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2016-2017学年辽宁省抚顺市新宾县八年级(上)期末数学试卷
一、选择题每小题2分,共20分.1.若分式有意义,则x应满足的条件是( )A.x≠0B.x≥3C.x≠3D.x≤32.若下列各组值代表线段的长度,能组成三角形的是( )A.
1、
2、
3.5B.
4、
5、9C.
5、
15、8D.
20、
15、83.如果=3,则=( )A.B.xyC.4D.4.下列运算错误的是( )A.a8÷a3=a5B.(a2)3=a6C.a3•a4=a7D.(3a)2=6a25.如图,已知∠1=∠2,要得到△ABD≌△ACD,还需从下列条件中补选一个,则错误的选法是( )A.AB=ACB.DB=DCC.∠ADB=∠ADCD.∠B=∠C6.货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同,已知小车每小时比货车多行驶20千米,求两车的速度各为多少?设货车的速度为x千米/小时,依题意列方程正确的是( )A.B.C.D.7.如图所示的正方形网格中,网格线的交点称为格点.已知A、B是两格点,如果C也是图中的格点,且使得△ABC为等腰三角形,则点C的个数是( )A.6B.7C.8D.98.已知a+b=3,ab=2,则a2+b2的值为( )A.1B.5C.6D.139.下列多项式不能用平方差分解因式的是( )A.
0.36a2﹣
0.04b2B.x2﹣16C.﹣a2+b2+c2D.﹣x2+y210.若关于x的方程=3的解是正数,则m的取值是( )A.m>﹣6B.m>﹣6且m≠0C.m>﹣6且m≠﹣4D.m>﹣6且m≠2
二、填空题每小题2分,共16分.11.如图,在△ABC中,AC=BC,△ABC外角∠ACE=120°,则∠B= .12.已知A(a,2)和B(1,b)关于x轴对称,则(a+b)2016= .13.如图,△ABC中,∠C=90°,∠ABC=60°,BD平分∠ABC,若AD=6,则CD= .14.已知x2+mx+9是完全平方式,则常数m等于 .15.如图,在△ABC中,AC=4cm,线段AB的垂直平分线交AC于点N,△BCN的周长是7cm,则BC的长为 cm.16.从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形后,将其裁成四个相同的等腰梯形(如图甲),然后拼成一个平行四边形(如图乙).那么通过计算阴影部分的面积可以验证公式 .17.两位同学将一个二次三项式分解因式,一位同学因看错了一次项系数而分解成2(x﹣1)(x﹣9);另一位同学因看错了常数项分解成2(x﹣2)(x﹣4),请你将原多项式因式分解正确的结果写出来 .18.如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,AD平分∠BAC,BE⊥AD交AC的延长线于F,E为垂足,则结论
①AC+CD=AB;
②AD=BF;
③BF=2BE;
④BE=CF.其中正确的结论是 .
三、计算题每题4分,共16分.19.分解因式a2(a+3)﹣4(a+3);
(2)计算﹣32×(3﹣π)0+()﹣2.20.解方程﹣1=;
(2)先化简,再求值(﹣)÷,其中x从﹣
1、
1、﹣
2、﹣3中选出你认为合理的数代入化简后的式子中求值.
四、操作题每题5分,共10分.21.如图,在平面直角坐标系xOy中,A(2,4),B(1,1),C(3,2).
(1)求出△ABC的面积;
(2)作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1.22.如图,某校准备在校内一块四边形ABCD草坪内栽上一颗银杏树,要求银杏树的位置点P到边AB,BC的距离相等,并且点P到点A,D的距离也相等,请用尺规作图作出银杏树的位置点P(不写作法,保留作图痕迹)
五、解答题第23题5分,第24题7分,共12分.23.一个多边形的内角和与外角和的差为900°,求它的边数.24.如图△ADF和△BCE中,∠A=∠B,点D、E、F、C在同一直线上,有如下三个关系式
①AD=BC;
②DE=CF;
③BE∥AF.请用其中两个关系式作为条件,另一个作为结论,写出1个你认为正确的命题.(用序号写出命题书写形式,如如果
①、
②,那么
③)并证明.
