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2.6 函数模型及其应用课时目标
1.能够找出简单实际问题中的函数关系式.
2.初步体会应用一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数模型解决实际问题.
3.体会运用函数思想处理现实生活中的简单问题，培养对数学模型的应用意识．1．几种常见的函数模型1一次函数y＝kx＋bk≠02二次函数y＝ax2＋bx＋ca≠03指数函数y＝axa0且a≠14对数函数y＝logaxa0且a≠15幂函数y＝xαα∈R6指数型函数y＝pqx＋r7分段函数2．面临实际问题，自己建立函数模型的步骤1收集数据；2画散点图；3选择函数模型；4求函数模型；5检验；6用函数模型解释实际问题．
一、填空题1．细菌繁殖时，细菌数随时间成倍增长．若实验开始时有300个细菌，以后的细菌数如下表所示xh0123细菌数30060012002400据此表可推测实验开始前2h的细菌数为________．2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如右图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是________元．3．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是________．4．某工厂6年来生产某种产品的情况是前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t年的函数关系图象正确的是________．填序号5．把长为12cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是________．6．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片如图中阴影部分备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y分别为________．7．某不法商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，那么每台彩电原价是________元．8．麋鹿是国家一级保护动物，位于江苏省中部黄海之滨的江苏大丰麋鹿国家级自然保护区，成立于1985年，最初一年年底只有麋鹿100头，由于科学的人工培育，这种当初快要濒临灭绝的动物的数量y头与时间x年的关系可以近似地由关系式y＝alog2x＋1给出，则2000年年底它们的数量约为________头．9．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt其中k为常数，t表示时间，单位小时，y表示病毒个数，则k＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．
二、解答题10．东方旅社有100张普通客床，若每床每夜收租费10元时，客床可以全部租出；若每床每夜收费提高2元，便减少10张客床租出；若再提高2元，便再减少10张客床租出；依此情况继续下去．为了获得租金最多，每床每夜租金选择多少？11．芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场．某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q单位为元/10kg与上市时间t单位天的数据情况如下表t50110250Q1501081501根据上表数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝alogbt；2利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．能力提升12．某工厂生产一种电脑元件，每月的生产数据如表月份123产量千件
505253.9为估计以后每月对该电脑元件的产量，以这三个月的产量为依据，用函数y＝ax＋b或y＝ax＋ba，b为常数，且a0来模拟这种电脑元件的月产量y千件与月份的关系．请问用以上哪个模拟函数较好？说明理由．13．一片森林原来的面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的，1求每年砍伐面积的百分比；2到今年为止，该森林已砍伐了多少年？3今后最多还能砍伐多少年？1．函数模型的应用实例主要包括三个方面1利用给定的函数模型解决实际问题；2建立确定性的函数模型解决问题；3建立拟合函数模型解决实际问题．2．函数拟合与预测的一般步骤1能够根据原始数据、表格，绘出散点图．2通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况是一般不会发生的．因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了．3根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．4利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．§
2.6 函数模型及其应用作业设计1．75解析 由表中数据观察可得细菌数y与时间x的关系式为y＝300·2xx∈Z．当x＝－2时，y＝300×2－2＝＝
75.2．300解析 由题意可知，收入y是销售量x的一次函数，设y＝ax＋b，将1800，21300代入得a＝500，b＝
300.当销售量为x＝0时，y＝
300.3．减少
7.84%解析 设某商品价格为a，依题意得a1＋
0.221－
0.22＝a×
1.22×
0.82＝
0.9216a，所以四年后的价格与原来价格比较
0.9216－1a＝－
0.0784a，即减少
7.84%.4．
①解析 由于前三年年产量的增长速度越来越快，可用指数函数刻画，后三年年产量保持不变，可用一次函数刻画．5．2cm2解析 设一段长为xcm，则另一段长为12－xcm.∴S＝2＋4－2＝x－62＋2≥2当且仅当x＝6时，取“＝”．6．1512解析 由三角形相似得＝，得x＝24－y，∴S＝xy＝－y－122＋
180.∴当y＝12时，S有最大值，此时x＝
15.7．2250解析 设每台彩电的原价为x元，则x1＋40%×
0.8－x＝270，解得x＝2250元．8．400解析 由题意，x＝1时y＝100，代入求得a＝1002000年年底时，x＝15，代入得y＝
400.9．2ln2 1024解析 当t＝
0.5时，y＝2，∴2＝，∴k＝2ln2，∴y＝e2tln2，当t＝5时，∴y＝e10ln2＝210＝
1024.10．解 设每床每夜租金为10＋2nn∈N，则租出的床位为100－10nn∈N且n10租金fn＝10＋2n100－10n＝20[－n－2＋]，其中n∈N且n
10.所以，当n＝2或n＝3时，租金最多，若n＝2，则租出床位100－20＝80张；若n＝3，则租出床位100－30＝70张；综合考虑，n应当取3，即每床每夜租金选择10＋2×3＝16元．11．解 1由所提供的数据可知，刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常值函数，若用函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝alogbt中的任意一个来反映时都应有a≠0，且上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以应选用二次函数Q＝at2＋bt＋c进行描述．将表格所提供的三组数据分别代入函数Q＝at2＋bt＋c，可得解得a＝，b＝－，c＝.所以，刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为Q＝t2－t＋.2当t＝－＝150天时，芦荟种植成本最低为Q＝×1502－×150＋＝100元/10kg．12．解 将
150、252分别代入两解析式得或a0解得两方程组的解相同．∴两函数分别为y＝2x＋48或y＝2x＋
48.当x＝3时，对于y＝2x＋48有y＝54；当x＝3时，对于y＝2x＋48有y＝
56.由于56与
53.9的误差较大，∴选y＝ax＋b较好．13．解 1设每年砍伐面积的百分比为x0x1，则a1－x10＝a，即1－x10＝，解得x＝1－.2设经过m年剩余面积为原来的，则a1－xm＝a，即＝，＝，解得m＝5，故到今年为止，已砍伐了5年．3设从今年开始，以后砍了n年，则n年后剩余面积为a1－xn.令a1－xn≥a，即1－xn≥，≥，≤，解得n≤
15.故今后最多还能砍伐15年．PAGE5。
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