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第二课时 最值、范围、证明专题【选题明细表】知识点、方法题号最值问题2范围问题136证明问题
4571.已知抛物线Γ:x2=2py和点M22若抛物线Γ上存在不同两点AB满足+=
0.1求实数p的取值范围;2当p=2时抛物线Γ上是否存在异于AB的点C使得经过ABC三点的圆和抛物线Γ在点C处有相同的切线若存在求出点C的坐标;若不存在请说明理由.解:1不妨设Ax1Bx2且x1x2因为+=0所以2-x12-+2-x22-=
0.所以x1+x2=4+=8p.因为+x1≠x2即8p8所以p1即p的取值范围为1+∞.2当p=2时由1求得AB的坐标分别为
0044.假设抛物线Γ上存在点Ctt≠0且t≠4使得经过ABC三点的圆和抛物线Γ在点C处有相同的切线.设经过ABC三点的圆N的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0则整理得t3+4E+4t-16E+8=
0.
①因为函数y=的导数为y′=所以抛物线Γ在点Ct处的切线的斜率为所以经过ABC三点的圆N在点Ct处的切线斜率为且该切线与直线NC垂直.因为t≠0所以直线NC的斜率存在.因为圆心N的坐标为--所以=-即t3+2E+4t-4E+8=
0.
②因为t≠0由
①②消去E得t3-6t2+32=0即t-42t+2=0因为t≠4所以t=-
2.故满足题设的点C存在其坐标为-
21.
2.2015高考浙江卷已知椭圆+y2=1上两个不同的点AB关于直线y=mx+对称.1求实数m的取值范围;2求△AOB面积的最大值O为坐标原点.解:1由题意知m≠0可设直线AB的方程为y=-x+b.由消去y得+x2-x+b2-1=
0.因为直线y=-x+b与椭圆+y2=1有两个不同的交点所以Δ=-2b2+2+0
①将线段AB中点M代入直线方程y=mx+解得b=-.
②由
①②得m-或m.2令t=∈-0∪0则|AB|=·且O到直线AB的距离为d=.设△AOB的面积为St所以St=|AB|·d=≤.当且仅当t2=时等号成立.故△AOB面积的最大值为.
3.已知椭圆C:+=1ab0的一个焦点是F10且离心率为.1求椭圆C的方程;2设经过点F的直线不与x轴重合交椭圆C于MN两点线段MN的垂直平分线交y轴于点P0y0求y0的取值范围.解:1设椭圆C的半焦距为c.依题意得c=
1.因为椭圆C的离心率为e=所以a=2c=2b2=a2-c2=
3.故椭圆C的方程为+=
1.2当MN⊥x轴时显然y0=
0.当MN与x轴不垂直时可设直线MN的方程为y=kx-1k≠
0.由消去y并整理得3+4k2x2-8k2x+4k2-3=
0.设Mx1y1Nx2y2线段MN的中点为Qx3y3则x1+x2=所以x3==y3=kx3-1=线段MN的垂直平分线的方程为y+=-x-.在上述方程中令x=0得y0==.当k0时+4k≤-4当且仅当=4kk=-时等号成立;当k0时+4k≥4当且仅当=4kk=时等号成立.所以-≤y00或0y0≤.综上y0的取值范围是[-].
4.已知双曲线C:x2-=1过圆O:x2+y2=2上任意一点作圆的切线l若l交双曲线于AB两点证明:∠AOB为定值.证明:当切线的斜率不存在时切线方程为x=±.当x=时代入双曲线方程得y=±即AB-此时∠AOB=同理当x=-时∠AOB=.当切线的斜率存在时设切线方程为y=kx+b则=即b2=21+k
2.由直线方程和双曲线方程消掉y得2-k2x2-2kbx-b2+2=0由直线l与双曲线交于AB两点.故2-k2≠
0.设Ax1y1Bx2y2则x1+x2=x1x2=y1y2=kx1+bkx2+b=k2x1x2+kbx1+x2+b2=++=故x1x2+y1y2=+=由于b2=21+k2故x1x2+y1y2=0即·=0∠AOB=.综上可知∠AOB为定值.
