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福建省泉州市晋江市安海片区2015-2016学年八年级(上)期末数学试卷
一、选择题1.化简的结果是( )A.8B.4C.﹣2D.22.下列计算正确的是( )A.(a2)3=a6B.a2•a3=a6C.(ab)2=ab2D.a6÷a2=a33.以下各组数为边长的三角形中,能组成直角三角形的是( )A.1,2,3B.2,3,4C.3,4,5D.4,5,64.如图,把直角边长分别为1和2的Rt△ABO的直角边OB放在数轴上,以点O为圆心以OA为半径画弧交数轴于点P,则点P表示的数是( )A.2B.
2.2C.D.5.把多项式5x3﹣5x进行因式分解正确的结果是( )A.5x3﹣5x=5(x3﹣x)B.5x3﹣5x=5x(x2﹣1)C.5x3﹣5x=5x(x+1)(x﹣1)D.5x3﹣5x=5x2(1+)(x﹣1)6.如图,OC平分∠AOB,点P是射线OC上的一点,PD⊥OB于点D,且PD=3,动点Q在射线OA上运动,则线段PQ的长度不可能是( )A.2B.3C.4D.57.已知如图,△ACB的面积为30,∠C=90°,BC=a,AC=b,正方形ADEB的面积为169,则(a﹣b)2的值为( )A.25B.49C.81D.100
二、填空题8.16的算术平方根是 .9.计算6a2b÷2a= .10.比较大小 3(填写“<”或“>”).11.用反证法证明“∠A≥60°”时,应假设 .12.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,∠BAC=50°,则∠BAD= °.13.命题“周长相等的两个三角形全等”是 命题.(填“真”或“假”)14.如图,在4×4的网格图中,小正方形的边长为1,则图中用字母表示的四条线段中长度为的线段是 .15.如图,在△ABC中,AC的垂直平分线交AB于点E,D为垂足,连接EC.若∠A=30°,则∠BEC= °.16.若多项式x2﹣6x+2k可分解成一个完全平方式,则实数k= .17.如图,在长方形ABCD中,把△BCD沿对角线BD折叠得到△BED,线段BE与AD相交于点P,若AB=2,BC=4.
(1)BD= ;
(2)点P到BD的距离是 .
三、解答题(共89分)18.计算18a6b4÷3a2b+a2•(﹣5a2b3).19.计算(x﹣7)(x+3)﹣x(x﹣2).20.分解因式4x3﹣4x2+x.21.先化简,再求值(2x﹣y)2+(6x3﹣8x2y+4xy2)÷(﹣2x),其中,y=﹣2.22.已知如图,点B、F、C、E在一条直线上,BF=CE,AC=DF,且AC∥DF.求证△ABC≌△DEF.23.某校研究性学习小组以“学生到学校交通工具类型”为主题对全校学生进行随机抽样调查,调查的项目有公共汽车、小车、摩托车、自行车、其它(2015秋•晋江市期末)如图,在△ABC中,△ABC的角平分线OB与角平分线OC相交于点O,过点O作MN∥BC,分别交AB、AC于点M、N.
(1)请写出图中所有的等腰三角形;
(2)若AB+AC=14,求△AMN的周长.25.(12分)(2015秋•晋江市期末)如图
①,现有一张三角形ABC纸片,沿BC边上的高AE所在的直线翻折,使得点C与BC边上的点D重合.
(1)填空△ADC是 三角形;
(2)若AB=15,AC=13,BC=14,求BC边上的高AE的长;
(3)如图
②,若∠DAC=90°,试猜想BC、BD、AE之间的数量关系,并加以证明.26.(14分)(2015秋•晋江市期末)在小学,我们知道正方形具有性质“四条边都相等,四个内角都是直角”,请适当利用上述知识,解答下列问题已知如图,在正方形ABCD中,AB=4,点G是射线AB上的一个动点,以DG为边向右作正方形DGEF,作EH⊥AB于点H.
