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2015-2016学年广东省广州市番禺区八年级(下)期末数学试卷一.选择题(本大题共10小题,每小题2分,满分20分.)1.计算的结果是( )A.B.4C.8D.±42.当x=3时,函数y=﹣2x+1的值是( )A.﹣5B.3C.7D.53.若正比例函数y=kx的图象经过点(2,1),则k的值为( )A.﹣B.C.﹣2D.24.正方形的一条对角线长为4,则这个正方形的面积是( )A.8B.4C.8D.165.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,BC=12,则点C到AB的距离是( )A.B.C.D.6.不能判定一个四边形是平行四边形的条件是( )A.两组对边分别平行B.一组对边平行且相等C.一组对边平行,另一组对边相等D.两组对边分别相等7.如图,直线l1y=x+1与直线l2y=mx+n相交于点P(a,2),则关于x的不等式x+1≥mx+n的解集为( )A.x≥mB.x≥2C.x≥1D.y≥28.某校有甲、乙两个合唱队,两队队员的平均身高都为160cm,标准差分别是S甲、S乙,且S甲>S乙,则两个队的队员的身高较整齐的是( )A.甲队B.两队一样整齐C.乙队D.不能确定9.小强所在学校离家距离为2千米,某天他放学后骑自行车回家,先骑了5分钟后,因故停留10分钟,再继续骑了5分钟到家.下面哪一个图象能大致描述他回家过程中离家的距离s(千米)与所用时间t(分)之间的关系( )A.B.C.D.10.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=2,点D在BC上,∠ADC=2∠B,AD=,则BC的长为( )A.﹣1B.+1C.﹣1D.+1 二.填空题(共6题,每题2分,共12分,直接把最简答案填写在题中的横线上)11.在函数y=中,自变量x的取值范围是______.12.比较大小4______(填“>”或“<”)13.如图所示,每个小正方形的边长为1,A、B、C是小正方形的顶点,则∠ABC的度数为______.14.把直线y=x+1沿x轴向右平移2个单位,所得直线的函数解析式为______.15.有一组数据3,a,4,6,7.它们的平均数是5,那么这组数据的方差是______.16.如图是“赵爽弦图”,△ABH、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形,四边形ABCD和EFGH都是正方形,如果AH=6,EF=2,那么AB等于______. 三.解答题(本大题共9小题,满分68分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.
(1)计算;
(2)化简(x>0).18.在▱ABCD中,过点D作DE⊥AB于点E,点F在边CD上,DF=BE,连接AF,BF.
(1)求证四边形BFDE是矩形;
(2)若CF=3,BF=4,DF=5,求证AF平分∠DAB.19.已知y是x的一次函数,当x=3时,y=1;当x=﹣2时,y=﹣4.
(1)求此一次函数的解析式;
(2)求一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标.20.如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AE=CF.
(1)求证△BOE≌△DOF;
(2)连接DE、BF,若BD⊥EF,试探究四边形EBDF的形状,并对结论给予证明.21.老师想知道某校学生每天上学路上要花多少时间,于是随机选取30名同学每天来校的大致时间(单位分钟)进行统计,统计表如下时间510152025303545人数336122211
(1)写出这组数据的中位数和众数;
(2)求这30名同学每天上学的平均时间.22.如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC、BD相交于点O,DH⊥AB于H,连接OH,
(1)求证∠DHO=∠DCO.
(2)若OC=4,BD=6,求菱形ABCD的周长和面积.23.如图,一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A、B,已线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC,使∠BAC=90°.
(1)分别求点A、C的坐标;
(2)在x轴上求一点P,使它到B、C两点的距离之和最小.24.甲、乙两家商场平时以同样的价格出售某种商品,“五一节”期间,两家商场都开展让利酬宾活动,其中甲商场打8折出售,乙商场对一次性购买商品总价超过300元后的部分打7折.
(1)设商品原价为x元,某顾客计划购此商品的金额为y元,分别就两家商场让利方式求出y关于x的函数解析式,并写出x的取值范围,作出函数图象(不用列表);
(2)顾客选择哪家商场购物更省钱?25.已知,矩形ABCD中,AB=4cm,AD=2AB,AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F,垂足为O.