六、解答题本题8分.25.某书店老板去图书批发市场购买某种图书,第一次用1200元购书若干本,并按该书定价7元出售,很快售完;由于该书畅销,第二次购书时,每本书的进价是第一次进价的
1.2倍,他用1500元所购该书数量比第一次多10本;当按定价售出200本时,出现滞销,便以定价的4折售完剩余的书.
(1)求出第一次购书的进价是多少元?
(2)试问该老板这两次售书总体上是赔钱了,还是赚钱了(不考虑其它因素)?若赔钱,赔多少?若赚钱,赚多少?
七、解答题8分.26.如图1,在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,点E在AD上.
(1)求证BE=CE;
(2)如图2,若BE的延长线交AC于点F,且BF⊥AC,垂足为F,∠BAC=45°,原题设其它条件不变.求证△AEF≌△BCF. 2016-2017学年辽宁省抚顺市新宾县八年级(上)期末数学试卷参考答案与试题解析
一、选择题每小题2分,共20分.1.若分式有意义,则x应满足的条件是( )A.x≠0B.x≥3C.x≠3D.x≤3【考点】分式有意义的条件.【专题】压轴题.【分析】本题主要考查分式有意义的条件分母≠0.【解答】解∵x﹣3≠0,∴x≠3.故选C.【点评】本题考查的是分式有意义的条件.当分母不为0时,分式有意义. 2.若下列各组值代表线段的长度,能组成三角形的是( )A.
1、
2、
3.5B.
4、
5、9C.
5、
15、8D.
20、
15、8【考点】三角形三边关系.【专题】探究型.【分析】根据三角形两边之和大于第三边和两边之差小于第三边可以判断选项中的数据是否能组成三角形,本题得以解决.【解答】解∵1+2<
3.5,∴选项A中的数据不能组成三角形;∵4+5=9,∴选项B中的数据不能组成三角形;∵5+8<15∴选项C中的数据不能组成三角形;∵15+8>20∴选项D中的数据能组成三角形;故选D.【点评】本题考查三角形三边的关系,解题的关键是明确三角形两边之和大于第三边和两边之差小于第三边. 3.如果=3,则=( )A.B.xyC.4D.【考点】分式的基本性质.【专题】计算题.【分析】由=3,得x=3y,再代入所求的式子化简即可.【解答】解由=3,得x=3y,把x=3y代入==4,故选C.【点评】找出x、y的关系,代入所求式进行约分. 4.下列运算错误的是( )A.a8÷a3=a5B.(a2)3=a6C.a3•a4=a7D.(3a)2=6a2【考点】同底数幂的除法;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方.【分析】根据整式乘除的法则即可判断.【解答】解原式=9a2,故D错误;故选(D)【点评】本题考查整式的乘除,属于基础题型. 5.如图,已知∠1=∠2,要得到△ABD≌△ACD,还需从下列条件中补选一个,则错误的选法是( )A.AB=ACB.DB=DCC.∠ADB=∠ADCD.∠B=∠C【考点】全等三角形的判定.【分析】先要确定现有已知在图形上的位置,结合全等三角形的判定方法对选项逐一验证,排除错误的选项.本题中C、AB=AC与∠1=∠
2、AD=AD组成了SSA是不能由此判定三角形全等的.【解答】解A、∵AB=AC,∴,∴△ABD≌△ACD(SAS);故此选项正确;B、当DB=DC时,AD=AD,∠1=∠2,此时两边对应相等,但不是夹角对应相等,故此选项错误;C、∵∠ADB=∠ADC,∴,∴△ABD≌△ACD(ASA);故此选项正确;D、∵∠B=∠C,∴,∴△ABD≌△ACD(AAS);故此选项正确.故选B.【点评】本题考查了三角形全等的判定定理,普通两个三角形全等共有四个定理,即AAS、ASA、SAS、SSS,但SSA无法证明三角形全等. 6.货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同,已知小车每小时比货车多行驶20千米,求两车的速度各为多少?设货车的速度为x千米/小时,依题意列方程正确的是( )A.B.C.D.【考点】由实际问题抽象出分式方程.【分析】题中等量关系货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同,列出关系式.【解答】解根据题意,得.故选C.【点评】理解题意是解答应用题的关键,找出题中的等量关系,列出关系式. 7.如图所示的正方形网格中,网格线的交点称为格点.已知A、B是两格点,如果C也是图中的格点,且使得△ABC为等腰三角形,则点C的个数是( )A.6B.7C.8D.9【考点】等腰三角形的判定.【专题】分类讨论.【分析】根据题意,结合图形,分两种情况讨论
①AB为等腰△ABC底边;
②AB为等腰△ABC其中的一条腰.【解答】解如上图分情况讨论.
