高一数学下学期期末考试试题理

广东省湛江第一中学2015-2016学年高一数学下学期期末考试试题理

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的）

1.下列各角中，与60°角终边相同的角是（　　）A．﹣60°B．600°C．1020°D．﹣660°

2.若tanα＜0，则（　　）A．sinα＜0B．cosα＜0C．sinαcosα＜0D．sinα﹣cosα＜

03.一个扇形的弧长与面积都等于6，这个扇形中心角的弧度数是（　　）A．1B．2C．3D．

44.设α角属于第二象限，且|cos|=﹣cos，则角属于（　　）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

5.下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（　　）A．=（0，0），=（2，3）B．=（1，﹣3），=（2，﹣6）C．=（4，6），=（6，9）D．=（2，3），=（﹣4，6）

6.下面的函数中，周期为π的偶函数是（　　）A．y=sin2xB．y=cosC．y=cos2xD．y=sin

7.已知△ABC中，角ABC所对的边分别为abc且a=4，b=4，A=30°，则B等于（　　）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°[来源:Z-x-x-k.Com]

8.已知向量，，，则k的值是（　　）A．﹣1B．C．D．

9.已知，那么tanα的值为（　　）A．﹣2B．2C．D．

10.为了得到函数的图象，可以将函数的图象（　　）而得到[来源:学+科+网Z+X+X+K]A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位

11.函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式可为（　　）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（）D．y=2sin（2x﹣）

12.若x是三角形的最小内角，则函数y=sinx+cosx﹣sinxcosx的最小值是（　　）A．B．C．1D．

二、填空题（本大题共4道小题，每小题5分，共20分）

13.sin75°cos30°﹣sin30°cos75°=　　．

14.已知向量=（1，﹣2），=（﹣2，2）则向量在向量方向上的投影为　　．

15.函数y=3sin（﹣2x）的单调递增区间是　　．

16.关于下列命题

①函数f（x）=|2cos2x﹣1|的最小正周期是π；

②函数y=cos2（﹣x）是偶函数；

③函数y=4sin（2x﹣）图象的一个对称中心是（，0）；

④关于x的方程sinx+cosx=a（0≤x≤）有两相异实根，则实数a的取值范围是（1，2）．则所有正确命题的题号为　　．三.解答题本大题共6小题共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤

17.本题满分10分已知向量满足||=1，||=2，与的夹角为120°．

（1）求及||；

（2）设向量与的夹角为θ，求cosθ的值．

18.本题满分12分某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子的发芽数，得到如下资料日期12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日温差/101113128发芽数/颗2325302616该农科所确定的研究方案是先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．1若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程＝bx＋a；2若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问1中所得的线性回归方程是否可靠？（附，，其中，为样本平均值）

19.本题满分12分已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且.

（1）求角A的大小；

（2）若a=2，△ABC的面积为，求b和c的值．

20.本题满分12分某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高

一、高

二、高三各代表队人数分别为120人、120人、n人．为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人到前排就坐，其中高二代表队抽到6人．[来源:学.科.网Z.X.X.K]

（1）求n的值；

（2）把在前排就坐的高二代表队6人分别记为a，b，c，d，e，f，现随机从中抽取2人上台抽奖．求a和b至少有一人上台抽奖的概率．

（3）抽奖活动的规则是代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的均匀随机数x，y，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率．（注不等式表示的区域是直线的左上方）[来源:学科网Z-X-X-K]

21.本题满分12分已知向量=（cos，sin），=（cos，sin），|｜＝．（Ⅰ）求cos（－）的值；（Ⅱ）若０＜＜，－＜＜０，且sin＝－，求sin的值．

22.本题满分12分已知函数f（x）=sin（x∈R）．任取t∈R，若函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值为M（t），最小值为m（t），记g（t）=M（t）﹣m（t）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及其图象的对称轴方程;（Ⅱ）当t∈[﹣2，0]时，求函数g（t）的解析式.试卷答案

1.D【考点】终边相同的角．【专题】计算题；转化思想；定义法；三角函数的求值．【分析】与60°终边相同的角一定可以写成k×360°+60°的形式，k∈z，检验各个选项中的角是否满足此条件．【解答】解与60°终边相同的角一定可以写成k×360°+60°的形式，k∈z，令k=﹣2可得，﹣660°与60°终边相同，故选D．【点评】本题考查终边相同的角的特征，凡是与α终边相同的角，一定能写成k×360°+α，k∈z的形式．

2.C【考点】三角函数值的符号．【专题】探究型；转化思想；分析法；三角函数的求值．【分析】直接由tanα＜0，可以判断sinα与cosα必定异号，从而可得答案．【解答】解若tanα＜0，则sinα与cosα必定异号，∴sinαcosα必定小于0．故选C．[来源:Z-x-x-k.Com]【点评】本题考查了三角函数值的符号的判断，是基础题．

