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山东省日照市2015-2016学年八年级(下)期末数学试卷
一、选择题每小题3分,共36分.1.下列关于x的方程
①ax2+bx+c=0;
②3(x﹣9)2﹣(x+1)2=1;
③x+3=;
④x2=0;
⑤.其中是一元二次方程有( )A.1个B.2个C.3个D.4个2.今年我市有近2万名考生参加中考,为了解这些考生的数学成绩,从中抽取1000名考生的数学成绩进行统计分析,以下说法正确的是( )A.这1000名考生是总体的一个样本B.近2万名考生是总体C.每位考生的数学成绩是个体D.1000名学生是样本容量3.下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )A.B.C.D.4.方程x2=6x的根是( )A.x1=0,x2=﹣6B.x1=0,x2=6C.x=6D.x=05.一元二次方程2x2﹣3x+1=0化为(x+a)2=b的形式,正确的是( )A.B.C.D.以上都不对6.如图,在四边形ABCD中,E是BC边的中点,连接DE并延长,交AB的延长线于F点,AB=BF.添加一个条件,使四边形ABCD是平行四边形.你认为下面四个条件中可选择的是( )A.AD=BCB.CD=BFC.∠A=∠CD.∠F=∠CDE7.如图,在方格纸中的△ABC经过变换得到△DEF,正确的变换是( )A.把△ABC向右平移6格B.把△ABC向右平移4格,再向上平移1格C.把△ABC绕着点A顺时针方向90°旋转,再右平移7格D.把△ABC绕着点A逆时针方向90°旋转,再右平移7格8.如图,矩形ABCD中,AB=8,BC=4.点E在边AB上,点F在边CD上,点G、H在对角线AC上.若四边形EGFH是菱形,则AE的长是( )A.2B.3C.5D.69.如图1,在矩形ABCD中,动点P从点B出发,沿BC、CD、DA运动至点A停止,设点P运动的路程为x,△ABP的面积为y,如果y关于x的函数图象如图2所示,则△ABC的面积是( )A.10B.16C.18D.2010.如图,把Rt△ABC放在直角坐标系内,其中∠CAB=90°,BC=5,点A、B的坐标分别为(1,0)、(4,0).将△ABC沿x轴向右平移,当点C落在直线y=2x﹣6上时,线段BC扫过的面积为( )A.4B.8C.16D.811.如图,在菱形ABCD中,∠A=110°,E,F分别是边AB和BC的中点,EP⊥CD于点P,则∠FPC=( )A.35°B.45°C.50°D.55°12.如图,在平面直角坐标系中,将△ABO绕点A顺指针旋转到△AB1C1的位置,点B、O分别落在点B
1、C1处,点B1在x轴上,再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置,点C2在x轴上,将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置,点A2在x轴上,依次进行下去…,若点A(,0),B(0,4),则点B2016的横坐标为( )A.5B.12C.10070D.10080
二、填空题每小题4分,共24分.13.一组数据3,1,0,﹣1,x的平均数是1,则它们的方差是______.14.函数中,自变量x的取值范围是______.15.若一元二次方程(k﹣1)x2﹣4x﹣5=0有两个不相等实数根,则k的取值范围是______.16.如图,直线y=kx+b经过A(﹣2,﹣1)和B(﹣3,0)两点,则不等式组x<kx+b<0的解集为______.17.如图,在边长为2cm的正方形ABCD中,点Q为BC边的中点,点P为对角线AC上一动点,连接PB、PQ,则△PBQ周长的最小值为______cm(结果不取近似值).18.如图,在平面直角坐标中,直线l经过原点,且与y轴正半轴所夹的锐角为60°,过点A(0,1)作y轴的垂线l于点B,过点B1作直线l的垂线交y轴于点A1,以A1B.BA为邻边作▱ABA1C1;过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1,过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2,以A2B1.B1A1为邻边作▱A1B1A2C2;…;按此作法继续下去,则Cn的坐标是______.
三、解答题本大题共6小题,共60分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.19.用适当的方法解下列一元二次方程.
(1)(x﹣1)2+2x(x﹣1)=0;
(2)3y2+1=2y.20.小明随机调查了若干市民租用公共自行车的骑车时间t(单位分),将获得的数据分成四组,绘制了如下统计图.请根据图中信息,解答下列问题.
