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华北水利水电大学相似矩阵的性质及应用课程名称线性代数专业班级成员组成联系方式2013年11月6日摘要若矩阵P可逆则矩阵P-1AP与A称为相似矩阵相似的概念是为深入研究矩阵特性而提出的,其中一部分的问题可以转化为与一个对角化矩阵相似问题进而使问题研究简化,而另一些矩阵不能与一个对角矩阵相似,那么这类问题就只能用定义或者若而当标准型来解决相似矩阵有很多应用例如利用相似矩阵的性质来确定矩阵中未知元素方法的完整性;两个相似矩阵属于同一个特征值的特征向量之间的关系;矩阵相似与特征多项式的等价条件及相关结果;尤其是矩阵的标准形及其对角化问题在高等代数和其他学科中都有极其广泛的应用本文将讨论相似矩阵的有关性质及其应用关键词相似矩阵;对角化;Jordan标准型;特征向量;特征值英文题目Thepropertiesandapplicationofsimilar__trixAbstract:Therearealotofapplicationsaboutsimilar__trix.__trixforfurtherresearchisthecon__ptofsimilarity__trixcharacteristicsandthatpartoftheproblemcanbeconvertedintosimilarproblemswithadiagonalization__trixtosimplifytheproblemstudywhileothers__trixcannotbesimilartoadiagonal__trixsothiskindofproblemcanonlyuseadefinitionorifandwhenthestandardtosolve.Forexamplewecandiscusstheintegralityofthemethodbyusingthepropertiesofsimilar__tri__stoconfirmunknownelementsandcharacteristicsubspa__sofsimilar__tri__sbelongtothesamecharacteristicvalueareisomorphi__.Alsowe__ydiscusstheequivalentconditionsforsimilar__tri__sandtheircharacteristicpolynomialandtheircorrespondingresultsespeciallyapplicationsofdigitalization__tri__sinadvan__dalgebratheoryandothersu__ectsareprobedinto.InthispaperIwillgiveoutsomecorrespondingpropertiesofsimilar__tri__sandshowtheirapplian__.Keywords:similar__tri__s;diagonal__trix;Jordan’snor__lform;characteristicvalue;characteristicvector引言矩阵相似的理论是数学分析的重要概念之一,同时也是教学中的难点之一,特别是矩阵相似与可对角化矩阵问题,在各个版本的数学类图书中,往往将这两个问题紧凑的__在一起由于矩阵相似的应用范围相当广泛本文主要是从矩阵相似定义以及各种性质的理论基础上直接引入矩阵在微分方程、自动控制理论基础等领域应用的实例并由此进行研究,也使这部分内容能够相互融合起来,更有利于学习者的掌握和应用
1.矩阵相似的定义与基本性质
1.1矩阵相似的定义设AB是n阶方阵如果存在可逆阵P使得P-1AP=B则称矩阵A与B相似.若矩阵A相似于对角阵则称A可相似对角化即存在可逆阵P使为A的n个特征值.令为非奇异矩阵,考察矩阵的线性变换令线性变换的特征值为,对应的特征向量为,即将式代入上式,即有或令或,则式可以写作比较和两式可知,矩阵A和具有相同的特征值,并且矩阵B的特征向量是矩阵的特征向量的线性变换,即由于矩阵和的特征值相同,特征向量存在线性变换的关系,所以称这两个矩阵“相似”于是设、都是阶方阵,若有可逆方阵,使,则称是的相似矩阵或者说矩阵与相似对进行运算称为对进行相似变换可逆矩阵称为把变成的相似变换阵
1.2矩阵相似的一些基本性质自反性对称性则传递性及可得如果阶矩阵相似,则它们有相同的特征值但逆命题不成立相似矩阵另外的一些特性1相似矩阵有相同的秩2相似矩阵的行列式相等3相似矩阵或都可逆,或都不可逆当它们可逆时,它们的逆也相似4则,、、(若,均可逆)、从而,有相同的特征值
5.若A与B都可对角化则A与B相似的充分条件是A与B由相同的特征多项式.
6.A的属于同一特征值的特征向量的线形组合只要不是零向量仍是对应的特征向量.
7.A的属于不同特征值的特征向量线形无关.
8.实对称矩阵A的特征值都是实数属于不同特征值的特征向量正交.
9.若是实对称矩阵A的r重特征值则A对应特征值恰有r个线性无关的特征向量.
10.任何一个n阶复矩阵A都与一个Jordan形矩阵相似.
11.对n阶方阵A,以下三条等价:⑴A可对角化;⑵A有n个特征值(重根按重数计),且r(>1)重特征值;⑶A有n个线性无关的特征向量.
12.对角化的基本方法有如下两种:特征值法特征向量法.
1.3相似矩阵与若尔当标准形虽然非单纯矩阵不能相似于对角阵,但它能够相似于一个形式上比对角矩阵稍微复杂的若尔当标准形由于若尔当标准形的独特结构揭示了两个矩阵相似的本质关系,故在数值计算和理论推导中经常采用利用它不仅容易求出矩阵的乘幂,还可以讨论矩阵函数和矩阵级数,求解矩阵微分方程定义形如的方阵称为阶若尔当块其中可以是实数,也可以是复数定理矩阵的充要条件是他们相应的特征矩阵每个阶复矩阵都与一个若尔当标准形相似,且这个若尔当标准形在不计其中若尔当块的排列次序时,完全有矩阵唯一决定复矩阵可对角化的充要条件是的特征矩阵的初等因子全为一次式
2.相似矩阵在微分方程中的应用许多实际问题最后都归结为求解微分方程(组)的问题.因此如何求解微分方程(组)是个很重要的问题.下面举例说明特征值和特征向量约当标准形在其中的应用.