(1)如图1,连接AF、CE.求证四边形AFCE为菱形,并求AF的长;
(2)如图2,动点P、Q分别从A、C两点同时出发,沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周,即点P自A→F→B→A停止,点Q自C→D→E→C停止.在运动过程中,
①已知点P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t秒.当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t的值;
②若点P、Q的速度分别为v
1、v2(cm/s),点P、Q的运动路程分别为a、b(单位cm,ab≠0),已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形,试探究a与b满足的数量关系. 2015-2016学年广东省广州市番禺区八年级(下)期末数学试卷参考答案与试题解析 一.选择题(本大题共10小题,每小题2分,满分20分.)1.计算的结果是( )A.B.4C.8D.±4【考点】二次根式的乘除法.【分析】根据=(a≥0,b≥0)进行计算即可.【解答】解原式===4,故选B. 2.当x=3时,函数y=﹣2x+1的值是( )A.﹣5B.3C.7D.5【考点】一次函数的性质.【分析】把x=3代入函数解析式求得相应的y值即可.【解答】解当x=3时,y=﹣2x+1=﹣2×3+1=﹣6+1=﹣5.故选A. 3.若正比例函数y=kx的图象经过点(2,1),则k的值为( )A.﹣B.C.﹣2D.2【考点】一次函数图象上点的坐标特征.【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征,把(2,1)代入y=kx中即可计算出k的值.【解答】解把(2,1)代入y=kx得2k=1,解得k=.故选B. 4.正方形的一条对角线长为4,则这个正方形的面积是( )A.8B.4C.8D.16【考点】正方形的性质.【分析】根据正方形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解.【解答】解∵正方形的一条对角线长为4,∴这个正方形的面积=×4×4=8.故选A. 5.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,BC=12,则点C到AB的距离是( )A.B.C.D.【考点】勾股定理;点到直线的距离;三角形的面积.【分析】根据题意画出相应的图形,如图所示,在直角三角形ABC中,由AC及BC的长,利用勾股定理求出AB的长,然后过C作CD垂直于AB,由直角三角形的面积可以由两直角边乘积的一半来求,也可以由斜边AB乘以斜边上的高CD除以2来求,两者相等,将AC,AB及BC的长代入求出CD的长,即为C到AB的距离.【解答】解根据题意画出相应的图形,如图所示在Rt△ABC中,AC=9,BC=12,根据勾股定理得AB==15,过C作CD⊥AB,交AB于点D,又S△ABC=AC•BC=AB•CD,∴CD===,则点C到AB的距离是.故选A 6.不能判定一个四边形是平行四边形的条件是( )A.两组对边分别平行B.一组对边平行且相等C.一组对边平行,另一组对边相等D.两组对边分别相等【考点】平行四边形的判定.【分析】根据平行四边形的判定
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形;
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
③两组对角分别相等的四边形是平行四边形;
④对角线互相平分的四边形是平行四边形;
⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,即可选出答案.【解答】解A、两组对边分别平行,可判定该四边形是平行四边形,故A不符合题意;B、一组对边平行且相等,可判定该四边形是平行四边形,故B不符合题意;C、一组对边平行另一组对边相等,不能判定该四边形是平行四边形,也可能是等腰梯形,故C符合题意;D、两组对边分别相等,可判定该四边形是平行四边形,故D不符合题意故选C. 7.如图,直线l1y=x+1与直线l2y=mx+n相交于点P(a,2),则关于x的不等式x+1≥mx+n的解集为( )A.x≥mB.x≥2C.x≥1D.y≥2【考点】一次函数与一元一次不等式.【分析】首先将已知点的坐标代入直线y=x+1求得a的值,然后观察函数图象得到在点P的右边,直线y=x+1都在直线y=mx+n的上方,据此求解.【解答】解∵直线l1y=x+1与直线l2y=mx+n相交于点P(a,2),∴a+1=2,解得a=1,观察图象知关于x的不等式x+1≥mx+n的解集为x≥1,故选C. 8.某校有甲、乙两个合唱队,两队队员的平均身高都为160cm,标准差分别是S甲、S乙,且S甲>S乙,则两个队的队员的身高较整齐的是( )A.甲队B.两队一样整齐C.乙队D.不能确定【考点】标准差.【分析】根据标准差是方差的算术平方根以及方差的意义,方差越小数据越稳定,故比较方差后可以作出判断.【解答】解因为S甲>S乙,所以S甲2>S乙2,故有甲的方差大于乙的方差,故乙队队员的身高较为整齐.故选C. 9.小强所在学校离家距离为2千米,某天他放学后骑自行车回家,先骑了5分钟后,因故停留10分钟,再继续骑了5分钟到家.下面哪一个图象能大致描述他回家过程中离家的距离s(千米)与所用时间t(分)之间的关系( )A.B.C.D.【考点】函数的图象.【分析】根据题意分析可得他回家过程中离家的距离S(千米)与所用时间t(分)之间的关系有3个阶段;