①AB为等腰△ABC底边时,符合条件的C点有4个;
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时,符合条件的C点有4个.故选C.【点评】本题考查了等腰三角形的判定;解答本题关键是根据题意,画出符合实际条件的图形,再利用数学知识来求解.数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想. 8.已知a+b=3,ab=2,则a2+b2的值为( )A.1B.5C.6D.13【考点】完全平方公式.【分析】根据完全平方公式即可求出答案.【解答】解∵(a+b)2=a2+2ab+b2,∴32=a2+b2+2×2,∴a2+b2=9﹣4=5故选(B)【点评】本题考查完全平方公式,属于基础题型. 9.下列多项式不能用平方差分解因式的是( )A.
0.36a2﹣
0.04b2B.x2﹣16C.﹣a2+b2+c2D.﹣x2+y2【考点】因式分解-运用公式法.【分析】利用平方差公式判断即可得到正确的选项.【解答】解A、
0.36a2﹣
0.04b2=(
0.6a+
0.2b)(
0.6a﹣
0.2b),能分解因式,本选项不符合题意;B、x2﹣16=(x+4)(x﹣4),本选项不合题意;C、﹣a2+b2+c2无法分解因式,本选项符合题意;D、﹣x2+y2=(y+x)(y﹣x),本选项不合题意;故选C.【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法,熟练掌握平方差公式是解本题的关键. 10.若关于x的方程=3的解是正数,则m的取值是( )A.m>﹣6B.m>﹣6且m≠0C.m>﹣6且m≠﹣4D.m>﹣6且m≠2【考点】分式方程的解;解一元一次不等式.【分析】根据解分式方程,可得分式方程的解,根据分式方程的解是正数,可得不等式,根据解不等式,可得答案.【解答】解两边都乘以(x﹣2),得2x+m=3x﹣6,解得x=m+6,由分式方程的意义,得m+6﹣2≠0,解得m≠=﹣4.由关于x的方程=3的解是正数,得m+6>0,解得m>﹣6,m的取值范围是m>﹣6且m≠﹣4,故选C.【点评】本题考查了分式方程的解,利用方程的解得出不等式是解题关键,注意方程的解要使方程有意义.
二、填空题每小题2分,共16分.11.如图,在△ABC中,AC=BC,△ABC外角∠ACE=120°,则∠B= 60° .【考点】等腰三角形的性质.【分析】根据等角对等边的性质可得∠A=∠B,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解.【解答】解∵AC=BC,∴∠A=∠B,∵∠A+∠B=∠ACE,∴∠B=∠ACE=×120°=60°.故答案为60°.【点评】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,等边对等角的性质,是基础题,熟记性质并准确识图是解题的关键. 12.已知A(a,2)和B(1,b)关于x轴对称,则(a+b)2016= 1 .【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标.【分析】根据“关于x轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相反数”求出a、b的值,然后代入代数式进行计算即可得解.【解答】解∵A(a,2)和B(1,b)关于x轴对称,∴a=1,b=﹣2,所以,(a+b)2016=(1﹣2)2016=1.故答案为1.【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标,解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律
(1)关于x轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相反数;
(2)关于y轴对称的点,纵坐标相同,横坐标互为相反数. 13.如图,△ABC中,∠C=90°,∠ABC=60°,BD平分∠ABC,若AD=6,则CD= 3 .【考点】含30度角的直角三角形.【分析】由于∠C=90°,∠ABC=60°,可以得到∠A=30°,又由BD平分∠ABC,可以推出∠CBD=∠ABD=∠A=30°,∴BD=AD=6,再由30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求出结果.【解答】解∵∠C=90°,∠ABC=60°,∴∠A=30°,∵BD平分∠ABC,∴∠CBD=∠ABD=∠A=30°,∴BD=AD=6,∴CD=BD=6×=3.故答案为3.【点评】本题利用了直角三角形的性质和角的平分线的性质求解. 14.已知x2+mx+9是完全平方式,则常数m等于 ±6 .【考点】完全平方式.【分析】完全平方式有a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2两个,根据已知得出mx=±2•x•3,求出即可.【解答】解x2+mx+9=x2+mx+32,∵x2+mx+9是完全平方式,∴mx=±2•x•3,解得m=±6,故答案为±6.【点评】本题考查了对完全平方式的应用,能求出符合的两个值是解此题的关键,注意完全平方式有a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2两个. 15.