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清远市高一第二学期第一次月考数学试题本卷满分150分,时间120分钟
1、选择题(60分,每题5分)1.(5分)集合M={(x,y)|y=},N={(x,y)|x﹣y+m=0},若M∩N的子集恰有4个,则m的取值范围是( )A.(﹣2,2)B.[﹣2,2)C.(﹣2,﹣2]D.[2,2)2.(5分)已知函数f(x)(x∈R)满足f(﹣x)=8﹣f(4+x),函数g(x)=,若函数f(x)与g(x)的图象共有168个交点,记作Pi(xi,yi)(i=1,2,…,168),则(x1+y1)+(x2+y2)+…+(x168+y168)的值为( )A.2018B.2017C.2016D.10083.(5分)圆心为(1,2)且过原点的圆的方程是( )A.(x﹣1)2+(y﹣2)2=2B.(x+1)2+(y+2)2=2C.(x﹣1)2+(y﹣2)2=5D.(x+1)2+(y+2)2=54.(5分)直线mx﹣y﹣m+2=0恒过定点A,若直线l过点A且与2x+y﹣2=0平行,则直线l的方程为( )A.2x+y﹣4=0B.2x+y+4=0C.x﹣2y+3=0D.x﹣2y﹣3=05.(5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的表面积为( )A.8+4B.8+4C.8+16D.8+86.(5分)若直线2x+y﹣4=0,x+ky﹣3=0与两坐标轴围成的四边形有外接圆,则此四边形的面积为( )A.B.C.D.57.(5分)函数f(x)=2x|log
0.5x|﹣1的零点个数为( )A.1B.2C.3D.48.(5分)函数f(x)=的图象大致是( )A.B.C.D.9.(5分)已知m,n是不同的直线,α,β是不重合的平面,给出下面四个命题
①若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n
②若m,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β
③若m,n是两条异面直线,若m∥α,m∥β,n∥α,n∥β,则α∥β
④如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n上面命题中,正确的序号为( )A.
①②B.
①③C.
③④D.
②③④10.(5分)在三棱锥S﹣ABC中,底面ABC为边长为3的正三角形,侧棱SA⊥底面ABC,若三棱锥的外接球的体积为36π,则该三棱锥的体积为( )A.B.C.D.11.(5分)已知集合A={1,2,3,4},B={x|﹣2≤3x﹣2≤10,x∈R},则A∩B=( )A.{1}B.{1,2,3,4}C.{1,3}D.{1,4}12.(5分)函数f(x)=ax(a>0,a≠1)的图象恒过点( )A.(0,0)B.(0,1)C.(1,0)D.(a,0)
2、填空题(20分,每题5分)13.已知函数f(x)=,则f(f())的值是 .14.的增区间为 .15.如图,边长为l的菱形ABCD中,∠DAB=60°,,则= .16.已知f(x)是R上的奇函数,满足f(x+2)=f(x),当x∈(0,1)时,f(x)=2x﹣2,则f(log6)= .
3、解答题(70分)17.(10分)已知U=R,集合A={x|a﹣2<x<a+2},B={x|x2﹣(a+2)x+2a=0},a∈R,
(1)若a=0,求A∪B;
(2)若(∁UA)∩B=∅,求a的取值范围.18.(12分)已知三角形ABC的顶点坐标为A(﹣1,5)、B(﹣2,﹣1)、C(4,3).
(1)求AB边上的高线所在的直线方程;
(2)求三角形ABC的面积.19.(12分)如图,已知在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AC=3,AB=5,BC=4,AA1=4点D是AB的中点.
(1)求证AC1∥平面B1DC;
(2)求三棱锥A1﹣B1CD的体积.20.(12分)已知以点C为圆心的圆经过点A(﹣1,0)和B(3,4),且圆心在直线x+3y﹣15=0上.(Ⅰ)求圆C的方程;(Ⅱ)设点P在圆C上,求△PAB的面积的最大值.21.(12分)如图,在四棱锥中P﹣ABCD,AB=BC=CD=DA,∠BAD=60°,AQ=QD,△PAD是正三角形.
