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第2课时 函数的最值课时目标
1.理解函数的最大小值的概念及其几何意义.
2.体会函数的最大小值与单调性之间的关系.
3.会求一些简单函数的最大小值.1.函数的最大值、最小值最值最大值最小值条件设函数y=fx的定义域为I,如果存在实数M满足1对于任意的x∈I,都有__________.2存在x0∈I,使得__________.3对于任意的x∈I,都有__________.4存在x0∈I,使得__________.结论M是函数y=fx的最大值M是函数y=fx的最小值
2.函数最值与单调性的联系1若函数y=fx在区间[a,b]上单调递增,则fx的最大值为________,最小值为________.2若函数y=fx在区间[a,b]上单调递减,则fx的最大值为______,最小值为______.
一、选择题1.若函数fx=x2+2a-1x+2在区间-∞,4上是减函数,则实数a的取值范围是 A.a≤-3B.a≥-3C.a≤5D.a≥32.函数y=x+ A.有最小值,无最大值B.有最大值,无最小值C.有最小值,最大值2D.无最大值,也无最小值3.已知函数y=x2-2x+3在区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则m的取值范围是 A.[1,+∞B.
[02]C.-∞,2]D.
[12]4.如果函数fx=x2+bx+c对任意的实数x,都有f1+x=f-x,那么 A.f-2f0f2B.f0f-2f2C.f2f0f-2D.f0f2f-25.函数y=|x-3|-|x+1|的 A.最小值是0,最大值是4B.最小值是-4,最大值是0C.最小值是-4,最大值是4D.没有最大值也没有最小值6.函数fx=的最大值是 A.B.C.D.题 号123456答 案
二、填空题7.函数y=的值域是________.8.函数y=-x2+6x+9在区间[a,b]ab3有最大值9,最小值-7,则a=________,b=__________.9.若y=-,x∈[-4,-1],则函数y的最大值为________.
三、解答题10.已知函数fx=x2-2x+
2.1求fx在区间[,3]上的最大值和最小值;2若gx=fx-mx在
[24]上是单调函数,求m的取值范围.11.若二次函数满足fx+1-fx=2x且f0=
1.1求fx的解析式;2若在区间[-11]上不等式fx2x+m恒成立,求实数m的取值范围.能力提升12.已知函数fx=3-2|x|,gx=x2-2x,构造函数Fx,定义如下当fx≥gx时,Fx=gx;当fxgx时,Fx=fx,那么Fx A.有最大值3,最小值-1B.有最大值3,无最小值C.有最大值7-2,无最小值D.无最大值,也无最小值13.已知函数fx=ax2-|x|+2a-1,其中a≥0,a∈R.1若a=1,作函数fx的图象;2设fx在区间
[12]上的最小值为ga,求ga的表达式.1.函数的最大小值1定义中M首先是一个函数值,它是值域中的一个元素,如函数fx=-x2x∈R的最大值为0,有f0=0,注意对“存在”的理解.2对于定义域内任意元素,都有fx≤M或fx≥M成立,“任意”是说对每一个值都必须满足不等式.拓展 对于函数y=fx的最值,可简记如下最大值ymax或fxmax;最小值ymin或fxmin.2.函数的最值与值域、单调性之间的联系1对一个函数来说,其值域是确定的,但它不一定有最值,如函数y=.如果有最值,则最值一定是值域中的一个元素.2若函数fx在闭区间[a,b]上单调,则fx的最值必在区间端点处取得.即最大值是fa或fb,最小值是fb或fa.3.二次函数在闭区间上的最值探求二次函数在给定区间上的最值问题,一般要先作出y=fx的草图,然后根据图象的增减性进行研究.特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系,它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据,并且最大小值不一定在顶点处取得.第2课时 函数的最大小值知识梳理1.1fx≤M 2fx0=M 3fx≥M 4fx0=M2.1fb fa 2fa fb作业设计1.A [由二次函数的性质,可知4≤-a-1,解得a≤-
3.]2.A [∵y=x+在定义域[,+∞上是增函数,∴y≥f=,即函数最小值为,无最大值,选A.]3.D [由y=x2-2x+3=x-12+2知,当x=1时,y的最小值为2,当y=3时,x2-2x+3=3,解得x=0或x=
2.由y=x2-2x+3的图象知,当m∈
[12]时,能保证y的最大值为3,最小值为
2.]4.D [依题意,由f1+x=f-x知,二次函数的对称轴为x=,因为fx=x2+bx+c开口向上,且f0=f1,f-2=f3,由函数fx的图象可知,[,+∞为fx的增区间,所以f1f2f3,即f0f2f-2.]5.C [y=|x-3|-|x+1|=.因为[-13是函数y=-2x+2的减区间,所以-4y≤4,综上可知C正确.]6.D [fx=≤.]7.02]解析 观察可知y0,当|x|取最小值时,y有最大值,所以当x=0时,y的最大值为2,即0y≤2,故函数y的值域为02].8.-2 0解析 y=-x-32+18,∵ab3,∴函数y在区间[a,b]上单调递增,即-b2+6b+9=9,得b=0b=6不合题意,舍去-a2+6a+9=-7,得a=-2a=8不合题意,舍去.9.2解析 函数y=-在[-4,-1]上是单调递增函数,故ymax=-=
2.10.解 1∵fx=x2-2x+2=x-12+1,x∈[,3],∴fx的最小值是f1=1,又f=,f3=5,所以,fx的最大值是f3=5,即fx在区间[,3]上的最大值是5,最小值是
1.2∵gx=fx-mx=x2-m+2x+2,∴≤2或≥4,即m≤2或m≥
6.故m的取值范围是-∞,2]∪[6,+∞.11.解 1设fx=ax2+bx+ca≠0,由f0=1,∴c=1,∴fx=ax2+bx+
1.∵fx+1-fx=2x,∴2ax+a+b=2x,∴,∴,∴fx=x2-x+
1.2由题意x2-x+12x+m在[-11]上恒成立,即x2-3x+1-m0在[-11]上恒成立.令gx=x2-3x+1-m=x-2--m,其对称轴为x=,∴gx在区间[-11]上是减函数,∴gxmin=g1=1-3+1-m0,∴m-
1.12.C [画图得到Fx的图象射线AC、抛物线及射线BD三段,联立方程组得xA=2-,代入得Fx的最大值为7-2,由图可得Fx无最小值,从而选C.]13.解 1当a=1时,fx=x2-|x|+1=.作图如右所示.2当x∈
[12]时,fx=ax2-x+2a-
1.若a=0,则fx=-x-1在区间
[12]上是减函数,ga=f2=-
3.若a0,则fx=ax-2+2a--1,fx图象的对称轴是直线x=.当01,即a时,fx在区间
[12]上是增函数,ga=f1=3a-
2.当1≤≤2,即≤a≤时,ga=f=2a--1,当2,即0a时,fx在区间
[12]上是减函数,ga=f2=6a-
3.综上可得ga=PAGE6。