2.1将常系数线性微分方程组2-1写成矩阵形式2-2其中u=为系数矩阵令3-2式的解u=2-3即=.将2-3式代入(2-2)得==化简得即2-3式中为A的特征值X为对应的特征向量;若A可对角化则存在n个线性无关的特征向量于是得到2-2式的n个线性无关的特解.u=u=u=.它们的线性组合c+c+…+c2-4其中为任意常数为2-1式的一般解将2-4式改写成矩阵形式u=记c==p=则2-1式或2-2式有一般解2-5对于初值问题2-6解为2-7因为t=0代入2-5式得c=.例2解线性常系数微分方程组已知初始值为:解本题的初始值问题为其中可得A的约当标准形即有可逆矩阵=使.由2-7式该初值问题的解为2-8其中2-92-10将2-10式代入2-9式得2-11再将2-11式及代入2-8式得
2.2对于阶线性齐次常系数微分方程2-12可令于是可得与方程2-12同解的方程组2-13式2-13可写成矩阵形式2-14其中于是这类微分方程可以归纳为等价的线性微分方程组然后再利用特征值和特征向量求解.例
2.求解微分方程2-15解令于是2-15式可变成等价的方程组即其中可求得的特征值为,对应的特征向量分别为于是由上例知从而其中为任意常数.3相似矩阵在现实生活中的应用例
3.污染与环境发展的增长模型——发展与环境已成为21世纪各国____的重点为了定量分析污染与工业发展间的关系,我们可提出以下的工业增长模型:解设x是某地区目前的污染水平(以空气或河湖水质的某种污染指数为测量单位)y是目前的工业发展水平(以某种工业发展指数为测量单位)以5年作为一个期间第个期间的污染和工业发展水平分别记为x和y它们之间的关系是t=12…3-1记A=则3-1的矩阵形式为t=12…3-2如果已知该地区目前(亦称为基年)的污染和工业发展水平=利用3-2就可以预测第k个期间该地区的污染和工业发展水平这是因为由3-2可得这表明可通过求得为此考察A能否对角化计算出A的特征多项式.=||=由A有2个相异的特征值1和4知A能对角化所以可用性质来计算.对于解可得A属于1的一个特征向量对于解可得A属于4的一个特征向量令有A=所以=3-3就是所要的预测结果对不同的值代入4-3即可求得.例如若,有实际上此时就是属于4的特征向量所以若有这些都表明尽管工业发展水平可以达到相当高的程度但照此模式发展,环境污染不容忽视.例
4.人口流动模型——假设某省城人口总数保持不变每年有20%的农村人口流入城镇有10%的城镇人口流入农村.试问该省城人口与农村人口的分布最终是否会趋向一个“稳定状态”?为解答这个问题,可设该省城人口总数为m从今年开始第k年该省城的城镇人口和农村人口分别设为据题意有即则为计算仍考察能否对角化.计算出的特征多项式由于有2个相异的特征值1和
0.7知能对角化所以可用性质来计算.对于解可得属于1的一个特征向量;对于解可得属于
0.7的一个特征向量.令有利用可得从而有数列的极限为这表明该省城的城镇人口与农村人口的分布会趋于一个“稳定状态”:大约有为城镇人口为农村人口.
4.矩阵相似在代数方面的应用.例
5.某实验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐新、老非熟练工经过培训及时间至年终考核有成为熟练工设第年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为和,记成向量
(1)求与的关系式并写成矩阵形式:=;
(2)验证,是的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值;
(3)当时,求解
(1)按题意有化简得对其用矩阵表示即为=,于是
(2)令,则由知,,线性无关因故为的特征向量,且相应的特征值因,故为的特征向量,且乡音的特征值为
(3)由于有=A====由,有于是有又,故=因此有==结束语本文通过对矩阵相似性质与应用问题的深入探讨,我们获益非浅,一方面对于矩阵相似的定义以及相关理论的熟练掌握特别是将矩阵相似与可对角化矩阵这两个问题紧凑的__在一起将矩阵问题应用定义定理转化为与一个相似对角型矩阵或者是若尔当标准型进而使问题研究简化由于矩阵相似的性质特性决定其应用范围相当广泛比如其在微分方程、自动控制理论基础等领域的应用,使其与相似矩阵的概念和性质能够相互融会贯通起来提高对相似矩阵深入的研究____
[1]__交通大学数学系主编.线性代数.北京科学出版社,
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[2]陈志杰陈咸平瞿森荣等编.高等代数与解析几何习题精解.北京科学出版社
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[3]刘丁酉.高等代数习题精解.合肥:中国科学技术出版社
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[4]杨奇田代军韩维信.线性代数与解析几何.天津:天津大学出版社200210
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[9]S.K.JainA.DGunawardenaLinearAlgebra—AnInteractiveApproachTHOMSONBROOKS/COLE1999234-278分工情况第一部分:由完成第二部分:由完成第三部分:由完成第四部分:由完成。