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河南省新乡市2015-2016学年八年级(下)期末数学试卷
一、选择题1.若分式的值为零,则x的值是( )A.0B.1C.﹣1D.﹣22.有8个数的平均数是11,另外有12个数的平均数是12,这20个数的平均数是( )A.
11.6B.
2.32C.
23.2D.
11.53.下列命题是真命题的是( )A.有一个角是直角的四边形是矩形B.有一组邻边相等的四边形是菱形C.有三个角是直角的四边形是矩形D.有三条边相等的四边形是菱形4.如图,▱ABCD的周长为40,△BOC的周长比△AOB的周长多4,则AB的长为( )A.4B.8C.10D.125.如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点E,∠CBD=90°,BC=4,BE=ED=3,AC=10,则四边形ABCD的面积为( )A.6B.12C.20D.246.在同一坐标系中(水平方向是x轴),函数y=和y=kx+3的图象大致是( )A.B.C.D.7.有一组数据16,x,19,19,它们的平均数比众数小1,则这组数据的平均数和中位数分别是( )A.18,
17.5B.18,19C.19,18D.18,
18.58.如图,点P是反比例函数y=(x>0)的图象上的任意一点,过点P分别作两坐标轴的垂线,与坐标轴构成矩形OAPB,点D是矩形OAPB内任意一点,连接DA、DB、DP、DO,则图中阴影部分的面积是( )A.1B.2C.3D.4.
二、填空题9.人体中成熟的红细胞的平均直径为
0.0000077m,
0.0000077用科学记数法表示为______.10.质检部门对甲、乙两工厂生产的同样产品抽样调查,计算出甲厂的样本方差为
0.99,乙厂的样本方差为
1.02,那么,由此可以推断出生产此类产品,质量比较稳定的是______厂(填写“甲”或者“乙”).11.四边形ABCD中,AD∥BC,要使四边形ABCD成为平行四边形还需满足的条件是______(横线只需填一个你认为合适的条件即可)12.如图,在▱ABCD中,BE平分∠ABC,BC=6,DE=2,则▱ABCD的周长等于______.13.如图,已知E、F、G、H分别为菱形ABCD四边的中点,AB=4cm,∠ABC=60°,则四边形EFGH的面积为______cm2.14.如图所示的函数图象反映的过程是小明从家去书店看一会儿书,又去学校取封信后马上回家,其中x表示时间(单位小时),y表示小明离家的距离(单位千米),则小明从学校回家的平均速度为______千米∕小时.15.如图,函数y=﹣x与函数y=﹣的图象交于A,B两点,过A,B两点分别作y轴的垂线,垂足分别为点C,点D.则四边形ACBD的面积为______.
三、解答题(本题共9个小题,共75分)16.计算(x+2)•﹣.17.解方程﹣3=.18.某徒步旅游俱乐部到15km外的森林公园春游,保障队与大队从停车站同时出发,行进速度是大队的
1.2倍,以便提前小时达到目的地准备工作,求保障队与大队的速度各是多少?19.如图,E为正方形ABCD边BC延长线上一点,且CE=BD,AE交DC于F,求∠AFC的度数.20.如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于A(﹣2,1),B(1,n)两点.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围.21.某玉米种子的价格为a元/千克,如果一次购买2千克以上的种子,超过2千克部分的种子价格打8折,小刚同学对购买量和付款金额这两个变量的对应关系用列表法做了分析,并绘制出了函数图象,以下是小刚绘制的表格和图象的不完整资料,已知点A的坐标为(2,10),请你结合表格和图象解答下列问题付款金额a
7.51012b购买量(千克)
11.
522.53
(1)求出表中a、b的值;
(2)当x>2时,求y关于x的函数解析式;
(3)王老汉将
8.8元钱全部用于购买玉米种子,他的购买量是多少?李老汉购买了4165克该玉米种子,他的付款金额是多少?22.某品牌的生产厂家对其下属10个专卖店某月的销售额进行统计,列表如下销售额/万元293234384855专卖店/个数113221
(1)求这10个专卖店该月销售额的平均数、众数、中位数;
(2)为了调动各专卖店经营的积极性,该厂决定实行目标管理,即确定月销售额,并以此对超额销售的专卖店进行奖励.如果想确定一个较高的销售目标,你认为月销售额定为多少比较合适?并说明理由.23.如图,矩形ABCD中,对角线AC的垂直平分线交AD边于点E,交BC边于点F,分别连结AF和CE.
