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模块综合检测卷一时间120分钟 满分150分
一、选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.直线x-=0的倾斜角是 A.45° B.60° C.90° D.不存在答案C2.已知点Ax,1,2和点B2,3,4,且|AB|=2,则实数x的值是 A.-3或4B.-6或2C.3或-4D.6或-2答案D3.一个球的内接正方体的表面积为54,则球的表面积为 A.27πB.18πC.9πD.54π解析设正方体的棱长为a,球的半径为r,则6a2=54,所以a=
3.又因为2r=a,所以r=a=,所以S表=4πr2=4π·=27π.答案A4.在同一个平面直角坐标系中,表示直线y=ax与y=x+a正确的是 答案C5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A.12B.18C.24D.30解析因为三个视图中直角较多,所以可以在长方体中对几何体进行分析还原,在长方体中计算其体积.由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形,由正视图和左视图可以判断该几何体是由直三棱柱侧棱与底面垂直的棱柱截取得到的.在长方体中分析还原,如图
①所示,故该几何体的直观图如图
②所示.在图
①中,V棱柱ABC-A1B1C1=S△ABC·AA1=×4×3×5=30,V棱锥P-A1B1C1=S△A1B1C1·PB1=××4×3×3=
6.故几何体ABC-PA1C1的体积为30-6=
24.故选C.答案C6.已知圆C1x-22+y-32=1,圆C2x-32+y-42=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为 A.5-4B.-1C.6-2D.解析先求出圆心坐标和半径,再结合对称性求解最小值,设Px,0,C12,3关于x轴的对称点为C1′2,-3,那么|PC1|+|PC2|=|PC1′|+|PC2|≥|C′1C2|==
5.而|PM|=|PC1|-1,|PN|=|PC2|-3,所以|PM|+|PN|=|PC1|+|PC2|-4≥5-
4.答案A7.直线y=kx+3与圆x-22+y-32=4相交于M、N两点,若|MN|≥2,则k的取值范围是 A.B.C.D.解析法一可联立方程组利用弦长公式求|MN|,再结合|MN|≥2可得答案.法二利用圆的性质知,圆心到直线的距离的平方加上弦长一半的平方等于半径的平方,求出|MN|,再结合|MN|≥2可得答案.答案B8.若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是 A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定解析如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,记l1=DD1,l2=DC,l3=DA,若l4=AA1,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,此时l1∥l4,可以排除选项A和C.若l4=DC1,也满足条件,可以排除选项B.故选D.答案D
9.如图所示,在四面体ABCD中,E,F分别是AC与BD的中点,若CD=2AB=4,EF⊥BA,则EF与CD所成的角为 A.90°B.45°C.60°D.30°解析如图所示,取BC的中点H,连接EH,FH,则∠EFH为所求,可证△EFH为直角三角形,EH⊥EF,FH=2,EH=1,从而可得∠EFH=30°.答案D10.若直线y=kx+1与圆x2+y2+kx-y=0的两个交点恰好关于y轴对称,则k等于 A.0B.1C.2D.3解析由得1+k2·x2+2kx=
0.因为两点恰好关于y轴对称,所以x1+x2=-=0,所以k=
0.答案A11.已知直线l1ax+4y-2=0与直线l22x-5y+b=0互相垂直,垂足为1,c,则a+b+c的值为 A.-4B.20C.0D.24解析垂足1,c是两直线的交点,且l1⊥l2,故-·=-1,所以a=
10.l10x+4y-2=
0.将1,c代入,得c=-2;将1,-2代入l2,得b=-
12.则a+b+c=10+-12+-2=-
4.答案A12.过点A与B7,0的直线l1与过点2,1,3,k+1的直线l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆,则实数k等于 A.-3B.3C.-6D.6解析由题意知l1⊥l2,所以kl1·kl2=-1,即-k=-1,k=
3.答案B
二、填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分.将正确答案填在题中的横线上13.设点A-1,0,B1,0,直线2x+y-b=0与线段AB相交,则b的取值范围是________.解析b为直线y=-2x+b在y轴上的截距,如图所示,当直线y=-2x+b过点A-1,0和点B1,0时b分别取得最小值和最大值.所以b的取值范围是[-2,2].答案[-2,2]14.已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆x-12-y-a2=4相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,则实数a=________.解析根据“半径、弦长AB的一半、圆心到直线的距离”满足勾股定理可建立关于a的方程,解方程求a.圆心C1,a到直线ax+y-2=0的距离为.因为△ABC为等边三角形,所以|AB|=|BC|=
2.所以+12=
22.解得a=4±.答案4±15.如图所示,将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得平面ADC⊥平面ABC,在折起后形成的三棱锥D-ABC中,给出下列三种说法
