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2015-2016学年江苏省南通市姜灶中学八年级(下)期末数学试卷一.选择题(每小题2分,共20分)1.如果一个一元二次方程的根是x1=x2=2,那么这个方程可能是( )A.(x+2)2=0B.(x﹣2)2=0C.x2=4D.x2+4=02.在函数y=中,自变量x的取值范围是( )A.x≠0B.x>2C.x≥2D.x≠23.如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,则下列说法一定正确的是( )A.AO=ODB.AO⊥ODC.AO=OCD.AO⊥AB4.一次函数y=﹣2x﹣1的图象不经过( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.抛物线y=﹣x2+4x﹣5的对称轴为直线( )A.x=4B.x=﹣4C.x=8D.x=﹣56.若关于x的方程x2+2x+a=0有两个实数根,则a的取值范围是( )A.a<1B.a>1C.a≤1D.a≥17.在一次中学生趣味数学竞赛中,参加比赛的10名学生的成绩如下表所示分数80859095人数1432这10名学生所得分数的平均数是( )A.86B.88C.90D.928.下列命题中错误的是( )A.两组对边分别对应相等的四边形是平行四边形B.两条对角线相等的平行四边形是矩形C.两条对角线垂直的平行四边形是菱形D.两条对角线垂直且相等的四边形是正方形9.如图所示,二次函数y=ax2+bx+c的图象中,王刚同学观察得出了下面四条信息
(1)b2﹣4ac>0;
(2)c>1;
(3)2a﹣b<0;
(4)a+b+c<0,其中错误的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个10.如图,正方形OABC中,点B(4,4),点E,F分别在边BC,BA上,OE=2,若∠EOF=45°,则OF的解析式为( )A.y=xB.y=xC.y=xD.y=x 二.填空题(每小题2分,共16分)11.若关于x的方程x2+mx﹣3=0的一个根为1,则m的值等于______.12.一次函数y=(2k﹣6)x+5中,y随x增大而增大,则k的取值范围为______.13.设x1,x2是方程x2+4x+3=0的两根,则x1+x2=______.14.将抛物线y=2x2向下平移1个长度单位,所得图象的函数解析式为______.15.如图,菱形ABCD中,AB=5cm,BD=6cm,则AC的长为______cm.16.如图,在正方形ABCD中,点F为CD上一点,BF与AC交于点E.若∠CBF=20°,则∠AED等于______度.17.如图,直线y=3x和y=kx+2相交于点P(a,3),则不等式kx+2≥3x的解集为______.18.已知点M(0,1),点N是抛物线y=x2﹣1上的一动点,设MN2=d,则d的最小值为______. 三.解答题(共10小题,共64分)19.解方程
(1)x2+2x=0;
(2)x2﹣3x+1=0.20.如图,在矩形ABCD中,点P在边AB上,∠APC=∠BPD,求证AP=BP.21.某地区2013年的人均收入为12000元,2015年的人均收入为14520.求人均收入的年平均增长率.22.已知一次函数y=2x+b,它的图象经过另外两个函数y=﹣2x+
1、y=x+4图象的交点,求实数b的值.23.如表给出一个二次函数的一些取值情况x…01234…y…30﹣103…
(1)请在直角坐标系中画出这个二次函数的图象;
(2)根据图象说明当x取何值时,y的值大于0?24.如图,D是线段AB的中点,C是线段AB的垂直平分线上的一点,DE⊥AC于点E,DF⊥BC于点F.
(1)求证DE=DF;
(2)当CD与AB满足怎样的数量关系时,四边形CEDF为正方形?请说明理由.25.甲、乙两人在5次打靶测试中命中的环数如下甲8,8,7,8,9乙5,9,7,10,9
(1)填写下表平均数众数中位数方差甲8______
80.4乙______9______
3.2
(2)教练根据这5次成绩,选择甲参加射击比赛,教练的理由是什么?
(3)如果乙再射击1次,命中8环,那么乙的射击成绩的方差______.(填“变大”、“变小”或“不变”).26.小明和小刚同时从公园门口出发,沿同一路线散步到公园凉亭再原路返回.他们离公园门口的距离y(m)与小刚行走的时间x(min)之间的关系如图.请根据图象,解答下列问题
(1)求线段BC对应的函数解析式;
(2)若小刚行走18分钟时两人相遇,求相遇点到公园门口的距离.27.九
(1)班数学兴趣小组经过市场调查,整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表时间x(天)1≤x<5050≤x≤90售价(元/件)x+4090每天销量(件)200﹣2x已知该商品的进价为每件30元,设销售该商品的每天利润为y元.