(1)这次被调查的总人数是多少,并补全条形统计图.
(2)试求表示A组的扇形圆心角的度数.
(3)如果骑自行车的平均速度为12km/h,请估算,在租用公共自行车的市民中,骑车路程不超过6km的人数所占的百分比.21.如图,四边形ABCD是矩形,∠EDC=∠CAB,∠DEC=90°.
(1)求证AC∥DE;
(2)过点B作BF⊥AC于点F,连接EF,试判别四边形BCEF的形状,并说明理由.22.已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣2=0.
(1)求证不论k为何值,方程总有两个不相等实数根.
(2)设x1,x2是方程的根,且x12﹣2kx1+2x1x2=5,则k的值.23.汶川地震发生后某市组织了20辆汽车装运食品、药品、生活用品三种救灾物资共100吨到灾民安置点.按计划20辆汽车都要装运,每辆汽车只能装运同一种救灾物资且必须装满.根据下表提供的信息,解答下列问题物资种类食品药品生活用品每辆汽车装载量/吨654每吨所需运费/元/吨120160100
(1)设装运食品的车辆数为x辆,装运药品的车辆数为y辆.求y与x的函数关系式;
(2)如果装运食品的车辆数不少于5辆,装运药品的车辆数不少于4辆,那么,车辆的安排有几种方案?并写出每种安排方案;
(3)在
(2)的条件下,若要求总运费最少,应采用哪种安排方案?并求出最少总运费.24.正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,P是对角线AC上一动点,过点P作PF⊥CD于点F,如图1,当点P与点O重合时,显然有DF=CF.
(1)如图2,若点P在线段AO上(不与点A、O重合),PE⊥PB且PE交CD于点E.
①求证DF=EF;
②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系,并证明你的结论;
(2)若点P在线段OC上(不与点O、C重合),PE⊥PB且PE交直线CD于点E.请完成图3并判断
(1)中的结论
①、
②是否分别成立?若不成立,写出相应的结论.期末数学试卷参考答案与试题解析
一、选择题每小题3分,共36分.1.下列关于x的方程
①ax2+bx+c=0;
②3(x﹣9)2﹣(x+1)2=1;
③x+3=;
④x2=0;
⑤.其中是一元二次方程有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【考点】一元二次方程的定义.【分析】依据一元二次方程的定义回答即可.【解答】解
①当a=0时,方程ax2+bx+c=0不是一元二次方程,故
①错误;
②3(x﹣9)2﹣(x+1)2=1是一元二次方程;
③x+3=是分式方程,故
③错误;
④x2=0是一元二次方程;
⑤未知数的最高次数为1次,不是一元二次方程,故
⑤错误. 2.今年我市有近2万名考生参加中考,为了解这些考生的数学成绩,从中抽取1000名考生的数学成绩进行统计分析,以下说法正确的是( )A.这1000名考生是总体的一个样本B.近2万名考生是总体C.每位考生的数学成绩是个体D.1000名学生是样本容量【考点】总体、个体、样本、样本容量.【分析】根据总体、个体、样本、样本容量的定义对各选项判断即可.【解答】解A、这1000名考生的数学成绩是总体的一个样本,故此选项错误;B、近2万名考生的数学成绩是总体,故此选项错误;C、每位考生的数学成绩是个体,故此选项正确;D、1000是样本容量,故此选项错误;故选C. 3.下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )A.B.C.D.【考点】中心对称图形;轴对称图形.【分析】结合选项根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可.【解答】解A、是轴对称图形,也是中心对称图形;B、不是轴对称图形,是中心对称图形;C、是轴对称图形,不是中心对称图形;D、不是轴对称图形,也不是中心对称图形.故选A. 4.