(1)根据题意将图形补画完整(要求尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);
(2)试判断四边形AFCE的形状,并证明你的判断.24.△ABC是等边三角形,点D是射线BC上的一个动点(点D不与点B、C重合),△ADE是以AD为边的等边三角形,过点E作BC的平行线,分别交射线AB、AC于点F、G,连接BE.
(1)如图(a)所示,当点D在线段BC上时.
①求证△AEB≌△ADC;
②探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形?并说明理由;
(2)如图(b)所示,当点D在BC的延长线上时,直接写出
(1)中的两个结论是否成立;
(3)在
(2)的情况下,当点D运动到什么位置时,四边形BCGE是菱形?并说明理由.25.在直角坐标系中,点A的坐标是(3,0),点P在第一象限内的直线y=﹣x+4上.设点P的坐标为(x,y).
(1)求△POA的面积S与自变量x的函数关系式及x的取值范围;
(2)当S=时,求点P的位置;
(3)在
(2)的条件下,若以P、O、A、Q为顶点构成平行四边形,请直接写出第四个顶点Q的坐标. 2015-2016学年河南省新乡市八年级(下)期末数学试卷参考答案与试题解析
一、选择题1.若分式的值为零,则x的值是( )A.0B.1C.﹣1D.﹣2【考点】分式的值为零的条件.【分析】分式的值是0的条件是分子为0,分母不为0,则可得x﹣1=0且x+2≠0,从而解决问题.【解答】解∵x﹣1=0且x+2≠0,∴x=1.故选B.【点评】此题考查的是分式的值为零的条件,分式是0的条件中特别需要注意的是分母不能是0,这是经常考查的知识点. 2.有8个数的平均数是11,另外有12个数的平均数是12,这20个数的平均数是( )A.
11.6B.
2.32C.
23.2D.
11.5【考点】加权平均数.【分析】根据平均数的公式求解即可,8个数的和加12个数的和除以20即可.【解答】解根据平均数的求法共(8+12)=20个数,这些数之和为8×11+12×12=232,故这些数的平均数是=
11.6.故选A.【点评】本题考查的是样本平均数的求法.. 3.下列命题是真命题的是( )A.有一个角是直角的四边形是矩形B.有一组邻边相等的四边形是菱形C.有三个角是直角的四边形是矩形D.有三条边相等的四边形是菱形【考点】菱形的判定;矩形的判定;命题与定理.【分析】分析是否为真命题,需要分别分析各题设是否能推出结论,从而利用排除法得出答案.【解答】解A、有一个角是直角的平行四边形是矩形,故选项错误;B、四条边都相等的四边形是菱形,故选项错误;C、有三个角是直角的四边形是矩形,故选项正确;D、四条边都相等的四边形是菱形,故选项错误.故选C.【点评】此题考查菱形、矩形的判定及其区别.熟练掌握菱形、矩形的判定定理是解题关键. 4.如图,▱ABCD的周长为40,△BOC的周长比△AOB的周长多4,则AB的长为( )A.4B.8C.10D.12【考点】平行四边形的性质.【分析】由“△BOC的周长比△AOB的周长多4”及平行四边形性质知,BC比AB长4,再由周长,即可求得AB的长.【解答】解由平行四边形的性质知AO=OC,又∵△BOC的周长比△AOB的周长多4,∴BC﹣AB=4,又∵2AB+2BC=40,∴AB=8,即AB的长为8.故选B.【点评】本题考查了平行四边形的性质,并利用性质解题.平行四边形的基本性质
①平行四边形两组对边分别平行;
②平行四边形的两组对边分别相等;
③平行四边形的两组对角分别相等;
④平行四边形的对角线互相平分. 5.如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点E,∠CBD=90°,BC=4,BE=ED=3,AC=10,则四边形ABCD的面积为( )A.6B.12C.20D.24【考点】平行四边形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理.【分析】根据勾股定理,可得EC的长,根据平行四边形的判定,可得四边形ABCD的形状,根据平行四边形的面积公式,可得答案.【解答】解在Rt△BCE中,由勾股定理,得CE===5.∵BE=DE=3,AE=CE=5,∴四边形ABCD是平行四边形.四边形ABCD的面积为BC•BD=4×(3+3)=24,故选D.