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第3节 合情推理与演绎推理【选题明细表】知识点、方法题号归纳推理37810111315类比推理246914演绎推理1512基础对点练时间:30分钟
1.2016烟台模拟命题“有理数是无限循环小数整数是有理数所以整数是无限循环小数”是假命题推理错误的原因是 C A使用了归纳推理B使用了类比推理C使用了“三段论”但大前提错误D使用了“三段论”但小前提错误解析:由题目可知满足“三段论”形式但是大前提表述不正确而使结论错误.
2.给出下面类比推理命题其中Q为有理数集R为实数集C为复数集:
①“若ab∈R则a-b=0⇒a=b”类比推出“若ab∈C则a-b=0⇒a=b”;
②“若abcd∈R则复数a+bi=c+di⇒a=cb=d”类比推出“若abcd∈Q则a+b=c+d⇒a=cb=d”;
③若“ab∈R则a-b0⇒ab”类比推出“若ab∈C则a-b0⇒ab”.其中类比结论正确的个数是 C A0B1C2D3解析:
①②正确
③错误因为两个复数如果不是实数不能比较大小.故选C.
3.2016长沙校级二模已知21×1=222×1×3=3×423×1×3×5=4×5×6…以此类推第5个等式为 D A24×1×3×5×7=5×6×7×8B25×1×3×5×7×9=5×6×7×8×9C24×1×3×5×7×9=6×7×8×9×10D25×1×3×5×7×9=6×7×8×9×10解析:因为21×1=222×1×3=3×423×1×3×5=4×5×6…所以第5个等式为25×1×3×5×7×9=6×7×8×9×
10.故选D.
4.2016济南一模类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质可得出空间内的下列结论 D
①垂直于同一个平面的两条直线互相平行;
②垂直于同一条直线的两条直线互相平行;
③垂直于同一个平面的两个平面互相平行;
④垂直于同一条直线的两个平面互相平行.A
①②B
②③C
③④D
①④解析:
①垂直于同一个平面的两条直线互相平行正确.
②垂直于同一条直线的两条直线不一定平行也可能是相交直线、异面直线故不正确.
③垂直于同一个平面的两个平面不一定平行也可能是相交平面如墙角故不正确.
④垂直于同一条直线的两个平面互相平行正确.
5.为提高信息在传输中的抗干扰能力通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设定原信息为a0a1a2ai∈{01}i=012传输信息为h0a0a1a2h1其中h0=a0⊕a1h1=h0⊕a2⊕运算规则为0⊕0=00⊕1=11⊕0=11⊕1=
0.例如原信息为111则传输信息为01111信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错则下列接收信息一定有误的是 C A11010B01100C10111D00011解析:对于选项C传输信息是10111对应的原信息是011由题目中运算规则知h0=0⊕1=1而h1=h0⊕a2=1⊕1=0故传输信息应是
10110.故选C.
6.已知等差数列{an}中有=则在等比数列{bn}中会有类似的结论: . 解析:由等比数列的性质可知b1b30=b2b29=…=b11b20所以=.答案:=
7.2016渭南模拟观察下列不等式:
①1;
②+;
③++;…则第5个不等式为 . 解析:由
①1;
②+;
③++;归纳可知第4个不等式应为+++2;第5个不等式应为++++.答案:++++
8.在平面内有nn∈N*n≥3条直线其中任何两条不平行任何三条不过同一点若这n条直线把平面分成fn个平面区域则f5的值是 fn的表达式是 . 解析:由题意知n条直线将平面分成+1个平面区域故f5=16fn=.答案:16 fn=
9.在圆中有结论:如图所示“AB是圆O的直径直线ACBD分别是圆O过AB的切线P是圆O上任意一点CD是过P的切线则有PO2=PC·PD”.类比到椭圆:“AB是椭圆的长轴直线ACBD分别是椭圆过AB的切线P是椭圆上任意一点CD是过P的切线则有 .” 解析:椭圆中的焦半径类比圆中的半径.答案:PF1·PF2=PC·PD
10.某同学在一次研究性学习中发现以下五个式子的值都等于同一个常数:
①sin213°+cos217°-sin13°cos17°;
②sin215°+cos215°-sin15°cos15°;
③sin218°+cos212°-sin18°cos12°;
④sin2-18°+cos248°-sin-18°cos48°;
⑤sin2-25°+cos255°-sin-25°cos55°.1试从上述五个式子中选择一个求出这个常数;2根据1的计算结果将该同学的发现推广为三角恒等式并证明你的结论.解:1选择
②式sin215°+cos215°-sin15°cos15°=1-sin30°=.2推广的三角恒等式为sin2α+cos230°-α-sinαcos30°-α=.证明:sin2α+cos230°-α-sinαcos30°-α=+-sinαcos30°cosα+sin30°sinα=-cos2α++cos60°cos2α+sin60°sin2α-sinαcosα-sin2α=1-cos2α+cos2α+sin2α-sin2α- 1-cos2α=1-cos2α-+cos2α=.能力提升练时间:15分钟
11.从1开始的自然数按如图所示的规则排列现有一个三角形框架在图中上下或左右移动使每次恰有九个数在此三角形内则这九个数的和可以为 C A2097B1553C1517D2111解析:根据如题图所示的规则排列设最上层的一个数为a则第二层的三个数为a+7a+8a+9第三层的五个数为a+14a+15a+16a+17a+18这9个数之和为a+3a+24+5a+80=9a+
104.由9a+104=1517得a=157是自然数.且a为表中第20行第5个数符合若9a+104=2097a≈
221.4不合题意;若9a+104=1553a=161a为表中第21行第一个数不合题意;若9a+104=2111a=223a为表中第28行第7个数不合题意.