方程x2=6x的根是( )A.x1=0,x2=﹣6B.x1=0,x2=6C.x=6D.x=0【考点】解一元二次方程-因式分解法.【分析】先把方程化为x2﹣6x=0,再把方程左边进行因式分解得x(x﹣6)=0,得到两个一元一次方程x=0或x﹣6=0,解两个一元一次方程即可.【解答】解方程化为x2﹣6x=0,∴x(x﹣6)=0,∴x=0或x﹣6=0,∴x1=0,x2=6.故选B. 5.一元二次方程2x2﹣3x+1=0化为(x+a)2=b的形式,正确的是( )A.B.C.D.以上都不对【考点】解一元二次方程-配方法.【分析】先把常数项1移到等号的右边,再把二次项系数化为1,最后在等式的两边同时加上一次项系数一半的平方,然后配方即可.【解答】解∵2x2﹣3x+1=0,∴2x2﹣3x=﹣1,x2﹣x=﹣,x2﹣x+=﹣+,(x﹣)2=;∴一元二次方程2x2﹣3x+1=0化为(x+a)2=b的形式是(x﹣)2=;故选C. 6.如图,在四边形ABCD中,E是BC边的中点,连接DE并延长,交AB的延长线于F点,AB=BF.添加一个条件,使四边形ABCD是平行四边形.你认为下面四个条件中可选择的是( )A.AD=BCB.CD=BFC.∠A=∠CD.∠F=∠CDE【考点】平行四边形的判定.【分析】把A、B、C、D四个选项分别作为添加条件进行验证,D为正确选项.添加D选项,即可证明△DEC≌△FEB,从而进一步证明DC=BF=AB,且DC∥AB.【解答】解添加∠F=∠CDE,理由∵∠F=∠CDE,∴CD∥AB,在△DEC与△FEB中,,∴△DEC≌△FEB(AAS),∴DC=BF,∵AB=BF,∴DC=AB,∴四边形ABCD为平行四边形,故选D. 7.如图,在方格纸中的△ABC经过变换得到△DEF,正确的变换是( )A.把△ABC向右平移6格B.把△ABC向右平移4格,再向上平移1格C.把△ABC绕着点A顺时针方向90°旋转,再右平移7格D.把△ABC绕着点A逆时针方向90°旋转,再右平移7格【考点】几何变换的类型.【分析】观察图象可知,先把△ABC绕着点A逆时针方向90°旋转,然后再向右平移即可得到.【解答】解根据图象,△ABC绕着点A逆时针方向90°旋转与△DEF形状相同,向右平移7格就可以与△DEF重合.故选D. 8.如图,矩形ABCD中,AB=8,BC=4.点E在边AB上,点F在边CD上,点G、H在对角线AC上.若四边形EGFH是菱形,则AE的长是( )A.2B.3C.5D.6【考点】菱形的性质;矩形的性质.【分析】连接EF交AC于O,由四边形EGFH是菱形,得到EF⊥AC,OE=OF,由于四边形ABCD是矩形,得到∠B=∠D=90°,AB∥CD,通过△CFO≌△AOE,得到AO=CO,求出AO=AC=2,根据△AOE∽△ABC,即可得到结果.【解答】解;连接EF交AC于O,∵四边形EGFH是菱形,∴EF⊥AC,OE=OF,∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=∠D=90°,AB∥CD,∴∠ACD=∠CAB,在△CFO与△AOE中,,∴△CFO≌△AOE,∴AO=CO,∵AC==4,∴AO=AC=2,∵∠CAB=∠CAB,∠AOE=∠B=90°,∴△AOE∽△ABC,∴,∴,∴AE=5.故选C. 9.如图1,在矩形ABCD中,动点P从点B出发,沿BC、CD、DA运动至点A停止,设点P运动的路程为x,△ABP的面积为y,如果y关于x的函数图象如图2所示,则△ABC的面积是( )A.10B.16C.18D.20【考点】动点问题的函数图象.【分析】根据函数的图象、结合图形求出AB、BC的值,根据三角形的面积公式得出△ABC的面积.【解答】解∵动点P从点B出发,沿BC、CD、DA运动至点A停止,而当点P运动到点C,D之间时,△ABP的面积不变,函数图象上横轴表示点P运动的路程,x=4时,y开始不变,说明BC=4,x=9时,接着变化,说明CD=9﹣4=5,∴AB=5,BC=4,∴△ABC的面积是×4×5=10.故选A. 10.