【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质,利用了勾股定理得出CE的长,又利用对角线互相平分的四边形是平行四边形,最后利用了平行四边形的面积公式. 6.在同一坐标系中(水平方向是x轴),函数y=和y=kx+3的图象大致是( )A.B.C.D.【考点】反比例函数的图象;一次函数的图象.【分析】根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系作答.【解答】解A、由函数y=的图象可知k>0与y=kx+3的图象k>0一致,故A选项正确;B、由函数y=的图象可知k>0与y=kx+3的图象k>0,与3>0矛盾,故B选项错误;C、由函数y=的图象可知k<0与y=kx+3的图象k<0矛盾,故C选项错误;D、由函数y=的图象可知k>0与y=kx+3的图象k<0矛盾,故D选项错误.故选A.【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质,要掌握它们的性质才能灵活解题. 7.有一组数据16,x,19,19,它们的平均数比众数小1,则这组数据的平均数和中位数分别是( )A.18,
17.5B.18,19C.19,18D.18,
18.5【考点】中位数;算术平均数.【分析】先求出x值,分两种情况讨论众数是19时和众数是16时,再根据平均数和中位数的概念求解.【解答】解∵数据16,x,19,19平均数比众数小1∴当众数是19时,平均数=(16+x+19+19)÷4=18,x=18众数是16时,平均数=(16+x+19+19)÷4=15,x=6(舍去)数据按从小到大排列为16,18,19,19,中位数是(18+19)÷2=
18.5.故选D.【点评】本题考查中平均数和中位数的意义.一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数,将一组数据从小到大依次排列,把中间数据(或中间两数据的平均数)叫做中位数. 8.如图,点P是反比例函数y=(x>0)的图象上的任意一点,过点P分别作两坐标轴的垂线,与坐标轴构成矩形OAPB,点D是矩形OAPB内任意一点,连接DA、DB、DP、DO,则图中阴影部分的面积是( )A.1B.2C.3D.4.【考点】反比例函数系数k的几何意义.【分析】首先根据反比例系数k的几何意义,可知矩形OAPB的面积=6,然后根据题意,得出图中阴影部分的面积是矩形OAPB的面积的一半,从而求出结果.【解答】解∵P是反比例函数的图象的任意点,过点P分别做两坐标轴的垂线,∴与坐标轴构成矩形OAPB的面积=6.∴阴影部分的面积=×矩形OAPB的面积=3.故选C.【点评】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义和矩形的性质,在反比例函数y=图象中任取一点,过这一个点向x轴和y轴分别作垂线,与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|是解答此题的关键.
二、填空题9.人体中成熟的红细胞的平均直径为
0.0000077m,
0.0000077用科学记数法表示为
7.7×10﹣6 .【考点】科学记数法—表示较小的数.【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a×10﹣n,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.【解答】解
0.0000077=
7.7×10﹣6,故答案为
7.7×10﹣6.【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数,一般形式为a×10﹣n,其中1≤|a|<10,n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定. 10.质检部门对甲、乙两工厂生产的同样产品抽样调查,计算出甲厂的样本方差为
0.99,乙厂的样本方差为
1.02,那么,由此可以推断出生产此类产品,质量比较稳定的是 甲 厂(填写“甲”或者“乙”).【考点】方差.【分析】根据方差的定义判断,方差越小数据越稳定.【解答】解因为S甲2=
0.99<S乙2=
