2016-2017学年高中数学第2章圆锥曲线与方程1.2椭圆的简单性质第1课时椭圆的简单性质课后演练提升北师大版选修

2016-2017学年高中数学第2章圆锥曲线与方程

1.2椭圆的简单性质第1课时椭圆的简单性质课后演练提升北师大版选修1-1

一、选择题每小题5分，共20分1．椭圆的一个焦点和短轴的两端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为　　A.　　　　　　　　　　　B.C.D．不能确定解析　由题意知正三角形的边长为a，c为正三角形的高，故e＝＝.答案　B2．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的标准方程为　　A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1或＋＝1D．以上都不对解析　由题意知，∴解得a＝5，b＝

4.又焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，∴椭圆方程为＋＝1或＋＝

1.答案　C3．已知椭圆＋＝1有两个顶点在直线x＋2y＝2上，则此椭圆的焦点坐标是　　A．±，0B．0，±C．±，0D．0，±解析　直线x＋2y＝2与坐标轴的交点为20，01，即为椭圆的两个顶点，又焦点在x轴上，∴a＝2，b＝1，∴c＝＝，∴焦点坐标为±，0．故选A.答案　A4．已知椭圆＋＝1，焦点在y轴上，若焦距为4，则m等于　　A．4B．5C．7D．8解析　由题意知焦距为4，则有m－2－10－m＝2，解得m＝

8.答案　D

二、填空题每小题5分，共10分5．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，它的长轴长等于圆C x2＋y2－2x－15＝0的半径，则椭圆的标准方程是______________．解析　设椭圆的标准方程为＋＝1a＞b＞0．圆C x2＋y2－2x－15＝0的半径为4，即a＝

2.而＝，得c＝1，所以b＝，则椭圆方程为＋＝

1.答案　＋＝16．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是__________．解析　由题意有2a＋2c＝22b，即a＋c＝2b，又c2＝a2－b2，消去b整理得5c2＝3a2－2ac，即5e2＋2e－3＝0，∴e＝或e＝－1舍去．答案　

三、解答题每小题10分，共20分7．求适合下列条件的椭圆的标准方程．1椭圆过30，离心率e＝；2在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为

8.解析　1若焦点在x轴上，则a＝3，∵e＝＝，∴c＝.∴b2＝a2－c2＝9－6＝

3.∴椭圆的方程为＋＝

1.若焦点在y轴上，则b＝3，∵e＝＝＝＝，解得a2＝

27.∴椭圆的方程为＋＝

1.2设椭圆方程为＋＝1a＞b＞0．如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线高，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，∴c＝b＝

4.∴a2＝b2＋c2＝32，故所求椭圆的方程为＋＝

1.

8.如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，求此椭圆的离心率．解析　设椭圆的方程为＋＝1a＞b＞0．则F1－c0，F2c0，A0，b，Ba0，直线PF1的方程为x＝－c，代入方程＋＝1，得y＝±，∴P.∵PF2∥AB，且kPF2＝＝，又kAB＝－，∴由kPF2＝kAB，得－＝－.∴b＝2c，a＝c，∴e＝.☆☆☆9．10分如图，已知椭圆＋＝1a＞b＞0，F

1、F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.1若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；2若2＝2，·＝，求椭圆的方程．解析　1若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有OA＝OF2，即b＝c.所以a＝c，e＝＝.2由题知A0，b，F1－c0，F2c0，其中，c＝，设Bx，y．由＝2⇔c，－b＝2x－c，y，解得x＝，y＝－，即B.将B点坐标代入＋＝1，得＋＝1，即＋＝1，解得a2＝3c

2.

①又由·＝－c，－b·＝⇒b2－c2＝1，即有a2－2c2＝

1.

②由

①，

②解得c2＝1，a2＝3，从而有b2＝

2.所以椭圆方程为＋＝

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