如图,把Rt△ABC放在直角坐标系内,其中∠CAB=90°,BC=5,点A、B的坐标分别为(1,0)、(4,0).将△ABC沿x轴向右平移,当点C落在直线y=2x﹣6上时,线段BC扫过的面积为( )A.4B.8C.16D.8【考点】坐标与图形变化-平移;一次函数图象上点的坐标特征.【分析】根据题意,线段BC扫过的面积应为一平行四边形的面积,其高是AC的长,底是点C平移的路程.求当点C落在直线y=2x﹣6上时的横坐标即可.【解答】解如图所示.∵点A、B的坐标分别为(1,0)、(4,0),∴AB=3.∵∠CAB=90°,BC=5,∴AC=4.∴A′C′=4.∵点C′在直线y=2x﹣6上,∴2x﹣6=4,解得x=5.即OA′=5.∴CC′=5﹣1=4.∴S▱BCC′B′=4×4=16(面积单位).即线段BC扫过的面积为16面积单位.故选C. 11.如图,在菱形ABCD中,∠A=110°,E,F分别是边AB和BC的中点,EP⊥CD于点P,则∠FPC=( )A.35°B.45°C.50°D.55°【考点】菱形的性质.【分析】延长PF交AB的延长线于点G.根据已知可得∠B,∠BEF,∠BFE的度数,再根据余角的性质可得到∠EPF的度数,从而不难求得∠FPC的度数.【解答】解延长PF交AB的延长线于点G.在△BGF与△CPF中,,∴△BGF≌△CPF(ASA),∴GF=PF,∴F为PG中点.又∵由题可知,∠BEP=90°,∴EF=PG(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半),∵PF=PG(中点定义),∴EF=PF,∴∠FEP=∠EPF,∵∠BEP=∠EPC=90°,∴∠BEP﹣∠FEP=∠EPC﹣∠EPF,即∠BEF=∠FPC,∵四边形ABCD为菱形,∴AB=BC,∠ABC=180°﹣∠A=70°,∵E,F分别为AB,BC的中点,∴BE=BF,∠BEF=∠BFE=(180°﹣70°)=55°,∴∠FPC=55°.故选D. 12.如图,在平面直角坐标系中,将△ABO绕点A顺指针旋转到△AB1C1的位置,点B、O分别落在点B
1、C1处,点B1在x轴上,再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置,点C2在x轴上,将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置,点A2在x轴上,依次进行下去…,若点A(,0),B(0,4),则点B2016的横坐标为( )A.5B.12C.10070D.10080【考点】坐标与图形变化-旋转.【分析】由图象可知点B2016在第一象限,求出B2,B4,B6的坐标,探究规律后即可解决问题.【解答】解由图象可知点B2016在第一象限,∵OA=,OB=4,∠AOB=90°,∴AB===,∴B2(10,4),B4(20,4),B6(30,4),…∴B2016(10080,4).∴点B2016纵坐标为10080.故选D.
二、填空题每小题4分,共24分.13.一组数据3,1,0,﹣1,x的平均数是1,则它们的方差是 2 .【考点】方差;算术平均数.【分析】根据题目中的数据可以求得x的值,然后根据方差的计算方法可以解答本题.【解答】解∵3,1,0,﹣1,x的平均数是1,∴=1,解得,x=2,∴它们的方差是=2,故答案为2. 14.函数中,自变量x的取值范围是 x≤3且x≠1 .【考点】函数自变量的取值范围.【分析】根据被开方数大于等于0,分母不等于0列式进行计算即可得解.【解答】解根据题意得,3﹣x≥0且x﹣1≠0,解得x≤3且x≠1.故答案为x≤3且x≠1. 15.若一元二次方程(k﹣1)x2﹣4x﹣5=0有两个不相等实数根,则k的取值范围是 k>且k≠1 .【考点】根的判别式.【分析】根据一元二次方程的根的判别式,建立关于k的不等式,求出k的取值范围.【解答】解∵a=k﹣1,b=﹣4,c=﹣5,方程有两个不相等的实数根,∴△=b2﹣4ac=16﹣4×(﹣5)×(k﹣1)=20k﹣4>0,∴k>,又∵二次项系数不为0,∴k≠1,即k≥且k≠1. 16.