1.02,方差小的为甲,所以本题中质量比较稳定的是甲.故填甲.【点评】本题考查方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差越大,表明这组数据偏离平均数越大,即波动越大,数据越不稳定;反之,方差越小,表明这组数据分布比较集中,各数据偏离平均数越小,即波动越小,数据越稳定. 11.四边形ABCD中,AD∥BC,要使四边形ABCD成为平行四边形还需满足的条件是 AD=BC(或AD∥BC) (横线只需填一个你认为合适的条件即可)【考点】平行四边形的判定.【分析】在已知一组对边平行的基础上,要判定是平行四边形,则需要增加另一组对边平行,或平行的这组对边相等,或一组对角相等均可.【解答】解根据平行四边形的判定方法,知需要增加的条件是AD=BC或AB∥CD或∠A=∠C或∠B=∠D.故答案为AD=BC(或AB∥CD).【点评】此题考查了平行四边形的判定,为开放性试题,答案不唯一,要掌握平行四边形的判定方法.两组对边分别平行的四边形是平行四边形;两组对边分别相等的四边形是平行四边形;一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;两组对角相等的四边形是平行四边形;对角线互相平分的四边形是平行四边形. 12.如图,在▱ABCD中,BE平分∠ABC,BC=6,DE=2,则▱ABCD的周长等于 20 .【考点】平行四边形的性质.【分析】根据四边形ABCD为平行四边形可得AE∥BC,根据平行线的性质和角平分线的性质可得出∠ABE=∠AEB,继而可得AB=AE,然后根据已知可求得结果.【解答】解∵四边形ABCD为平行四边形,∴AE∥BC,AD=BC,AB=CD,∴∠AEB=∠EBC,∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠EBC,∴∠ABE=∠AEB,∴AB=AE,∴AE+DE=AD=BC=6,∴AE+2=6,∴AE=4,∴AB=CD=4,∴▱ABCD的周长=4+4+6+6=20,故答案为20.【点评】本题考查了平行四边形的性质,解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的性质得出∠ABE=∠AEB. 13.如图,已知E、F、G、H分别为菱形ABCD四边的中点,AB=4cm,∠ABC=60°,则四边形EFGH的面积为 4 cm2.【考点】中点四边形;菱形的性质.【分析】连接AC、BD,首先判定四边形EFGH的形状为矩形,然后根据菱形的性质求出AC与BD的值,进而求出矩形的长和宽,然后根据矩形的面积公式计算其面积即可.【解答】解连接AC,BD,相交于点O,如图所示,∵E、F、G、H分别是菱形四边上的中点,∴EH=BD=FG,EH∥BD∥FG,EF=AC=HG,∴四边形EHGF是平行四边形,∵菱形ABCD中,AC⊥BD,∴EF⊥EH,∴四边形EFGH是矩形,∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,∴∠ABO=30°,∵AC⊥BD,∴∠AOB=90°,∴AO=AB=2,∴AC=4,在Rt△AOB中,由勾股定理得OB==2,∴BD=4,∵EH=BD,EF=AC,∴EH=2,EF=2,∴矩形EFGH的面积=EF•FG=4cm2.故答案为4.【点评】本题考查了中点四边形和菱形的性质,解题的关键是判定四边形EFGH的形状为矩形. 14.如图所示的函数图象反映的过程是小明从家去书店看一会儿书,又去学校取封信后马上回家,其中x表示时间(单位小时),y表示小明离家的距离(单位千米),则小明从学校回家的平均速度为 6 千米∕小时.【考点】函数的图象.【分析】由图象可以看出,小明家离学校有6千米,小明用(3﹣2)小时走回家,根据速度=路程÷时间即可求出小明从学校回家的平均速度.【解答】解小明从学校回家的平均速度为6÷1=6千米/时.故答案为6.【点评】本题考查了函数的图象,正确理解函数图象横纵坐标表示的意义,理解问题的过程,读懂图意是解题的关键. 15.如图,函数y=﹣x与函数y=﹣的图象交于A,B两点,过A,B两点分别作y轴的垂线,垂足分别为点C,点D.则四边形ACBD的面积为 8 .【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.【分析】设A的坐标是(m,n),则B的坐标是(﹣m,﹣n),根据平行四边形的面积公式即可求解.【解答】解设A的坐标是(m,n),则B的坐标是(﹣m,﹣n),﹣mn=4则AC=﹣m,CD=2n.则S四边形ABCD=AC•CD=﹣2mn=8.故答案是8.【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点,正确理解反比例函数的中心对称性是关键.