3.C【考点】扇形面积公式；弧长公式．【专题】计算题．【分析】先根据扇形面积公式S=lr，求出r=2，再根据求出α．【解答】解设扇形的半径为r，中心角为α，根据扇形面积公式S=lr得6=，∴r=2，又扇形弧长公式l=rα，[来源:学科网Z-X-X-K]∴．故选C【点评】本题考查弧度制下扇形弧长、面积公式．牢记公式是前提，准确计算是保障．

4.C【考点】三角函数值的符号．【专题】计算题．【分析】由α是第二象限角，知在第一象限或在第三象限，再由|cos|=﹣cos，知cos＜0，由此能判断出角所在象限．【解答】解∵α是第二象限角，∴90°+k•360°＜α＜180°+k•360°，k∴45°+k•180°＜＜90°+k•180°k∈Z∴在第一象限或在第三象限，∵|cos|=﹣cos，∴cos＜0∴角在第三象限．故选；C．【点评】本题考查角所在象限的判断，是基础题，比较简单．解题时要认真审题，注意熟练掌握基础的知识点．

5.D【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】计算题；向量法；综合法；平面向量及应用．【分析】能作为基底的向量需不共线，从而判断哪个选项的两向量不共线即可，而根据共线向量的坐标关系即可判断每个选项的向量是否共线．【解答】解A.0×3﹣2×0=0；∴共线，不能作为基底；B.1×（﹣6）﹣2×（﹣3）=0；∴共线，不能作为基底；C.4×9﹣6×6=0；∴共线，不能作为基底；D.2×6﹣（﹣4）×3=24≠0；∴不共线，可以作为基底，即该选项正确．故选D．【点评】考查平面向量的基底的概念，以及共线向量的坐标关系，根据向量坐标判断两向量是否共线的方法．

6.D【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】△ABC中由条件利用正弦定理求得sinB的值，再根据及大边对大角求得B的值．【解答】解△ABC中，a=4，b=4，A=30°，由正弦定理可得，即，解得sinB=．再由b＞a，大边对大角可得B＞A，∴B=60°或120°，故选D．【点评】本题主要考查正弦定理的应用，以及大边对大角、根据三角函数的值求角，属于中档题．

7.B[来源:学科网Z-X-X-K]【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】计算题．【分析】由已知中向量根据两个向量垂直，则其数量积为0，我们可以构造一个关于k的方程，解方程即可求出k的值．【解答】解∵，又∵∴3×（2k﹣1）+k=7k﹣3=0解得k=故选B[来源:Z-x-x-k.Com]【点评】本题考查的知识点是数量积判断两个平面向量的垂直关系，其中根据两个向量垂直，则其数量积为0，构造关于k的方程，是解答本题的关键．

8.C【考点】函数奇偶性的判断．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】根据正弦型函数及余弦型函数的性质，我们逐一分析四个答案中的四个函数的周期性及奇偶性，然后和题目中的条件进行比照，即可得到答案．【解答】解A中，函数y=sin2x为周期为π的奇函数，不满足条件；B中，函数y=cos周期为4π，不满足条件；C中，函数y=cos2x为周期为π的偶函数，满足条件；D中，函数y=sin是最小正周期为4π的奇函数，不满足条件；故选C．【点评】本题考查的知识点是正弦（余弦）函数的奇偶性，三角函数的周期性及其求法，熟练掌握正弦型函数及余弦型函数的性质是解答本题的关键．

9.C【考点】两角和与差的正切函数．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用两角和的正切公式，计算求得结果．【解答】解=tan（49°+11°）=tan60°=，故选C．【点评】本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于基础题．

10.D【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】已知条件给的是三角分式形式，且分子和分母都含正弦和余弦的一次式，因此，分子和分母都除以角的余弦，变为含正切的等式，解方程求出正切值．【解答】解由题意可知cosα≠0，分子分母同除以cosα，得=﹣5，∴tanα=﹣．故选D．【点评】同角三角函数的基本关系式揭示了同一个角三角函数间的相互关系，其主要应用于同角三角函数的求值和同角三角函数之间的化简和证明．在应用这些关系式子的时候就要注意公式成立的前提是角对应的三角函数要有意义．

11.A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】通过化简函数y=sin（3x+）的表达式，只需把函数的图象向右平移个单位，即可达到目标．【解答】解由于函数y=sin（3x+）=sin[3（x+）]的图象向右平移个单位，即可得到y=sin[3（x+﹣）]=sin3x的图象，故选A．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+∅）的图象平移变换，属于中档题．

