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2015-2016学年江苏省连云港市东海县晶都双语学校八年级(下)第一次月考数学试卷
一、选择题(每小题3分,共24分)1.下列调查中,适合用普查方式的是( )A.了解瘦西湖风景区中鸟的种类B.了解扬州电视台《关注》栏目的收视率C.了解学生对“扬农”牌牛奶的喜爱情况D.航天飞机发射前的安全检查2.下列事件是随机事件的是( )A.没有水分,种子发芽B.367人中至少有2人的生日相同C.三角形的内角和是180°D.小华一出门上学,天就下雨3.下列说法正确的是( )A.在一次抽奖活动中,“中奖的概率是”表示抽奖100次就一定会中奖B.在一副没有大小王的扑克牌中任意抽一张,抽到的牌是6的概率是C.同时掷两枚均匀的骰子,朝上一面的点数和一定为6D.随机抛一枚硬币,落地后正面一定朝上4.若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形,则四边形ABCD一定是( )A.矩形B.菱形C.对角线互相垂直的四边形D.对角线相等的四边形5.如图,已知▱ABCD的对角线BD=4cm,将▱ABCD绕其对称中心O旋转180°,则点D所转过的路径长为( )A.4πcmB.3πcmC.2πcmD.πcm6.为了了解攀枝花市2012年中考数学学科各分数段成绩分布情况,从中抽取150名考生的中考数学成绩进行统计分析.在这个问题中,样本是指( )A.150B.被抽取的150名考生C.被抽取的150名考生的中考数学成绩D.攀枝花市2012年中考数学成绩7.如图,小红在作线段AB的垂直平分线时,是这样操作的分别以点A,B为圆心,大于线段AB长度一半的长为半径画弧,相交于点C,D,则直线CD即为所求.连结AC,BC,AD,BD,根据她的作图方法可知,四边形ADBC一定是( )A.矩形B.菱形C.正方形D.等腰梯形8.如图,正方形ABCD中,AB=6,点E在边CD上,且CD=3DE.将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连结AG、CF.下列结论中正确结论的个数是( )
①△ABG≌△AFG;
②BG=GC;
③AG∥CF;
④S△FGC=3.A.1个B.2个C.3个D.4个
二、填空题(每题3分,共30分)9.某校为了解该校500名初二学生的期中数学考试成绩,从中抽查了100名学生的数学成绩.在这次调查中,样本容量是________.10.如图,在△ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点,若BC=6,则DE=________.11.如图,在矩形ABCD中,∠BOC=120°,AB=5,则BD的长为________.12.如图,将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到AB′C′D′的位置,旋转角为α(0°<α<90°).若∠1=120°,则∠α=________.13.在下列图形
①菱形,
②等边三角形,
③矩形,
④平行四边形中,既是中心对称图形又是轴对称图形的是________(填写序号)14.一个均匀的立方体六个面上分别标有数1,2,3,4,5,6.如图是这个立方体表面的展开图.抛掷这个立方体,则朝上一面上的数恰好等于朝下一面上的数的的概率是________.15.如图所示,平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O的直线分别交AD、BC于点M、N,若△CON的面积为2,△DOM的面积为4,则△AOB的面积为________.16.已知如图,菱形ABCD中,∠B=60°,AB=4,则以AC为边长的正方形ACEF的周长为________.17.如图,▱ABCD的对角线AC、BD交于点O,点E是AD的中点,△BCD的周长为18,则△DEO的周长是________.18.如图,正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上,点D(5,3)在边AB上,以C为中心,把△CDB旋转90°,则旋转后点D的对应点D′的坐标是________.
三、解答下列各题(共96分)19.如图,BD是△ABC的角平分线,点E、F分别在BC、AB上,且DE∥AB,EF∥AC,求证BE=AF.20.如图,在△ABC中,D,E,F,分别是AB,BC,AC的中点,求证四边形BEFD是平行四边形.21.某学校开展课外体育活动,决定开设A篮球、B乒乓球、C踢毽子、D跑步四种活动项目.为了解学生最喜欢哪一种活动项目(每人只选取一种),随机抽取了部分学生进行调查,并将调查结果绘成如甲、乙所示的统计图,请你结合图中信息解答下列问题.