12.设f为实系数三次多项式函数.已知五个方程式的相异实根个数如下表所述:fx-20=01fx+10=01fx-10=03fx+20=01fx=03关于f的极小值α试问下列选项中正确的是 C A0α10B-20α-10C-10α0Dα不存在解析:fx分别向上向下平移10个单位和20个单位分别得到fx+10fx+20fx-10fx-20由题意可近似画出fx的草图由图可以看出fx极小值α∈-
100.
13.从装有n+1个球其中n个白球1个黑球的口袋中取出m个球0m≤nmn∈N共有种取法.在这种取法中可以分成两类:一类是取出的m个球全部为白球另一类是取出m-1个白球1个黑球有·+·=即有等式:+=成立.试根据上述思想化简下列式子:·+·+·+…+·= .1≤km≤nkmn∈N. 解析:在·+·+·+…+·中从第一项到最后一项分别表示:从装有n个白球k个黑球的袋子里取出m个球的所有情况取法总数的和故答案应为从装有n+k个球的袋子中取出m个球的不同取法数为.答案:
14.在Rt△ABC中AB⊥ACAD⊥BC于D求证:=+.在四面体ABCD中类比上述结论你能得到怎样的猜想并说明理由.证明:如图所示由射影定理AD2=BD·DCAB2=BD·BCAC2=BC·DC所以===.又BC2=AB2+AC2所以==+.猜想在四面体ABCD中ABACAD两两垂直AE⊥平面BCD则=++.证明:如图连接BE并延长交CD于F连接AF.因为AB⊥ACAB⊥ADAD∩AC=A所以AB⊥平面ACD.所以AB⊥AF.在Rt△ABF中AE⊥BF所以=+.因为AB⊥平面ACD所以AB⊥CD;因为AE⊥平面BCD所以AE⊥CD又AB与AE交于点A所以CD⊥平面ABF所以CD⊥AF.所以在Rt△ACD中=+所以=++.
15.2016聊城模拟下面四个图案都是由小正三角形构成设第n个图形中所有小正三角形边上黑点的总数为fn.1求出f2f3f4f5;2找出fn与fn+1的关系并求出fn的表达式.解:1由题意有f1=3f2=f1+3+3×2=
12.f3=f2+3+3×4=
27.f4=f3+3+3×6=
48.f5=f4+3+3×8=
75.2由题意及1知fn+1=fn+3+3×2n=fn+6n+3即fn+1-fn=6n+3所以f2-f1=6×1+3f3-f2=6×2+3f4-f3=6×3+3fn-fn-1=6n-1+3将上面n-1个式子相加得fn-f1=6[1+2+3+…+n-1]+3n-1=6×+3n-1=3n2-
3.又f1=3所以fn=3n
2.精彩5分钟
1.2016安阳模拟我们知道在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值a类比上述结论在边长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值 A AaBaCaDa解题关键:在正四面体内任取一点将四面体分割成四个三棱锥.解析:正四面体内任一点与四个面组成四个三棱锥它们的体积之和为正四面体的体积设点到四个面的距离分别为h1h2h3h4每个面的面积为a2正四面体的体积为a3则有×a2h1+h2+h3+h4=a3得h1+h2+h3+h4=a.故选A.
2.2016揭阳模拟对任意的ab∈R定义:min{ab}=max{ab}=则下列各式中恒成立的个数为 B
①min{ab}+max{ab}=a+b;
②min{ab}-max{ab}=a-b;
③min{ab}·max{ab}=a·b;
④min{ab}÷max{ab}=a÷b.A1B2C3D4解题关键:按照新定义对各式是否恒成立作出判断.解析:因为对任意的ab∈R定义:min{ab}=max{ab}=所以min{ab}取ab中的最小值max{ab}取ab中的最大值.所以min{ab}max{ab}分别取出ab中的一个最大值与一个最小值所以min{ab}+max{ab}=a+bmin{ab}·max{ab}=a·b故
①③成立;若a≤b则有min{ab}-max{ab}=a-b若ab则min{ab}-max{ab}=b-a≠a-b故
②不一定成立;若a≤b且b≠0则有min{ab}÷max{ab}=a÷b若ab且a≠0min{ab}÷max{ab}=b÷a≠a÷b.故
④不一定成立.故选B.
3.2016铜川模拟观察以下等式:1=11+2=31+2+3=61+2+3+4=101+2+3+4+5=15 13=113+23=913+23+33=3613+23+33+43=10013+23+33+43+53=225可以推测13+23+33+…+n3= .用含有n的式子表示其中n为自然数 解题关键:将左、右两列等式作对比找出数字变化规律.解析:由已知中的等式13=12;13+23=1+22;13+23+33=1+2+32;13+23+33+43=1+2+3+42;13+23+33+43+53=1+2+3+4+52;…;13+23+33+…+n3=1+2+…+n2;即13+23+33+…+n3=[]2=.答案:PAGE8。
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