5.平面直角坐标系中O为坐标原点给定两点A10B0-2点C满足=α+β其中αβ∈R且α-2β=
1.1求点C的轨迹方程;2设点C的轨迹与椭圆+=1ab0交于两点MN且以MN为直径的圆过原点求证:+为定值;3在2的条件下若椭圆的离心率不大于求椭圆长轴长的取值范围.1解:设Cxy由=α+β可得xy=α10+β0-2所以即有代入α-2β=1有x+y=1即点C的轨迹方程为x+y=
1.2证明:由可得a2+b2x2-2a2x+a2-a2b2=0设Mx1y1Nx2y2则x1+x2=x1x2=因为以MN为直径的圆过原点O则·=0即有x1x2+y1y2=0x1x2+1-x11-x2=1-x1+x2+2x1x2=1-+2·=0可得a2+b2-2a2b2=0即有+=2为定值.3解:+=2可得b2=.由ab0即a2即a1由e≤则e2=≤即1-≤即2a2-1≤4又a1所以1a≤即22a≤故椭圆长轴长的取值范围是2].
6.2015淄博模拟已知椭圆C:+=1ab0的焦距为2且过点1右焦点为F
2.设AB是C上的两个动点线段AB的中点M的横坐标为-线段AB的中垂线交椭圆C于PQ两点.1求椭圆C的方程;2求·的取值范围.解:1因为焦距为2所以a2-b2=
1.因为椭圆C过点1所以+=
1.故a2=2b2=1所以椭圆C的方程为+y2=
1.2由题意知当直线AB垂直于x轴时直线AB方程为x=-此时P-0Q0又F210得·=-
1.当直线AB不垂直于x轴时设直线AB的斜率为kk≠0M-mm≠0Ax1y1Bx2y2则x1+x2=-1y1+y2=2m.由得x1+x2+2y1+y2·=0则-1+4mk=0故k=.此时直线PQ斜率为k1=-4mPQ的直线方程为y-m=-4mx+.即y=-4mx-m.联立方程组整理得32m2+1x2+16m2x+2m2-2=
0.设Px3y3Qx4y4所以x3+x4=-x3x4=.于是·=x3-1x4-1+y3y4=x3x4-x3+x4+1+4mx3+m4mx4+m=4m2-1x3+x4+16m2+1x3x4+m2+1=++m2+1=.由于M-m在椭圆的内部故0m
2.令t=32m2+11t29则·=-.又1t29所以-1·.综上·的取值范围为[-
1.
7.已知椭圆C:+=1ab0的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形直线x-y+b=0是抛物线y2=4x的一条切线.1求椭圆C的方程;2过点S0-的直线l交椭圆C于AB两点试问:在直角坐标平面上是否存在一个定点T使得以AB为直径的圆恒过点T若存在求出点T的坐标;若不存在请说明理由.解:1由消去y得x2+2b-4x+b2=
0.因为直线y=x+b与抛物线y2=4x相切所以Δ=2b-42-4b2=0所以b=1因为椭圆C:+=1ab0的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形所以a=b=故所求椭圆C的方程为+y2=
1.2存在.理由:当l与x轴平行时以AB为直径的圆的方程:x2+y+2=2当l与x轴垂直时以AB为直径的圆的方程:x2+y2=
1.由解得即两圆相切于点01因此所求的点T如果存在只能是
01.下面证明点T01就是所求的点.当直线l垂直于x轴时以AB为直径的圆过点T01;若直线l不垂直于x轴可设直线l:y=kx-.由消去y得18k2+9x2-12kx-16=0设点Ax1y1Bx2y2则又因为=x1y1-1=x2y2-1所以·=x1x2+y1-1y2-1=x1x2+kx1-kx2-=1+k2x1x2-kx1+x2+=1+k2·-k·+=0所以TA⊥TB即以AB为直径的圆恒过点T
01.所以在直角坐标平面上存在一个定点T01满足条件.PAGE8。
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