(1)样本中最喜欢A项目的人数所占的百分比为________,其所在扇形统计图中对应的圆心角度数是________度;
(2)请把条形统计图补充完整;
(3)若该校有学生1000人,请根据样本估计全校最喜欢踢毽子的学生人数约是多少?22.如图,在方格纸中,△ABC的三个顶点及D、E、F、G、H、五个点分别位于小正方形的顶点上.
(1)画出△ABC绕点B顺时针方向旋转90°后的图形.
(2)先从E、F、G、H四个点中任意取两个不同的点,再和D点构成三角形,求所得三角形与△ABC面积相等的概率是________.23.如图,在正方形ABCD中,P是对角线AC上的一点,连接BP、DP,延长BC到E,使PB=PE.求证∠PDC=∠PEC.24.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB∥DE,AF∥DC,E、F两点在边BC上,且四边形AEFD是平行四边形.
(1)AD与BC有何等量关系,请说明理由;
(2)当AB=DC时,求证平行四边形AEFD是矩形.25.如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF.
(1)求证AF=DC;
(2)若AB⊥AC,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论.26.如图,△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的角平分线,点O为AB的中点,连接DO并延长到点E,使OE=OD,连接AE,BE.
(1)求证四边形AEBD是矩形;
(2)当△ABC满足什么条件时,矩形AEBD是正方形,并说明理由.27.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=120cm,∠C=30°,点D从点C出发沿CA方向以8cm/s的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以4cm/s的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒(0<t≤15).过点D作DF⊥BC于点F,连接DE,EF.
(1)求证AE=DF;
(2)四边形AEFD能够成为菱形吗?如果能,求出相应的t值;如果不能,请说明理由;
(3)当t为何值时,△DEF为直角三角形?请说明理由. 2015-2016学年江苏省连云港市东海县晶都双语学校八年级(下)第一次月考数学试卷参考答案与试题解析
一、选择题(每小题3分,共24分)1.下列调查中,适合用普查方式的是( )A.了解瘦西湖风景区中鸟的种类B.了解扬州电视台《关注》栏目的收视率C.了解学生对“扬农”牌牛奶的喜爱情况D.航天飞机发射前的安全检查【考点】全面调查与抽样调查.【分析】由普查得到的调查结果比较准确,但所费人力、物力和时间较多,而抽样调查得到的调查结果比较近似.【解答】解A、了解瘦西湖风景区中鸟的种类,不需普查,适合抽样调查,故A错误;B、了解扬州电视台《关注》栏目的收视率,调查范围广,适合抽样调查,故B错误;C、了解学生对“扬农”牌牛奶的喜爱情况,适合抽样调查,故C错误;D、航天飞机发射前的安全检查,精确度要求高,适合普查.故选D. 2.下列事件是随机事件的是( )A.没有水分,种子发芽B.367人中至少有2人的生日相同C.三角形的内角和是180°D.小华一出门上学,天就下雨【考点】随机事件.【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件.【解答】解A、没有水分,种子发芽是不可能事件,故A错误;B、367人中至少有2人的生日相同是必然事件,故B错误;C、三角形的内角和是180°是必然事件,故C错误;D、小华一出门上学,天就下雨是随机事件,故D正确;故选D. 3.下列说法正确的是( )A.在一次抽奖活动中,“中奖的概率是”表示抽奖100次就一定会中奖B.在一副没有大小王的扑克牌中任意抽一张,抽到的牌是6的概率是C.同时掷两枚均匀的骰子,朝上一面的点数和一定为6D.随机抛一枚硬币,落地后正面一定朝上【考点】概率的意义.【分析】必然发生的事件就是一定发生的事件.不确定事件就是随机事件,既可能发生也可能不发生的事件,发生的概率大于0并且小于1.【解答】解A、选项中“中奖的概率是”仅仅说明这个事件发生的可能性的大小,但不代表抽奖100次就一定会中奖,故本选项错误;B、在一副没有大小王的扑克牌中任意抽一张,抽到6的概率是=,故本选项正确;C、同时掷两枚均匀的骰子,朝上一面的点数和有多种可能性,故本选项错误;D、随机抛一枚硬币,落地后正面怎么一定朝上呢,应该有两种可能,故本选项错误.故选B. 4.若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形,则四边形ABCD一定是( )A.矩形B.