(1)求出y与x的函数关系式;
(2)问销售该商品第几天时,当天销售利润最大,最大利润是多少?
(3)该商品在销售过程中,共有多少天每天销售利润不低于4800元?请直接写出结果.28.如图,直线y1=kx+2与x轴交于点A(m,0)(m>4),与y轴交于点B,抛物线y2=ax2﹣4ax+c(a<0)经过A,B两点.P为线段AB上一点,过点P作PQ∥y轴交抛物线于点Q.
(1)当m=5时,
①求抛物线的关系式;
②设点P的横坐标为x,用含x的代数式表示PQ的长,并求当x为何值时,PQ=;
(2)若PQ长的最大值为16,试讨论关于x的一元二次方程ax2﹣4ax﹣kx=h的解的个数与h的取值范围的关系. 2015-2016学年江苏省南通市姜灶中学八年级(下)期末数学试卷参考答案与试题解析 一.选择题(每小题2分,共20分)1.如果一个一元二次方程的根是x1=x2=2,那么这个方程可能是( )A.(x+2)2=0B.(x﹣2)2=0C.x2=4D.x2+4=0【考点】一元二次方程的解.【分析】分别求出四个选项中每一个方程的根,即可判断求解.【解答】解A、(x+2)2=0的根是x1=x2=﹣2,不符合题意;B、(x﹣2)2=0的根是x1=x2=2,符合题意;C、x2=4的根是x1=2,x2=﹣2,不符合题意;D、x2+4=0没有实数根,不符合题意;故选B. 2.在函数y=中,自变量x的取值范围是( )A.x≠0B.x>2C.x≥2D.x≠2【考点】函数自变量的取值范围.【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解.【解答】解根据题意得,x﹣2≠0,解得x≠2.故选D. 3.如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,则下列说法一定正确的是( )A.AO=ODB.AO⊥ODC.AO=OCD.AO⊥AB【考点】平行四边形的性质.【分析】根据平行四边形的性质对边平行且相等,对角线互相平分进行判断即可.【解答】解对角线不一定相等,A错误;对角线不一定互相垂直,B错误;对角线互相平分,C正确;对角线与边不一定垂直,D错误.故选C. 4.一次函数y=﹣2x﹣1的图象不经过( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【考点】一次函数图象与系数的关系.【分析】因为k=﹣2<0,b=﹣1<0,根据一次函数y=kx+b(k≠0)的性质得到图象经过第
二、四象限,图象与y轴的交点在x轴下方,于是可判断一次函数y=﹣2x﹣1的图象不经过第一象限.【解答】解对于一次函数y=﹣2x﹣1,∵k=﹣2<0,∴图象经过第
二、四象限;又∵b=﹣1<0,∴一次函数的图象与y轴的交点在x轴下方,即函数图象还经过第三象限,∴一次函数y=﹣2x﹣1的图象不经过第一象限.故选A. 5.抛物线y=﹣x2+4x﹣5的对称轴为直线( )A.x=4B.x=﹣4C.x=8D.x=﹣5【考点】二次函数的性质.【分析】首先确定抛物线y=﹣x2+4x﹣5中a、b的值,然后再根据二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴直线x=﹣代入计算即可.【解答】解y=﹣x2+4x﹣5中a=﹣,b=4,对称轴为x=﹣=﹣=4,故选A. 6.若关于x的方程x2+2x+a=0有两个实数根,则a的取值范围是( )A.a<1B.a>1C.a≤1D.a≥1【考点】根的判别式.【分析】由方程有两个实数根,得到根的判别式大于等于0,即可确定出a的范围.【解答】解∵关于x的方程x2+2x+a=0有实数根,∴△=4﹣4a≥0,∴a≤1,故选C. 7.在一次中学生趣味数学竞赛中,参加比赛的10名学生的成绩如下表所示分数80859095人数1432这10名学生所得分数的平均数是( )A.86B.88C.90D.92【考点】加权平均数.【分析】根据加权平均数的计算方法可以求得这10名学生所得分数的平均数,本题得以解决.【解答】解由题意和表格可得,这10名学生所得分数的平均数是=88,故选B. 8.下列命题中错误的是( )A.两组对边分别对应相等的四边形是平行四边形B.两条对角线相等的平行四边形是矩形C.两条对角线垂直的平行四边形是菱形D.两条对角线垂直且相等的四边形是正方形【考点】命题与定理.【分析】根据平行四边形的判定方法对A进行判断;根据矩形的判定方法对B进行判断;根据菱形的判定方法对C进行判断;根据正方形的判定方法对D进行判断.【解答】解A、两组对边分别对应相等的四边形是平行四边形,所以A选项为真命题;B、两条对角线相等的平行四边形是矩形,所以B选项为真命题;C、两条对角线垂直的平行四边形是矩形,所以C选项为真命题;D、两条对角线垂直且相等的平行四边形是正方形,所以D选项为假命题.故选D. 9.如图所示,二次函数y=ax2+bx+c的图象中,王刚同学观察得出了下面四条信息
