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2015-2016学年吉林省通化外国语学校八年级(下)期中数学试卷
一、选择题(每小题3分,共30分)1.下列二次根式中属于最简二次根式的是( )A.B.C.D.2.下列计算错误的是( )A.B.C.D.3.如果最简二次根式与是同类根式,那么a=( )A.1B.2C.3D.44.顺次连接对角线垂直的▱ABCD各边中点所得四边形必定是( )A.平行四边形B.菱形C.正方形D.矩形5.若成立,则a,b满足的条件是( )A.a<0且b>0B.a≤0且b≥0C.a<0且b≥0D.a,b异号6.矩形的两条对角线的夹角为60°,对角线长为15cm,较短边的长为( )A.12cmB.10cmC.
7.5cmD.5cm7.如图,在▱ABCD中,已知AD=5cm,AB=3cm,AE平分∠BAD交BC边于点E,则EC等于( )A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm8.如图,若圆柱的底面周长是30cm,高是40cm,从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处做装饰,则这条丝线的最小长度是( )A.80cmB.70cmC.60cmD.50cm9.如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠,点D落在点D′处,则重叠部分△AFC的面积为( )A.6B.8C.10D.1210.如图,正方形ABCD中,AE=AB,直线DE交BC于点F,则∠BEF=( )A.45°B.30°C.60°D.55°
二、填空题(本题有9个小题,17题4分,其它每小题3分,共28分)11.函数中x的取值范围是 .12.在实数范围内分解因式2x2﹣6= .13.已知x,y为实数,且+3(y﹣2)2=0,则的值为 .14.已知y=+﹣3,则x+y的值为 .15.如果直角三角形两条边长分别为3和4,那么第三条边长为 .16.小明想知道学校旗杆有多高,他发现旗杆上的绳子垂到地面还余1m,当他把绳子下端拉开5m后,发现下端刚好接触地面,则旗杆高度为 米.17.已知菱形的两条对角线长为8cm和6cm,那么这个菱形的周长是 cm,面积是 cm2.18.在平面直角坐标系中,点A(﹣1,0)与点B(0,2)的距离是 .19.如图,每个小正方形的边长为1,在△ABC中,点D为AB的中点,则线段CD的长为 .
三、解答题(共42分)20.计算
(1)﹣()2+(π+)0﹣+|﹣1|;
(2)(+)2﹣(+)(﹣).21.如图,在△ABC中,CD⊥AB于D,AC=4,BC=3,DB=.
(1)求CD,AD的值;
(2)判断△ABC的形状,并说明理由.22.已知如图,在▱ABCD中,E、F是对角线AC上的两点,且AE=CF.求证四边形BFDE是平行四边形.23.如图,已知平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E是BD延长线上的点,且△ACE是等边三角形.
(1)求证四边形ABCD是菱形;
(2)若∠AED=2∠EAD,求证四边形ABCD是正方形.24.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,∠C=30°,点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点,另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒(t>0),过点D作DF⊥BC于点F,连接DE、EF.
(1)求证AE=DF;
(2)填空当t= 秒时,四边形BEDF是矩形.
(3)四边形AEFD能够成为菱形吗?如果能,求出相应的t值,并求出此时四边形AEFD的面积;如果不能,说明理由. 2015-2016学年吉林省通化外国语学校八年级(下)期中数学试卷参考答案与试题解析
一、选择题(每小题3分,共30分)1.下列二次根式中属于最简二次根式的是( )A.B.C.D.【考点】最简二次根式.【分析】B、D选项的被开方数中含有未开尽方的因数或因式;C选项的被开方数中含有分母;因此这三个选项都不是最简二次根式.【解答】解因为B、=4;C、=;D、=2;所以这三项都不是最简二次根式.故选A. 2.下列计算错误的是( )A.B.C.D.【考点】二次根式的加减法.【分析】根据二次根式的运算法则分别计算,再作判断.【解答】解A、==7,正确;B、==2,正确;C、+=3+5=8,正确;D、,故错误.故选D. 3.如果最简二次根式与是同类根式,那么a=( )A.1B.2C.3D.4【考点】同类二次根式;最简二次根式.【分析】根据同类二次根式的定义得出方程1+a=2a﹣1,求出即可.【解答】解∵最简二次根式与是同类根式,∴1+a=2a﹣1,解得a=2,故选B. 4.顺次连接对角线垂直的▱ABCD各边中点所得四边形必定是( )A.平行四边形B.菱形C.正方形D.矩形【考点】中点四边形.【分析】首先根据三角形中位线定理得到四边形的对边都平行且相等,那么其必为平行四边形,根据邻边互相垂直,证明结论.【解答】证明由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点,根据三角形中位线定理得EH∥FG∥BD,EF∥AC∥HG;∴四边形EFGH是平行四边形,∵AC⊥BD,∴EF⊥FG,∴四边形EFGH是矩形,故选D. 5.若成立,则a,b满足的条件是( )A.a<0且b>0B.a≤0且b≥0C.a<0且b≥0D.a,b异号【考点】二次根式的性质与化简.【分析】根据,可得b与0的关系,a与0的关系,可得答案.【解答】解成立,﹣a≥0,b≥0,a≤0,b≥0,故选B. 6.矩形的两条对角线的夹角为60°,对角线长为15cm,较短边的长为( )A.12cmB.10cmC.
