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2015-2016学年江苏省无锡市新区八年级(下)期中数学试卷
一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)1.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A.B.C.D.2.下列调查中,适宜采用普查方式的是( )A.调查市场上酸奶的质量情况B.调查乘坐飞机的旅客是否携带了危禁物品C.调查某品牌日光灯管的使用寿命D.调查《阿福聊斋》节目的收视率情况3.在代数式、、、、、a+中,分式的个数有( )A.2个B.3个C.4个D.5个4.如果把分式中的m和n都扩大3倍,那么分式的值( )A.不变B.扩大3倍C.缩小3倍D.扩大9倍5.为了了解我市50000名学生参加初中毕业考试数学成绩情况,从中抽取了1000名考生的成绩进行统计.下列说法
①这50000名学生的数学考试成绩的全体是总体;
②每个考生是个体;
③1000名考生是总体的一个样本;
④样本容量是1000.其中说法正确的有( )A.4个B.3个C.2个D.1个6.平行四边形的对角线长为x,y,一边长为12,则x,y的值可能是( )A.8和14B.10和14C.18和20D.10和347.如图,正方形ABCD中,点E在BC上,且CE=BC,点F是CD的中点,延长AF与BC的延长线交于点M.以下结论
①AB=CM;
②AE=AB+CE;
③S△AEF=S四边形ABCF;
④∠AFE=90°.其中正确结论的个数有( )A.1个B.2个C.3个D.4个8.如图,在矩形ABCD中,AB=4cm,AD=12cm,P点在AD边上以每秒1cm的速度从A向D运动,点Q在BC边上,以每秒4cm的速度从C点出发,在CB间往返运动,二点同时出发,待P点到达D点为止,在这段时间内,线段PQ有( )次平行于AB.A.1B.2C.3D.4
二、填空题(每题2分,共20分)9.当x______时,分式有意义;当x______时,分式的值为零.10.若分式的值为整数,则整数x=______.11.甲、乙两地相距S千米,汽车从甲地到乙地按V千米/时的速度行驶,可按时到达,若按(V+2)千米/时的速度行驶,可提前______小时到达.12.一个样本的50个数据分别落在5个小组内,第
1、
2、
3、4组的数据的个数分别
2、
8、
15、5,则第5组的频率为______.13.一个样本的50个数据分别落在5个小组内,第
1、
2、
3、4组的数据的个数分别为
2、
8、
15、5,则第5组的频率为______.14.已知菱形的周长为40cm,两条对角线之比为34,则菱形的面积为______cm2.15.如图,在▱ABCD中,EF经过对角线的交点O,交AB于点E,交CD于点F.若AB=5,AD=4,OF=
1.8,那么四边形BCFE的周长为______.16.已知,则代数式的值为______.17.小明把如图所示的矩形纸板挂在墙上,玩飞镖游戏(每次飞镖均落在纸板上),则飞镖落在阴影区域的概率是______.18.如图,P是矩形ABCD的边AD上一个动点,矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8,那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是______.19.如图,E是正方形ABCD内一点,连接AE、BE、CE,将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE’的位置.若AE=I,BE=2,CE=3,则么BE′C=______.
三、解答题(共56分)20.计算
(1)
(2)
(3).21.先化简÷(﹣),再从﹣2<x<3的范围内选取一个你最喜欢的值代入,求值.22.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标为A(﹣2,3),B(﹣3,2),C(﹣1,1).
(1)若将△ABC向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度,请画出平移后的△A1B1C1;
(2)画出△A1B1C1绕原点顺时针旋90°后得到的△A2B2C2;
(3)若△A′B′C′与△ABC是中心对称图形,则对称中心的坐标为______.23.我市某中学为推进素质教育,在初一年级设立了六个课外兴趣小组,下而是六个兴趣小组的频数分布直方图和扇形统计图,请根据图中提供的信息回答下列问题
(1)初一年级共有______人;
(2)补全频数分布直方图,并计算扇形统计图中“体育”兴趣小组所对应的扇形圆心角的度数;
(3)求“从该年级中任选一名学生,是参加音乐、科技两个小组学生”的概率.24.已知如图,在▱ABCD中,∠BAD和∠BCD的平分线AE、CF分别与对角线BD相交于点E,F.证明四边形AECF是平行四边形.25.如图,在菱形ABCD中,AB=4,∠DAB=60°,点E是AD边的中点,点M是AB边上的一个动点(不与点A重合),延长ME交CD的延长线于点N,连接MD,AN.