(1)b2﹣4ac>0;
(2)c>1;
(3)2a﹣b<0;
(4)a+b+c<0,其中错误的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【考点】二次函数图象与系数的关系.【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.【解答】解
(1)图象与x轴有2个交点,依据根的判别式可知b2﹣4ac>0,正确;
(2)图象与y轴的交点在1的下方,所以c<1,错误;
(3)∵对称轴在﹣1的右边,∴﹣>﹣1,又∵a<0,∴2a﹣b<0,正确;
(4)当x=1时,y=a+b+c<0,正确;故错误的有1个.故选A. 10.如图,正方形OABC中,点B(4,4),点E,F分别在边BC,BA上,OE=2,若∠EOF=45°,则OF的解析式为( )A.y=xB.y=xC.y=xD.y=x【考点】待定系数法求一次函数解析式;全等三角形的判定与性质;正方形的性质.【分析】作辅助线,构建全等三角形,证明△OCE≌△OAD和△EOF≌△DOF,得EF=FD,设AF=x,在直角△EFB中利用勾股定理列方程求出x=,根据正方形的边长写出点F的坐标,并求直线OF的解析式.【解答】解延长BF至D,使AD=CE,连接OD,∵四边形OABC是正方形,∴OC=OA,∠OCB=∠OAD,∴△OCE≌△OAD,∴OE=OD,∠COE=∠AOD,∵∠EOF=45°,∴∠COE+∠FOA=90°﹣45°=45°,∴∠AOD+∠FOA=45°,∴∠EOF=∠FOD,∵OF=OF,∴△EOF≌△DOF,∴EF=FD,由题意得;OC=4,OE=2,∴CE==2,∴BE=2,设AF=x,则BF=4﹣x,EF=FD=2+x,∴(2+x)2=22+(4﹣x)2,解得x=,∴F(4,),设OF的解析式为y=kx,4k=,k=,∴OF的解析式为y=x,故选B. 二.填空题(每小题2分,共16分)11.若关于x的方程x2+mx﹣3=0的一个根为1,则m的值等于 2 .【考点】一元二次方程的解.【分析】把x=1代入已知方程得到关于m的新方程,通过解新方程来求m的值即可.【解答】解把x=1代入x2+mx﹣3=0,得12+m﹣3=0,解得m=2.故答案是2. 12.一次函数y=(2k﹣6)x+5中,y随x增大而增大,则k的取值范围为 k>3 .【考点】一次函数图象与系数的关系.【分析】根据一次函数的性质可知“当k>0时,变量y的值随x的值增大而增大”,由此可得出结论.【解答】解∵一次函数y=(2k﹣6)x+5中,变量y的值随x的值增大而增大,∴2k﹣6>0.解得k>3,故答案为k>3. 13.设x1,x2是方程x2+4x+3=0的两根,则x1+x2= ﹣4 .【考点】根与系数的关系.【分析】直接根据根与系数的关系求解.【解答】解根据题意得x1+x2=﹣4.故答案为﹣4. 14.将抛物线y=2x2向下平移1个长度单位,所得图象的函数解析式为 y=2x2﹣1 .【考点】二次函数图象与几何变换.【分析】原抛物线顶点坐标为(0,0),平移后抛物线顶点坐标为(0,﹣1),平移不改变二次项系数,可根据顶点式求出平移后抛物线解析式.【解答】解依题意,得平移后抛物线顶点坐标为(0,﹣1),由平移不改变二次项系数,∴得到的抛物线解析式为y=2x2﹣1.故答案为y=2x2﹣1. 15.如图,菱形ABCD中,AB=5cm,BD=6cm,则AC的长为 8 cm.【考点】菱形的性质.【分析】根据菱形的性质可得AC⊥BD,AO=CO=AC,BO=DO=BD,再根据勾股定理计算出AO长,进而可得AC长.【解答】解如图所示∵菱形ABCD中,AB=5cm,BD=6cm,∴BO=3cm,∠AOB=90°,则AO==4(cm),故AC=2AO=8cm.故答案为8. 16.如图,在正方形ABCD中,点F为CD上一点,BF与AC交于点E.若∠CBF=20°,则∠AED等于 65 度.【考点】正方形的性质;全等三角形的判定与性质.【分析】根据正方形的性质得出∠BAE=∠DAE,再利用SAS证明△ABE与△ADE全等,再利用三角形的内角和解答即可.