如图,在△ABC中,AC=4cm,线段AB的垂直平分线交AC于点N,△BCN的周长是7cm,则BC的长为 3 cm.【考点】线段垂直平分线的性质.【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到NB=NA,根据三角形的周长公式计算即可.【解答】解∵线段AB的垂直平分线交AC于点N,∴NB=NA,△BCN的周长=BC+CN+BN=7cm,∴BC+AC=7cm,又AC=4cm,∴BC=3cm,故答案为3.【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质,掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键. 16.从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形后,将其裁成四个相同的等腰梯形(如图甲),然后拼成一个平行四边形(如图乙).那么通过计算阴影部分的面积可以验证公式 a2﹣b2=(a+b)(a﹣b) .【考点】平方差公式的几何背景.【专题】计算题.【分析】左边阴影的面积等于边长为a的正方形面积减去边长为b的正方形面积,即a2﹣b2,右边平行四边形底边为a+b,高为a﹣b,即面积=(a+b)(a﹣b),两面积相等所以等式成立.【解答】解a2﹣b2=(a+b)(a﹣b).【点评】本题主要考查了平方差公式,运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键. 17.两位同学将一个二次三项式分解因式,一位同学因看错了一次项系数而分解成2(x﹣1)(x﹣9);另一位同学因看错了常数项分解成2(x﹣2)(x﹣4),请你将原多项式因式分解正确的结果写出来 2(x﹣3)2 .【考点】因式分解-运用公式法;多项式乘多项式.【分析】根据多项式的乘法将2(x﹣1)(x﹣9)展开得到二次项、常数项;将2(x﹣2)(x﹣4)展开得到二次项、一次项.从而得到原多项式,再对该多项式提取公因式2后利用完全平方公式分解因式.【解答】解∵2(x﹣1)(x﹣9)=2x2﹣20x+18;2(x﹣2)(x﹣4)=2x2﹣12x+16;∴原多项式为2x2﹣12x+18.2x2﹣12x+18=2(x2﹣6x+9)=2(x﹣3)2.【点评】根据错误解法得到原多项式是解答本题的关键.二次三项式分解因式,看错了一次项系数,但二次项、常数项正确;看错了常数项,但二次项、一次项正确. 18.如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,AD平分∠BAC,BE⊥AD交AC的延长线于F,E为垂足,则结论
①AC+CD=AB;
②AD=BF;
③BF=2BE;
④BE=CF.其中正确的结论是
①②③ .【考点】全等三角形的判定与性质;角平分线的性质.【分析】根据BC=AC,∠ACB=90°可知∠CAB=∠ABC=45°,再由AD平分∠BAC可知∠BAE=∠EAF=
22.5°,在Rt△ACD与Rt△BFC中,∠EAF+∠F=90°,∠FBC+∠F=90°,可求出∠EAF=∠FBC,由BC=AC可求出Rt△ADC≌Rt△BFC,故可求出AD=BF;故
②正确;由△ADC≌△BFC可知,CF=CD,故AC+CD=AC+CF=AF,∠CBF=∠EAF=
22.5°,在Rt△AEF中,∠F=90°﹣∠EAF=
67.5°,根据∠CAB=45°可知,∠ABF=180°﹣∠EAF﹣∠CAB=
67.5°,即可求出AF=AB,即AC+CD=AB故
①正确;由ABF是等腰三角形,由于BE⊥AD,故BE=BF,在Rt△BCF中,若BE=CF,则∠CBF=30°,与
②中∠CBF=
22.5°相矛盾,故BE≠CF;故
④错误;由ABF是等腰三角形,由于BE⊥AD,根据等腰三角形三线合一的性质即可得到BF=2BE,故
③正确.【解答】解∵BC=AC,∠ACB=90°,∴∠CAB=∠ABC=45°,∵AD平分∠BAC,∴∠BAE=∠EAF=
22.5°,∵在Rt△ACD与Rt△BFC中,∠EAF+∠F=90°,∠FBC+∠F=90°,∴∠EAF=∠FBC,在△ADC与△BFC中,,∴△ADC≌△BFC,∴AD=BF,故
②正确;∵△ADC≌△BFC,∴CF=CD,AC+CD=AC+CF=AF,∵∠CBF=∠EAF=
22.5°,∴在Rt△AEF中,∠F=90°﹣∠EAF=
67.5°,∵∠CAB=45°,∴∠ABF=180°﹣∠F﹣∠CAB=180°﹣
67.5°﹣45°=
67.5°,∴AF=AB,即AC+CD=AB,故
①正确;∵△ABF是等腰三角形,∵BE⊥AD,∴BE=BF,∵在Rt△BCF中,若BE=CF,则∠CBF=30°,与
②中∠CBF=
22.5°相矛盾,故BE≠CF,故
④错误;∵△ABF是等腰三角形,BE⊥AD,∴BF=2BE,故
③正确.故选A.【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质,线段垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质,熟知线段垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质是解答此题的关键.