(1)填空∠AGD+∠EGH= °;
(2)若点G在点B的右边.
①求证△DAG≌△GHE;
②试探索EH﹣BG的值是否为定值,若是,请求出定值;若不是,请说明理由.
(3)连接EB,在G点的整个运动(点G与点A重合除外)过程中,求∠EBH的度数;若点G是直线AB上的一个动点,其余条件不变,请直接写出点A与点F之间距离的最小值. 2015-2016学年福建省泉州市晋江市安海片区八年级(上)期末数学试卷参考答案与试题解析
一、选择题1.化简的结果是( )A.8B.4C.﹣2D.2【考点】立方根.【分析】根据立方根的定义,即可解答.【解答】解=2,故选D.【点评】本题考查了立方根,解决本题的关键是熟记立方根的定义. 2.下列计算正确的是( )A.(a2)3=a6B.a2•a3=a6C.(ab)2=ab2D.a6÷a2=a3【考点】同底数幂的除法;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方.【分析】依据幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方以及同底数幂的除法法则计算即可.【解答】解A、(a2)3=a6,故A正确;B、a2•a3=a5,故B错误;C、(ab)2=a2b2,故C错误;D、a6÷a2=a4,故D错误.故选A.【点评】本题主要考查的是幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方以及同底数幂的除法法则的应用,熟练掌握相关法则是解题的关键. 3.以下各组数为边长的三角形中,能组成直角三角形的是( )A.1,2,3B.2,3,4C.3,4,5D.4,5,6【考点】勾股定理的逆定理.【分析】根据勾股定理的逆定理进行分析,从而得到三角形的形状.【解答】解A、不能,因为12+22≠32;B、不能,因为22+32≠42;C、能,因为32+42=52;D、不能,因为42+52≠62.故选C.【点评】解答此题要用到勾股定理的逆定理已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2,则三角形ABC是直角三角形. 4.如图,把直角边长分别为1和2的Rt△ABO的直角边OB放在数轴上,以点O为圆心以OA为半径画弧交数轴于点P,则点P表示的数是( )A.2B.
2.2C.D.【考点】勾股定理;实数与数轴.【分析】利用勾股定理列式求出AC,然后根据数轴写出点P所表示的数即可.【解答】解∵Rt△ABO的BA为2,OB为1,∴由勾股定理得,AO==,∴OP=,∴点P表示的数是.故选D.【点评】本题考查了勾股定理,实数与数轴,主要是无理数在数轴上的表示,熟记定理是解题的关键. 5.把多项式5x3﹣5x进行因式分解正确的结果是( )A.5x3﹣5x=5(x3﹣x)B.5x3﹣5x=5x(x2﹣1)C.5x3﹣5x=5x(x+1)(x﹣1)D.5x3﹣5x=5x2(1+)(x﹣1)【考点】提公因式法与公式法的综合运用.【分析】原式提取5x,再利用平方差公式分解即可.【解答】解原式=5x(x2﹣1)=5x(x+1)(x﹣1),故选C【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键. 6.如图,OC平分∠AOB,点P是射线OC上的一点,PD⊥OB于点D,且PD=3,动点Q在射线OA上运动,则线段PQ的长度不可能是( )A.2B.3C.4D.5【考点】角平分线的性质.【分析】过点P作PE⊥OA于E,根据角平分线上的点到脚的两边距离相等可得PE=PD,再根据垂线段最短解答.【解答】解如图,过点P作PE⊥OA于E,∵OC平分∠AOB,PD⊥OB,∴PE=PD=3,∵动点Q在射线OA上运动,∴PQ≥3,∴线段PQ的长度不可能是2.故选A.【点评】本题考查了角平分线上的点到脚的两边距离相等的性质,垂线段最短的性质,是基础题,熟记性质是解题的关键. 7.已知如图,△ACB的面积为30,∠C=90°,BC=a,AC=b,正方形ADEB的面积为169,则(a﹣b)2的值为( )A.25B.49C.81D.100【考点】勾股定理.【分析】首先利用勾股定理和正方形面积公式计算出a2+b2,然后再利用三角形的面积公式可得ab,再根据完全平方公式将(a﹣b)2变形即可得到答案.【解答】解∵△ACB的面积为30,∴ab=30,∵∠C=90°,BC=a,AC=b,正方形ADEB的面积为169,∴a2+b2=169,∴(a﹣b)2=a2+b2﹣2ab=169﹣120=49.故选B.【点评】考查了勾股定理,关键是掌握在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.同时考查了三角形面积计算.