如图,直线y=kx+b经过A(﹣2,﹣1)和B(﹣3,0)两点,则不等式组x<kx+b<0的解集为 ﹣3<x<﹣2 .【考点】一次函数与一元一次不等式.【分析】由图象得到直线y=kx+b与坐标轴的两个交点坐标,利用待定系数法求得一次函数的解析式,即可得到不等式组,解不等式组即可求解.【解答】解直线y=kx+b经过A(﹣2,﹣1)和B(﹣3,0)两点,根据题意得,解得,则不等式组x<kx+b<0是x<﹣x﹣3<0,解得﹣3<x<﹣2.故本题答案为﹣3<x<﹣2. 17.如图,在边长为2cm的正方形ABCD中,点Q为BC边的中点,点P为对角线AC上一动点,连接PB、PQ,则△PBQ周长的最小值为 (+1) cm(结果不取近似值).【考点】轴对称-最短路线问题;正方形的性质.【分析】由于点B与点D关于AC对称,所以如果连接DQ,交AC于点P,那么△PBQ的周长最小,此时△PBQ的周长=BP+PQ+BQ=DQ+BQ.在Rt△CDQ中,由勾股定理先计算出DQ的长度,再得出结果.【解答】解连接DQ,交AC于点P,连接PB、BD,BD交AC于O.∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,BO=OD,CD=2cm,∴点B与点D关于AC对称,∴BP=DP,∴BP+PQ=DP+PQ=DQ.在Rt△CDQ中,DQ===cm,∴△PBQ的周长的最小值为BP+PQ+BQ=DQ+BQ=+1(cm).故答案为(+1). 18.如图,在平面直角坐标中,直线l经过原点,且与y轴正半轴所夹的锐角为60°,过点A(0,1)作y轴的垂线l于点B,过点B1作直线l的垂线交y轴于点A1,以A1B.BA为邻边作▱ABA1C1;过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1,过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2,以A2B1.B1A1为邻边作▱A1B1A2C2;…;按此作法继续下去,则Cn的坐标是 (﹣×4n﹣1,4n) .【考点】一次函数综合题;平行四边形的性质.【分析】先求出直线l的解析式为y=x,设B点坐标为(x,1),根据直线l经过点B,求出B点坐标为(,1),解Rt△A1AB,得出AA1=3,OA1=4,由平行四边形的性质得出A1C1=AB=,则C1点的坐标为(﹣,4),即(﹣×40,41);根据直线l经过点B1,求出B1点坐标为(4,4),解Rt△A2A1B1,得出A1A2=12,OA2=16,由平行四边形的性质得出A2C2=A1B1=4,则C2点的坐标为(﹣4,16),即(﹣×41,42);同理,可得C3点的坐标为(﹣16,64),即(﹣×42,43);进而得出规律,求得Cn的坐标是(﹣×4n﹣1,4n).【解答】解∵直线l经过原点,且与y轴正半轴所夹的锐角为60°,∴直线l的解析式为y=x.∵AB⊥y轴,点A(0,1),∴可设B点坐标为(x,1),将B(x,1)代入y=x,得1=x,解得x=,∴B点坐标为(,1),AB=.在Rt△A1AB中,∠AA1B=90°﹣60°=30°,∠A1AB=90°,∴AA1=AB=3,OA1=OA+AA1=1+3=4,∵▱ABA1C1中,A1C1=AB=,∴C1点的坐标为(﹣,4),即(﹣×40,41);由x=4,解得x=4,∴B1点坐标为(4,4),A1B1=4.在Rt△A2A1B1中,∠A1A2B1=30°,∠A2A1B1=90°,∴A1A2=A1B1=12,OA2=OA1+A1A2=4+12=16,∵▱A1B1A2C2中,A2C2=A1B1=4,∴C2点的坐标为(﹣4,16),即(﹣×41,42);同理,可得C3点的坐标为(﹣16,64),即(﹣×42,43);以此类推,则Cn的坐标是(﹣×4n﹣1,4n).故答案为(﹣×4n﹣1,4n).
三、解答题本大题共6小题,共60分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.19.用适当的方法解下列一元二次方程.