三、计算题每题4分,共16分.19.
(1)分解因式a2(a+3)﹣4(a+3);
(2)计算﹣32×(3﹣π)0+()﹣2.【考点】实数的运算;提公因式法与公式法的综合运用;零指数幂;负整数指数幂.【分析】
(1)根据提公因式法,可分解因式;
(2)根据实数的运算,可得答案.【解答】
(1)解原式=(a+3)(a2﹣4)=(a+3)(a+2(a﹣2)
(2)=﹣9×1+9=0.【点评】本题考查了因式分解,利用提公因式与平方差公式是解题关键. 20.
(1)解方程﹣1=;
(2)先化简,再求值(﹣)÷,其中x从﹣
1、
1、﹣
2、﹣3中选出你认为合理的数代入化简后的式子中求值.【考点】解分式方程;分式的化简求值.【专题】计算题;分式;分式方程及应用.【分析】
(1)分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解;
(2)原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,同时利用除法法则变形,约分得到最简结果,把x=﹣3代入计算即可求出值.【解答】解
(1)方程两边同乘(4﹣x),得(x﹣3)﹣(4﹣x)=﹣1,解得x=3,经检验x=3是分式方程的解;
(2)原式=•=•=,当x=﹣3时,原式=2.【点评】此题考查了解分式方程,利用了转化的思想,解分式方程注意要检验.
四、操作题每题5分,共10分.21.如图,在平面直角坐标系xOy中,A(2,4),B(1,1),C(3,2).
(1)求出△ABC的面积;
(2)作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1.【考点】作图-轴对称变换.【分析】
(1)直接利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案;
(2)利用关于y轴对称点的性质得出对应点坐标,进而得出答案.【解答】解
(1)S△ABC=2×3﹣×1×3﹣×1×2﹣×1×2=;
(2)如图所示△A1B1C1,即为所求.【点评】此题主要考查了轴对称变换以及三角形面积求法,正确得出对应点位置是解题关键. 22.如图,某校准备在校内一块四边形ABCD草坪内栽上一颗银杏树,要求银杏树的位置点P到边AB,BC的距离相等,并且点P到点A,D的距离也相等,请用尺规作图作出银杏树的位置点P(不写作法,保留作图痕迹)【考点】作图—应用与设计作图.【分析】首先作出∠ABC的角平分线进而作出线段AD的垂直平分线,即可得出其交点P的位置.【解答】解如图所示P点即为所求.【点评】此题主要考查了应用设计与作图,正确掌握角平分线以及线段垂直平分线的性质是解题关键.