(1)、行使了5分钟,位移减小;
(2)、因故停留10分钟,位移不变;
(3)、继续骑了5分钟到家,位移继续减小,直到为0;【解答】解因为小强家所在学校离家距离为2千米,某天他放学后骑自行车回家,行使了5分钟后,因故停留10分钟,继续骑了5分钟到家,所以图象应分为三段,根据最后离家的距离.故选D. 10.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=2,点D在BC上,∠ADC=2∠B,AD=,则BC的长为( )A.﹣1B.+1C.﹣1D.+1【考点】勾股定理.【分析】根据∠ADC=2∠B,∠ADC=∠B+∠BAD判断出DB=DA,根据勾股定理求出DC的长,从而求出BC的长.【解答】解∵∠ADC=2∠B,∠ADC=∠B+∠BAD,∴∠B=∠DAB,∴DB=DA=5,在Rt△ADC中,DC===1,∴BC=+1.故选D. 二.填空题(共6题,每题2分,共12分,直接把最简答案填写在题中的横线上)11.在函数y=中,自变量x的取值范围是 x≥1 .【考点】函数自变量的取值范围.【分析】因为当函数表达式是二次根式时,被开方数为非负数,所以x﹣1≥0,解不等式可求x的范围.【解答】解根据题意得x﹣1≥0,解得x≥1.故答案为x≥1. 12.比较大小4 > (填“>”或“<”)【考点】实数大小比较;二次根式的性质与化简.【分析】根据二次根式的性质求出=4,比较和的值即可.【解答】解4=,>,∴4>,故答案为>. 13.如图所示,每个小正方形的边长为1,A、B、C是小正方形的顶点,则∠ABC的度数为 45° .【考点】等腰直角三角形;勾股定理;勾股定理的逆定理.【分析】分别在格点三角形中,根据勾股定理即可得到AB,BC,AC的长度,继而可得出∠ABC的度数.【解答】解如图,连接AC.根据勾股定理可以得到AC=BC=,AB=,∵()2+()2=()2,即AC2+BC2=AB2,∴△ABC是等腰直角三角形.∴∠ABC=45°.故答案为45°. 14.把直线y=x+1沿x轴向右平移2个单位,所得直线的函数解析式为 y=x﹣1 .【考点】一次函数图象与几何变换.【分析】直接根据“左加右减”的平移规律求解即可.【解答】解把直线y=x+1沿x轴向右平移2个单位,所得直线的函数解析式为y=(x﹣2)+1,即y=x﹣1.故答案为y=x﹣1. 15.有一组数据3,a,4,6,7.它们的平均数是5,那么这组数据的方差是 2 .【考点】方差;算术平均数.【分析】先由平均数的公式计算出a的值,再根据方差的公式计算.一般地设n个数据,x1,x2,…,xn的平均数为,=(x1+x2+…+xn),则方差S2=[(x1﹣)2+(x2﹣)2+…+(xn﹣)2].【解答】解a=5×5﹣3﹣4﹣6﹣7=5,s2=[(3﹣5)2+(5﹣5)2+(4﹣5)2+(6﹣5)2+(7﹣5)2]=2.故答案为2. 16.如图是“赵爽弦图”,△ABH、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形,四边形ABCD和EFGH都是正方形,如果AH=6,EF=2,那么AB等于 10 .【考点】勾股定理的证明.【分析】在直角三角形AHB中,利用勾股定理进行解答即可.【解答】解∵AH=6,EF=2,∴BG=AH=6,HG=EF=2,∴BH=8,∴在直角三角形AHB中,由勾股定理得到AB===10.故答案是10. 三.解答题(本大题共9小题,满分68分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.
(1)计算;
(2)化简(x>0).【考点】二次根式的混合运算.【分析】
(1)首先化简二次根式,再合并即可;
(2)首先把分子分母化简二次根式,再分母有理化即可.【解答】
(1)解=2﹣=;
(2)解(x>0)==x. 18.在▱ABCD中,过点D作DE⊥AB于点E,点F在边CD上,DF=BE,连接AF,BF.
(1)求证四边形BFDE是矩形;
(2)若CF=3,BF=4,DF=5,求证AF平分∠DAB.【考点】平行四边形的性质;角平分线的性质;勾股定理的逆定理;矩形的判定.【分析】
(1)根据平行四边形的性质,可得AB与CD的关系,根据平行四边形的判定,可得BFDE是平行四边形,再根据矩形的判定,可得答案;
(2)根据平行线的性质,可得∠DFA=∠FAB,根据等腰三角形的判定与性质,可得∠DAF=∠DFA,根据角平分线的判定,可得答案.【解答】
(1)证明∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD.∵BE∥DF,BE=DF,∴四边形BFDE是平行四边形.∵DE⊥AB,∴∠DEB=90°,∴四边形BFDE是矩形;
(2)解∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DC,∴∠DFA=∠FAB.在Rt△BCF中,由勾股定理,得BC===5,∴AD=BC=DF=5,∴∠DAF=∠DFA,∴∠DAF=∠FAB,即AF平分∠DAB. 19.已知y是x的一次函数,当x=3时,y=1;当x=﹣2时,y=﹣4.
