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第三课时 定点、定值、存在性专题 【选题明细表】知识点、方法题号圆锥曲线的定点问题45圆锥曲线的定值问题7圆锥曲线的存在性问题
12361.在直角坐标系xOy中点M2-点F为抛物线C:y=mx2m0的焦点线段MF恰被抛物线C平分.1求m的值;2过点M作直线l交抛物线C于AB两点设直线FAFMFB的斜率分别为k1k2k3问k1k2k3能否构成公差不为零的等差数列若能求出直线l的方程;若不能请说明理由.解:1由题意得抛物线C的焦点F的坐标为0线段MF的中点N1-在抛物线C上所以-=m8m2+2m-1=0所以m=m=-舍去.2由1知抛物线C:x2=4yF
01.设直线l的方程为y+=kx-2Ax1y1Bx2y2由得x2-4kx+8k+2=0Δ=16k2-48k+20所以k或k.由根与系数的关系得假设k1k2k3能构成公差不为零的等差数列则k1+k3=2k
2.而k1+k3=+=====k2==-所以=-8k2+10k+3=0解得k=-符合题意或k=-不合题意舍去.所以直线l的方程为y+=-x-2即x+2y-1=
0.所以k1k2k3能构成公差不为零的等差数列此时直线l的方程为x+2y-1=
0.
2.2016郑州模拟已知动点P到定点F10和到直线x=2的距离之比为设动点P的轨迹为曲线E过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于AB两点直线l:y=mx+n与曲线E交于CD两点与线段AB相交于一点与AB不重合.1求曲线E的方程;2当直线l与圆x2+y2=1相切时四边形ACBD的面积是否有最大值.若有求出其最大值及对应的直线l的方程;若没有请说明理由.解:1设点Pxy由题意可得=整理可得+y2=
1.曲线E的方程是+y2=
1.2设Cx1y1Dx2y2由已知可得|AB|=.当m=0时不合题意.当m≠0时由直线l与圆x2+y2=1相切可得=1即m2+1=n
2.联立消去y得m2+x2+2mnx+n2-1=0Δ=4m2n2-4m2+n2-1=2m20x1=x2=S四边形ACBD=|AB||x2-x1|==≤当且仅当2|m|=即m=±时等号成立此时n=±经检验可知直线l的方程为y=x-或直线y=-x+时四边形ACBD的面积最大最大值为.
3.2016陕西模拟已知A是椭圆M:x2+5y2=5与y轴正半轴的交点F是椭圆M的右焦点过点F的直线l与椭圆M交于BC两点.1若|OB|=|OC|求BC两点的坐标;2是否存在直线l使得|AB|=|AC|若存在求出直线l的方程若不存在请说明理由.解:1由x2+5y2=5可得+y2=1所以c=2所以F20A
01.由椭圆的对称性可知满足|OB|=|OC|的直线l有两种:
①当直线l⊥x轴时令x=2y=±.所以BC两点的坐标分别为2和2-.
②当直线l与x轴重合时BC两点的坐标分别为0和-
0.2
①易知当直线l与x轴重合时|AB|=|AC|此时直线l的方程为y=
0.
②当直线l与x轴垂直时直线l不符合题意.
③当直线l与坐标轴不垂直时设过点F的直线的斜率为k直线l与椭圆M的交点Bx1y1Cx2y2BC的中点Nx0y0则l:y=kx-
2.联立得1+5k2x2-20k2x+20k2-5=0所以x1+x2=.所以x0=y0=所以要使|AB|=|AC|只要AN⊥BC.所以·k=-1所以5k2-8k+1=0所以k=所以直线l的方程为y=x-
2.综上符合题意的直线l的方程为y=0或y=x-
2.
4.2015吉林东北师大附中三模已知双曲线C的中心在坐标原点焦点在x轴上离心率e=虚轴长为
2.1求双曲线C的标准方程;2若直线l:y=kx+m与双曲线C相交于AB两点AB均异于左、右顶点且以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D求证:直线l过定点并求出该定点的坐标.1解:由题设双曲线的标准方程为-=1a0b0由已知得=2b=2又a2+b2=c2解得a=2b=1所以双曲线的标准方程为-y2=
1.2证明:设Ax1y1Bx2y2联立得1-4k2x2-8mkx-4m2+1=0则x1+x2=x1x2=y1y2=kx1+mkx2+m=k2x1x2+mkx1+x2+m2=.以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D-20所以kADkBD=-1即·=-1所以y1y2+x1x2+2x1+x2+4=0所以+++4=0所以3m2-16mk+20k2=
0.解得m=2k或m=.当m=2k时l的方程为y=kx+2直线过定点-20与已知矛盾;当m=时l的方程为y=kx+直线过定点-0经检验符合已知条件.故直线l过定点定点坐标为-
0.