12.A【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】根据已知中函数y=Asin（ωx+ϕ）在一个周期内的图象经过（﹣，2）和（﹣[来源:学*科*网]，2），我们易分析出函数的最大值、最小值、周期，然后可以求出A，ω，φ值后，即可得到函数y=Asin（ωx+ϕ）的解析式．【解答】解由已知可得函数y=Asin（ωx+ϕ）的图象经过（﹣，2）点和（﹣，2）则A=2，T=π即ω=2则函数的解析式可化为y=2sin（2x+ϕ），将（﹣，2）代入得﹣+ϕ=+2kπ，k∈Z，[来源:学科网]即φ=+2kπ，k∈Z，当k=0时，φ=此时故选A【点评】本题考查的知识点是由函数y=Asin（ωx+ϕ）的部分图象确定其解析式，其中A=|最大值﹣最小值|，|ω|=，φ=L•ω（L是函数图象在一个周期内的第一点的向左平移量）．

13.B略

14.A【考点】三角函数的化简求值；三角函数的最值．【专题】函数思想；换元法；三角函数的求值．【分析】令sinx+cosx=t，则sinxcosx=，则y是关于t的二次函数，根据x的范围得出t的范围，利用二次函数性质推出y的最小值．【解答】解令sinx+cosx=t，则sinxcosx=，∴y=t﹣=﹣（t﹣1）2+1．∵x是三角形的最小内角，∴x∈（0，]，∵t=sinx+cosx=sin（x+），∴t∈（1，]，∴当t=时，y取得最小值．故选A．【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的最值，二次函数的性质，属于中档题．

15.A【考点】二倍角的余弦；三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】计算题．【分析】根据两角和的正弦函数公式和特殊角的三角函数值化简已知条件，然后两边平方利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，即可sin2θ的值．【解答】解由sin（+θ）=sincosθ+cossinθ=（sinθ+cosθ）=，两边平方得1+2sinθcosθ=，即2sinθcosθ=﹣，则sin2θ=2sinθcosθ=﹣．故选A【点评】此题考查学生灵活运用二倍角的正弦函数公式、两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．

16.D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的图像与性质．【分析】利用二倍角公式、两角和差的余弦函数化简函数f（x）和g（x）的解析式，再根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，得出结论．【解答】解由于函数f（x）=cos2x﹣2sinxcosx﹣sin2x=cos2x﹣sin2x=cos（2x+），函数g（x）=2cos2x+2sinxcosx﹣1=cos2x+sin2x=cos（2x﹣），由于将y=f（x）的图象向左平移m个单位长度，即可得到g（x）的图象，可得cos[2（x﹣m）+]=cos（2x﹣2m+）=cos（2x﹣），可得2x﹣2m+=2x﹣+2kπ，或2x﹣2m+=2π﹣（2x﹣）+2kπ，k∈Z，解得m=﹣kπ，k∈Z．则m的值可以是．故选D．[来源:Z-x-x-k.Com]【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，以及二倍角公式、两角和差的余弦公式的应用，属于中档题．

17.C【考点】二倍角的余弦．【专题】三角函数的图像与性质．[来源:学+科+网Z+X+X+K]【分析】利用二倍角公式化简可得f（x）=sin（2x+）+1，由正弦函数的图象和性质逐选项判断即可．【解答】解∵f（x）=2cosx（sinx+cosx）=2sinxcosx+2cos2x=sin2x+1+cos2x=sin（2x+）+1，∴f（x）的最小正周期为，A错误；由f（﹣）=sin0+1=1，B错误；由f（）=sin+1=1，C正确；f（x）的图象向左平移个单位长度后得到y=cos（2x+）+1，不为偶函数，故D错误．故选C．【点评】本题主要考查了二倍角公式，正弦函数的图象和性质的应用，属于基础题．

18.D【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．【专题】三角函数的求值．【分析】由条件可得=cos（+θ），再利用二倍角的余弦公式求得cos（+2θ）的值．【解答】解∵sin（﹣θ）==cos（+θ），∴cos（+2θ）=2﹣1=2×﹣1=﹣，故选D．【点评】本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．

19.A【考点】正弦函数的单调性；奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题；转化思想；转化法；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．【分析】根据条件判断函数的对称性，结合三角函数的性质将不等式进行转化求解即可．【解答】解∵f（﹣1+x）=f（3﹣x），∴函数关于=1对称性，∵log82=log82===，∴不等式等价为f（sin2θ）＜f（），∵当x≥1时，f（x）单调递增，∴当x＜1时，f（x）单调递减，则不等式等价为sin2θ＞，即2kπ+＜2θ＜2kπ+，k∈Z．则kπ+＜θ＜kπ+，k∈Z．故不等式的解集为（kπ+，kπ+），k∈Z．故选A【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数对称性和单调性之间的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．

20.C【考点】平面向量的坐标运算；三角函数中的恒等变换应用．【专题】三角函数的图像与性质；平面向量及应用．【分析】利用数量积运算法则、倍角公式、三角函数的基本关系式、两角和差的正切公式即可得出．【解答】解∵==sinα（1﹣2sinα）﹣cos2α，[来源:学+科+网Z+X+X+K]∴=sinα﹣2sin2α﹣（1﹣2sin2α），化为．∵α∈（，），∴．∴=﹣．[来源:学*科*网]∴．∴==﹣．【点评】本题考查了数量积运算法则、倍角公式、三角函数的基本关系式、两角和差的正切公式，属于基础题．