二、填空题8.16的算术平方根是 4 .【考点】算术平方根.【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果.【解答】解∵42=16,∴=4.故答案为4.【点评】此题主要考查了算术平方根的定义.一个正数的算术平方根就是其正的平方根. 9.计算6a2b÷2a= 3ab .【考点】整式的除法.【分析】根据单项式除单项式的法则计算,再根据系数相等,相同字母的次数相同列式求解即可.【解答】解原式=3ab.故答案是3ab.【点评】本题考查了单项式的除法法则,正确理解法则是关键. 10.比较大小 < 3(填写“<”或“>”).【考点】实数大小比较.【分析】首先把两个数分别平方,然后比较平方的结果即可比较大小.【解答】解∵7<9,∴<3.故答案为<.【点评】此题主要考查了实数的大小的比较,比较两个实数的大小,可以采用作差法、取近似值法等.实数大小比较法则
(1)正数大于0,0大于负数,正数大于负数;
(2)两个负数,绝对值大的反而小. 11.用反证法证明“∠A≥60°”时,应假设 ∠A<60° .【考点】反证法.【分析】根据反证法的步骤,假设出结论不成立,解答即可.【解答】证明假设∠A<60°,故答案为∠A<60°.【点评】本题考查了反证法,反证法的步骤是
(1)假设结论不成立;
(2)从假设出发推出矛盾;
(3)假设不成立,则结论成立.在假设结论不成立时,要注意考虑结论的反面所有可能的情况,如果只有一种,那么否定一种就可以了,如果有多种情况,则必须一一否定. 12.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,∠BAC=50°,则∠BAD= 25 °.【考点】等腰三角形的性质.【分析】等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合,依此即可求解.【解答】解∵在△ABC中,AB=AC、AD⊥BC、∴AD是△ABC的角平分线,∵∠BAC=50°,∴∠BAD=∠BAC=25°.故答案为25.【点评】本题考查了等腰三角形三线合一的性质,题目难度不大,属于定理的直接应用. 13.命题“周长相等的两个三角形全等”是 假 命题.(填“真”或“假”)【考点】命题与定理.【分析】根据全等三角形的判定方法可判定命题的真假.【解答】解命题“周长相等的两个三角形全等”是假命题.如边长分别为
3、
4、5的直角三角形与边长为4的等边三角形周长相等,但它们不全等.故答案为假.【点评】本题考查了命题与定理判断一件事情的语句,叫做命题.许多命题都是由题设和结论两部分组成,题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项,一个命题可以写成“如果…那么…”形式.有些命题的正确性是用推理证实的,这样的真命题叫做定理. 14.如图,在4×4的网格图中,小正方形的边长为1,则图中用字母表示的四条线段中长度为的线段是 AD .【考点】勾股定理.【分析】根据勾股定理求出各条线段的长即可求解.【解答】解由图可知,AB==;AC==;AD==;AE==.故答案为AD.【点评】本题考查的是勾股定理,熟知在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键. 15.如图,在△ABC中,AC的垂直平分线交AB于点E,D为垂足,连接EC.若∠A=30°,则∠BEC= 60 °.【考点】线段垂直平分线的性质.【分析】由中垂线的性质可得出∠A=∠ECD=30°,从而根据∠BEC=∠A+∠ECD可得出答案.【解答】解∵ED垂直平分AC,∴AE=CE,∴∠A=∠ECD=30°,∴∠BEC=∠A+∠ECD=60°,故答案为60【点评】此题考查了中垂线的性质,属于基础性质的应用,解答本题的关键是根据中垂线的性质得出∠A=∠ECD=30°. 16.若多项式x2﹣6x+2k可分解成一个完全平方式,则实数k= .【考点】完全平方式.【分析】原式利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值.【解答】解∵多项式x2﹣6x+2k可分解成一个完全平方式,∴2k=9,解得k=.故答案为.【点评】此题考查了完全平方式,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键. 17.如图,在长方形ABCD中,把△BCD沿对角线BD折叠得到△BED,线段BE与AD相交于点P,若AB=2,BC=4.