(1)求证四边形AMDN是平行四边形;
(2)当AM的值为______时,四边形AMDN是矩形,请你把猜想出的AM值作为已知条件,说明四边形AMDN是矩形的理由.26.如图,菱形ABCD的边长为2,BD=2,E、F分别是边AD,CD上的两个动点,且满足AE+CF=2.
(1)求证△BDE≌△BCF;
(2)判断△BEF的形状,并说明理由;
(3)试探究△DEF的周长是否存在最小值.如果不存在,请说明理由;如果存在,请计算出△DEF周长的最小值.27.操作与证明如图1,把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起,使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合,点E、F分别在正方形的边CB、CD上,连接AF.取AF中点M,EF的中点N,连接MD、MN.
(1)连接AE,求证△AEF是等腰三角形;猜想与发现
(2)在
(1)的条件下,请判断MD、MN的数量关系和位置关系,得出结论.结论1DM、MN的数量关系是______;结论2DM、MN的位置关系是______;拓展与探究
(3)如图2,将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°,其他条件不变,则
(2)中的两个结论还成立吗?若成立,请加以证明;若不成立,请说明理由. 2015-2016学年江苏省无锡市新区八年级(下)期中数学试卷参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)1.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A.B.C.D.【考点】中心对称图形;轴对称图形.【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.【解答】解A、既是轴对称图形,又是中心对称图形,故A正确;B、不是轴对称图形,是中心对称图形,故B错误;C、是轴对称图形,不是中心对称图形,故C错误;D、是轴对称图形,不是中心对称图形,故D错误.故选A. 2.下列调查中,适宜采用普查方式的是( )A.调查市场上酸奶的质量情况B.调查乘坐飞机的旅客是否携带了危禁物品C.调查某品牌日光灯管的使用寿命D.调查《阿福聊斋》节目的收视率情况【考点】全面调查与抽样调查.【分析】由普查得到的调查结果比较准确,但所费人力、物力和时间较多,而抽样调查得到的调查结果比较近似.【解答】解A、调查市场上酸奶的质量情况,调查适合抽样调查,故A不符合题意;B、调查乘坐飞机的旅客是否携带了危禁物品,要求精确度高,适合普查,故B符合题意;C、调查某品牌日光灯管的使用寿命,调查具有破坏性,适合抽样调查,故C不符合题意;D、调查《阿福聊斋》节目的收视率情况,调查范围广,适合抽样调查,故D不符合题意;故选B. 3.在代数式、、、、、a+中,分式的个数有( )A.2个B.3个C.4个D.5个【考点】分式的定义.【分析】根据分式的定义,可以判断出题中六个代数式只有3个为分式,由此得出结论.【解答】解在代数式、、、、、a+中,分式有,,a+,∴分式的个数是3个.故选B. 4.如果把分式中的m和n都扩大3倍,那么分式的值( )A.不变B.扩大3倍C.缩小3倍D.扩大9倍【考点】分式的基本性质.【分析】根据分式的性质,可得答案.【解答】解把分式中的m和n都扩大3倍,得=×.故选C. 5.为了了解我市50000名学生参加初中毕业考试数学成绩情况,从中抽取了1000名考生的成绩进行统计.下列说法
①这50000名学生的数学考试成绩的全体是总体;
②每个考生是个体;