三、解答题(本题共9个小题,共75分)16.计算(x+2)•﹣.【考点】分式的混合运算.【分析】先分母分解因式,再约分即可,最后算减法即可.【解答】解原式=(x+2)•﹣=﹣==2.【点评】此题考查分式的混合运算,掌握运算的顺序与计算的方法是正确计算的前提. 17.解方程﹣3=.【考点】解分式方程.【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.【解答】解去分母得1﹣3x+6=x﹣1,解得x=2,经检验x=2是增根,分式方程无解.【点评】此题考查了解分式方程,利用了转化的思想,解分式方程注意要检验. 18.某徒步旅游俱乐部到15km外的森林公园春游,保障队与大队从停车站同时出发,行进速度是大队的
1.2倍,以便提前小时达到目的地准备工作,求保障队与大队的速度各是多少?【考点】分式方程的应用.【分析】设大队的速度为xkm/h,则保障队的速度是
1.2xkm/h,大队所用时间可表示为h,保障队所用时间表示为h,根据“两队同时出发,保障队提前小时达到目的地”列分式方程解出即可.【解答】解设大队的速度为xkm/h,根据题意得﹣=,解得x=5,经检验x=5是原方程的解,∴
1.2x=
1.2×5=6,答保障队的速度是6km/h,大队的速度是5km/h.【点评】本题是分式方程的应用,属于行程问题,理清三个量时间、速度、路程,两个队保障队和大队;路程都是15km,时间相差h,保障队行进速度是大队的
1.2倍;认真读题,找准等量关系列方程,注意分式方程要检验. 19.如图,E为正方形ABCD边BC延长线上一点,且CE=BD,AE交DC于F,求∠AFC的度数.【考点】正方形的性质.【分析】根据等边对等角的性质可得∠E=∠CAE,然后根据正方形的对角线平分一组对角以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠E=
22.5°,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解.【解答】解连接AC,∵四边形ABCD是正方形,∴AC=BD,∵CE=BD,∴CE=AC,∴∠E=∠CAE,∵AC是正方形ABCD的对角线,∴∠ACB=45°,∴∠E+∠CAE=45°,∴∠E=×45°=
22.5°,在△CEF中,∠AFC=∠E+∠ECF=
22.5°+90°=
112.5°.【点评】本题考查了正方形的性质,等腰三角形的性质,主要利用了正方形的对角线平分一组对角,等边对等角,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,熟记性质是解题的关键. 20.如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于A(﹣2,1),B(1,n)两点.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围.【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.【分析】
(1)利用点A的坐标可求出反比例函数解析式,再把B(1,n)代入反比例函数解析式,即可求得n的值,于是得到一次函数的解析式;
(2)根据图象和A,B两点的坐标即可写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围.【解答】解
(1)∵A(﹣2,1)在反比例函数y=的图象上,∴1=,解得m=﹣2.∴反比例函数解析式为y=,∵B(1,n)在反比例函数h上,∴n=﹣2,∴B的坐标(1,﹣2),把A(﹣2,1),B(1,﹣2)代入y=kx+b得,解得,∴一次函数的解析式为y=﹣x﹣1;
(2)由图象知当x<﹣2或0<x<1时,一次函数的值大于反比例函数.【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题,解题的关键是求出反比例函数解析式和一次函数的解析式. 21.某玉米种子的价格为a元/千克,如果一次购买2千克以上的种子,超过2千克部分的种子价格打8折,小刚同学对购买量和付款金额这两个变量的对应关系用列表法做了分析,并绘制出了函数图象,以下是小刚绘制的表格和图象的不完整资料,已知点A的坐标为(2,10),请你结合表格和图象解答下列问题付款金额a
7.51012b购买量(千克)
11.