21.C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】根据三角函数的图象的平移法则，依据原函数横坐标伸长到原来的2倍可得到新的函数的解析式，进而通过左加右减的法则，依据图象向左平移个单位得到y=sin，整理后答案可得．【解答】解将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得函数y=sin（x﹣），再将所得的图象向左平移个单位，得函数y=sin，即y=sin（x﹣），故选C．【点评】本题主要考查了三角函数的图象的变换．要特别注意图象平移的法则．

22.D【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】计算题；转化思想；三角函数的求值．【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值化简即可求值得解．【解答】解sin600°=sin（360°+180°+60°）=﹣sin60°=﹣．故选D．【点评】本题主要考查了诱导公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．

23.A【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由角的正弦值和角所在的象限，求出角的余弦值，然后，正弦值除以余弦值得正切值．【解答】解∵sinα=且α是第二象限的角，∴，∴，故选A【点评】掌握同角三角函数的基本关系式，并会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明．本题是给值求值．

24.B【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，求得φ的一个可能取值．【解答】解将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位，可得到的函数y=sin[2（x+）+φ）]=sin（2x++φ）的图象，再根据所得图象关于y轴对称，可得+φ=kπ+，即φ=kπ+，k∈z，则φ的一个可能取值为，故选B．【点评】本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，属于基础题．

25.C[来源:学科网Z-X-X-K]【考点】奇偶性与单调性的综合；解三角形．【专题】计算题；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．【分析】由于f（x）定义在（﹣1，1）上的偶函数，且在区间（﹣1，0）上单调递增，可得f（x）在（0，1）上是减函数．而锐角三角形中，任意一个角的正弦要大于另外角的余弦，由此对题中各个选项依此加以判断，可得本题的答案．【解答】解对于A，由于不能确定sinA、sinB的大小，故不能确定f（sinA）与f（sinB）的大小，可得A不正确；对于B，∵A，B，C是锐角三角形△ABC的三个内角，∴A+B＞，得A＞﹣B[来源:学科网Z-X-X-K]注意到不等式的两边都是锐角，两边取正弦，得sinA＞sin（﹣B），即sinA＞cosB∵f（x）定义在（﹣1，1）上的偶函数，且在区间（﹣1，0）上单调递增∴f（x）在（0，1）上是减函数由sinA＞cosB，可得f（sinA）＜f（cosB），故B不正确对于C，∵A，B，C是锐角三角形△ABC的三个内角，∴B+C＞，得C＞﹣B注意到不等式的两边都是锐角，两边取余弦，得cosC＜cos（﹣B），即cosC＜sinB∵f（x）在（0，1）上是减函数由cosC＜sinB，可得f（cosC）＞f（sinB），得C正确；对于D，由对B的证明可得f（sinC）＜f（cosB），故D不正确故选C【点评】本题给出抽象函数，求用锐角三角形的内角的正、余弦作为自变量时，函数值的大小关系．着重考查了函数的单调性、奇偶性和锐角三角形中三角函数值的大小比较等知识，属于中档题．

26.B【考点】函数奇偶性的性质；平面向量数量积的运算．【专题】计算题．【分析】本题考查的知识是函数性质的综合应用及平面向量的数量积运算，我们可以由已知中函数f（x）满足f（x）=f（x+2），且当x∈[0，1]时，f（x）=sinx，求出其图象与直线在y轴右侧的交点P1，P2…，的关系，由于与同向，我们求出两个向量的模代入平面向量数量积公式，即可求解．【解答】解依题意P1，P2，P3，P4四点共线，与同向，且P1与P3，P2与P4的横坐标都相差一个周期，所以，，．故选B【点评】如果两个非量平面向量平行（共线），则它们的方向相同或相反，此时他们的夹角为0或π．当它们同向时，夹角为0，此时向量的数量积，等于他们模的积；当它们反向时，夹角为π，此时向量的数量积，等于他们模的积的相反数．如果两个向量垂直，则它们的夹角为，此时向量的数量积等于0．

27.【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用两角差的正弦公式，求得要求式子的值．【解答】解sin75°cos30°﹣sin30°cos75°=sin（75°﹣30°）=sin45°=，故答案为．【点评】本题主要考查两角差的正弦公式的应用，属于基础题．

28.【考点】两点间距离公式的应用；正弦定理．【专题】数形结合；转化思想；解三角形．【分析】利用两点之间的距离的距离公式、余弦定理即可得出．【解答】解|AB|==，|AC|=，|BC|=．∴cos∠BAC===．故答案为．[来源:学.科.网Z.X.X.K]【点评】本题考查了两点之间的距离的距离公式、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

