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第4节 直接证明与间接证明、数学归纳法【选题明细表】知识点、方法题号综合法35812分析法1011反证法1249数学归纳法6713基础对点练时间:30分钟
1.用反证法证明某命题时对结论“自然数abc中恰有一个偶数”正确的反设是 B A自然数abc中至少有两个偶数B自然数abc中至少有两个偶数或都是奇数C自然数abc都是奇数D自然数abc都是偶数解析:“恰有一个偶数”反面应是“至少有两个偶数或都是奇数”.故选B.
2.设xyz0则三个数+++ C A都大于2B至少有一个大于2C至少有一个不小于2D至少有一个不大于2解析:假设三个数都小于2则+++++6由于+++++=+++++≥2+2+2=6所以假设不成立所以+++中至少有一个不小于
2.故选C.
3.设a=-b=-c=-则abc的大小顺序是 A AabcBbcaCcabDacb解析:因为a=-=b=-=c=-=又因为+++0所以abc.
4.2014高考山东卷用反证法证明命题“设ab为实数则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时要做的假设是 A A方程x3+ax+b=0没有实根B方程x3+ax+b=0至多有一个实根C方程x3+ax+b=0至多有两个实根D方程x3+ax+b=0恰好有两个实根解析:至少有一个实根的否定是没有实根故要做的假设是“方程x3+ax+b=0没有实根”.故选A.
5.2016成都模拟已知函数fx=xab是正实数A=fB=fC=f则ABC的大小关系为 A AA≤B≤CBA≤C≤BCB≤C≤ADC≤B≤A解析:因为≥≥又fx=x在R上是减函数所以f≤f≤f即A≤B≤C.故选A.
6.用数学归纳法证明++…+时由k到k+1不等式左边的变化是 C A增加项B增加和两项C增加和两项同时减少项D以上结论都不对解析:n=k时左边=++…+n=k+1时左边=++…+由“n=k”变成“n=k+1”时不等式左边的变化是+-.
7.设ab0m=-n=则mn的大小关系是 . 解析:法一 取a=2b=1得mn.法二 -⇐+⇐ab+2·+a-b⇐2·0显然成立故mn.答案:mn
8.已知点Annan为函数y=图象上的点Bnnbn为函数y=x图象上的点其中n∈N*设cn=an-bn则cn与cn+1的大小关系为 . 解析:由条件得cn=an-bn=-n=所以cn随n的增大而减小.所以cn+1cn.答案:cn+1cn
9.用反证法证明:若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0有有理数根那么abc中至少有一个是偶数.用反证法证明时假设的内容是 . 解析:“至少有一个是”的否定为“都不是”.答案:假设abc都不是偶数
10.已知a0用分析法证明-≥a+-
2.证明:要证-≥a+-2只需证≥a+-2-.因为a0所以a+-2-0所以只需证2≥[a+-2-]2即22-a+≥8-4只需证a+≥
2.因为a0a+≥2显然成立a==1时等号成立所以要证的不等式成立.能力提升练时间:15分钟
11.分析法又称执果索因法若用分析法证明:“设abc且a+b+c=0求证a”索的因应是 C Aa-b0Ba-c0Ca-ba-c0Da-ba-c0解析:由abc且a+b+c=0可得b=-a-ca0c
0.要证a只要证-a-c2-ac3a2即证a2-ac+a2-c20即证aa-c+a+ca-c0即证aa-c-ba-c0即证a-ca-b
0.故求证“a”索的因应是a-ca-b
0.
12.对于函数fx若∀abc∈Rfafbfc都是某一三角形的三边长则称fx为“可构造三角形函数”.以下说法正确的是 D Afx=1x∈R不是“可构造三角形函数”B“可构造三角形函数”一定是单调函数Cfx=x∈R是“可构造三角形函数”D若定义在R上的函数fx的值域是[e]e为自然对数的底数则fx一定是“可构造三角形函数”解析:对于A选项由题设所给的定义知∀abc∈Rfafbfc都是某一正三角形的三边长是“可构造三角形函数”故A选项错误;对于B选项由A选项判断过程知B选项错误;对于C选项当a=0b=3c=3时fa=1fb+fc=不构成三角形故C错误;对于D选项由于+e可知定义在R上的函数fx的值域是[e]e为自然对数的底数则fx一定是“可构造三角形函数”.
13.设a0fx=令a1=1an+1=fann∈N*.1写出a2a3a4的值并猜想数列{an}的通项公式;2用数学归纳法证明你的结论.1解:因为a1=1所以a2=fa1=f1=;a3=fa2=;a4=fa3=.猜想an=n∈N*.2证明:
①易知n=1时猜想正确.
②假设n=k时猜想正确即ak=则ak+1=fak====.这说明n=k+1时猜想正确.由
①②知对于任何n∈N*都有an=.精彩5分钟
1.已知三个不等式
①ab0;
②;
③bcad.以其中两个作条件余下一个作结论则可组成 个正确命题. 解题关键:-=.解析:此题共可组成三个命题即
①②⇒
③;
①③⇒
②;
②③⇒
①.若ab0则-=0得bc-ad0即可得命题
①②⇒
③正确;若ab0bcad则=-0得即命题
①③⇒
②正确;若bcad则-=0得ab0即命题
②③⇒
①正确.综上可得正确的命题有三个.答案:三
2.凸函数的性质定理为如果函数fx在区间D上是凸函数则对于区间D内的任意x1x2…xn有≤f已知函数y=sinx在区间0π上是凸函数则在△ABC中sinA+sinB+sinC的最大值为 . 解题关键:利用所给凸函数的性质求解.解析:因为fx=sinx在区间0π上是凸函数且ABC∈0π所以≤f=f即sinA+sinB+sinC≤3sin=所以sinA+sinB+sinC的最大值为.答案:
3.2016洛阳模拟下面有4个命题:
①当x0时2x+的最小值为2;
②若双曲线-=1a0b0的一条渐近线方程为y=x且其一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合则双曲线的离心率为2;
③将函数y=sin2x的图象向右平移个单位可以得到函数y=sin2x-的图象;
④在Rt△ABC中AC⊥BCAC=aBC=b则△ABC的外接圆半径r=;类比到空间若三棱锥SABC的三条侧棱SASBSC两两互相垂直且长度分别为abc则三棱锥SABC的外接球的半径R=.其中错误命题的序号为 . 解题关键:对四个命题的真假性逐一作出判断.解析:对于
①2x+取得最小值为2的条件是x=0这与x0相矛盾;对于
③将函数y=sin2x的图象向右平移个单位可以得到函数y=sin[2x-]=sin2x-的图象;易证
②成立;对于
④可将该三棱锥补成长方体其外接球的直径恰好是长方体的体对角线.答案:
①③PAGE6。