5.2016开封模拟已知抛物线C:x2=4y.1设P为直线l:x-y-2=0上的点过点P作抛物线C的两条切线PAPB当点Px0y0为直线l上的定点时求直线AB的方程;2当点P在直线l上移动时求|AF|·|BF|的最小值.解:1抛物线C的方程为x2=4y即y=x2求导得y′=x.设Ax1y1Bx2y2其中y1=y2=则切线PAPB的斜率分别为x1x2所以切线PA的方程为y-y1=x-x1即y=x-+y1即x1x-2y-2y1=
0.同理可得切线PB的方程为x2x-2y-2y2=
0.因为切线PAPB均过点Px0y0所以x1x0-2y0-2y1=0x2x0-2y0-2y2=0所以x1y1x2y2为方程x0x-2y0-2y=0的两组解.故直线AB的方程为x0x-2y-2y0=
0.2由抛物线定义可知|AF|=y1+1|BF|=y2+
1.所以|AF|·|BF|=y1+1y2+1=y1y2+y1+y2+1联立方程消去x整理得y2+2y0-y+=0由根与系数的关系可得y1+y2=-2y0y1y2=所以|AF|·|BF|=y1y2+y1+y2+1=+-2y0+
1.又点Px0y0在直线l上所以x0=y0+2所以+-2y0+1=2+2y0+5=2y0+2+所以当y0=-时|AF|·|BF|取得最小值且最小值为.
6.2015西安模拟已知椭圆C:+=1ab0经过点1离心率为.1求椭圆C的方程;2直线y=kx-1k≠0与椭圆C交于AB两点点M是椭圆C的右顶点直线AM与直线BM分别与y轴交于点PQ试问以线段PQ为直径的圆是否过x轴上的定点若是求出定点坐标;若不是说明理由.解:1由题意得解得a=2b=
1.所以椭圆C的方程是+y2=
1.2以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点由得1+4k2x2-8k2x+4k2-4=0设Ax1y1Bx2y2则有x1+x2=x1x2=.又因为点M是椭圆C的右顶点所以点M20由题意可知直线AM的方程为y=x-2故点P0-.直线BM的方程为y=x-2故点Q0-.若以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点Nx00则等价于·=0恒成立又因为=x0=x0所以·=+·=+=0恒成立又因为x1-2x2-2=x1x2-2x1+x2+4=-2·+4=y1y2=kx1-1·kx2-1=k2[x1x2-x1+x2+1]=k2-+1=所以+=+=-3=0解得x0=±.即x轴上的定点为0或-
0.故以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点±
0.
7.2016枣庄模拟已知椭圆C:+=1ab0的两个焦点分别为F1F2离心率为过F1的直线l与椭圆C交于MN两点且△MNF2的周长为
8.1求椭圆C的方程;2过原点O的两条互相垂直的射线与椭圆C分别交于AB两点求证:点O到直线AB的距离为定值并求出这个定值.解:1由题意知4a=8所以a=
2.因为e=所以==1-e2=所以b2=
3.所以椭圆C的方程为+=
1.2由题意当直线AB的斜率不存在时可设Ax0x0Bx0-x
0.又AB两点在椭圆C上所以+=1即=所以点O到直线AB的距离d==.当直线AB的斜率存在时设直线AB的方程为y=kx+m.由消去y得3+4k2x2+8kmx+4m2-12=0由Δ0得3+4k2m
2.设Ax1y1Bx2y2则y1=kx1+my2=kx2+m所以x1+x2=-x1x2=.因为OA⊥OB所以x1x2+y1y2=0所以x1x2+kx1+mkx2+m=0即k2+1x1x2+kmx1+x2+m2=
0.所以k2+1-+m2=0整理得7m2=12k2+1满足Δ
0.所以点O到直线AB的距离d===为定值.综上点O到直线AB的距离为定值且这个定值为.PAGE8。