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【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第三章指数函数与对数函数学业分层测评
(21)指数函数、幂函数、对数函数增长的比较北师大版必修1建议用时45分钟[学业达标]
一、选择题1.2016·佛山高一检测四人赛跑,其跑过的路程fx与时间x的函数关系分别如下四个选项所示,如果他们一直跑下去,最终跑在最前面的人具有的函数关系为 A.f1x=x B.f2x=xC.f3x=log2x+1D.f4x=log8x+1【解析】 A、C、D中函数增长特点是越来越慢,B中一次函数型增长特点是正比例增长,故选B.【答案】 B2.函数y1=2x与y2=x2,当x0时,图像的交点个数是 A.0 B.1 C.2 D.3【解析】 当x=2或4时,y1=y2,当x4时,y1y2,故交点个数是
2.【答案】 C3.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长
10.4%,要增长到原来的x倍,需经过y年,则函数y=fx的图像大致为 【解析】 由题意,设林区原来的蓄积量为a,则ax=a1+
10.4%y,即
1.104y=x,则y=log
1.104x,故y=fx的图像大致为D.【答案】 D4.某种细菌经60分钟培养,可繁殖为原来的2倍,且知该细菌的繁殖规律为y=10ekt,其中k为常数,t表示时间单位小时,y表示细菌个数,10个细菌经过7小时培养,细菌能达到的个数为 A.640B.1280C.2560D.5120【解析】 由题意可得,当t=0时,y=10,当t=1时,y=10ek=20,可得ek=
2.故10个细菌经过7小时培养,能达到的细菌个数为10e7k=10×ek7=
1280.【答案】 B5.某地区植被被破坏,土地沙化越来越严重,最近三年测得沙漠增加值分别为
0.2万公顷、
0.4万公顷和
0.76万公顷,则沙漠增加数y万公顷关于年数x年的函数关系较为近似的是 A.y=
0.2xB.y=x2+2xC.y=D.y=
0.2+log16x【解析】 将x=123,y=
0.
20.
40.76分别代入验算,可知选C.【答案】 C
二、填空题6.在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v米/秒和燃料的质量M千克、火箭除燃料外的质量m千克的函数关系式是v=2000ln.当燃料质量是火箭质量的________倍时,火箭的最大速度可达12千米/秒.【解析】 当v=12000时,2000×ln=12000,∴ln=6,∴=e6-
1.【答案】 e6-17.池塘浮萍每天生长原来的一倍,15天刚好长满池塘,则________天长满半池塘.【导学号04100068】【解析】 设第一天生长a,则第二天有浮萍2a,第三天4a,…第14天213a,第15天214a.因214a=2×213a,∴14天长满半池塘.【答案】 14
三、解答题8.某种商品进价每个80元,零售价每个100元,为了促销拟采取买一个这种商品,赠送一个小礼品的办法,实践表明礼品价值为1元时,销售量增加10%,且在一定范围内,礼品价值为n+1元时,比礼品价值为n元n∈N+时的销售量增加10%.1写出礼品价值为n元时,利润yn元与n的函数关系式;2请你设计礼品价值,以使商店获得最大利润.【解】 1设未赠礼品时的销售量为m,则当礼品价值为n元时,销售量为m1+10%n.利润yn=100-80-n·m·1+10%n=20-nm×
1.1n0<n<20,n∈N+.2令yn+1-yn≥0,即19-nm×
1.1n+1-20-nm×
1.1n≥0,解得n≤9,所以y1<y2<y3<…<y9=y10,令yn+1-yn+2≥0,即19-nm×
1.1n+1-18-nm×
1.1n+2≥0,解得n≥8,所以y9=y10>y11>…>y
19.所以礼品价值为9元或10元时,商店获得最大利润.9.某工厂利润数据如下表月份123利润万元256现有两个函数模型刻画该厂的月利润y万元与月份x的函数关系指数型函数y=abx+c和二次函数y=ax2+bx+c,若4月份的利润为
5.1万元,选哪个模型比较好?其中ab≠0,且b≠1【解】 先把前3个月份的数据代入y=abx+c,得解得∴y=-·x+.把x=4代入得y≈
6.
33.再把三组数据代入y=ax2+bx+c,得解得∴y=-x2+6x-
3.把x=4代入得y=
5.
0.∵|
5.0-
5.1||
6.33-
5.1|,∴选模型y=-x2+6x-3较好.[能力提升]1.2016·福州高一检测如图364,下面的四个容器高度都相同,将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,注满为止.用下面对应的图像显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系,其中正确的有 图364A.1个B.2个 C.3个 D.4个【解析】 图
①不对,因为正方体的底面积是定值,故水面高度的增加是均匀的,即图像是直线型的.图
②正确,因几何体下面窄上面宽,且相同的时间内注入的水量相同,所以下面的高度增加得快,上面增加得慢,即图像应越来越平缓.图
③正确,球是对称的几何体,下半球因下面窄上面宽,所以水的高度增加得越来越慢;上半球恰好相反,所以水的高度增加得越来越快,即图像先平缓再变陡.图
④正确,图中几何体两头宽,中间窄,所以水的高度增加,先变快后变慢,即图像先变陡再平缓.【答案】 C2.麋鹿是国家一级保护动物,位于江苏省中部黄海之滨的江苏大丰麋鹿国家级自然保护区,成立于1986年,第一年即1986年只有麋鹿100头,由于科学的人工培育,这种当初快要灭绝的动物头数y与时间x年的关系可近似地由关系式y=alog2x+1给出,则到2016年时,预测麋鹿的头数约为________.【解析】 由第一年有麋鹿100头,可得a=
100.2016年,即x=31时,代入后可得y=100log231+1=100·log225=500,故此时麋鹿共有500头.【答案】 500PAGE4。