五、解答题第23题5分,第24题7分,共12分.23.一个多边形的内角和与外角和的差为900°,求它的边数.【考点】多边形内角与外角.【分析】需先根据已知条件,再根据多边形的外角和是360°,解出内角和的度数,再根据内角和度数的计算公式即可求出边数.【解答】解设这是一个n边形,则180(n﹣2)﹣360=900,解得n=10答这是一个十边形.【点评】本题主要考查了多边形内角与外角,在解题时要根据外角和的度数以及内角和度数的计算公式解出本题即可. 24.如图△ADF和△BCE中,∠A=∠B,点D、E、F、C在同一直线上,有如下三个关系式
①AD=BC;
②DE=CF;
③BE∥AF.请用其中两个关系式作为条件,另一个作为结论,写出1个你认为正确的命题.(用序号写出命题书写形式,如如果
①、
②,那么
③)并证明.【考点】命题与定理.【分析】对于“如果
①,
③,那么
②”进行证明,根据平行线的性质得到∠AFD=∠BEC,因为AD=BC,∠A=∠B,利用AAS判定△ADF≌△BCE,得到DF=CE,即得到DE=CF.【解答】解“如果
①,
③,那么
②”,证明∵BE∥AF,∴∠AFD=∠BEC.∵AD=BC,∠A=∠B,∴△ADF≌△BCE.∴DF=CE.∴DF﹣EF=CE﹣EF.即DE=CF.对于“如果
②,
③,那么
①”证明如下∵BE∥AF,∴∠AFD=∠BEC.∵DE=CF,∴DE+EF=CF+EF.即DF=CE.∵∠A=∠B,∴△ADF≌△BCE.∴AD=BC.【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的理解及运用,常用的判定方法有SSS,SAS,ASA,AAS、HL等.编题然后选择,最后进行证明是现在比较多的一种考题,要注意掌握.
六、解答题本题8分.25.某书店老板去图书批发市场购买某种图书,第一次用1200元购书若干本,并按该书定价7元出售,很快售完;由于该书畅销,第二次购书时,每本书的进价是第一次进价的
1.2倍,他用1500元所购该书数量比第一次多10本;当按定价售出200本时,出现滞销,便以定价的4折售完剩余的书.
(1)求出第一次购书的进价是多少元?
(2)试问该老板这两次售书总体上是赔钱了,还是赚钱了(不考虑其它因素)?若赔钱,赔多少?若赚钱,赚多少?【考点】分式方程的应用.【分析】
(1)设第一次购书的单价为x元,根据第一次用1200元购书若干本,第二次购书时,每本书的批发价已比第一次提高了20%,他用1500元所购该书的数量比第一次多10本,列出方程,求出x的值即可得出答案;
(2)根据
(1)先求出第一次和第二次购书数目,再根据卖书数目×(实际售价﹣当次进价)求出二次赚的钱数,再分别相加即可得出答案.【解答】解
(1)设第一次购书的单价为x元,则第二次购书的进价为
1.2x元.根据题意得+10=,解得x=5.经检验,x=5是原方程的解,答第一次购书的进价是5元;
(2)第一次购书为=240(本)第二次购书为240+10=250(本),第一次赚钱为240×(7﹣5)=480(元),第二次赚钱为200×(7﹣5×
1.2)+50×(7×
0.4﹣5×
1.2)=40(元),所以两次共赚钱480+40=520(元),答该老板两次售书总体上是赚钱了,共赚了520元.【点评】此题考查了分式方程的应用,掌握这次活动的流程,分析题意,找到关键描述语,找到合适的等量关系是解决问题的关键.
七、解答题8分.26.如图1,在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,点E在AD上.
(1)求证BE=CE;
(2)如图2,若BE的延长线交AC于点F,且BF⊥AC,垂足为F,∠BAC=45°,原题设其它条件不变.求证△AEF≌△BCF.【考点】全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质.【专题】证明题.【分析】
(1)根据等腰三角形三线合一的性质可得∠BAE=∠EAC,然后利用“边角边”证明△ABE和△ACE全等,再根据全等三角形对应边相等证明即可;
(2)先判定△ABF为等腰直角三角形,再根据等腰直角三角形的两直角边相等可得AF=BF,再根据同角的余角相等求出∠EAF=∠CBF,然后利用“角边角”证明△AEF和△BCF全等即可.【解答】证明
(1)∵AB=AC,D是BC的中点,∴∠BAE=∠EAC,在△ABE和△ACE中,,∴△ABE≌△ACE(SAS),∴BE=CE;
(2)∵∠BAC=45°,BF⊥AF,∴△ABF为等腰直角三角形,∴AF=BF,∵AB=AC,点D是BC的中点,∴AD⊥BC,∴∠EAF+∠C=90°,∵BF⊥AC,∴∠CBF+∠C=90°,∴∠EAF=∠CBF,在△AEF和△BCF中,,∴△AEF≌△BCF(ASA).【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质,等腰三角形三线合一的性质,等腰直角三角形的判定与性质,同角的余角相等的性质,是基础题,熟记三角形全等的判定方法与各性质是解题的关键.。