①△DBC是等边三角形;
②AC⊥BD;
③三棱锥D-ABC的体积是.其中正确的序号是________写出所有正确说法的序号.解析取AC的中点E,连接DE,BE,则DE⊥AC,BE⊥AC,且DE⊥BE.又DE=EC=BE,所以DC=DB=BC,故△DBC是等边三角形.又AC⊥平面BDE,故AC⊥BD.又VD-ABC=S△ABC·DE=××1×1×=,故
③错误.答案
①②16.已知直线l经过点P-4,-3,且被圆x+12+y+22=25截得的弦长为8,则直线l的方程是_________________________.解析因为-4+12+-3+22=1025,所以点P在圆内.当l的斜率不存在时,l的方程为x=-4,将x=-4代入圆的方程,得y=2或y=-6,此时弦长为
8.当l的斜率存在时,设l的方程为y+3=kx+4,即kx-y+4k-3=0,当弦长为8时,圆心到直线的距离为=3,则=3,解得k=-.则直线l的方程为y+3=-x+4,即4x+3y+25=
0.答案4x+3y+25=0或x=-4
三、解答题本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤17.本小题满分10分求经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程.解法一由方程组得因为直线l和直线3x+y-1=0平行,所以直线l的斜率k=-
3.所以根据点斜式有y-=-3,故所求直线方程为15x+5y+16=
0.法二因为直线l过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点,所以设直线l的方程为2x-3y-3+λx+y+2=0,即λ+2x+λ-3y+2λ-3=
0.因为直线l与直线3x+y-1=0平行,所以=≠,解得λ=.从而所求直线方程为15x+5y+16=
0.18.本小题满分12分如图所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=6,异面直线BC1与AA1所成角的大小为30°,求该三棱柱的体积.解因为CC1∥AA1,所以∠BC1C为异面直线BC1与AA1所成的角,即∠BC1C=30°.在Rt△BC1C中,BC=CC1·tan∠BC1C=6×=2,从而S△ABC=BC2=3,因此该三棱柱的体积为V=S△ABC·AA1=3×6=
18.19.本小题满分12分如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q,M,N分别是棱AB,AD,DD1,BB1,A1B1,A1D1的中点.求证1直线BC1∥平面EFPQ;2直线AC1⊥平面PQMN.证明1连接AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,知AD1∥BC
1.因为F,P分别是AD,DD1的中点,所以FP∥AD
1.从而BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ,且BC1⊄平面EFPQ,故直线BC1∥平面EFPQ.2如图所示,连接AC,BD,则AC⊥BD.由CC1⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,可得CC1⊥BD.又AC∩CC1=C,所以BD⊥平面ACC
1.而AC1⊂平面ACC1,所以BD⊥AC
1.因为M,N分别是A1B1,A1D1的中点,所以MN∥BD,从而MN⊥AC
1.同理可证PN⊥AC
1.又PN∩MN=N,所以直线AC1⊥平面PQMN.20.本小题满分12分右图是某几何体的三视图,请你指出这个几何体的结构特征,并求出它的表面积与体积.解此几何体是一个组合体,下半部是长方体,上半部是半圆柱,其轴截面的大小与长方体的上底面大小一致.表面积为S,则S=32+96+48+4π+16π=176+20π.体积为V,则V=8×4×6+×22×8π=192+16π.所以几何体的表面积为176+20πcm2,体积为192+16πcm
3.21.本小题满分12分已知点Mx0,y0在圆x2+y2=4上运动,N4,0,点Px,y为线段MN的中点.1求点Px,y的轨迹方程;2求点Px,y到直线3x+4y-86=0的距离的最大值和最小值.解1因为点Px,y是MN的中点,所以故将用x,y表示的x0,y0代入到x+y=4中得x-22+y2=
1.此式即为所求轨迹方程.2由1知点P的轨迹是以Q2,0为圆心,以1为半径的圆.点Q到直线3x+4y-86=0的距离d==
16.故点P到直线3x+4y-86=0的距离的最大值为16+1=17,最小值为16-1=
15.
22.本小题满分12分如图所示,在平面直角坐标系xOy中,点A0,3,直线l y=2x-4,设圆C的半径为1,圆心在l上.1若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;2若圆C上存在点M,使|MA|=2|MO|,求圆心C的横坐标a的取值范围.解1由题设,圆心C是直线y=2x-4和y=x-1的交点,解得点C3,2,于是切线的斜率必存在,设过A0,3的圆C的切线方程为y=kx+
3.由题意,得=1,解得k=0或k=-,故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=
0.2因为圆心在直线y=2x-4上,设圆心Ca,2a-2,所以圆C的方程为x-a2+[y-2a-2]2=
1.设点Mx,y,因为MA=2MO,所以=2,化简得x2+y2+2y-3=0,即x2+y+12=
4.所以点M在以D0,-1为圆心,2为半径的圆上.由题意,点Mx,y在圆C上,所以圆C与圆D有公共点,则|2-1|≤CD≤2+1,即1≤≤
3.整理,得-8≤5a2-12a≤
0.由5a2-12a+8≥0,得a∈R;由5a2-12a≤0,得0≤a≤.所以点C的横坐标a的取值范围为.PAGE10。