522.53
(1)求出表中a、b的值;
(2)当x>2时,求y关于x的函数解析式;
(3)王老汉将
8.8元钱全部用于购买玉米种子,他的购买量是多少?李老汉购买了4165克该玉米种子,他的付款金额是多少?【考点】一次函数的应用;待定系数法求一次函数解析式.【分析】
(1)根据函数图象可得购买量是函数的自变量x,也可看出2千克的金额为10元,从而可求1千克的价格,即a的值;由表格可得出当购买量大于等于2千克时,购买量每增加
0.5千克,价格增加2元,进而可求b的值;
(2)先设关系式为y=kx+b,然后将(2,10),且x=3时,y=14,代入关系式即可求出k,b的值,从而确定关系式;
(3)当y=
8.8时,单价为5元,此时购买量为
8.8÷5,然后将x=
4.165代入关系式计算相应的y值.【解答】解
(1)根据函数图象可得购买量是函数的自变量x,a=10÷2=5(元),b=12+2=14(元);
(2)当x>2时,设y与x的函数关系式为y=kx+b,∵y=kx+b的图象经过点(2,10),且x=3时,y=14,∴,解得,∴当x>2时,y与x的函数关系式为y=4x+2;
(3)当y=
8.8时,x==
1.76,当x=
4.165时,y=4×
4.165+2=
18.66,∴王老汉的购买量为
1.76千克,李老汉的付款金额为
18.66元.【点评】此题主要考查了一次函数的应用和待定系数法求一次函数解析式,根据已知得出图表中点的坐标是解题的关键.注意求正比例函数,只要一对x,y的值就可以;而求一次函数y=kx+b,则需要两组x,y的值. 22.某品牌的生产厂家对其下属10个专卖店某月的销售额进行统计,列表如下销售额/万元293234384855专卖店/个数113221
(1)求这10个专卖店该月销售额的平均数、众数、中位数;
(2)为了调动各专卖店经营的积极性,该厂决定实行目标管理,即确定月销售额,并以此对超额销售的专卖店进行奖励.如果想确定一个较高的销售目标,你认为月销售额定为多少比较合适?并说明理由.【考点】众数;统计表;加权平均数;中位数.【分析】
(1)先根据加权平均数公式即可求得平均数,再将表中的数据按照从小到大的顺序排列,根据中位数和众数的概念求解即可;
(2)应根据
(1)中求出的平均数、中位数和众数综合考虑.【解答】解
(1)平均数===39(万元),将表中的数据按照从小到大的顺序排列,可得出第5和第6个店的销售额分别为34万元和38万元,故中位数为=36(万元),由表可得,销售额为34万元的专卖店最多,故众数为34万元.答这10个专卖店该月销售额的平均数为39万元,众数为34万元,中位数为36万元.
(2)这个目标可以定为每月39万元.因为从样本数据看,在平均数、众数和中位数中,平均数最大,因此,将月销售额的最大值定为39万元比较合适.【点评】本题主要考查了众数和中位数的概念
(1)一组数据中出现次数最多的数据叫做众数.
(2)将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数;如果这组数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数. 23.如图,矩形ABCD中,对角线AC的垂直平分线交AD边于点E,交BC边于点F,分别连结AF和CE.
(1)根据题意将图形补画完整(要求尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);
(2)试判断四边形AFCE的形状,并证明你的判断.【考点】菱形的判定;线段垂直平分线的性质;矩形的性质.【分析】
(1)分别以A、C为圆心,以大于AC的长为半径四弧交于两点,过两点作直线即可得到线段AC的垂直平分线;
(2)利用垂直平分线证得△AEO≌△CFO即可证得结论.【解答】解
(1)如图,
(2)四边形AFCE是菱形证明∵四边形ABCD是矩形∴AD∥BC,∴∠EAO=∠FCO,∵EF是AC的垂直平分线,∴AO=CO,又∵∠EOA=∠FOC,∴△AEO≌△△CFO,∴AE=CF,∴四边形AFCE是平行四边形,又∵AC⊥EF,∴四边形AFCE是菱形.【点评】本题考查了基本作图及全等三角形的判定与性质,了解基本作图是解答本题的关键,难度中等. 24.△ABC是等边三角形,点D是射线BC上的一个动点(点D不与点B、C重合),△ADE是以AD为边的等边三角形,过点E作BC的平行线,分别交射线AB、AC于点F、G,连接BE.
(1)如图(a)所示,当点D在线段BC上时.
①求证△AEB≌△ADC;
②探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形?并说明理由;
(2)如图(b)所示,当点D在BC的延长线上时,直接写出
(1)中的两个结论是否成立;
(3)在
(2)的情况下,当点D运动到什么位置时,四边形BCGE是菱形?并说明理由.【考点】全等三角形的判定;平行四边形的判定;菱形的判定.【分析】
(1)根据等边三角形的性质可得AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠EAD=60°,然后求出∠BAE=∠CAD,再利用“边角边”证明△AEB和△ADC全等;
②四边形BCGE是平行四边形,因为△AEB≌△ADC,所以可得∠ABE=∠C=60°,进而证明∠ABE=∠BAC,则可得到EB∥GC又EG∥BC,所以四边形BCGE是平行四边形;
(2)根据
(1)的思路解答即可.