菱形C.对角线互相垂直的四边形D.对角线相等的四边形【考点】矩形的判定;三角形中位线定理.【分析】此题要根据矩形的性质和三角形中位线定理求解;首先根据三角形中位线定理知所得四边形的对边都平行且相等,那么其必为平行四边形,若所得四边形是矩形,那么邻边互相垂直,故原四边形的对角线必互相垂直,由此得解.【解答】解已知如右图,四边形EFGH是矩形,且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点,求证四边形ABCD是对角线垂直的四边形.证明由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点,根据三角形中位线定理得EH∥FG∥BD,EF∥AC∥HG;∵四边形EFGH是矩形,即EF⊥FG,∴AC⊥BD,故选C. 5.如图,已知▱ABCD的对角线BD=4cm,将▱ABCD绕其对称中心O旋转180°,则点D所转过的路径长为( )A.4πcmB.3πcmC.2πcmD.πcm【考点】弧长的计算;平行四边形的性质.【分析】点D所转过的路径长是一段弧,是一段圆心角为180°,半径为OD的弧,故根据弧长公式计算即可.【解答】解BD=4,∴OD=2∴点D所转过的路径长==2π.故选C. 6.为了了解攀枝花市2012年中考数学学科各分数段成绩分布情况,从中抽取150名考生的中考数学成绩进行统计分析.在这个问题中,样本是指( )A.150B.被抽取的150名考生C.被抽取的150名考生的中考数学成绩D.攀枝花市2012年中考数学成绩【考点】总体、个体、样本、样本容量.【分析】根据从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本;再根据被收集数据的这一部分对象找出样本,即可得出答案.【解答】解了解攀枝花市2012年中考数学学科各分数段成绩分布情况,从中抽取150名考生的中考数学成绩进行统计分析.样本是,被抽取的150名考生的中考数学成绩,故选C. 7.如图,小红在作线段AB的垂直平分线时,是这样操作的分别以点A,B为圆心,大于线段AB长度一半的长为半径画弧,相交于点C,D,则直线CD即为所求.连结AC,BC,AD,BD,根据她的作图方法可知,四边形ADBC一定是( )A.矩形B.菱形C.正方形D.等腰梯形【考点】菱形的判定;作图—基本作图.【分析】根据垂直平分线的画法得出四边形ADBC四边的关系进而得出四边形一定是菱形.【解答】解∵分别以A和B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧相交于C、D,∴AC=AD=BD=BC,∴四边形ADBC一定是菱形,故选B. 8.如图,正方形ABCD中,AB=6,点E在边CD上,且CD=3DE.将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连结AG、CF.下列结论中正确结论的个数是( )
①△ABG≌△AFG;
②BG=GC;
③AG∥CF;
④S△FGC=3.A.1个B.2个C.3个D.4个【考点】正方形的性质;全等三角形的判定与性质;翻折变换(折叠问题).【分析】由正方形和折叠的性质得出AF=AB,∠B=∠AFG=90°,由HL即可证明Rt△ABG≌Rt△AFG,得出
①正确;设BG=x,则CG=BC﹣BG=6﹣x,GE=GF+EF=BG+DE=x+2,由勾股定理求出x=3,得出
②正确;由等腰三角形的性质和外角关系得出∠AGB=∠FCG,证出平行线,得出
③正确;求出△FGC的面积=,得出
④错误.【解答】解∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD=DC=6,∠B=D=90°,∵CD=3DE,∴DE=2,∵△ADE沿AE折叠得到△AFE,∴DE=EF=2,AD=AF,∠D=∠AFE=∠AFG=90°,∴AF=AB,∵在Rt△ABG和Rt△AFG中,,∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL),∴
①正确;∵Rt△ABG≌Rt△AFG,∴BG=FG,∠AGB=∠AGF,设BG=x,则CG=BC﹣BG=6﹣x,GE=GF+EF=BG+DE=x+2,在Rt△ECG中,由勾股定理得CG2+CE2=EG2,∵CG=6﹣x,CE=4,EG=x+2∴(6﹣x)2+42=(x+2)2解得x=3,∴BG=GF=CG=3,∴
②正确;∵CG=GF,∴∠CFG=∠FCG,∵∠BGF=∠CFG+∠FCG,又∵∠BGF=∠AGB+∠AGF,∴∠CFG+∠FCG=∠AGB+∠AGF,∵∠AGB=∠AGF,∠CFG=∠FCG,∴∠AGB=∠FCG,∴AG∥CF,∴
③正确;∵△CFG和△CEG中,分别把FG和GE看作底边,则这两个三角形的高相同.∴==,∵S△GCE=×3×4=6,∴S△CFG=×6=,∴
④错误;正确的结论有3个,故选C.