③1000名考生是总体的一个样本;
④样本容量是1000.其中说法正确的有( )A.4个B.3个C.2个D.1个【考点】总体、个体、样本、样本容量.【分析】总体是指考查的对象的全体,个体是总体中的每一个考查的对象,样本是总体中所抽取的一部分个体,而样本容量则是指样本中个体的数目.我们在区分总体、个体、样本、样本容量,这四个概念时,首先找出考查的对象.从而找出总体、个体.再根据被收集数据的这一部分对象找出样本,最后再根据样本确定出样本容量.【解答】解
①这50000名学生的数学考试成绩的全体是总体,说法正确;
②每个考生是个体,说法错误,应该是每个考生的数学成绩是个体;
③1000名考生是总体的一个样本,说法错误,应是1000名考生的数学成绩是总体的一个样本;
④样本容量是1000,说法正确;正确的说法共2个,故选C. 6.平行四边形的对角线长为x,y,一边长为12,则x,y的值可能是( )A.8和14B.10和14C.18和20D.10和34【考点】平行四边形的性质;三角形三边关系.【分析】如图因为平行四边形的对角线互相平分,所OB=,OC=,在△OBC中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边,将各答案代入验证即可求得.即x+y>24,y﹣x<24.【解答】解A、=4+7=11<12,所以不可能;B、=5+7=12=12,所以不可能;D、34﹣10=24,所以不可能;故选C. 7.如图,正方形ABCD中,点E在BC上,且CE=BC,点F是CD的中点,延长AF与BC的延长线交于点M.以下结论
①AB=CM;
②AE=AB+CE;
③S△AEF=S四边形ABCF;
④∠AFE=90°.其中正确结论的个数有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【考点】正方形的性质.【分析】由“点F是CD的中点,延长AF与BC的延长线交于点M”知AD=CM,即AB=CM,由边长关系可知AE=EM,F为中点知,EF⊥AM,再根据面积S四边形ABCF=S□ABCD﹣S△ADF得面积关系.【解答】解由题意知,∵点F是CD的中点,∴DF=CF,在△ADF和△MCF中,,∴△ADF≌△MCF(ASA),∴CM=AD=AB,
①正确;设正方形ABCD边长为4,∵CE=BC=1,∴BE=3,∴AE=5,∴AE=AB+CE,
②正确;EM=CM+CE=5=AE,又∵F为AM的中点,∴EF⊥AM,
④正确,由CF=2,CE=1得EF=,由DF=2,AD=4得AF=2,∴S△AEF=5,又∵S△ADF=4,∴S四边形ABCF=S□ABCD﹣S△ADF=12,∴S△AEF=S四边形ABCF≠S四边形ABCF;
③不正确,∴正确的有3个,故选C. 8.如图,在矩形ABCD中,AB=4cm,AD=12cm,P点在AD边上以每秒1cm的速度从A向D运动,点Q在BC边上,以每秒4cm的速度从C点出发,在CB间往返运动,二点同时出发,待P点到达D点为止,在这段时间内,线段PQ有( )次平行于AB.A.1B.2C.3D.4【考点】一元一次方程的应用.【分析】易得两点运动的时间为12s,PQ∥AB,那么四边形ABQP是平行四边形,则AP=BQ,列式可求得一次平行,算出Q在BC上往返运动的次数可得平行的次数.【解答】解∵矩形ABCD,AD=12cm,∴AD=BC=12cm,∵PQ∥AB,AP∥BQ,∴四边形ABQP是平行四边形,∴AP=BQ,∴Q走完BC一次就可以得到一次平行,∵P的速度是1cm/秒,∴两点运动的时间为12÷1=12s,∴Q运动的路程为12×4=48cm,∴在BC上运动的次数为48÷12=4次,∴线段PQ有4次平行于AB,故选D.