(1)求此一次函数的解析式;
(2)求一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标.【考点】待定系数法求一次函数解析式;一次函数图象上点的坐标特征.【分析】
(1)设一次函数解析式为y=kx+b,将x=
3、y=1,x=﹣
2、y=﹣4代入求得k、b的值即可;
(2)在解析式中分别令x=0和y=0求解可得.【解答】解
(1)设一次函数解析式为y=kx+b,∵当x=3时,y=1;当x=﹣2时,y=﹣4,∴,解得,∴该一次函数解析式为y=x﹣2;
(2)当x=0时,y=﹣2,∴一次函数图象与y轴交点为(0,﹣2),当y=0时,得x﹣2=0,解得x=2,∴一次函数图象与x轴交点为(2,0). 20.如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AE=CF.
(1)求证△BOE≌△DOF;
(2)连接DE、BF,若BD⊥EF,试探究四边形EBDF的形状,并对结论给予证明.【考点】平行四边形的性质;全等三角形的判定与性质.【分析】
(1)根据平行四边形的性质可得BO=DO,AO=CO,再利用等式的性质可得EO=FO,然后再利用SAS定理判定△BOE≌△DOF即可;
(2)根据BO=DO,FO=EO可得四边形BEDF是平行四边形,再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得四边形EBDF为菱形.【解答】证明
(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴BO=DO,AO=CO,∵AE=CF,∴AO﹣AE=CO﹣FO,∴EO=FO,在△BOE和△DOF中,∴△BOE≌△DOF(SAS);
(2)四边形EBDF为菱形,等三角形的判定,以及菱形的判定,关键是掌握理由∵BO=DO,FO=EO,∴四边形BEDF是平行四边形,∵BD⊥EF,∴四边形EBDF为菱形. 21.老师想知道某校学生每天上学路上要花多少时间,于是随机选取30名同学每天来校的大致时间(单位分钟)进行统计,统计表如下时间510152025303545人数336122211
(1)写出这组数据的中位数和众数;
(2)求这30名同学每天上学的平均时间.【考点】众数;加权平均数;中位数.【分析】
(1)根据中位数和众数的含义和求法,写出这组数据的中位数和众数即可.
(2)首先求出这30名同学每天上学一共要用多少时间;然后用它除以30,求出平均时间是多少即可.【解答】解
(1)根据统计表,可得这组数据的第15个数、第16个数都是20,∴这组数据的中位数是(20+20)÷2=40÷2=20这组数据的众数是20.
(2)(5×3+10×3+15×6+20×12+25×2+30×2+35×1+45×1)÷30=(15+30+90+240+50+60+35+45)÷30=565÷30=18(分钟)答这30名同学每天上学的平均时间是18分钟. 22.如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC、BD相交于点O,DH⊥AB于H,连接OH,
(1)求证∠DHO=∠DCO.
(2)若OC=4,BD=6,求菱形ABCD的周长和面积.【考点】菱形的性质.【分析】
(1)先根据菱形的性质得OD=OB,AB∥CD,BD⊥AC,则利用DH⊥AB得到DH⊥CD,∠DHB=90°,所以OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线,得到OH=OD=OB,利用等腰三角形的性质得∠1=∠DHO,然后利用等角的余角相等证明结论;
(2)先根据菱形的性质得OD=OB=BD=3,OA=OC=4,BD⊥AC,再根据勾股定理计算出CD,然后利用菱形的性质和面积公式求菱形ABCD的周长和面积.【解答】
(1)证明∵四边形ABCD是菱形,∴OD=OB,AB∥CD,BD⊥AC,∵DH⊥AB,∴DH⊥CD,∠DHB=90°,∴OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线,∴OH=OD=OB,∴∠1=∠DHO,∵DH⊥CD,∴∠1+∠2=90°,∵BD⊥AC,∴∠2+∠DCO=90°,∴∠1=∠DCO,∴∠DHO=∠DCO;
(2)解∵四边形ABCD是菱形,∴OD=OB=BD=3,OA=OC=4,BD⊥AC,在Rt△OCD中,CD==5,∴菱形ABCD的周长=4CD=20,菱形ABCD的面积=×6×8=24. 23.如图,一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A、B,已线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC,使∠BAC=90°.