二、填空题(每题3分,共30分)9.某校为了解该校500名初二学生的期中数学考试成绩,从中抽查了100名学生的数学成绩.在这次调查中,样本容量是 100 .【考点】总体、个体、样本、样本容量.【分析】根据样本容量则是指样本中个体的数目,可得答案.【解答】解某校为了解该校500名初二学生的期中数学考试成绩,从中抽查了100名学生的数学成绩.在这次调查中,样本容量是100,故答案为100. 10.如图,在△ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点,若BC=6,则DE= 3 .【考点】三角形中位线定理.【分析】由D、E分别是AB、AC的中点可知,DE是△ABC的中位线,利用三角形中位线定理可求出DE.【解答】解∵D、E是AB、AC中点,∴DE为△ABC的中位线,∴ED=BC=3.故答案为3. 11.如图,在矩形ABCD中,∠BOC=120°,AB=5,则BD的长为 10 .【考点】矩形的性质.【分析】根据矩形性质求出BD=2BO,OA=OB,求出∠AOB=60°,得出等边三角形AOB,求出BO=AB,即可求出答案.【解答】解∵四边形ABCD是矩形,∴AC=2AO,BD=2BO,AC=BD,∴OA=OB,∵∠BOC=120°,∴∠AOB=60°,∴△AOB是等边三角形,∴OB=AB=5,∴BD=2BO=10,故答案为10. 12.如图,将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到AB′C′D′的位置,旋转角为α(0°<α<90°).若∠1=120°,则∠α= 30° .【考点】旋转的性质.【分析】根据对顶角相等求出∠2,再根据四边形的内角和等于360°求出∠BAD′,然后求出∠DAD′,最后根据旋转的性质可得∠DAD′即为旋转角.【解答】解如图,由对顶角相等得,∠2=∠1=120°,在四边形中,∠BAD′=360°﹣90°×2﹣∠2=360°﹣180°﹣120°=60°,所以,∠DAD′=90°﹣60°=30°,即旋转角∠α=∠DAD′=30°.故答案为30°. 13.在下列图形
①菱形,
②等边三角形,
③矩形,
④平行四边形中,既是中心对称图形又是轴对称图形的是
①③ (填写序号)【考点】中心对称图形;轴对称图形.【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.【解答】解菱形、矩形既是中心对称图形又是轴对称图形.故答案为
①③. 14.一个均匀的立方体六个面上分别标有数1,2,3,4,5,6.如图是这个立方体表面的展开图.抛掷这个立方体,则朝上一面上的数恰好等于朝下一面上的数的的概率是 .【考点】概率公式;专题正方体相对两个面上的文字.【分析】由题意可知,6和3相对,4和1相对,5和2相对,朝上一面上的数恰好等于朝下一面上的数的的只有6和3.并且还得3朝上,6朝下,则可得到所求的结果.【解答】解由分析知3朝上时,朝上一面上的数恰好等于朝下一面上的数的;但
1、
2、
3、
4、
5、6都有可能朝上,所以朝上一面上的数恰好等于朝下一面上的数的的概率.故答案为. 15.如图所示,平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O的直线分别交AD、BC于点M、N,若△CON的面积为2,△DOM的面积为4,则△AOB的面积为 6 .【考点】平行四边形的性质.【分析】由于四边形ABCD是平行四边形,所以∠CAD=∠ACB,OA=OC,由此可以证明△CON≌△AOM,现在可以求出S△AOD,再根据O是DB中点就可以求出S△AOB.