【解答】解∵正方形ABCD,∴AB=AD,∠BAE=∠DAE,在△ABE与△ADE中,,∴△ABE≌△ADE(SAS),∴∠AEB=∠AED,∠ABE=∠ADE,∵∠CBF=20°,∴∠ABE=70°,∴∠AED=∠AEB=180°﹣45°﹣70°=65°,故答案为65 17.如图,直线y=3x和y=kx+2相交于点P(a,3),则不等式kx+2≥3x的解集为 x≤1 .【考点】一次函数与一元一次不等式.【分析】先把点P(a,3)代入直线y=3x求出a的值,故可得出P点坐标,再根据函数图象进行解答即可.【解答】解∵直线y=3x和直线y=kx+2的图象相交于点P(a,3),∴3=3a,解得a=1,∴P(1,3),由函数图象可知,当x≤1时,直线y=3x的图象在直线y=kx+2的图象的下方即当x≤1时,kx+2≥3x.故答案为x≤1. 18.已知点M(0,1),点N是抛物线y=x2﹣1上的一动点,设MN2=d,则d的最小值为 .【考点】二次函数图象上点的坐标特征;二次函数的最值.【分析】求出抛物线与x轴的交点坐标,由勾股定理求出MB=;设N(x,x2﹣1),作NA⊥y轴于A,则OA=x2﹣1,AN=x,∴MA=OM﹣OA=2﹣x2,由勾股定理和二次函数的最值得出d的最大值=<,得出当N是抛物线与x轴的交点时,d有最小值为即可.【解答】解抛物线y=x2﹣1,当y=0时,x=±1,∴抛物线与x轴的交点坐标为B(1,0),C(﹣1,0),∵M(0,1),∴OM=1,∴MB==;设N(x,x2﹣1),作NA⊥y轴于A,如图所示则OA=x2﹣1,AN=x,∴MA=OM﹣OA=2﹣x2,由勾股定理得d=MN2=MA2+AN2=(2﹣x2)2+x2=x4﹣3x2+4=(x2﹣)2+,当x2=时,d的最大值=<,∵点N是抛物线y=x2﹣1上的一动点,∴当N是抛物线与x轴的交点时,d有最小值为;故答案为. 三.解答题(共10小题,共64分)19.解方程
(1)x2+2x=0;
(2)x2﹣3x+1=0.【考点】解一元二次方程-因式分解法;解一元二次方程-公式法.【分析】
(1)原式利用因式分解法求出解即可;
(2)原式利用公式法求出解即可.【解答】解
(1)分解因式得x(x+2)=0,可得x=0或x+2=0,解得x1=0,x2=﹣2;
(2)这里a=1,b=﹣3,c=1,∵△=9﹣4=5,∴x=. 20.如图,在矩形ABCD中,点P在边AB上,∠APC=∠BPD,求证AP=BP.【考点】矩形的性质.【分析】根据矩形的性质可得∠A=∠B=90°,AD=BC,根据条件∠APC=∠BPD可得∠APD=∠CPB,然后再利用AAS判定△DAP≌△CBP,进而可得AP=BP.【解答】解∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠B=90°,AD=BC,∵∠APC=∠BPD,∴∠APC﹣∠DPC=∠DPB﹣∠DPC,∴∠APD=∠CPB,在△DAP和△CBP中,∴△DAP≌△CBP(AAS),∴AP=BP. 21.某地区2013年的人均收入为12000元,2015年的人均收入为14520.求人均收入的年平均增长率.【考点】一元二次方程的应用.【分析】设这两年的平均增长率为x,2013年的人均收入×(1+平均增长率)2=2015年人均收入,把相关数值代入求得年平均增长率.【解答】解设这两年的平均增长率为x,由题意得12000(1+x)2=14520,解得x1=﹣
2.1(不合题意舍去),x2=
0.1=10%.答这两年的平均增长率为10%. 22.已知一次函数y=2x+b,它的图象经过另外两个函数y=﹣2x+
1、y=x+4图象的交点,求实数b的值.【考点】两条直线相交或平行问题.【分析】可先求出直线y=﹣2x+1与y=x+4图象的交点,然后把交点坐标代入y=2x+b,就可解决问题.【解答】解解,得,把x=﹣1,y=3代入y=2x+b,得b=5. 23.如表给出一个二次函数的一些取值情况x…01234…y…30﹣103…
(1)请在直角坐标系中画出这个二次函数的图象;
(2)根据图象说明当x取何值时,y的值大于0?【考点】二次函数的图象.【分析】
(1)通过描点、连线得到抛物线;
(2)根据图象直接回答.【解答】解
(1)画图如图所示,
(3)根据图象知,当x<1或x>3时,y>0. 24.如图,D是线段AB的中点,C是线段AB的垂直平分线上的一点,DE⊥AC于点E,DF⊥BC于点F.