二、填空题(每题2分,共20分)9.当x ≠﹣ 时,分式有意义;当x 1 时,分式的值为零.【考点】分式的值为零的条件;分式有意义的条件.【分析】根据分母不为零分式有意义,分子为零且分母不为零分式的值为零,可得答案.【解答】解由分式有意义,得2x+3≠0,解得x≠﹣,由分式的值为零得|x|﹣1=0且x2+2x+1≠0.解得x=1.故答案为≠﹣,1. 10.若分式的值为整数,则整数x= ﹣4或﹣3或﹣1或0 .【考点】分式的值.【分析】根据分式的值是整数,可得分母在﹣2到2之间的整数,根据分母的范围,可得答案.【解答】解∵分式的值为整数,∴﹣2≤x+2≤2,∴x+2=﹣2或x+2=﹣1或x+2=1或x+2=2,∴x=﹣4或﹣3或﹣1或0,故答案为﹣4或﹣3或﹣1或0. 11.甲、乙两地相距S千米,汽车从甲地到乙地按V千米/时的速度行驶,可按时到达,若按(V+2)千米/时的速度行驶,可提前 小时到达.【考点】分式的加减法.【分析】根据题意列出算式,计算即可得到结果.【解答】解根据题意得﹣==,则可提前小时到达.故答案为. 12.一个样本的50个数据分别落在5个小组内,第
1、
2、
3、4组的数据的个数分别
2、
8、
15、5,则第5组的频率为
0.4 .【考点】总体、个体、样本、样本容量.【分析】根据总数计算出第5组的频数,用第5组的频数除以数据总数就是第5组的频率.【解答】解第5组的频数50﹣2﹣8﹣15﹣5=20,频率为20÷50=
0.4.答第5组的频率为
0.4.故答案为
0.4. 13.一个样本的50个数据分别落在5个小组内,第
1、
2、
3、4组的数据的个数分别为
2、
8、
15、5,则第5组的频率为
0.4 .【考点】频数与频率.【分析】根据总数计算出第5组的频数,用第5组的频数除以数据总数就是第5组的频率.【解答】解第5组的频数50﹣2﹣8﹣15﹣5=20,频率为20÷50=
0.4,故答案为
0.4. 14.已知菱形的周长为40cm,两条对角线之比为34,则菱形的面积为 96 cm2.【考点】菱形的性质.【分析】根据已知可分别求得两条对角线的长,再根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半即可得到其面积.【解答】解设两条对角线长分别为3x,4x,根据勾股定理可得()2+()2=102,解之得,x=4,则两条对角线长分别为12cm、16cm,∴菱形的面积=12×16÷2=96cm2.故答案为96. 15.如图,在▱ABCD中,EF经过对角线的交点O,交AB于点E,交CD于点F.若AB=5,AD=4,OF=
1.8,那么四边形BCFE的周长为
12.6 .【考点】平行四边形的性质.【分析】由四边形ABCD是平行四边形,易求得BC=AD=4,易证得△AOE≌△COF,则可求得CF=AE,EF=
3.6,然后由四边形BCFE的周长为AB+BC+EF,继而求得答案.【解答】解∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC=AD=4,OA=OC,AB∥CD,∴∠OAE=∠OCF,在△OAE和△OCF中,,∴△AOE≌△COF(ASA),∴CF=AE,OE=OE=
1.8,∴EF=OE+OF=
3.6,∴四边形BCFE的周长为EF+BE+BC+CF=EF+BC+BE+AE=EF+BC+AB=
3.6+4+5=
12.6.故答案为
12.6. 16.已知,则代数式的值为 ﹣ .【考点】分式的化简求值.【分析】先根据﹣=4得出y﹣x=4xy,再代入代数式进行计算即可.【解答】解∵﹣=4,∴y﹣x=4xy,∴原式====﹣.故答案为﹣. 17.小明把如图所示的矩形纸板挂在墙上,玩飞镖游戏(每次飞镖均落在纸板上),则飞镖落在阴影区域的概率是 .【考点】几何概率.【分析】先根据矩形的性质求出矩形对角线所分的四个三角形面积相等,再求出S1=S2即可.【解答】解根据矩形的性质易证矩形的对角线把矩形分成的四个三角形均为同底等高的三角形,故其面积相等,根据平行线的性质易证S1=S2,故阴影部分的面积占一份,故针头扎在阴影区域的概率为. 18.如图,P是矩形ABCD的边AD上一个动点,矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8,那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是