(1)(x﹣1)2+2x(x﹣1)=0;
(2)3y2+1=2y.【考点】解一元二次方程-因式分解法;解一元二次方程-配方法.【分析】
(1)左边提取公因式分解后即可得;
(2)整理成一般式后,根据完全平方公式分解因式即可得.【解答】解
(1)(x﹣1)(x﹣1+2x)=0,即(x﹣1)(3x﹣1)=0,∴x﹣1=0或3x﹣1=0,解得x=1或x=;
(2)整理,得3y2﹣2y+1=0,即(y﹣1)2=0,∴y﹣1=0,解得y=. 20.小明随机调查了若干市民租用公共自行车的骑车时间t(单位分),将获得的数据分成四组,绘制了如下统计图.请根据图中信息,解答下列问题.
(1)这次被调查的总人数是多少,并补全条形统计图.
(2)试求表示A组的扇形圆心角的度数.
(3)如果骑自行车的平均速度为12km/h,请估算,在租用公共自行车的市民中,骑车路程不超过6km的人数所占的百分比.【考点】条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图.【分析】
(1)根据B类人数是19,所占的百分比是38%,据此即可求得调查的总人数,总人数减去A、B、D三组人数可得C组人数,补全图形;
(2)利用360°乘以对应的百分比即可求解;
(3)求得路程是6km时所用的时间,根据百分比的意义可求得路程不超过6km的人数所占的百分比.【解答】解
(1)19÷38%=50(人),答这次被调查的总人数是50人;C组人数为50﹣15﹣19﹣4=12(人),补全条形统计图如图1
(2)表示A组的扇形圆心角的度数为×360°=108°;答A组的扇形圆心角的为108°;
(3)路程是6km时所用的时间是6÷12=
0.5(小时)=30(分钟),则骑车路程不超过6km的人数所占的百分比是×100%=92%. 21.如图,四边形ABCD是矩形,∠EDC=∠CAB,∠DEC=90°.
(1)求证AC∥DE;
(2)过点B作BF⊥AC于点F,连接EF,试判别四边形BCEF的形状,并说明理由.【考点】矩形的性质;平行线的判定;全等三角形的判定与性质;平行四边形的判定.【分析】
(1)要证AC∥DE,只要证明,∠EDC=∠ACD即可;
(2)要判断四边形BCEF的形状,可以先猜后证,利用三角形的全等,证明四边形的两组对边分别相等.【解答】
(1)证明∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD,∴∠ACD=∠CAB,∵∠EDC=∠CAB,∴∠EDC=∠ACD,∴AC∥DE;
(2)解四边形BCEF是平行四边形.理由如下∵BF⊥AC,四边形ABCD是矩形,∴∠DEC=∠AFB=90°,DC=AB在△CDE和△BAF中,,∴△CDE≌△BAF(AAS),∴CE=BF,DE=AF(全等三角形的对应边相等),∵AC∥DE,即DE=AF,DE∥AF,∴四边形ADEF是平行四边形,∴AD=EF,∵AD=BC,∴EF=BC,∵CE=BF,∴四边形BCEF是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形). 22.已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣2=0.
(1)求证不论k为何值,方程总有两个不相等实数根.
(2)设x1,x2是方程的根,且x12﹣2kx1+2x1x2=5,则k的值.【考点】根的判别式.【分析】
(1)先计算出判别式得到△=2k2+8,从而得到△>0,于是可判断不论k为何值,方程总有两个不相等实数根
(2)先利用方程解得定义得到x12﹣2kx1=﹣k2+2,根据根与系数的关系得到x1x2=k2﹣2,则﹣k2+2+2(k2﹣2)=5,然后解关于k的方程即可.【解答】
(1)证明△=(﹣2k)2﹣4(k2﹣2)=2k2+8>0,所以不论k为何值,方程总有两个不相等实数根;
(2)解∵x1是方程的根,∴x12﹣2kx1+k2﹣2=0,∴x12﹣2kx1=﹣k2+2,∵x12﹣2kx1+2x1x2=5,x1x2=k2﹣2,∴﹣k2+2+2(k2﹣2)=5,整理得k2﹣14=0,∴k=±. 23.汶川地震发生后某市组织了20辆汽车装运食品、药品、生活用品三种救灾物资共100吨到灾民安置点.按计划20辆汽车都要装运,每辆汽车只能装运同一种救灾物资且必须装满.根据下表提供的信息,解答下列问题物资种类食品药品生活用品每辆汽车装载量/吨654每吨所需运费/元/吨120160100