(1)求证DE=DF;
(2)当CD与AB满足怎样的数量关系时,四边形CEDF为正方形?请说明理由.【考点】正方形的判定;全等三角形的判定与性质.【分析】
(1)由CD垂直平分线AB,可得AC=CB,得出∠ACD=∠BCD,再由∠EDC=∠FDC=90°,可证得△ACD≌△BCD,得出CE=CF即可;
(2)先证明四边形CEDF是矩形,再证出因此AB=2CD时,四边形CEDF为正方形.【解答】
(1)证明∵CD垂直平分线AB,∴AC=CB.∴△ABC是等腰三角形,∵CD⊥AB,∴∠ACD=∠BCD.∵DE⊥AC,DF⊥BC,∴∠DEC=∠DFC=90°∴∠EDC=∠FDC,在△DEC与△DFC中,,∴△DEC≌△DFC(ASA),∴DE=DF;
(2)解当AB=2CD时,四边形CEDF为正方形.理由如下∵AD=BD,AB=2CD,∴AD=BD=CD.∴∠ACD=45°,∠DCB=45°,∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°,∴四边形DECF是矩形.又∵DE=DF,∴四边形CEDF是正方形. 25.甲、乙两人在5次打靶测试中命中的环数如下甲8,8,7,8,9乙5,9,7,10,9
(1)填写下表平均数众数中位数方差甲8 8
80.4乙 8 9 9
3.2
(2)教练根据这5次成绩,选择甲参加射击比赛,教练的理由是什么?
(3)如果乙再射击1次,命中8环,那么乙的射击成绩的方差 变小 .(填“变大”、“变小”或“不变”).【考点】方差;算术平均数;中位数;众数.【分析】
(1)根据众数、平均数和中位数的定义求解;
(2)根据方差的意义求解;
(3)根据方差公式求解.【解答】解
(1)甲的众数为8,乙的平均数=×(5+9+7+10+9)=8,乙的中位数为9;
(2)因为他们的平均数相等,而甲的方差小,发挥比较稳定,所以选择甲参加射击比赛;
(3)如果乙再射击1次,命中8环,那么乙的射击成绩的方差变小.故答案为8,8,9;变小. 26.小明和小刚同时从公园门口出发,沿同一路线散步到公园凉亭再原路返回.他们离公园门口的距离y(m)与小刚行走的时间x(min)之间的关系如图.请根据图象,解答下列问题
(1)求线段BC对应的函数解析式;
(2)若小刚行走18分钟时两人相遇,求相遇点到公园门口的距离.【考点】一次函数的应用.【分析】
(1)由函数图象可知线段BC对应的一次函数图象的一部分,所以可设BC段对应的函数表达式为y=kx+b,列方程组即可得到结果;
(2)把x=18代入
(1)中函数解析式即可得到结论.【解答】解
(1)设BC段对应的函数表达式为y=kx+b,由题意得,解得.则y=﹣40x+1200(15≤x≤30);
(2)当x=18时,y=﹣40×18+1200=480(米).答相遇点P到公园门口的距离480米. 27.九
(1)班数学兴趣小组经过市场调查,整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表时间x(天)1≤x<5050≤x≤90售价(元/件)x+4090每天销量(件)200﹣2x已知该商品的进价为每件30元,设销售该商品的每天利润为y元.