4.8 .【考点】矩形的性质.【分析】首先连接OP,由矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8,可求得OA=OD=5,△AOD的面积,然后由S△AOD=S△AOP+S△DOP=OA•PE+OD•PF求得答案.【解答】解连接OP,∵矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8,∴S矩形ABCD=AB•BC=48,OA=OC,OB=OD,AC=BD==10,∴OA=OD=5,∴S△ACD=S矩形ABCD=24,∴S△AOD=S△ACD=12,∵S△AOD=S△AOP+S△DOP=OA•PE+OD•PF=×5×PE+×5×PF=(PE+PF)=12,解得PE+PF=
4.8.故答案为
4.8. 19.如图,E是正方形ABCD内一点,连接AE、BE、CE,将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE’的位置.若AE=I,BE=2,CE=3,则么BE′C= 135° .【考点】旋转的性质;正方形的性质.【分析】首先根据旋转的性质得出,△EBE′是直角三角形,进而得出∠BEE′=∠BE′E=45°,即可得出答案.【解答】解连接EE′∵△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′∴∠EBE′是直角,∴△EBE′是直角三角形,∵△ABE与△CE′B全等,∴BE=BE′=2,∠AEB=∠BE′C,∴∠BEE′=∠BE′E=45°,∵EE′2=22+22=8,AE=CE′=1,EC=3,∴EC2=E′C2+EE′2,∴△EE′C是直角三角形,∴∠EE′C=90°,∴∠AEB=135°.故答案为135.
三、解答题(共56分)20.计算
(1)
(2)
(3).【考点】分式的混合运算.【分析】
(1)原式先计算乘方运算,再计算除法运算即可得到结果;
(2)原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果;
(3)原式括号中变形后利用同分母分式的减法法则计算,同时利用除法法则计算,约分即可得到结果.【解答】解
(1)原式=﹣•=﹣9abc;
(2)原式=﹣==;
(3)原式=•=•=a﹣b. 21.先化简÷(﹣),再从﹣2<x<3的范围内选取一个你最喜欢的值代入,求值.【考点】分式的化简求值.【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,同时利用除法法则变形,约分得到最简结果,把x的值代入计算即可求出值.【解答】解原式=÷=•=,当x=2时,原式=4. 22.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标为A(﹣2,3),B(﹣3,2),C(﹣1,1).
(1)若将△ABC向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度,请画出平移后的△A1B1C1;
(2)画出△A1B1C1绕原点顺时针旋90°后得到的△A2B2C2;
(3)若△A′B′C′与△ABC是中心对称图形,则对称中心的坐标为 (1,0) .【考点】作图-旋转变换;作图-平移变换.【分析】
(1)首先将A、B、C三点分别向右平移3个单位,再向上平移1个单位,得A
1、B
1、C1三点,顺次连接这些点,即可得到所求作的三角形;
(2)找出点B、C绕点A顺时针旋转90°的位置,然后顺次连接即可;
(3)△A′B′C′与△ABC是中心对称图形,连接对应点即可得出答案.【解答】解
(1)将A,B,C,分别右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度,可得出平移后的△A1B1C1;
(2)将△A1B1C1三顶点A1,B1,C1,绕原点旋转90°,即可得出△A2B2C2;
(3)∵△A′B′C′与△ABC是中心对称图形,连接AA′,BB′CC′可得出交点(1,0),故答案为(1,0). 23.我市某中学为推进素质教育,在初一年级设立了六个课外兴趣小组,下而是六个兴趣小组的频数分布直方图和扇形统计图,请根据图中提供的信息回答下列问题
(1)初一年级共有 320 人;
(2)补全频数分布直方图,并计算扇形统计图中“体育”兴趣小组所对应的扇形圆心角的度数;
(3)求“从该年级中任选一名学生,是参加音乐、科技两个小组学生”的概率.【考点】扇形统计图;条形统计图.【分析】
(1)总人数=参加某项的人数÷所占比例;
(2)用总人数减去其他5个小组的人数求出体育小组的人数,画图即可解答,用体育小组的人数除以总人数再乘360度即可求出圆心角的度数;
(3)根据频率的计算方法,用参加音乐、科技两个小组学生数除以总人数计算即可解答.【解答】解
(1)读图可知有10%的学生即32人参加科技学习小组,故初一年级共有学生=320(人).故答案为320.