【解答】解∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠CAD=∠ACB,OA=OC,而∠AOM=∠NOC,∴△CON≌△AOM,∴S△AOD=4+2=6,又∵OB=OD,∴S△AOB=S△AOD=6.故答案为6. 16.已知如图,菱形ABCD中,∠B=60°,AB=4,则以AC为边长的正方形ACEF的周长为 16 .【考点】菱形的性质;正方形的性质.【分析】根据已知可求得△ABC是等边三角形,从而得到AC=AB,再根据正方形的周长公式计算即可.【解答】解∵B=60°,AB=BC∴△ABC是等边三角形∴AC=AB=4∴正方形ACEF的周长=4×4=16.16故答案为16. 17.如图,▱ABCD的对角线AC、BD交于点O,点E是AD的中点,△BCD的周长为18,则△DEO的周长是 9 .【考点】平行四边形的性质;三角形中位线定理.【分析】根据平行四边形的性质得出DE=AD=BC,DO=BD,AO=CO,求出OE=CD,求出△DEO的周长是DE+OE+DO=(BC+DC+BD),代入求出即可.【解答】解∵E为AD中点,四边形ABCD是平行四边形,∴DE=AD=BC,DO=BD,AO=CO,∴OE=CD,∵△BCD的周长为18,∴BD+DC+BC=18,∴△DEO的周长是DE+OE+DO=(BC+DC+BD)=×18=9,故答案为9. 18.如图,正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上,点D(5,3)在边AB上,以C为中心,把△CDB旋转90°,则旋转后点D的对应点D′的坐标是 (﹣2,0)或(2,10) .【考点】坐标与图形变化-旋转.【分析】根据题意,分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况,求出点D′到x轴、y轴的距离,即可判断出旋转后点D的对应点D′的坐标是多少即可.【解答】解因为点D(5,3)在边AB上,所以AB=BC=5,BD=5﹣3=2;
(1)若把△CDB顺时针旋转90°,则点D′在x轴上,OD′=2,所以D′(﹣2,0);
(2)若把△CDB逆时针旋转90°,则点D′到x轴的距离为10,到y轴的距离为2,所以D′(2,10),综上,旋转后点D的对应点D′的坐标为(﹣2,0)或(2,10).故答案为(﹣2,0)或(2,10).
三、解答下列各题(共96分)19.如图,BD是△ABC的角平分线,点E、F分别在BC、AB上,且DE∥AB,EF∥AC,求证BE=AF.【考点】平行四边形的判定与性质.【分析】由DE∥AB,EF∥AC,可证得四边形ADEF是平行四边形,∠ABD=∠BDE,又由BD是△ABC的角平分线,易得△BDE是等腰三角形,即可证得结论.【解答】证明∵DE∥AB,EF∥AC,∴四边形ADEF是平行四边形,∠ABD=∠BDE,∴AF=DE,∵BD是△ABC的角平分线,∴∠ABD=∠DBE,∴∠DBE=∠BDE,∴BE=DE,∴BE=AF. 20.如图,在△ABC中,D,E,F,分别是AB,BC,AC的中点,求证四边形BEFD是平行四边形.【考点】平行四边形的判定;三角形中位线定理.【分析】利用三角形中位线定理判定四边形BEFD的两组对边相互平行,则四边形BEFD是平行四边形.【解答】证明如图,∵D,F分别是AB,AC的中点,∴DF∥BC,则DF∥BE.又∵E,F分别是BC,AC的中点,∴EF∥AB,则EF∥DB,∴四边形BEFD是平行四边形. 21.某学校开展课外体育活动,决定开设A篮球、B乒乓球、C踢毽子、D跑步四种活动项目.为了解学生最喜欢哪一种活动项目(每人只选取一种),随机抽取了部分学生进行调查,并将调查结果绘成如甲、乙所示的统计图,请你结合图中信息解答下列问题.