7.5cmD.5cm【考点】矩形的性质;含30度角的直角三角形.【分析】作出图形,根据矩形的对角线互相平分且相等求出OA=OB=AC,然后判定出△AOB是等边三角形,再根据等边三角形的性质求解即可.【解答】解如图,在矩形ABCD中,OA=OB=AC=×15=
7.5cm,∵两条对角线的夹角为60°,∴∠AOB=60°,∴△AOB是等边三角形,∴较短边AB=OA=
7.5cm.故选C. 7.如图,在▱ABCD中,已知AD=5cm,AB=3cm,AE平分∠BAD交BC边于点E,则EC等于( )A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm【考点】平行四边形的性质.【分析】由平行四边形的性质和角平分线定义得出∠AEB=∠BAE,证出BE=AB=3cm,得出EC=BC﹣BE=2cm即可.【解答】解∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC=AD=5cm,AD∥BC,∴∠DAE=∠AEB,∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE,∴∠AEB=∠BAE,∴BE=AB=3cm,∴EC=BC﹣BE=5﹣3=2cm;故选B. 8.如图,若圆柱的底面周长是30cm,高是40cm,从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处做装饰,则这条丝线的最小长度是( )A.80cmB.70cmC.60cmD.50cm【考点】平面展开-最短路径问题.【分析】要求丝线的长,需将圆柱的侧面展开,进而根据“两点之间线段最短”得出结果,在求线段长时,借助于勾股定理.【解答】解如图,把圆柱的侧面展开,得到矩形ACBD,则从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处做装饰,这条丝线的最小长度是长方形的对角线AB的长.∵圆柱的底面周长是30cm,高是40cm,∴AB2=302+402=900+1600=2500,∴AB=50(cm).故选D. 9.如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠,点D落在点D′处,则重叠部分△AFC的面积为( )A.6B.8C.10D.12【考点】翻折变换(折叠问题).【分析】因为BC为AF边上的高,要求△AFC的面积,求得AF即可,求证△AFD′≌△CFB,得BF=D′F,设D′F=x,则在Rt△AFD′中,根据勾股定理求x,于是得到AF=AB﹣BF,即可得到结果.【解答】解易证△AFD′≌△CFB,∴D′F=BF,设D′F=x,则AF=8﹣x,在Rt△AFD′中,(8﹣x)2=x2+42,解之得x=3,∴AF=AB﹣FB=8﹣3=5,∴S△AFC=•AF•BC=10.故选C. 10.如图,正方形ABCD中,AE=AB,直线DE交BC于点F,则∠BEF=( )A.45°B.30°C.60°D.55°【考点】正方形的性质;等腰三角形的性质.【分析】先设∠BAE=x°,根据正方形性质推出AB=AE=AD,∠BAD=90°,根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠AEB和∠AED的度数,根据平角定义求出即可.【解答】解设∠BAE=x°,∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAD=90°,AB=AD,∵AE=AB,∴AB=AE=AD,∴∠ABE=∠AEB==90°﹣x,∠DAE=90°﹣x°,∠AED=∠ADE==[180°﹣(90°﹣x°)]=45°+x°,∴∠BEF=180°﹣∠AEB﹣∠AED=180°﹣(90°﹣x°)﹣(45°+x°)=45°.答∠BEF的度数是45°.