29.﹣【考点】平面向量数量积的运算．【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用．【分析】求出两向量夹角，代入投影公式即可．[来源:学+科+网Z+X+X+K]【解答】解||=2，=﹣2﹣4=﹣6．∵cos＜＞=．∴向量在向量方向上的投影||cos＜＞===﹣．故答案为﹣．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，模长计算及投影的含义，属于基础题．

30.[kπ+，kπ+]（k∈Z）【考点】复合三角函数的单调性．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由诱导公式和复合三角函数的单调性可得原函数的单调递增区间即为函数y=3sin（2x﹣）的单调递减区间，解不等式2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可得答案．【解答】解由诱导公式原三角函数可化为y=﹣3sin（2x﹣），∴原函数的单调递增区间即为函数y=3sin（2x﹣）的单调递减区间，由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+，∴所求函数的单调递增区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）故答案为[kπ+，kπ+]（k∈Z）．【点评】本题考查复合三角函数的单调性，属基础题．

31.

③【考点】余弦函数的图象．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用正弦函数的、余弦函数的周期性、奇偶性、图象的对称性，以及方程的根的存在性，正弦函数、余弦函数的图象特征，得出结论．【解答】解

①函数f（x）=|2cos2x﹣1|=|cos2x|最小正周期是•=，故排除

①；

②函数y=cos2（﹣x）=cos（﹣2x）=cos（2x﹣）=sin2x，为奇函数，故排除

②；

③令2x﹣=kπ，求得x=+，k∈Z，可得函数y=4sin（2x﹣）的一个对称中心是（，0），故

③正确；

④关于x的方程sinx+cosx=a（0≤x≤）有两相异实根，即2sin（x+）=a有两相异实根，即y=2sin（x+）的图象和直线y=a有两个不同的交点．∵0≤x≤，∴≤x+≤，故≤a＜2，即实数a的取值范围是[，2），故排除

④，故答案为

③．【点评】本题主要考查正弦函数的、余弦函数的周期性、奇偶性、图象的对称性，以及方程的根的存在性，正弦函数、余弦函数的图象特征，属于中档题．

32.【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】先α的终边上一点的坐标化简求值，确定α的正余弦函数值，在再确定角α的取值范围．【解答】解由题意可知角α的终边上一点的坐标为（sin，cos），即（，﹣）∴sinα=﹣，cosα=∴α=（k∈Z）故角α的最小正值为故答案为【点评】本题主要考查三角函数值的求法．属基础题．

33.[来源:学科网Z-X-X-K]【考点】正弦函数的图象．【专题】计算题；函数思想；综合法；三角函数的图像与性质．[来源:学科网]【分析】由解析式求出函数的周期与最值，做出辅助线过p作PM⊥x轴于M，根据周期的大小看出直角三角形中直角边的长度，解出∠APM与∠BPM的正弦、余弦函数值，利用cos∠APB=﹣，求出ω的值．【解答】解如图，函数y=sin（ωx+φ），∴AB=T=，最大值为1，过P作PM⊥x轴于M，则AM是四分之一个周期，有AM=，MB=，MP=1，∴AP=，BP=，在直角三角形AMP中，有cos∠APM=，sin∠APM=，在直角三角形BMP中cos∠BPM=，sin∠BPM=．cos∠APB=cos（∠APM+∠BPM）=﹣=﹣．∴=﹣，化简得64ω4﹣160π2ω2+36π4=0，解得ω=．故答案为．【点评】本题考查三角函数的图象的应用与两角和的余弦函数公式的应用，本题解题的关键是看出函数的周期，把要求正弦的角放到直角三角形中，利用三角函数的定义得到结果，是中档题．

34.二【考点】三角函数值的符号．【专题】计算题．【分析】由点P（tanα，cosα）在第三象限，得到tanα＜0，cosα＜0，从而得到α所在的象限．【解答】解因为点P（tanα，cosα）在第三象限，所以，tanα＜0，cosα＜0，则角α的终边在第二象限，故答案为二．【点评】本题考查第三象限内的点的坐标的符号，以及三角函数在各个象限内的符号．

35.