(1)BD= (或) ;
(2)点P到BD的距离是 (或) .【考点】翻折变换(折叠问题).【分析】
(1)由勾股定理直接得出;
(2)设AP=x,证出△ABP≌△EDP,可知EP=x,PD=8﹣x,根据翻折不变性,可知ED=DC=AB=2,然后在Rt△PED中,利用勾股定理求出x,再由三角形的面积即可求出结论.【解答】解
(1)∵四边形ABCD是长方形,∴∠C=90°,∴BD===2,故答案为2;
(2)在△APB与△DEP中,,∴△APB≌△DEP,∴AP=EP,设AP=x,可知EP=x,PD=4﹣x,∴在Rt△PED中,x2+22=(4﹣x)2,解得x=.即AP=,∴PD=4﹣=,∴△BDP的面积=××2=×2•点P到BD的距离,∴点P到BD的距离=,故答案为.【点评】本题主要考查的是翻折的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理的应用,在△ADP中利用勾股定理列出关于x的方程是解题的关键.
三、解答题(共89分)18.计算18a6b4÷3a2b+a2•(﹣5a2b3).【考点】整式的除法;单项式乘单项式.【分析】直接利用整式的除法运算法则以及单项式乘以单项式运算法则求出答案.【解答】解原式=6a4b3﹣5a4b3=a4b3.【点评】此题主要考查了整式的混合运算以及单项式乘以单项式,正确掌握运算法则是解题关键. 19.计算(x﹣7)(x+3)﹣x(x﹣2).【考点】多项式乘多项式;单项式乘多项式.【分析】原式利用多项式乘以多项式,单项式乘以多项式法则计算即可得到结果.【解答】解原式=x2﹣4x﹣21﹣x2+2x=﹣2x﹣21.【点评】此题考查了多项式乘多项式,以及单项式乘多项式,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 20.分解因式4x3﹣4x2+x.【考点】提公因式法与公式法的综合运用.【分析】原式提取公因式,再利用完全平方公式分解即可.【解答】解原式=x(4x2﹣4x+1)=x(2x﹣1)2.【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键. 21.先化简,再求值(2x﹣y)2+(6x3﹣8x2y+4xy2)÷(﹣2x),其中,y=﹣2.【考点】整式的混合运算—化简求值.【分析】原式利用完全平方公式,以及多项式乘以单项式法则计算,去括号合并得到最简结果,把x与y的值代入计算即可求出值.【解答】解原式=4x2﹣4xy+y2﹣3x2+4xy﹣2y2=x2﹣y2,当x=,y=﹣2时,原式=﹣4=﹣.【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 22.已知如图,点B、F、C、E在一条直线上,BF=CE,AC=DF,且AC∥DF.求证△ABC≌△DEF.【考点】全等三角形的判定.【分析】求出BC=FE,∠ACB=∠DFE,根据SAS推出全等即可.【解答】证明∵BF=CE,∴BF+FC=CE+FC,∴BC=FE,∵AC∥DF,∴∠ACB=∠DFE,在△ABC和△DEF中,,∴△ABC≌△DEF(SAS).【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用,能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键,注意全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS. 23.某校研究性学习小组以“学生到学校交通工具类型”为主题对全校学生进行随机抽样调查,调查的项目有公共汽车、小车、摩托车、自行车、其它(2015秋•晋江市期末)如图,在△ABC中,△ABC的角平分线OB与角平分线OC相交于点O,过点O作MN∥BC,分别交AB、AC于点M、N.