二、填空题(本题有9个小题,17题4分,其它每小题3分,共28分)11.函数中x的取值范围是 x>2 .【考点】函数自变量的取值范围.【分析】由于是二次根式,同时也在分母的位置,由此即可确定x的取值范围.【解答】解∵是二次根式,同时也是分母,∴x﹣2>0,∴x>2.故答案为x>2. 12.在实数范围内分解因式2x2﹣6= .【考点】实数范围内分解因式;提公因式法与公式法的综合运用.【分析】先提取公因式2后,再把剩下的式子写成x2﹣()2,符合平方差公式的特点,可以继续分解.【解答】解2x2﹣6=2(x2﹣3)=2(x+)(x﹣).故答案为2(x+)(x﹣). 13.已知x,y为实数,且+3(y﹣2)2=0,则的值为 .【考点】非负数的性质算术平方根;非负数的性质偶次方.【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值,代入所求代数式计算即可.【解答】解∵+3(y﹣2)2=0,∴,解得,∴==.故答案为. 14.已知y=+﹣3,则x+y的值为 ﹣1 .【考点】二次根式有意义的条件.【分析】根据被开方数大于等于0列不等式求出x的值,再求出y的值,然后相加计算即可得解.【解答】解由题意得,x﹣2≥0且2﹣x≥0,解得x≥2且x≤2,所以x=2,y=﹣3,所以,x+y=2+(﹣3)=﹣1.故答案为﹣1. 15.如果直角三角形两条边长分别为3和4,那么第三条边长为 .【考点】勾股定理.【分析】分第三边为直角边或斜边两种情况,根据勾股定理分别求第三边.【解答】解当第三边为直角边时,4为斜边,第三边==;当第三边为斜边时,3和4为直角边,第三边==5,故答案为5或. 16.小明想知道学校旗杆有多高,他发现旗杆上的绳子垂到地面还余1m,当他把绳子下端拉开5m后,发现下端刚好接触地面,则旗杆高度为 12 米.【考点】勾股定理的应用.【分析】由题可知,旗杆,绳子与地面构成直角三角形,根据题中数据,用勾股定理即可解答.【解答】解设旗杆高xm,则绳子长为(x+1)m,∵旗杆垂直于地面,∴旗杆,绳子与地面构成直角三角形,由题意列式为x2+52=(x+1)2,解得x=12m. 17.已知菱形的两条对角线长为8cm和6cm,那么这个菱形的周长是 20 cm,面积是 24 cm2.【考点】菱形的性质;勾股定理.【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出两对角线长的一半,然后利用勾股定理求出菱形的边长,再根据周长公式计算即可得解;根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解.【解答】解∵菱形的两条对角线长为8cm和6cm,∴菱形的两条对角线长的一半分别为4cm和3cm,根据勾股定理,边长==5cm,所以,这个菱形的周长是5×4=20cm,面积=×8×6=24cm2.故答案为20,24. 18.在平面直角坐标系中,点A(﹣1,0)与点B(0,2)的距离是 .【考点】两点间的距离公式.【分析】本题可根据两点之间的距离公式得出方程,化简即可得出答案.【解答】解点A(﹣1,0)与点B(0,2)的距离是=.故答案填. 19.如图,每个小正方形的边长为1,在△ABC中,点D为AB的中点,则线段CD的长为 .【考点】勾股定理;直角三角形斜边上的中线;勾股定理的逆定理.【分析】本题考查勾股定理的逆定理和直角三角形的性质,利用了勾股定理的逆定理和直角三角形的性质求解.【解答】解观察图形AB==,AC==3,BC==2∴AC2+BC2=AB2,∴三角形为直角三角形,∵直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半∴CD=.
三、解答题(共42分)20.计算
(1)﹣()2+(π+)0﹣+|﹣1|;
(2)(+)2﹣(+)(﹣).【考点】二次根式的混合运算;零指数幂.【分析】
(1)根据零指数幂的意义和绝对值的意义得到原式=﹣2+1﹣2+﹣1,然后合并即可;
(2)利用完全平方公式和平方差公式计算.【解答】解
(1)原式=﹣2+1﹣2+﹣1=﹣2;
(2)原式=3+2+2﹣(3﹣2)=5+2﹣1=4+2. 21.如图,在△ABC中,CD⊥AB于D,AC=4,BC=3,DB=.
