1)证明∵∠ABC=90°,点D是AC的中点,∴BD=AD=AC,∵DE是∠ADB的角平分线,∴DE⊥AB,又∵∠ABC=90°,∴DE∥BC;
(2)解∵AE=3,AD=5,DE⊥AB,∴DE==4,∵DE⊥AB,AD=BD,∴BE=AE=3,
①DE=EP时,BP==,
②DP=EP时,BP=DE=×4=2,
③DE=DP时,过点D作DF⊥BC于F,则DF=BE=3,由勾股定理得,FP==,点P在F下边时,BP=4﹣,点P在F上边时,BP=4+,综上所述,BP的值为,2,4﹣,4+.【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,等腰三角形的判定与性质,平行线的判定,难点在于
(2)要分情况讨论.。