（3）【考点】命题的真假判断与应用．【专题】三角函数的图像与性质；简易逻辑．【分析】

（1）由sinαcosα=1化为sin2α=2，由于sin2α≤1，可知不存在实数α，使得sin2α=2；

（2）由于sinα+cosα=＜，即可判断出；

（3）函数y=sin（+x）=﹣cosx是偶函数；

（4）若α、β是第一象限的角，且α＞β，取，，即可判断出．【解答】解

（1）由sinαcosα=1化为sin2α=2，∵sin2α≤1，∴不存在实数α，使得sin2α=2，因此不正确；

（2）∵sinα+cosα=＜，因此不存在实数α，使sinα+cosα=，故[来源:学*科*网]不正确；

（3）函数y=sin（+x）=﹣cosx是偶函数，正确；

（4）若α、β是第一象限的角，且α＞β，取，，则sinα＞sinβ不成立，因此不正确．其中正确命题的序号是

（3）．故答案为

（3）．【点评】本题综合考查了三角函数的性质、倍角公式、两角和差的正弦公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．

36.5[来源:Z-x-x-k.Com]【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题．【分析】求出，求出|+|的平方，利用，即可求出||．【解答】解因为向量=（2，1），所以=．因为=10，所以|+|2==5+2×10+=，所以=25，则||=5．故答案为5．【点评】本题考查向量的模的求法，向量数量积的应用，考查计算能力．

37.1【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；向量法；综合法；平面向量及应用．【分析】根据条件便可得到=，而由题意可得到，从而有，可以求出，这样即可求出的最大值．【解答】解；∴；又；∴====；∴的最大值为．故答案为．【点评】考查向量垂直的充要条件，单位向量的概念，以及向量数量积的运算及计算公式，根据求向量长度的方法．

38.【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；向量法；综合法；平面向量及应用．【分析】

（1）根据数量积的计算公式即可求出，而由即可求出；

（2）同理可以求出的值，而可求出，从而根据向量夹角余弦的计算公式即可求出cosθ．【解答】解

（1）=；∴=；∴；

（2）同理可求得；；∴=[来源:学*科*网]．【点评】考查向量数量积的运算及其计算公式，根据求的方法，以及向量夹角余弦的计算公式．

39.【考点】解三角形．【专题】计算题．【分析】

（1）由正弦定理及两角和的正弦公式可得sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC=sin（A+C）+sinC=sinAcosC+sinCcosA+sinC，整理可求A

（2）由

（1）所求A及S=可求bc，然后由余弦定理，a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA可求b+c，进而可求b，c【解答】解

（1）∵acosC+asinC﹣b﹣c=0∴sinAcosC+sinAsinC﹣sinB﹣sinC=0∴sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC=sin（A+C）+sinC=sinAcosC+sinCcosA+sinC∵sinC≠0∴sinA﹣cosA=1∴sin（A﹣30°）=∴A﹣30°=30°∴A=60°

（2）由由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA即4=（b+c）2﹣3bc=（b+c）2﹣12∴b+c=4解得b=c=2【点评】本题综合考查了三角公式中的正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式的综合应用，诱导公式与辅助角公式在三角函数化简中的应用是求解的基础，解题的关键是熟练掌握基本公式

40.【考点】程序框图；古典概型及其概率计算公式；几何概型．【专题】综合题；概率与统计．【分析】

（1）根据分层抽样可得，故可求n的值；

（2）求出高二代表队6人，从中抽取2人上台抽奖的基本事件，确定a和b至少有一人上台抽奖的基本事件，根据古典概型的概率公式，可得a和b至少有一人上台抽奖的概率；

（3）确定满足0≤x≤1，0≤y≤1点的区域，由条件得到的区域为图中的阴影部分，计算面积，可求该代表中奖的概率．【解答】解

（1）由题意可得，∴n=160；

（2）高二代表队6人，从中抽取2人上台抽奖的基本事件有（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b．f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共15种，其中a和b至少有一人上台抽奖的基本事件有9种，∴a和b至少有一人上台抽奖的概率为=；

（3）由已知0≤x≤1，0≤y≤1，点（x，y）在如图所示的正方形OABC内，由条件得到的区域为图中的阴影部分由2x﹣y﹣1=0，令y=0可得x=，令y=1可得x=1∴在x，y∈[0，1]时满足2x﹣y﹣1≤0的区域的面积为=∴该代表中奖的概率为=．【点评】本题考查概率与统计知识，考查分层抽样，考查概率的计算，确定概率的类型是关键．

41.（本小题满分14分）[来源:学科网]当，即时，…………14分略

42.解（Ⅰ）（5分），．，．即．．（Ⅱ）（5分）∵，∴∵，∴∵，∴∴略

43.【考点】正弦函数的图象；三角函数的最值．【专题】分类讨论；综合法；分类法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】（Ⅰ）根据正弦函数的周期性和图象的对称性，求得函数f（x）的最小正周期及对称轴方程．（Ⅱ）当t∈[﹣2，0]时，分类讨论求得M（t）和m（t），可得g（t）的解析式．（Ⅲ）由题意可得函数H（x）=x|x﹣k|+2k﹣8在[4，+∞）上的值域是h（x）在[4，+∞）上的值域的子集，分类讨论求得k的范围．【解答】解（Ⅰ）对于函数f（x）=sin（x∈R），它的最小正周期为=4，由=kπ+，求得x=2k+1，k∈Z，可得f（x）的对称轴方程为x=2k+1，k∈Z．（Ⅱ）当t∈[﹣2，0]时，