(1)请写出图中所有的等腰三角形;
(2)若AB+AC=14,求△AMN的周长.【考点】等腰三角形的判定.【分析】
(1)由OB平分∠ABC,得到∠MBO=∠OBC,根据平行线的性质得到∠MOB=∠OBC,等量代换得到∠MBO=∠MOB,于是得到结论;
(2)由OB平分∠ABC,得到∠MBO=∠OBC,根据平行线的性质得到∠MOB=∠OBC,等量代换得到∠MBO=∠MOB,得到MO=MB,同理可证ON=NC,根据周长的计算公式得到结论.【解答】解
(1)△MBO和△NOC是等腰三角形,∵OB平分∠ABC,∴∠MBO=∠OBC,∵MN∥BC,∴∠MOB=∠OBC,∴∠MBO=∠MOB,∴MO=MB,同理可证ON=NC,∴△MBO和△NOC是等腰三角形;
(2)∵OB平分∠ABC,∴∠MBO=∠OBC,∵MN∥BC,∴∠MOB=∠OBC,∴∠MBO=∠MOB,∴MO=MB,同理可证ON=NC,∵△AMN的周长=AM+MO+ON+AN,∴△AMN的周长=AM+MB+AN+NC=AB+AC=14.【点评】本题考查了等腰三角形的判定,平行线的性质,三角形周长的计算,熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键. 25.(12分)(2015秋•晋江市期末)如图
①,现有一张三角形ABC纸片,沿BC边上的高AE所在的直线翻折,使得点C与BC边上的点D重合.
(1)填空△ADC是 等腰 三角形;
(2)若AB=15,AC=13,BC=14,求BC边上的高AE的长;
(3)如图
②,若∠DAC=90°,试猜想BC、BD、AE之间的数量关系,并加以证明.【考点】三角形综合题.【分析】
(1)根据折叠得到AD=AC,所以△ADC是等腰三角形;
(2)设CE=x,利用勾股定理得到方程132﹣x2=152﹣(14﹣x)2解得x=5,在Rt△AEC中,由勾股定理即可解答;
(3)猜想BC、BD、AE之间的数量关系为BC﹣BD=2AE.由△ADC是等腰三角形,又∠DAC=90°,得到△ADC是等腰直角三角形又AE是CD边上的高,所以△AED与△AEC都是等腰直角三角形,即可得到CD=2AE.由BC﹣BD=CD,即可解答.【解答】解
(1)∵三角形ABC纸片,沿BC边上的高AE所在的直线翻折,使得点C与BC边上的点D重合.∴AD=AC,∴△ADC是等腰三角形;故答案为等腰.
(2)设CE=x,则BE=14﹣x,在Rt△AEC中,由勾股定理得AE2=AC2﹣CE2,∴AE2=132﹣x2在Rt△ABE中,由勾股定理得AE2=AB2﹣BE2,∴AE2=152﹣(14﹣x)2∴132﹣x2=152﹣(14﹣x)2解得x=5,在Rt△AEC中,由勾股定理得.
(3)猜想BC、BD、AE之间的数量关系为BC﹣BD=2AE.证明如下由
(1)得△ADC是等腰三角形,又∠DAC=90°,∴△ADC是等腰直角三角形又AE是CD边上的高,∴DE=CE,,∴△AED与△AEC都是等腰直角三角形,∴DE=AE=EC,即CD=2AE.∵BC﹣BD=CD∴BC﹣BD=2AE.【点评】本题考查了等腰三角形的性质定理与判定定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理,解决本题的根据是判定△ADC是等腰三角形和勾股定理的应用. 26.(14分)(2015秋•晋江市期末)在小学,我们知道正方形具有性质“四条边都相等,四个内角都是直角”,请适当利用上述知识,解答下列问题已知如图,在正方形ABCD中,AB=4,点G是射线AB上的一个动点,以DG为边向右作正方形DGEF,作EH⊥AB于点H.
