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第三课时 利用导数证明不等式专题【选题明细表】知识点、方法题号构造法证明不等式14等价转化法证明不等式2赋值法证明不等式
31.2015高考福建卷已知函数fx=lnx-.1求函数fx的单调递增区间;2证明:当x1时fxx-1;3确定实数k的所有可能取值使得存在x01当x∈1x0时恒有fxkx-
1.1解:f′x=-x+1=x∈0+∞由f′x0得解得0x.故fx的单调递增区间是
0.2证明:令Fx=fx-x-1x∈0+∞则F′x=.当x∈1+∞时F′x0所以Fx在[1+∞上单调递减故当x1时FxF1=0即当x1时fxx-
1.3解:由2知当k=1时不存在x01满足题意.当k1时对于x1有fxx-1kx-1则fxkx-1从而不存在x01满足题意.当k1时令Gx=fx-kx-1x∈0+∞则G′x=-x+1-k=由G′x=0得-x2+1-kx+1=0解得x1=0x2=
1.当x∈1x2时G′x0故Gx在[1x2内单调递增从而当x∈1x2时GxG1=0即fxkx-1综上k的取值范围是-∞
1.
2.2015皖南八校联考已知函数fx=xlnx+mxm∈R的图象在点1f1处的切线的斜率为
2.1求实数m的值;2设gx=讨论gx的单调性;3已知mn∈N*且mn1证明.1解:因为fx=xlnx+mx所以f′x=1+lnx+m.由题意f′1=1+ln1+m=2得m=
1.2解:gx==x0x≠1所以g′x=.设hx=x-1-lnxh′x=1-.当x1时h′x=1-0hx是增函数hxh1=0所以g′x=0故gx在1+∞上为增函数;当0x1时h′x=1-0hx是减函数hxh1=0所以g′x=0故gx在01上为增函数;所以gx在区间01和1+∞上都是单调递增的.3证明:由已知可知要证即证-lnn-lnm即证lnmlnn即证即证gmgn又mn1mn∈N*由2知gmgn成立所以.
3.2016东北三省四市教研联合体模拟已知函数fx=alnx-ax-3a≠
0.1讨论fx的单调性;2求证ln22+1+ln32+1+ln42+1+…+lnn2+11+2lnn!n≥2n∈N*n!=1×2×3×…×n.1解:f′x=x0当a0时fx的单调增区间为01]单调减区间为[1+∞;当a0时fx的单调增区间为[1+∞单调减区间为01].2证明:令a=-1此时fx=-lnx+x-3所以f1=-
2.由1知fx=-lnx+x-3在1+∞上单调递增所以当x∈1+∞时fxf1即-lnx+x-10所以lnxx-1对一切x∈1+∞成立.因为n≥2n∈N*则有ln+1=-要证ln22+1+ln32+1+ln42+1+…+lnn2+11+2lnn!n≥2n∈N*只需证ln+1+ln+1+…+ln+11n≥2n∈N*ln+1+ln+1+…+ln+11-+-+…+-=1-1所以原不等式成立.
4.2015山西省四校第三次联考函数fx=若曲线fx在点efe处的切线与直线e2x-y+e=0垂直其中e为自然对数的底数.1若fx在mm+1上存在极值求实数m的取值范围;2求证:当x1时.1解:因为f′x=由已知f′e=-所以-=-.得a=
1.所以fx=.f′x=-x
0.当x∈01时f′x0fx为增函数;当x∈1+∞时f′x0fx为减函数.所以x=1是函数fx的极大值点.又fx在mm+1上存在极值所以m1m+1即0m
1.故实数m的取值范围是
01.2证明:即为令gx=则g′x==再令x=x-lnx则′x=1-=.因为x1所以′x0所以x在1+∞上是增函数所以x1=10所以g′x0所以gx在1+∞上是增函数所以x1时gxg1=
2.故.令hx=.则h′x=2=因为x1所以1-ex0所以h′x
0.即hx在1+∞上是减函数.所以x1时hxh1=.所以hx即.PAGE5。
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