(1)分别求点A、C的坐标;
(2)在x轴上求一点P,使它到B、C两点的距离之和最小.【考点】一次函数图象上点的坐标特征;等腰直角三角形;轴对称-最短路线问题.【分析】
(1)作CD⊥x轴,易证∠OAB=∠ACD,即可证明△ABO≌△CAD,可得AD=OB,CD=OA,即可解题;
(2)作C点关于x轴对称点E,连接BE,即可求得E点坐标,根据点P在直线BE上即可求得点P坐标,即可解题.【解答】解
(1)作CD⊥x轴,∵∠OAB+∠CAD=90°,∠CAD+∠ACD=90°,∴∠OAB=∠ACD,在△ABO和△CAD中,,∴△ABO≌△CAD(AAS)∴AD=OB,CD=OA,∵y=﹣x+2与x轴、y轴交于点A、B,∴A(2,0),B(0,2),∴点C坐标为(4,2);
(2)作C点关于x轴对称点E,连接BE,则E点坐标为(4,﹣2),△ACD≌△AED,∴AE=AC,∴直线BE解析式为y=﹣x+2,设点P坐标为(x,0),则(x,0)位于直线BE上,∴点P坐标为(2,0)于点A重合. 24.甲、乙两家商场平时以同样的价格出售某种商品,“五一节”期间,两家商场都开展让利酬宾活动,其中甲商场打8折出售,乙商场对一次性购买商品总价超过300元后的部分打7折.
(1)设商品原价为x元,某顾客计划购此商品的金额为y元,分别就两家商场让利方式求出y关于x的函数解析式,并写出x的取值范围,作出函数图象(不用列表);
(2)顾客选择哪家商场购物更省钱?【考点】一次函数的应用.【分析】
(1)根据两家商场的让利方式分别列式整理即可;
(2)利用两点法作出函数图象即可;
(3)求出两家商场购物付款相同的x的值,然后根据函数图象作出判断即可.【解答】解
(1)甲商场y=
0.8x,乙商场y=x(0≤x≤300),y=
0.7(x﹣300)+300=
0.7x+90,即y=
0.7x+90(x>300);
(2)如图所示;
(3)当
0.8x=
0.7x+90时,x=900,所以,x<900时,甲商场购物更省钱,x=900时,甲、乙两商场购物更花钱相同,x>900时,乙商场购物更省钱. 25.已知,矩形ABCD中,AB=4cm,AD=2AB,AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F,垂足为O.
(1)如图1,连接AF、CE.求证四边形AFCE为菱形,并求AF的长;
(2)如图2,动点P、Q分别从A、C两点同时出发,沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周,即点P自A→F→B→A停止,点Q自C→D→E→C停止.在运动过程中,
①已知点P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t秒.当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t的值;
②若点P、Q的速度分别为v
1、v2(cm/s),点P、Q的运动路程分别为a、b(单位cm,ab≠0),已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形,试探究a与b满足的数量关系.【考点】四边形综合题.【分析】
(1)先证明四边形ABCD为平行四边形,再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定,根据勾股定理即可求AF的长;
(2)
①分情况讨论可知,P点在BF上,Q点在ED上时,才能构成平行四边形,根据平行四边形的性质列出方程求解即可;
②由
①的结论用v
1、v2表示出A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时所需的时间,计算即可.【解答】
(1)证明∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠CAD=∠ACB,∠AEF=∠CFE.∵EF垂直平分AC,∴OA=OC.∵在△AOE和△COF中,,∴△AOE≌△COF(AAS),∴OE=OF.∵EF⊥AC,∴四边形AFCE为菱形.设菱形的边长AF=CF=xcm,则BF=(8﹣x)cm,在Rt△ABF中,AB=4cm,由勾股定理得AB2+BF2=AF2,即42+(8﹣x)2=x2,解得x=5,∴AF=5;
(2)
①解根据题意得,P点AF上时,Q点CD上,此时A,C,P,Q四点不可能构成平行四边形;同理P点AB上时,Q点DE或CE上,也不能构成平行四边形.∴只有当P点在BF上,Q点在ED上时,才能构成平行四边形,∴以A,C,P,Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,PC=QA,∵点P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t秒,∴PC=5t,QA=12﹣4t,∴5t=12﹣4t,解得t=,∴以A,C,P,Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,t=秒;
②由
①得,PC=QA时,以A,C,P,Q四点为顶点的四边形是平行四边形,设运动时间为y秒,则yv1=12﹣yv2,解得,y=,∴a=×v1,b=×v2,∴=.。