①若t∈[﹣2，﹣），在区间[t，t+1]上，M（t）=f（t）=sin，m（t）=f（﹣1）=﹣1，g（t）=M（t）﹣m（t）=1+sin．

②若t∈[﹣，﹣1），在区间[t，t+1]上，M（t）=f（t+1）=sin（t+1）=cost，m（t）=f（﹣1）=﹣1，g（t）=M（t）﹣m（t）=1+cos．

③若t∈[﹣1，0]，在区间[t，t+1]上，M（t）=f（t+1）=sin（t+1）=cost，m（t）=f（t）=sint，g（t）=M（t）﹣m（t）=cost﹣sin．综上可得，g（t）=．（Ⅲ）函数f（x）=sin的最小正周期为4，∴M（t+4）=M（t），m（t+4）=m（t）．函数h（x）=2|x﹣k|，H（x）=x|x﹣k|+2k﹣8，对任意x1∈[4，+∞），存在x2∈（﹣∞，4]，使得h（x2）=H（x1）成立，[来源:学科网]即函数H（x）=x|x﹣k|+2k﹣8在[4，+∞）上的值域是h（x）在[4，+∞）上的值域的子集．[来源:学.科.网Z.X.X.K]∵h（x）=|2|x﹣k|=，

①当k≤4时，h（x）在（﹣∞，k）上单调递减，在[k，4]上单调递增．故h（x）的最小值为h（k）=1；∵H（x）在[4，+∞）上单调递增，故H（x）的最小值为H

（4）=8﹣2k．由8﹣2k≥1，求得k≤．

②当4＜k≤5时，h（x）在（﹣∞，4]上单调递减，h（x）的最小值为h

（4）=2k﹣4，H（x）在[k，4]上单调递减，在（k，+∞）上单调递增，故H（x）的最小值为H（k）=2k﹣8，由，求得k=5，综上可得，k的范围为（﹣∞，]∪{5}．【点评】本题主要考查正弦函数的周期性，指数函数的图象特征，函数的能成立、函数的恒成立问题，属于难题．

44.【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】计算题；函数思想；转化法；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．【分析】

（1）根据向量的数量积的运算以及二倍角公式和两角和差的正弦公式化简得到f（x），根据周期和函数的单调性的定义即可求出，

（2）根据函数的单调性即可求出f（x）在区间[π，]上的最大值和最小值．【解答】解

（1）∵=（sinx，cosx），=（sinx，sinx），∴f（x）=﹣=sin2x+sinxcosx﹣=（1﹣cos2x）+sin2x﹣=﹣cos2x+sin2x﹣=sin（2x﹣），∴函数的周期为T==π，由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+（k∈Z）解得kπ﹣≤x≤kπ+，∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，（k∈Z）；

（2）由

（1）知f（x）=sin（2x﹣），当x∈[π，]时，2x﹣∈[，]，∴﹣≤sin（2x﹣）≤1，故f（x）在区间[π，]上的最大值和最小值分别为1和﹣．【点评】本题考查向量的数量积的运算，三角函数的最值，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，考查计算能力，此类题目的解答，关键是基本的三角函数的性质的掌握熟练程度，属于中档题．

45.【考点】余弦定理；平面向量共线（平行）的坐标表示；余弦函数的图象．【专题】计算题；转化思想；三角函数的求值；解三角形；平面向量及应用．【分析】

（1）由三角函数恒等变换的应用化简函数解析式为，利用正弦函数的单调性即可解得f（x）的递增区间．

（2）由，解得或，可得C的值，由题意可得sinB﹣2sinA=0，由正弦定理得b=2a，分别由余弦定理，勾股定理即可解得a，b的值．【解答】解

（1）∵[来源:学科网]=2cos（x+﹣+）sin（x+）[来源:学科网]=﹣2[sin（x+）cos﹣cos（x+）sin]sin（x+）+=sin2x+cos2x=，∴2k≤2x≤2k，k∈Z，可得解得k≤x≤kπ﹣，k∈Z，∴f（x）的递增区间为，k∈Z．

（2）∵，∴或，解得或．∵与共线，∴sinB﹣2sinA=0，∴由正弦定理可得，即b=2a，

①当时，∵C=3，∴由余弦定理可得，

②联立

①②解方程组可得当时，∵c=3，∴由勾股定理可得9=a2+b2，

③联立

①③可得，，综上，，或，．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理，勾股定理，平面向量共线的性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．