(1)求证AD⊥PB;
(2)已知点M是线段PC上,MC=λPM,且PA∥平面MQB,求实数λ的值.22.(12分)已知函数f(x)=log2(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数.
(1)求k的值;
(2)设函数,其中a>0.若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个交点,求a的取值范围.数学答案
一、DDCAACBACCBB
二、
13、
14、(﹣1,1)
15、
16、
三、
17、解
(1)当a=0时,A={x|﹣2<x<2},B={0,2},∴A∪B={x|﹣2<x≤2}.
(2)∵集合A={x|a﹣2<x<a+2},B={x|x2﹣(a+2)x+2a=0},a∈R,∴当a=2时,CUA={x|x≤0或x≥4},B={2},(CUA)∩B=∅,不合题意;当a≠2时,CUA={x|x≤a﹣2或x≥a+2},B={2,a},∵a﹣2<a<a+2,∴a∉CUA,∴根据(CUA)∩B≠∅,得2∈CUA,∴2≤a﹣2或2≥a+2,解得a≤0或a≥4.综上,a的取值范围是(﹣∞,0]∪[4,+∞).
18、解
(1)由题意可得,∴AB边高线斜率k=,∴AB边上的高线的点斜式方程为,化为一般式可得x+6y﹣22=0;
(2)由
(1)知直线AB的方程为y﹣5=6(x+1),即6x﹣y+11=0,∴C到直线AB的距离为d=,又∵|AB|==,∴三角形ABC的面积S=
19、证明
(1)设B1C∩BC1=E,∵在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC﹣A1B1C1中BB1C1C是矩形,∴E是BC1的中点,连结DE,∵点D是AB的中点,∴DE∥AC1,∵DE⊂平面B1DC,AC1⊄平面B1DC,∴AC1∥平面B1DC.解
(2)在△ABC中,过C作CF⊥AB,垂足为F,由面ABB1A1⊥面ABC,知CF⊥面ABB1A1,∴=,∵==,=.三棱锥A1﹣B1CD的体积==.
20、解(Ⅰ)依题意,所求圆的圆心C为AB的垂直平分线和直线x+3y﹣15=0的交点,∵AB中点为(1,2)斜率为1,∴AB垂直平分线方程为y﹣2=(x﹣1)即y=﹣x+3…(2分)联立,解得,即圆心(﹣3,6),半径…(6分)∴所求圆方程为(x+3)2+(y﹣6)2=40…(7分)(Ⅱ),…(8分)圆心到AB的距离为…(9分)∵P到AB距离的最大值为…(11分)∴△PAB面积的最大值为…(12分)
21、证明
(1)如图,连结BD,由题意知四边形ABCD为菱形,∠BAD=60°,∴△ABD为正三角形,又∵AQ=QD,∴Q为AD的中点,∴AD⊥BQ,∵△PAD是正三角形,Q为AD中点,∴AD⊥PQ,又BQ∩PQ=Q,∴AD⊥平面PQB,又∵PB⊂平面PQB,∴AD⊥PB.解
(2)连结AC,交BQ于N,连结MN,∵AQ∥BC,∴,∵PN∥平面MQB,PA⊂平面PAC,平面MQB∩平面PAC=MN,∴根据线面平行的性质定理得MN∥PA,∴,综上,得,∴MC=2PM,∵MC=λPM,∴实数λ的值为2.
22、解
(1)∵函数f(x)=log2(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数∴f(﹣x)=log2(4﹣x+1)﹣kx=f(x)=log2(4x+1)+kx恒成立即log2(4x+1)﹣2x﹣kx=log2(4x+1)+kx恒成立解得k=﹣1
(2)∵a>0∴函数的定义域为(,+∞)即满足函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个交点,∴方程log2(4x+1)﹣x=在(,+∞)有且只有一解即方程在上只有一解令2x=t,则,因而等价于关于t的方程(*)在上只有一解当a=1时,解得,不合题意;当0<a<1时,记,其图象的对称轴∴函数在(0,+∞)上递减,而h
(0)=﹣1∴方程(*)在无解当a>1时,记,其图象的对称轴所以,只需,即,此恒成立∴此时a的范围为a>1综上所述,所求a的取值范围为a>1.。