(1)求CD,AD的值;
(2)判断△ABC的形状,并说明理由.【考点】勾股定理的逆定理.【分析】利用勾股定理求出CD和AD则可,再运用勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形.【解答】解
(1)∵CD⊥AB且CB=3,BD=,故△CDB为直角三角形,∴在Rt△CDB中,CD=,在Rt△CAD中,AD=.
(2)△ABC为直角三角形.理由∵AD=,BD=,∴AB=AD+BD=+=5,∴AC2+BC2=42+32=25=52=AB2,∴根据勾股定理的逆定理,△ABC为直角三角形. 22.已知如图,在▱ABCD中,E、F是对角线AC上的两点,且AE=CF.求证四边形BFDE是平行四边形.【考点】平行四边形的判定与性质;全等三角形的判定与性质.【分析】先连接BD,交AC于O,由于四边形ABCD是平行四边形,易知OB=OD,OA=OC,而AE=CF,根据等式性质易得OE=OF,再根据两组对角线互相平分的四边形是平行四边形可证之.【解答】证明连接BD,交AC于O,∵四边形ABCD是平行四边形,∴OB=OD,OA=OC,∵AE=CF,∴OA﹣AE=OC﹣CF,∴OE=OF,∴四边形BFDE是平行四边形. 23.如图,已知平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E是BD延长线上的点,且△ACE是等边三角形.
(1)求证四边形ABCD是菱形;
(2)若∠AED=2∠EAD,求证四边形ABCD是正方形.【考点】菱形的判定;平行四边形的性质;正方形的判定.【分析】
(1)根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形.由题意易得△AOE≌△COE,∴∠AOE=∠COE=90°,∴BE⊥AC,∴四边形ABCD是菱形;
(2)根据有一个角是90°的菱形是正方形.由题意易得∠ADO=∠DAE+∠DEA=15°+30°=45°,∵四边形ABCD是菱形,∴∠ADC=2∠ADO=90°,∴四边形ABCD是正方形.【解答】证明
(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO.又∵△ACE是等边三角形,∴EO⊥AC(三线合一),即AC⊥BD,∴四边形ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO.又∵△ACE是等边三角形,∴EO平分∠AEC(三线合一),∴∠AED=∠AEC=×60°=30°,又∵∠AED=2∠EAD∴∠EAD=15°,∴∠ADO=∠DAE+∠DEA=15°+30°=45°(三角形的一一个外角等于和它外角不相邻的两内角之和),∵四边形ABCD是菱形,∴∠ADC=2∠ADO=90°,∴平行四边形ABCD是正方形. 24.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,∠C=30°,点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点,另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒(t>0),过点D作DF⊥BC于点F,连接DE、EF.
(1)求证AE=DF;
(2)填空当t= 秒时,四边形BEDF是矩形.
(3)四边形AEFD能够成为菱形吗?如果能,求出相应的t值,并求出此时四边形AEFD的面积;如果不能,说明理由.【考点】四边形综合题.【分析】
(1)由∠DFC=90°,∠C=30°,证出DF=t=AE;
(2)当四边形BEDF是矩形时,△DEF为直角三角形且∠EDF=90°,求出t的值即可;
(3)先证明四边形AEFD为平行四边形.得出AB=3,AD=AC﹣DC=6﹣2t,若△DEF为等边三角形,则四边形AEFD为菱形,得出AE=AD,t=6﹣2t,求出t的值即可.【解答】
(1)证明在△DFC中,∠DFC=90°,∠C=30°,DC=2t,∴DF=t.又∵AE=t,∴AE=DF;
(2)∠EDF=90°时,四边形EBFD为矩形.在Rt△AED中,∠ADE=∠C=30°,∴AD=2AE.即6﹣2t=2t,∴t=.故答案是;
(3)能;理由如下∵AB⊥BC,DF⊥BC,∴AE∥DF.又AE=DF,∴四边形AEFD为平行四边形.∵∠C=30°,AC=10,∴AB=3,BC=3∴AD=AC﹣DC=6﹣2t,若使△DEF能够成为等边三角形,则平行四边形AEFD为菱形,则AE=AD,∴t=6﹣2t,∴t=2;即当t=2时,△DEF为等边三角形.∴当t=2时,四边形AEFD能够成为菱形.此时AE=DF=2,CF=2,∴BF=3﹣2=,∴此时四边形AEFD的面积=AE•BF=2.。