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2.2函数的简单性质
2.
2.1函数的单调性A级 基础巩固
1.函数fx的图象如图所示,则 A.函数fx在[-1,2]上是增函数B.函数fx在[-1,2]上是减函数C.函数fx在[-1,4]上是减函数D.函数fx在[2,4]上是增函数解析增函数具有“上升”趋势;减函数具有“下降”趋势,故A正确.答案A2.已知函数fx是-∞,+∞上的增函数,若a∈R,则 A.fa>f2aB.fa2<faC.fa+3>fa-2D.f6>fa解析因为a+3>a-2,且fx在-∞,+∞上是增函数,所以fa+3>fa-2.答案C3.y=在区间[2,4]上的最大值、最小值分别是 A.1,B.,1C.,D.,解析因为函数y=在[2,4]上是单调递减函数,所以ymax==1,ymin==.答案A4.函数y=x2-6x的减区间是 A.-∞.2]B.[2,+∞C.[3,+∞D.-∞,3]解析y=x2-6x=x-32-9,故函数的单调减区间是-∞,3].答案D5.下列说法中,正确的有
①若任意x1,x2∈I,当x1<x2时,>0,则y=fx在I上是增函数;
②函数y=x2在R上是增函数;
③函数y=-在定义域上是增函数;
④函数y=的单调区间是-∞,0∪0,+∞.A.0个B.1个C.2个D.3个解析当x1<x2时,x1-x2<0,由>0知fx1-fx2<0,所以fx1<fx2,
①正确;
②③④均不正确.答案B6.已知函数fx=+x,则它的最小值是 A.0B.1C.D.无最小值解析因为函数fx=+x的定义域是,且是增函数,所以fxmin=f=.答案C7.函数y=fx的图象如图所示,则函数fx的单调递增区间是________________.解析由图象可知函数fx的单调递增区间是-∞,1]和1,+∞.答案-∞,1]和1,+∞8.已知fx是R上的减函数,则满足f2x-1>f1的实数x的取值范围是________.解析因为fx在R上是减函数,且f2x-1>f1,所以2x-1<1,即x<
1.答案-∞,19.已知函数fx=x2-2x+3在闭区间[0,m]上的最大值为3,最小值为2,则m的取值范围是________.解析因为fx=x-12+2,其对称轴为直线x=1,所以当x=1时,fxmin=2,故m≥
1.又因为f0=3,所以f2=
3.所以m≤
2.故1≤m≤
2.答案[1,2]10.某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车,利润单位万元分别为L1=-x2+21x和L2=2x其中销售量单位辆.若该公司在两地共销售15辆,则能获得的最大利润为________万元.解析设公司在甲地销售x台,则在乙地销售15-x台,公司获利为L=-x2+21x+215-x=-x2+19x+30=-+30+,所以当x=9或10时,L最大为120万元.答案12011.讨论函数y=x2-22a+1x+3在[-2,2]上的单调性.解因为函数图象的对称轴x=2a+1,所以当2a+1≤-2,即a≤-时,函数在[-
2.2]上为增函数.当-2<2a+1<2,即-<a<时,函数在[-2,2a+1]上是减函数,在[2a+1,2]上是增函数.当2a+1≥2,即a≥时,函数在[-2,2]上是减函数.12.已知fx=,x∈[3,5].1利用定义证明函数fx在[3,5]上是增函数;2求函数fx的最大值和最小值.解1fx在区间[3,5]上是增函数,证明如下设x1,x2是区间[3,5]上的两个任意实数,且x1<x2,则fx1-fx2=-=.因为3≤x1<x2≤5,所以x1-x2<0,2-x1<0,2-x2<
0.所以fx1<fx2.所以fx在区间[3,5]上是增函数.2因为fx在区间[3,5]上是增函数,所以当x=3时,fx取得最小值为-4,当x=5时,fx取得最大值为-
2.B级 能力提升13.若函数fx=4x2-kx-8在[5,8]上是单调函数,则k的取值范围是 A.-∞,40B.[40,64]C.-∞,40]∪[64,+∞D.[64,+∞解析对称轴为x=,则≤5或≥8,解得k≤40或k≥
64.答案C14.若y=ax与y=-在区间0,+∞上都是减函数,则y=ax2+bx在区间0,+∞上是 A.增函数B.减函数C.先增后减D.先减后增解析本题通过一次函数、反比例函数的单调性,判断出a,b的符号.因为y=ax与y=-在区间0,+∞上都是减函数,所以a<0,b<0,所以函数y=ax2+bx的对称轴方程为x=-<0,故函数y=ax2+bx在区间0,+∞上是减函数.答案B15.当0≤x≤2时,a<-x2+2x恒成立,则实数a的取值范围是________.解析令fx=-x2+2x0≤x≤2=-x2-2x+1+1=-x-12+1,图象如下.所以fx最小值为f0=f2=
0.而a<-x2+2x恒成立,所以a<
0.答案-∞,016.画出函数fx=的图象,并写出函数的单调区间及最小值.解fx的图象如图所示,fx的单调递增区间是-∞,0和[0,+∞,函数的最小值为f0=-
1.17.已知函数fx=x2-2x+
2.1求fx在区间上的最大值和最小值;2若gx=fx-mx在[2,4]上是单调函数,求m的取值范围.解1因为fx=x2-2x+2=x-12+1,x∈,对称轴是x=
1.所以fx的最小值是f1=
1.又f=,f3=5,所以fx在区间上的最大值是5,最小值是
1.2因为gx=fx-mx=x2-m+2x+2,所以≤2或≥4,即m≤2或m≥
6.故m的取值范围是-∞,2]∪[6,+∞.18.若二次函数满足fx+1-fx=2x且f0=
1.1求fx的解析式;2若在区间[-1,1]上不等式fx>2x+m恒成立,求实数m的取值范围.解1设fx=ax2+bx+ca≠0,因为f0=1,所以c=
1.所以fx=ax2+bx+
1.因为fx+1-fx=2x,所以2ax+a+b=2x.所以所以所以fx=x2-x+
1.2由题意,得x2-x+1>2x+m在[-1,1]上恒成立,即x2-3x+1-m>0在[-1,1]上恒成立.令gx=x2-3x+1-m=--m,其对称轴为x=,所以gx在区间[-1,1]上是减函数.所以gxmin=g1=1-3+1-m>
0.所以m<-
1.所以实数m的取值范围是-∞,-1.PAGE6。