(1)设装运食品的车辆数为x辆,装运药品的车辆数为y辆.求y与x的函数关系式;
(2)如果装运食品的车辆数不少于5辆,装运药品的车辆数不少于4辆,那么,车辆的安排有几种方案?并写出每种安排方案;
(3)在
(2)的条件下,若要求总运费最少,应采用哪种安排方案?并求出最少总运费.【考点】一次函数的应用;一元一次不等式组的应用.【分析】
(1)根据题意和表格可以求得y与x的函数关系式;
(2)根据装运食品的车辆数不少于5辆,装运药品的车辆数不少于4辆,可以求得有几种安排车辆的方案,并且可以写出来;
(3)根据
(2)和表格中的数据可以得到哪种方案总费用最少,并且可以求出最少费用是多少.【解答】解
(1)由题意可得,6x+5y+4(20﹣x﹣y)=100,化简得,y=20﹣2x,即y与x的函数关系式是y=20﹣2x;
(2)∵x≥5且y=20﹣2x≥4,∴,解得,5≤x≤8,又∵x取正整数,∴x=5或x=6或x=7或x=8,∴共有4种方案,分别为方案一送食品的5辆,送药品的10辆,送生活用品的5辆;方案二送食品的6辆,送药品的8辆,送生活用品的6辆;方案三送食品的7辆,送药品的6辆,送生活用品的7辆;方案四送食品的8辆,送药品的4辆,送生活用品的8辆;
(3)由表格可知,选择方案四送食品的8辆,送药品的4辆,送生活用品的8辆总运费最低,此时总运费为120×8+160×4+100×8=2400(元),即总运费最少,应采用方案四送食品的8辆,送药品的4辆,送生活用品的8辆,最少总运费为2400元. 24.正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,P是对角线AC上一动点,过点P作PF⊥CD于点F,如图1,当点P与点O重合时,显然有DF=CF.
(1)如图2,若点P在线段AO上(不与点A、O重合),PE⊥PB且PE交CD于点E.
①求证DF=EF;
②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系,并证明你的结论;
(2)若点P在线段OC上(不与点O、C重合),PE⊥PB且PE交直线CD于点E.请完成图3并判断
(1)中的结论
①、
②是否分别成立?若不成立,写出相应的结论.由正方形的性质证得△BQP≌△PFE,从而得到DF=EF,由于△PCF和△PAG均为等腰直角三角形,故有PA=PG,PC=CF,易得PA=EF,进而得到PC、PA、CE满足关系为PC=CE+PA;
(2)同
(1)证得DF=EF,三条线段的数量关系是PA﹣PC=CE.【解答】解
(1)如图2,延长FP交AB于点Q,
①∵AC是正方形ABCD对角线,∴∠QAP=∠APQ=45°,∴AQ=PQ,∵AB=QF,∴BQ=PF,∵PE⊥PB,∴∠QPB+∠FPE=90°,∵∠QBP+∠QPB=90°,∴∠QBP=∠FPE,∵∠BQP=∠PFE=90°,∴△BQP≌△PFE,∴QP=EF,∵AQ=DF,∴DF=EF;
②如图2,过点P作PG⊥AD.∵PF⊥CD,∠PCF=∠PAG=45°,∴△PCF和△PAG均为等腰直角三角形,∵四边形DFPG为矩形,∴PA=PG,PC=CF,∵PG=DF,DF=EF,∴PA=EF,∴PC=CF=(CE+EF)=CE+EF=CE+PA,即PC、PA、CE满足关系为PC=CE+PA;
(2)结论
①仍成立;结论
②不成立,此时
②中三条线段的数量关系是PA﹣PC=CE.如图3
①∵PB⊥PE,BC⊥CE,∴B、P、C、E四点共圆,∴∠PEC=∠PBC,在△PBC和△PDC中有BC=DC(已知),∠PCB=∠PCD=45°(已证),PC边公共边,∴△PBC≌△PDC(SAS),∴∠PBC=∠PDC,∴∠PEC=∠PDC,∵PF⊥DE,∴DF=EF;
②同理PA=PG=DF=EF,PC=CF,∴PA=EF=(CE+CF)=CE+CF=CE+PC即PC、PA、CE满足关系为PA﹣PC=CE.。