(1)填空∠AGD+∠EGH= 90 °;
(2)若点G在点B的右边.
①求证△DAG≌△GHE;
②试探索EH﹣BG的值是否为定值,若是,请求出定值;若不是,请说明理由.
(3)连接EB,在G点的整个运动(点G与点A重合除外)过程中,求∠EBH的度数;若点G是直线AB上的一个动点,其余条件不变,请直接写出点A与点F之间距离的最小值.【考点】四边形综合题.【分析】
(1)根据正方形的性质得到∠DGE=90°,由平角的定义即可得到结论;
(2)
①根据垂直的定义得到∠GHE=90°,根据余角的性质得到∠GEH=∠AGD,根据正方形的性质得到∠DAG=90°,DG=GE,求得∠DAG=∠GHE,根据全等三角形的判定定理即可得到结论;
②根据全等三角形的性质得到AG=EH,根据线段的和差即可得到结论;
(3)下面分两种情况讨论(I)当点G在点B的左侧时,如图1,根据全等三角形的性质得到GH=DA=AB,EH=AG,于是得到GB+BH=AG+GB,推出△BHE是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质得到∠EBH=45°;(II)如图2,当点G在点B的右侧时,根据全等三角形的想知道的GH=DA=AB,EH=AG,于是得到AB+BG=BG+GH,推出△BHE是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质得到∠EBH=45°;(III)当点G与点B重合时,如图3,根据全等三角形的性质得到GH=DA=AB,EH=AG=AB,推出△GHE(即△BHE)是等腰直角三角形,于是得到∠EBH=45°即可得到结论.【解答】解
(1)∵四边形DGEF是正方形,∴∠DGE=90°,∴∠AGD+∠EGH=180°﹣∠DGE=90°,故答案为90;
(2)
①∵EH⊥AB,∴∠GHE=90°,∴∠GEH+∠EGH=90°,又∠AGD+∠EGH=90°,∴∠GEH=∠AGD,∵四边形ABCD与四边形DGEF都是正方形,∴∠DAG=90°,DG=GE,∴∠DAG=∠GHE,在△DAG和△GHE中,,∴△DAG≌△GHE(AAS);
②EH﹣BG的值是定值,理由如下由
①证得△DAG≌△GHE,∴AG=EH,又AG=AB+BG,AB=4,∴EH=AB+BG,EH﹣BG=AB=4;
(3)下面分两种情况讨论(I)当点G在点B的左侧时,如图1,同
(2)
①可证得△DAG≌△GHE,∴GH=DA=AB,EH=AG,∴GB+BH=AG+GB,∴BH=AG=EH,又∠GHE=90°∴△BHE是等腰直角三角形,∴∠EBH=45°;(II)如图2,当点G在点B的右侧时,由
(2)
①证得△DAG≌△GHE.∴GH=DA=AB,EH=AG,∴AB+BG=BG+GH,∴AG=BH,又EH=AG∴EH=HB,又∠GHE=90°∴△BHE是等腰直角三角形,∴∠EBH=45°;(III)当点G与点B重合时,如图3,同理可证△DAG≌△GHE,∴GH=DA=AB,EH=AG=AB,∴△GHE(即△BHE)是等腰直角三角形,∴∠EBH=45°综上,在G点的整个运动(点G与点A重合除外)过程中,∠EBH都等于45°,∴点A与点F之间距离的最小值为4.【点评】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的性质,证得△DAG≌△GHE是解题的关键.。