(1)求出y与x的函数关系式;
(2)问销售该商品第几天时,当天销售利润最大,最大利润是多少?
(3)该商品在销售过程中,共有多少天每天销售利润不低于4800元?请直接写出结果.【考点】二次函数的应用.【分析】
(1)根据单价乘以数量,可得利润,可得答案;
(2)根据分段函数的性质,可分别得出最大值,根据有理数的比较,可得答案;
(3)根据二次函数值大于或等于4800,一次函数值大于或等于48000,可得不等式,根据解不等式组,可得答案.【解答】解
(1)当1≤x<50时,y=(x+40﹣30)=﹣2x2+180x+2000,当50≤x≤90时,y=(90﹣30)=﹣120x+12000,综上所述y=;
(2)当1≤x<50时,二次函数开口向下,二次函数对称轴为x=45,当x=45时,y最大=﹣2×452+180×45+2000=6050,当50≤x≤90时,y随x的增大而减小,当x=50时,y最大=6000,综上所述,该商品第45天时,当天销售利润最大,最大利润是6050元;
(3)当1≤x<50时,y=﹣2x2+180x+2000≥4800,解得20≤x≤70,因此利润不低于4800元的天数是20≤x<50,共30天;当50≤x≤90时,y=﹣120x+12000≥4800,解得x≤60,因此利润不低于4800元的天数是50≤x≤60,共11天,所以该商品在销售过程中,共41天每天销售利润不低于4800元. 28.如图,直线y1=kx+2与x轴交于点A(m,0)(m>4),与y轴交于点B,抛物线y2=ax2﹣4ax+c(a<0)经过A,B两点.P为线段AB上一点,过点P作PQ∥y轴交抛物线于点Q.
(1)当m=5时,
①求抛物线的关系式;
②设点P的横坐标为x,用含x的代数式表示PQ的长,并求当x为何值时,PQ=;
(2)若PQ长的最大值为16,试讨论关于x的一元二次方程ax2﹣4ax﹣kx=h的解的个数与h的取值范围的关系.【考点】二次函数综合题.【分析】
(1)
①有m=5得到A点坐标,再把A点坐标代入直线解析式求出k得到y1=﹣x+2,接着计算自变量为0时对应的函数值可得B点坐标,然后把A点和B点坐标代入y2=ax2﹣4ax+c得到a和c的方程组,再解方程组求出a、c即可得到抛物线解析式;
②利用二次函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征,设点P的坐标为(x,﹣x+2),Q(x,﹣x2+x+2),则可表示出PQ=﹣x2+2x,然后利用PQ=得到﹣x2+2x=,然后解方程即可;
(2)设P(x,kx+2),则Q(x,ax2﹣4ax+2),PQ的长用l表示,则易得l=ax2﹣(4a+k)x,再利用PQ长的最大值为16大致画出l与x的二次函数图象,由于一元二次方程ax2﹣4ax﹣kx=h的解的情况可看作为二次函数l=ax2﹣4ax﹣kx与直线l=h的交点个数,则利用函数图象可判断当h=16时,一元二次方程ax2﹣4ax﹣kx=h有两个相等的实数解;当h>16时,一元二次方程ax2﹣4ax﹣kx=h没有实数解;当0<h<16时,一元二次方程ax2﹣4ax﹣kx=h有两个解.【解答】解
(1)
①∵m=5,∴点A的坐标为(5,0),把A(5,0)代入y1=kx+2得5k+2=0,解得k=﹣,∴直线解析式为y1=﹣x+2,当x=0时,y1=2,∴点B的坐标为(0,2).将A(5,0),B(0,2)代入,得,解得,∴抛物线的表达式为y=﹣x2+x+2;
②设点P的坐标为(x,﹣x+2),则Q(x,﹣x2+x+2),∴PQ=﹣x2+x+2﹣(﹣x+2)=﹣x2+2x,而PQ=,∴﹣x2+2x=,解得x1=1,x2=4,∴当x=1或x=4时,PQ=;
(2)设P(x,kx+2),则Q(x,ax2﹣4ax+2),PQ的长用l表示,∴l=ax2﹣4ax+2﹣(kx+2)=ax2﹣(4a+k)x,∵PQ长的最大值为16,如图,当h=16时,一元二次方程ax2﹣4ax﹣kx=h有两个相等的实数解;当h>16时,一元二次方程ax2﹣4ax﹣kx=h没有实数解;当0<h<16时,一元二次方程ax2﹣4ax﹣kx=h有两个解.。