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第十四篇 不等式选讲选修45第1节 绝对值不等式【选题明细表】知识点、方法题号解绝对值不等式134与绝对值不等式有关的证明23与绝对值不等式有关的恒成立问题
241.已知函数fx=|2x-1|+|2x+a|gx=x+
3.1当a=-2时求不等式fxgx的解集;2设a-1时且当x∈[-时fx≤gx求a的取值范围.解:1当a=-2时不等式fxgx化为|2x-1|+|2x-2|-x-
30.设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3则y=其图象如图所示.从图象可知当且仅当x∈02时y
0.所以原不等式的解集是{x|0x2}.2当x∈[-时fx=1+a.不等式fx≤gx化为1+a≤x+
3.所以x≥a-2对x∈[-都成立.故-≥a-2即a≤.从而a的取值范围是-1].
2.2016贵阳一测1已知a和b是任意非零实数.证明:≥4;2若不等式|2x+1|-|x+1|kx-1-恒成立求实数k的取值范围.1证明:|2a+b|+|2a-b|≥|2a+b+2a-b|=4|a|所以≥
4.2解:记hx=|2x+1|-|x+1|=若不等式|2x+1|-|x+1|kx-1-恒成立则函数hx的图象在直线y=kx-1-的上方因为y=kx-1-经过定点1-当x=-时y=hx取得最小值-显然当y=kx-1-经过定点P1-与M--时kPM==即k;当y=kx-1-经过定点P1-与直线y=x平行时k得到最大值1所以k∈1].
3.2016保定一模设函数fx=|x-a|+1a∈R.1当a=4时解不等式fx1+|2x+1|;2若fx≤2的解集为
[02]+=am0n0求证:m+2n≥3+
2.1解:当a=4时不等式fx1+|2x+1|即为|x-4||2x+1|.
①当x≥4时原不等式化为x-42x+1得x-5故x≥4;
②当-≤x4时原不等式化为4-x2x+1得x1故1x4;
③当x-时原不等式化为4-x-2x-1得x-5故x-
5.综合
①、
②、
③知原不等式的解集为-∞-5∪1+∞.2证明:由fx≤2得|x-a|≤1从而-1+a≤x≤1+a因为fx≤2的解集为{x|0≤x≤2}所以得a=1所以+=a=
1.又m0n0所以m+2n=m+2n·+=3++≥3+2当且仅当m=1+n=1+时取等号故m+2n≥3+2得证.
4.2016大同调研已知函数fx=|2x-1|+|x-2a|.1当a=1时求fx≤3的解集;2当x∈
[2]时fx≤3恒成立求实数a的取值范围.解:1当a=1时由fx≤3可得|2x-1|+|x-2|≤3所以
①或
②或
③解
①得0≤x;解
②得≤x2;解
③得x=
2.综上可得0≤x≤2即不等式fx≤3的解集为
[02].2因为当x∈
[2]时fx≤3恒成立即|x-2a|≤3-|2x-1|=4-2x故2x-4≤2a-x≤4-2x即3x-4≤2a≤4-x.再根据3x-4的最大值为6-4=24-x的最小值为4-2=2所以2a=2所以a=1即a的取值范围为{1}.PAGE3。