(1)样本中最喜欢A项目的人数所占的百分比为 40% ,其所在扇形统计图中对应的圆心角度数是 144 度;
(2)请把条形统计图补充完整;
(3)若该校有学生1000人,请根据样本估计全校最喜欢踢毽子的学生人数约是多少?【考点】条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图.【分析】
(1)利用100%减去D、C、B三部分所占百分比即可得到最喜欢A项目的人数所占的百分比;所在扇形统计图中对应的圆心角度数用360°×40%即可;
(2)根据频数=总数×百分比可算出总人数,再利用总人数减去D、C、B三部分的人数即可得到A部分的人数,再补全图形即可;
(3)利用样本估计总每个体的方法用1000×样本中喜欢踢毽子的人数所占百分比即可.【解答】解
(1)100%﹣20%﹣10%﹣30%=40%,360°×40%=144°;
(2)抽查的学生总人数15÷30%=50,50﹣15﹣5﹣10=20(人).如图所示
(3)1000×10%=100(人).答全校最喜欢踢毽子的学生人数约是100人. 22.如图,在方格纸中,△ABC的三个顶点及D、E、F、G、H、五个点分别位于小正方形的顶点上.
(1)画出△ABC绕点B顺时针方向旋转90°后的图形.
(2)先从E、F、G、H四个点中任意取两个不同的点,再和D点构成三角形,求所得三角形与△ABC面积相等的概率是 .【考点】作图-旋转变换.【分析】
(1)利用旋转的性质得出对应点A′,C′点坐标,进而得出答案;
(2)分别求出各三角形的面积,进而得出与△ABC面积相等的概率.【解答】解
(1)如图所示△A′BC′即为所求;
(2)∵S△ABC=×3×4=6,S△DEG=×4×4=8,S△FDG=×3×4=6,S△HFD=×1×3=,S△HDE=×3×4=6,S△FDE=×4×4=8,S△HDG=×3×4=6,∴所得三角形与△ABC面积相等的概率是=.故答案为. 23.如图,在正方形ABCD中,P是对角线AC上的一点,连接BP、DP,延长BC到E,使PB=PE.求证∠PDC=∠PEC.【考点】全等三角形的判定与性质;正方形的性质.【分析】根据正方形的四条边都相等可得BC=CD,对角线平分一组对角可得∠BCP=∠DCP,再利用“边角边”证明△BCP和△DCP全等,根据全等三角形对应角相等可得∠PDC=∠PBC,再根据等边对等角可得∠PBC=∠PEC,从而得证.【解答】证明在正方形ABCD中,BC=CD,∠BCP=∠DCP,在△BCP和△DCP中,,∴△BCP≌△DCP(SAS),∴∠PDC=∠PBC,∵PB=PE,∴∠PBC=∠PEC,∴∠PDC=∠PEC. 24.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB∥DE,AF∥DC,E、F两点在边BC上,且四边形AEFD是平行四边形.
(1)AD与BC有何等量关系,请说明理由;
(2)当AB=DC时,求证平行四边形AEFD是矩形.【考点】梯形;平行四边形的性质;矩形的判定.【分析】
(1)由题中所给平行线,不难得出四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形,而四边形AEFD也是平行四边形,三个平行四边形都共有一条边AD,所以可得出AD=BC的结论.
(2)根据矩形的判定和定义,对角线相等的平行四边形是矩形.只要证明AF=DE即可得出结论.【解答】
(1)解AD=BC.理由如下∵AD∥BC,AB∥DE,AF∥DC,∴四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形.∴AD=BE,AD=FC,又∵四边形AEFD是平行四边形,∴AD=EF.∴AD=BE=EF=FC.∴AD=BC.
(2)证明∵四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形,∴DE=AB,AF=DC.∵AB=DC,∴DE=AF.又∵四边形AEFD是平行四边形,∴平行四边形AEFD是矩形. 25.如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF.