(3)当CD=CB时,四边形BCGE是菱形,由
(1)可知△AEB≌△ADC,可得BE=CD,再证明BE=CB,即邻边相等的平行四边形是菱形.【解答】证明
(1)
①∵△ABC和△ADE都是等边三角形,∴AE=AD,AB=AC,∠EAD=∠BAC=60°.又∵∠EAB=∠EAD﹣∠BAD,∠DAC=∠BAC﹣∠BAD,∴∠EAB=∠DAC,∴△AEB≌△ADC(SAS).
②方法一由
①得△AEB≌△ADC,∴∠ABE=∠C=60°.又∵∠BAC=∠C=60°,∴∠ABE=∠BAC,∴EB∥GC.又∵EG∥BC,∴四边形BCGE是平行四边形.方法二证出△AEG≌△ADB,得EG=AB=BC.∵EG∥BC,∴四边形BCGE是平行四边形.
(2)
①②都成立.
(3)当CD=CB(∠CAD=30°或∠BAD=90°或∠ADC=30°)时,四边形BCGE是菱形.理由方法一由
①得△AEB≌△ADC,∴BE=CD又∵CD=CB,∴BE=CB.由
②得四边形BCGE是平行四边形,∴四边形BCGE是菱形.方法二由
①得△AEB≌△ADC,∴BE=CD.又∵四边形BCGE是菱形,∴BE=CB∴CD=CB.方法三∵四边形BCGE是平行四边形,∴BE∥CG,EG∥BC,∴∠FBE=∠BAC=60°,∠F=∠ABC=60°∴∠F=∠FBE=60°,∴△BEF是等边三角形.又∵AB=BC,四边形BCGE是菱形,∴AB=BE=BF,∴AE⊥FG∴∠EAG=30°,∵∠EAD=60°,∴∠CAD=30°.【点评】本题主要考了平行线四边形的判定和性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及菱形的判定,解题关键在于根据题意画出图形,通过求证三角形全等,推出等量关系,即可推出结论. 25.在直角坐标系中,点A的坐标是(3,0),点P在第一象限内的直线y=﹣x+4上.设点P的坐标为(x,y).
(1)求△POA的面积S与自变量x的函数关系式及x的取值范围;
(2)当S=时,求点P的位置;
(3)在
(2)的条件下,若以P、O、A、Q为顶点构成平行四边形,请直接写出第四个顶点Q的坐标.【考点】一次函数综合题.【分析】
(1)根据点A坐标可得出OA的长度,再由点P在第一象限内的直线y=﹣x+4上,即可得出y与x之间的关系以及x的取值范围,代入三角形的面积公式即可得出结论;
(2)将S=代入
(1)得出的关系式中求出x值,再由点P在直线y=﹣x+4上即可求出y值,从而得出点P的坐标;
(3)分OA、OP、PA为对角线三种情况考虑,根据平行四边形的性质即可得出点Q的坐标.【解答】解
(1)∵点A的坐标是(3,0),∴OA=3,∴S=OA•yP=y.∵点P(x,y)在第一象限内的直线y=﹣x+4上,∴y=﹣x+4(0<x<4),∴S=(﹣x+4)=﹣x+6(0<x<4).
(2)令S=﹣x+6中S=,则﹣x+6=,解得x=,y=﹣x+4=,∴当S=时,点P的坐标为(,).
(3)以P、O、A、Q为顶点的平行四边形分三种情况(如图所示)
①当OA为对角线时,∵P(,),O(0,0),A(3,0),∴Q(0+3﹣,0+0﹣),即(﹣,﹣);
②当OP为对角线时,∵P(,),O(0,0),A(3,0),∴Q(0+﹣3,0+﹣0),即(,);
③当PA为对角线时,∵P(,),O(0,0),A(3,0),∴Q(3+﹣0,0+﹣0),即(,).综上可知在
(2)的条件下,若以P、O、A、Q为顶点构成平行四边形,第四个顶点Q的坐标为(﹣,﹣)、(,)、(,).【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及平行四边形的性质,解题的关键是
(1)根据三角形的面积公式找出S关于x的函数关系式;
(2)令S=求出x值;
(3)分三种情况考虑.本题属于中档题,难度不大,解决该题型题目时,根据平行四边形的性质以及三个顶点坐标求出第四个顶点的坐标是关键.。