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【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第1章不等关系与基本不等式学业分层测评4平均值不等式北师大版选修4-5建议用时45分钟学业达标]
一、选择题1.下列不等式恒成立的是 A.x+≥2B.sinx+≥2C.+≥2D.ex+≥2【解析】 根据≥知,条件需a0,b
0.∴A,B,C均不成立,D中,∵ex0,∴成立.【答案】 D2.a,b为非零实数,那么不等式恒成立的是 A.|a+b|>|a-b|B.≥C.≥abD.+≥2【解析】 a,b为非零实数时,A,B,D均不一定成立.而-ab=≥0恒成立.【答案】 C3.设a>0,b>0,且a+b≤4,则有 A.≥B.+≥1C.≥2D.≤【解析】 4≥a+b≥2,∴≤
2.∴≥,+≥2·≥
1.【答案】 B4.设0ab,a+b=1,则下列不等式正确的是 A.22aba2+b2B.2abba2+b2C.2aba2+b2bD.2aba2+b2b【解析】 ∵0ab,且a+b=1,∴0ab1,∴a2+b22ab,ba2+b2,且b.故2aba2+b2b.【答案】 C5.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和ba<b,其全程的平均时速为v,则 A.a<v<B.v=C.<v<D.v=【解析】 设甲、乙两地之间的距离为s.∵a<b,∴v===<=.又v-a=-a=>=0,∴v>a.【答案】 A
二、填空题6.已知a,b都是正数,则≥________.【解析】 ∵a,b都是正数,∴++≥3,且++≥
3.∴≥
9.【答案】 97.设A=+,B=a>0,b>0且a≠b,则A,B的大小关系是________.【导学号94910012】【解析】 法一比较法A-B=>0a>0,b>0且a≠b,则AB.法二A>,B<,故A>B.【答案】 A>B8.已知不相等的三个正数a,b,c且abc=1,则a3+b3+c3与3的大小关系是________.【解析】 ∵a,b,c是不相等的三个正数,且abc=1,∴a3+b3+c3>3=
3.【答案】 a3+b3+c3>3
三、解答题9.设a>0,b>0,a+b=1,求证++≥
8.【证明】 ∵a>0,b>0,a+b=1,∴2≤a+b.因此≤,≥
4.则++=a+b+≥2·2+4=
8.10.已知a,b,c大于0,求证a+b+c≥.【证明】 ∵a,b,c大于0,∴a+b+b+c+c+a≥3>0,++≥3>0,∴a+b+c≥.当且仅当a=b=c时,等号成立.能力提升]1.设a,b,c为正数,则“abc=1”是“++≤a+b+c”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件【解析】 当a=b=c=2时,有++≤a+b+c,但abc≠1,所以必要性不成立;当abc=1时,++==++,a+b+c=≥++,所以充分性成立,故“abc=1”是“++≤a+b+c”的充分不必要条件.【答案】 A2.当a,b为两个不相等的正实数时,下列各式中最小的是 A.B.C.D.【解析】 由≥及a2+b2≥2ab,且a≠b,∴≥=,∴A,B,C中,最小.而=.∵a≠b时,a+b>2>0,∴a+b>2ab>0,<.综上可知,最小,应选D.【答案】 D3.若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是________写出所有正确命题的编号.
①ab≤1;
②+≤;
③a2+b2≥2;
④a3+b3≥3;
⑤+≥
2.【解析】 利用特殊值a=b=1排除
②④.由平均值不等式ab≤==1,∴
①正确.由a2+b2=a2+2-a2=2a2-4a+4=2a-12+1]≥2,∴
③正确.由+=a+b=≥2+2=2,∴
⑤正确.【答案】
①③⑤4.设正数a,b,c满足a+b+c=1,求++的最小值.【解】 因为a,b,c均为正数,且a+b+c=1,所以3a+2+3b+2+3c+2=
9.于是3a+2+3b+2+3c+2]≥3·3=9,当且仅当a=b=c=时,等号成立,即++≥1,故++的最小值为
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