(2)直方图如图所示,360°×=108°
(3). 24.已知如图,在▱ABCD中,∠BAD和∠BCD的平分线AE、CF分别与对角线BD相交于点E,F.证明四边形AECF是平行四边形.【考点】平行四边形的判定与性质.【分析】由在▱ABCD中,可证得AB=CD,AD∥BC,∠BAD=∠BCD,又由∠BAD和∠BCD的平分线AE、CF分别与对角线BD相交于点E,F,可证得∠BAE=∠DCF,继而可证得△ABE≌△CDF(ASA),则可证得AE=CF,AE∥CF,判定四边形AECF是平行四边形.【解答】证明∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AD∥BC,∠BAD=∠BCD,∴∠ABE=∠CDF,∵∠BAD和∠BCD的平分线AE、CF分别与对角线BD相交于点E,F,∴∠BAE=∠BAD,∠DCF=∠BCD,∴∠BAE=∠DCF,在△ABE和△CDF中,,∴△ABE≌△CDF(ASA),∴AE=CF,∠AEB=∠CFD,∴∠AEF=∠CFE,∴AE∥CF,∴四边形AECF是平行四边形. 25.如图,在菱形ABCD中,AB=4,∠DAB=60°,点E是AD边的中点,点M是AB边上的一个动点(不与点A重合),延长ME交CD的延长线于点N,连接MD,AN.
(1)求证四边形AMDN是平行四边形;
(2)当AM的值为 2 时,四边形AMDN是矩形,请你把猜想出的AM值作为已知条件,说明四边形AMDN是矩形的理由.【考点】菱形的性质;平行四边形的判定;矩形的判定.【分析】
(1)根据菱形的性质可得AB∥CD,根据两直线平行,内错角相等可得∠NDE=∠MAE,根据对顶角相等可得∠DEN=∠AEM,根据中点的定义求出DE=AE,然后利用“角边角”证明△NDE和△MAE全等,根据全等三角形对应边相等得到ND=AM,然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明;
(2)首先证明△AEM是等边三角形,进而得到AE=ED=EM,利用三角形一边上的中线等于斜边一半判断出△AMD是直角三角形,进而得出四边形AMDN是矩形.【解答】解
(1)∵点E是AD边的中点,∴AE=ED,∵AB∥CD,∴∠NDE=∠MAE,在△NDE和△MAE中,,∴△NDE≌△MAE(ASA),∴ND=AM,∵ND∥AM,∴四边形AMDN是平行四边形;
(2)当AM=2时,说明四边形是矩形.∵E是AD的中点,∴AE=2,∵AE=AM,∠EAM=60°,∴△AME是等边三角形,∴AE=EM,∴AE=ED=EM,∴∠AMD=90°,∵四边形ABCD是菱形,故当AM=2时,四边形AMDN是矩形. 26.如图,菱形ABCD的边长为2,BD=2,E、F分别是边AD,CD上的两个动点,且满足AE+CF=2.