(1)求证AF=DC;
(2)若AB⊥AC,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论.【考点】全等三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线;菱形的判定.【分析】
(1)根据AAS证△AFE≌△DBE,推出AF=BD,即可得出答案;
(2)得出四边形ADCF是平行四边形,根据直角三角形斜边上中线性质得出CD=AD,根据菱形的判定推出即可.【解答】
(1)证明∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DBE,∵E是AD的中点,AD是BC边上的中线,∴AE=DE,BD=CD,在△AFE和△DBE中∴△AFE≌△DBE(AAS),∴AF=BD,∴AF=DC.
(2)四边形ADCF是菱形,证明AF∥BC,AF=DC,∴四边形ADCF是平行四边形,∵AC⊥AB,AD是斜边BC的中线,∴AD=BC=DC,∴平行四边形ADCF是菱形. 26.如图,△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的角平分线,点O为AB的中点,连接DO并延长到点E,使OE=OD,连接AE,BE.
(1)求证四边形AEBD是矩形;
(2)当△ABC满足什么条件时,矩形AEBD是正方形,并说明理由.【考点】矩形的判定;正方形的判定.【分析】
(1)利用平行四边形的判定首先得出四边形AEBD是平行四边形,进而由等腰三角形的性质得出∠ADB=90°,即可得出答案;
(2)利用等腰直角三角形的性质得出AD=BD=CD,进而利用正方形的判定得出即可.【解答】
(1)证明∵点O为AB的中点,连接DO并延长到点E,使OE=OD,∴四边形AEBD是平行四边形,∵AB=AC,AD是∠BAC的角平分线,∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∴平行四边形AEBD是矩形;
(2)当∠BAC=90°时,理由∵∠BAC=90°,AB=AC,AD是∠BAC的角平分线,∴AD=BD=CD,∵由
(1)得四边形AEBD是矩形,∴矩形AEBD是正方形. 27.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=120cm,∠C=30°,点D从点C出发沿CA方向以8cm/s的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以4cm/s的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒(0<t≤15).过点D作DF⊥BC于点F,连接DE,EF.
(1)求证AE=DF;
(2)四边形AEFD能够成为菱形吗?如果能,求出相应的t值;如果不能,请说明理由;
(3)当t为何值时,△DEF为直角三角形?请说明理由.【考点】四边形综合题.【分析】
(1)根据时间和速度表示出AE和CD的长,利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出DF的长为4t,则AE=DF;
(2)根据
(1)的结论可以证明四边形AEFD为平行四边形,如果四边形AEFD能够成为菱形,则必有邻边相等,则AE=AD,列方程求出即可;
(3)当△DEF为直角三角形时,有三种情况
①当∠EDF=90°时,如图3,
②当∠DEF=90°时,如图4,
③当∠DFE=90°不成立;分别找一等量关系列方程可以求出t的值.【解答】证明
(1)由题意得AE=4t,CD=8t,∵DF⊥BC,∴∠CFD=90°,∵∠C=30°,∴DF=CD=×8t=4t,∴AE=DF;
(2)四边形AEFD能够成为菱形,理由是由
(1)得AE=DF,∵∠DFC=∠B=90°,∴AE∥DF,∴四边形AEFD为平行四边形,若▱AEFD为菱形,则AE=AD,∵AC=120,CD=8t,∴AD=120﹣8t,∴4t=120﹣8t,t=10,∴当t=10时,四边形AEFD能够成为菱形;
(3)分三种情况
①当∠EDF=90°时,如图3,则四边形DFBE为矩形,∴DF=BE=4t,∵AB=AC=60,AE=4t,∴4t=60﹣4t,t=,
②当∠DEF=90°时,如图4,∵四边形AEFD为平行四边形,∴EF∥AD,∴∠ADE=∠DEF=90°,在Rt△ADE中,∠A=60°,AE=4t,∴AD=2t,∴AC=AD+CD,则120=2t+8t,t=10,
③当∠DFE=90°不成立;综上所述当t为或10时,△DEF为直角三角形.。