46.【考点】三角函数的最值；平面向量数量积的运算；正弦函数的单调性．【专题】计算题．【分析】

（1）利用向量数量积的定义可得

（2）利用和差角公式可得，分别令分别解得函数y=f（x）的单调增区间和减区间

（3）由求得，结合三角函数的性质求最大值，进而求出a的值【解答】解

（1），所以．

（2）由

（1）可得，由，解得；由，解得，所以f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．

（3），因为，所以，当，即时，f（x）取最大值3+a，[来源:Z-x-x-k.Com]所以3+a=4，即a=1．【点评】本题以向量的数量积为载体考查三角函数y=Asin（wx+∅）的性质，解决的步骤是结合正弦函数的相关性质，让wx+∅作为整体满足正弦函数的中x所满足的条件，分别解出相关的量．

47.【考点】正弦函数的图象；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】（Ⅰ）由函数的解析式求得函数的值域．（Ⅱ）根据等边三角形ABC的边长为半个周期，求得ω的值，可得函数的解析式．（Ⅲ）由f（x0）=，求得sin（x0+）=．再利用同角三角函数的基本关系、诱导公式求得f（x0+6）的值．【解答】解（Ⅰ）根据函数f（x）=2sin（ωx+），可得函数f（x）的值域为．（Ⅱ）由题意可得等边三角形ABC的边长为=4，∴•=4，求得ω=，∴f（x）=2sin（x+）．（Ⅲ）若f（x0）=2sin（x0+）=，则sin（x0+）=．f（x0+6）=2sin=2sin（x0++）=﹣cos（x0+）．∵x0∈（﹣，），∴x0+∈（﹣，），∴cos（x0+）==，∴f（x0+6）=﹣．【点评】本题主要考查正弦函数的值域，正弦函数的周期性，同角三角函数的基本关系，属于中档题．

48.【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】

（1）由条件利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式求得sin2（α+）、cos2（α+）的值，再利用两角差的正弦公式求得sin（2α+）的值．

（2）由条件求得tan（α+）、tan（β﹣）的值，再利用两角差的正切公式求得tan（2β﹣）=tan2（β﹣）的值【解答】解

（1）∵α为锐角，且cos（α+）=，tan（α+β）=，∴sin（α+）==，sin2（α+）=2sin（α+）cos（α+）=2=，∴cos2（α+）=1﹣2=，故sin（2α+）=sin[2（α+）﹣]=sin2（α+）cos﹣cos2（α+）sin=﹣=．

（2）由

（1）可得，tan（α+）==，tan（β﹣）=tan[（α+β）﹣（α+）]===，∴tan（2β﹣）=tan2（β﹣）==．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式的应用，属于中档题．

49.解析（I）由题意及正弦定理，得，，两式相减，得．（II）由的面积，得，由余弦定理，得，所以．

50.

51.

20.

（1）从6只球中任取1球得红球有2种取法，得黑球有3种取法，得红球或黑球的共有2+3=5种不同取法，任取一球有6种取法，所以任取1球得红球或黑球的概率得.

（2）将红球编号为红1红2，黑球编号为黑1黑2黑3则一次任取2个球的所有基本事件为[来源:学+科+网Z+X+X+K]红1红2　红1黑1　红1黑2　红1黑3　红1白　红2白　　红2黑1　红2黑2　　红2黑3　黑1黑2黑1黑3　黑1白　　黑2黑3　　黑2白　　黑3白[来源:学.科.网Z.X.X.K]

（3）由

（2）知从6只球中任取两球一共有15种取法，其中至少有一个红球的取法共有9种，所以其中至少有一个红球概率为.略

52.略

53.解（Ⅰ）………………3分周期…………4分令即得对称点为，………………6分（Ⅱ）=………………7分递减……………9分的单调递增区间是………12分略

54.（本小题14分）解Ⅰ∵由正弦定理及余弦定理得……………（3分）∴由余弦定理得……………（5分）∵，∴……………（7分）另解∵∴……………（3分）∵∴，从而……………（5分）∵，∴……………（7分）Ⅱ由已知及Ⅰ知得…………（10分）…………（12分）∴，当且仅当时取“=”.∴当时，周长的最大值为………………………（14分）略

55.解（Ⅰ）.……………………………………………………2分，…………………………………………………4分=，…………………………6分，………………………………………………8分∴回归直线方程为.……………………………………10分（Ⅱ）当x=10时，（元）…………………11分答:使用年限为10年时，当年维修费用约是12．38万元…………………12分[来源:学.科.网Z.X.X.K]略[来源:学*科*网]

56.1

（2）约6800元

（1）

57.（Ⅰ）（Ⅱ）工厂获得利润当时，（元）（12分）

58.略

59.【答案】

（1）＝x－3

（2）是可靠的解:1由数据，求得＝12，＝27，由公式，求得＝，＝－＝－

3.略[来源:学*科*网]湛江一中2015-2016学年度第二学期期末考试高一级数学理科试题参考答案一.1-5DCCCD6-10CDBDA11-12AA二．13．

141516.

③17．解

（1）∵acosC+asinC﹣b﹣c=0∴sinAcosC+sinAsinC﹣sinB﹣sinC=

20.解