(1)求证△BDE≌△BCF;
(2)判断△BEF的形状,并说明理由;
(3)试探究△DEF的周长是否存在最小值.如果不存在,请说明理由;如果存在,请计算出△DEF周长的最小值.【考点】菱形的性质;全等三角形的判定与性质.【分析】
(1)先判定△ABD与△BCD都是等边三角形,根据等边三角形的性质可得∠BDE=∠C=60°,再求出DE=CF,然后利用“边边角”证明两三角形全等;
(2)根据全等三角形对应边相等可得BE=CF,全等三角形对应角相等可得∠DBE=∠CBF,然后求出∠EBF=60°,再根据等边三角形的判定得解,利用旋转变换解答;
(3)根据EF的最小值为点B到AD的距离,即EF的最小值是,即可求出△DEF的周长.【解答】
(1)证明∵菱形ABCD的边长为2,对角线BD=2,∴AB=AD=BD=2,BC=CD=BD=2,∴△ABD与△BCD都是等边三角形,∴∠BDE=∠C=60°,∵AE+CF=2,∴CF=2﹣AE,又∵DE=AD﹣AE=2﹣AE,∴DE=CF,在△BDE和△BCF中,,∴△BDE≌△BCF(SAS);
(2)解△BEF是等边三角形.理由如下由
(1)可知△BDE≌△BCF,∴BE=BF,∠DBE=∠CBF,∴∠EBF=∠DBE+∠DBF=∠CBF+∠DBF=∠DBC=60°,∴△BEF是等边三角形,由图可知,△BDE绕点B顺时针旋转60°即可得到△BCF;
(3)解如图所示当BE⊥AD时,△DEF的周长最小,∵△BDE≌△BCF,∴DE=FC,∴DE+DF=AD=2,故当△DEF的周长最小,则EF最小即可,∵△BEF是等边三角形,△ABD与△BCD都是等边三角形,∴BE=ABsin60°=,∴△DEF周长的最小值为2+. 27.操作与证明如图1,把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起,使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合,点E、F分别在正方形的边CB、CD上,连接AF.取AF中点M,EF的中点N,连接MD、MN.
(1)连接AE,求证△AEF是等腰三角形;猜想与发现
(2)在
(1)的条件下,请判断MD、MN的数量关系和位置关系,得出结论.结论1DM、MN的数量关系是 相等 ;结论2DM、MN的位置关系是 垂直 ;拓展与探究
(3)如图2,将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°,其他条件不变,则
(2)中的两个结论还成立吗?若成立,请加以证明;若不成立,请说明理由.【考点】正方形的性质;全等三角形的判定与性质;三角形中位线定理;旋转的性质.【分析】
(1)根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE=CF,继而证明出△ABE≌△ADF,得到AE=AF,证明出△AEF是等腰三角形;
(2)DM、MN的数量关系是相等,位置关系式垂直;
(3)连接AE,交MD于点G,标记出各个角,首先证明出MN∥AE,MN=AE,再有
(1)的结论以及角角之间的数量关系得到∠DMN=∠DGE=90°.【解答】
(1)证明∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD=BC=CD,∠B=∠ADF=90°,∵△CEF是等腰直角三角形,∠C=90°,∴CE=CF,∴BC﹣CE=CD﹣CF,即BE=DF,∴△ABE≌△ADF,∴AE=AF,∴△AEF是等腰三角形;
(2)解相等,垂直;证明∵在Rt△ADF中DM是斜边AF的中线,∴AF=2DM,∵MN是△AEF的中位线,∴AE=2MN,∵AE=AF,∴DM=MN;∵∠DMF=∠DAF+∠ADM,AM=MD,∵∠FMN=∠FAE,∠DAF=∠BAE,∴∠ADM=∠DAF=∠BAE,∴∠DMN=∠BAD=90°,∴DM⊥MN;
(3)
(2)中的两个结论还成立,证明连接AE,交MD于点G,∵点M为AF的中点,点N为EF的中点,∴MN∥AE,MN=AE,由
(1)同理可证,AB=AD=BC=CD,∠B=∠ADF,CE=CF,又∵BC+CE=CD+CF,即BE=DF,∴△ABE≌△ADF,∴AE=AF,在Rt△ADF中,∵点M为AF的中点,∴DM=AF,∴DM=MN,∵△ABE≌△ADF,∴∠1=∠2,∵AB∥DF,∴∠1=∠3,同理可证∠2=∠4,∴∠3=∠4,∵DM=AM,∴∠MAD=∠5,∴∠DGE=∠5+∠4=∠MAD+∠3=90°,∵MN∥AE,∴∠DMN=∠DGE=90°,∴DM⊥MN.。